đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh hà tĩnh

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (58.85 KB, 5 trang )

Đáp án đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2010-2011

Câu 1: GiảI phơng trình:
2
( )
x-6
= 3 x-5 - x+3
( )
*

Giải:
Điều kiện:

x-50
x+30
x 5
Đặt: x-5 = t ( t 0 )
t
2

= x- 5 x= t
2

+5 thay vào
( )
*
ta đợc:

2
( )
t
2

-1
= 3t - t
2

+8 t
2

+8 = -2t
2

+3t +2

-2t
2

+3t+20
t
2

+8=

( )
-2t
2

+3t+2
2

-1
2
t2
4t
4

+12t
3

-12t+4=0

-1
2
t2
4
( )
t-1
2

( )
t
2

-3t+1

t=1
t=
3+ 5
2
( )
loại

t=
3- 5
2

t=1
t=
3- 5
2

Với t=1 x-5=1 x=6 (nhận)
t=
3- 5
2
x=
17-3 5
2
(nhận)
Vởy pt đã cho có hai nghiệm:

x=6
x=
17-3 5
2

b. Cho ba số thực a,b,c thõa mãn a+2b+5c =0. CMR phơng trình
sau luôn có nghiệm: ax
2

+bx+c = 0.
Giải:
Xét a = 0. phơng trình đã cho trở thành: bx +c = 0
x=
-c
b

( )
*
. mặt khác 2b + 5c = 0 b =
-5c
2
thay vào
( )
*
ta
đợc: x =
-c
-5c
2
x =
2
5
vậy phơng trình luốn có nghiệm.
Xét a

0. phơng trình đã cho là một phơng trình bậc hai ẩn x

có: = b

2

-4ac (1)
Mặt khác: từ giả thiết ta có: a = -2b-5c thay vào (1) ta đợc:
= b
2

-4c
( )
-2b-5c
= b
2

+8cb+20c
2

=
( )
b+4c
2

+4c
2

0
a,b,c thỏa mãn a+2b+5c= 0
Câu 2: GiảI hệ phơng trình:

x
2

-4xy+x+2y=0
( )
1

x
4

-8x
2

y+3x
2

+4y
2

=0
( )
2

GiảI:
Từ
( )

1
ta có : y=
x
2

+x
4x-2
thay vào
( )
2
ta đợc:
x
4

-8x
2

x
2

+x
4x-2
+3x
2

+4

x
2

+x
4x-2
2

=0
x
4

( )
4x-2
2

-8x
2

( )
4x-2
( )
x
2

+x
+3x
2

( )
4x-2
2

+4
( )
x
2

+x
2

=0
16x
6

-16x
5

+4x
4

-32x
5

-16x
4

+16x
3

+48x
4

-48x
3

+12x
2

+4x
4

+8x
3

+4x
2

=0

16x
6

-48x
5

+40x
4

-24x
3

+16x
2

=0 x
2

( )
16x
4

-48x
3

+40x
2

-24x+16
=0
x
2

( )
x-1
( )
x-2
( )
16x
2

+8
=0

x=0
x-1=0
x-2=0
16x
2

+8=0
( )
VN

x=0
x=1
x=2

Với x=0 y=0
x=1 y=1
x=2 y=1
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm :
( )
x;y
=

( )
0;0

( )
1;1

( )
2;1

Câu 3: Cho tam giác ABC có: cotA +cotC = cotB
a. Xác định góc tạo bởi giữa hai đờng trung tuyến AA

1
và CC

1
khi =
1
2

b. Tìm giá trị lớn nhất của góc B khi = 2.
Bài giảI:
a. Thay =
1
2
vào giả thiết ta đợc: cotA+ cotB =
1
2
cotB
Mặt khác: cotA=
cosA
sinA
cotA =
b
2

+c
2

-a
2

2bc
a
2R

cotA =
b
2

+c
2

-a
2

4S

Tơng tự ta có: cotC =
a
2

+b
2

-c
2

4S
; cotB =
a
2

+c
2

-b
2

4S

⇒ cotA + cotC =
1
2
cotB ⇔
2b
2

4S
=
a
2

+c
2

-b
2

8S
⇔ a
2

+c
2

= 5b
2

( )
*

G
C1
B
A1
C
A

Ta thÊy
( )
AA

1
;CC

1
=


C

1
GA

1
=


AGC
Ta cã: cos
( )
AA

1
;CC

1
= cos


AGC =








2
3
m

a
2

+








2
3
m

c
2

-b
2

2.
2
3
m

a
2
3

m

c

⇔ cos
( )
AA

1
;CC

1
=
8b
2

+8c
2

-4a
2

+8a
2

+8b
2

-4c
2

-36b
2

36
8.m

a
.m

c
9

⇔ cos
( )
AA

1
;CC

1
=
4
( )
a
2

+c
2

-20b
2

36
8.m

a
.m

c
9

⇔ cos
( )
AA

1
;CC

1
=
4
( )
5b
2

-20b
2

36

8.m

a
.m

c
9
⇔ cos
( )
AA

1
;CC

1
=0
⇔
( )
AA

1
;CC

1
= 90
0

VËy gãc t¹o bëi gi÷a hai ®−êng trung tuyÕn AA

1
vµ CC

1
lµ 90
0

b. Thay α =2 vµo gi¶ thiÕt ta ®−îc: cotA + cotC = 2cotB
Theo c©u a ta cã : cotA =
b
2

+c
2

-a
2

4S
; cotC =
a
2

+b
2

-c
2

4S
;
cotB =
a
2

+c
2

-b
2

4S
.
⇒ cotA + cotC = 2cotB ⇔
b
2

2S
=
a
2

+c
2

-b
2

2S

⇔ a
2

+c
2

= 2b
2

Mặt khác :
cosB =
a
2

+c
2

-b
2

2ac
cosB =
b
2

2ac

Mà 2ac a
2

+ c
2

cosB
b
2

a
2

+c
2

cosB
b
2

2b
2

=
1
2

cosB
1
2

B 60
0

Vậy Min

B
= 60

0
khi và chỉ khi a =b =c hay tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 4: Cho hệ tọa độ Oxy có A(1;3); B(-5;-3). Xác định điểm
M d: x-2y+1 =0 sao cho

2

MA+

MB

đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải:
Gọi điểm M(2a-1;a) d.