Đề thi chọn HSG Toán lớp 12 tỉnh Bắc Giang năm 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12
Ngày thi: 02/4/2011
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 5 điểm) Cho hàm số y = x
4
– 2mx
2
+ 2 (C
m
) (với m là tham số).
1. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C
m
) tại điểm
có hoành độ bằng 1 là
3
17
.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (C
m
) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC đi qua điểm M(
3 9
;
5 5
).

Câu 2: (4 điểm)
1. Tính tích phân:
2
2
0
4
dx
x x+ −
∫
.
2. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm thực:
2 2
2 2 1
9 2.3 2 4 0
x x x x
m
− − +
+ − + ≤
.
Câu 3: ( 4 điểm )
1. Giải phương trình sau:
( )
2
2
2
2 sin os 2sin
sin os 3 2 2 os2 .
1 tan 4 4
x c x x
x c x c x

x
π π
 
− +
   
 
+ + + − = +
 ÷  ÷
+
   
2. Giải hệ phương trình sau:
( )
3 2 2
2 3
3
2 2
, .
2 2 3 26 2
x y x y xy
x y
x y y x

+ = +

∈

− − + − = −


¡

Câu 4: (4 điểm)
1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD. Các đường thẳng AB và BD lần lượt
có phương trình là: x – 2y + 2 = 0 và
1 3
2 4
x t
y t
= − +


= − +

. Điểm C thuộc đường tròn có phương trình
là: (x - 2)
2
+ y
2
= 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d):
1 1 2
1 3 4
x y z− + −
= =
;
2 2
( ) :
1 1 1
x y z− +
∆ = =

và mặt phẳng (P): 2x + 2 y - z = 0. Lập phương trình mặt cầu có tâm
thuộc đường thẳng (
∆
), tiếp xúc với đường thẳng (d) và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là
một đường tròn có bán kính bằng 4.
Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và
·
o
=60 ,ASB

·
o
=90 ,BSC
·
o
=120CSA
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a, b và c.
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
.a b c
a b c
+ + ≥ + +
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC