CHUYEN DE SO HOC 9( Boi duong HSG Toan 9)

Bồi dưỡng HSG Toán 9
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HSG TOÁN VÒNG TỈNH
PHẦN SỐ HỌC
//
Bài 1: Cho a, b là các số nguyên dương sao cho
a+1 b+1
+
a b
là số nguyên. Gọi d là ước chung của
a và b. Chứng minh rằng: d
a b≤ +
.
Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n – 41 là hai số chính phương
Bài 3: Tìm số tự nhiên có ba chữ số
abc
thỏa mãn:
2
2
1
( 2)
abc n
cba n

= −


= −


( n ∈ N, n > 2)
Bài 4: Cho 100 số tự nhiên a

1
, a
2
… a
100
thỏa mãn:
1 2 100
1 1 1
19
a a a
+ + + =
Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau.
Bài 5: Tìm các số nguyên dương x, y để C =
3
1
x x
xy
+
−
có giá trị nguyên dương.
Bài 6: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn: (a-b)(b-c)(c-a) = a + b + c.
Chứng minh rằng: a + b + c chia hết cho 27.
Bài 7:
a/ Cho A = k
4
+ 2k
3
– 16k
2
– 2k + 15 với k ∈ Z. Tìm điều kiện của k để A chia hết cho 16.

b/ Cho 2 số tự nhiên a và b. Chứng minh rằng: Nếu ab là số chẵn thì luôn luôn tìm được số
nguyên c sao cho a
2
+ b
2
+ c
2
là một số chính phương.
Bài 8: Cho a, b là các số thực thay đổi thỏa mãn a
3
+ b
3
= 2. Tìm tất cả các giá trị nguyên của M
= a + b.
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất: Với mỗi số nguyên lẻ a mà a
2
≤ n thì n
chia hết cho a.
Bài 10:
a/ Tìm số tự nhiên a để N = a
2
+ 10a + 136 có giá trị là một số chính phương.
b/ Tìm các số chính phương có 4 chữ số thỏa mãn: Chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm bằng
nhau; chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng nhau.
Bài 11:
a/ Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a
2
+ c
2
= b

2
+ d
2
.
Chứng minh rằng: a + b + c + d là hợp số.
b/ Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn: (x
2
– 3)
M
(xy + 3)
Bài 12: Cho x, y là các số thực sao cho
1
x
y
+
và y +
1
x
là các số nguyên. Chứng minh: Các số
sau cũng là các số nguyên A =
2 2
2 2
1
x y
x y
+
; B =
2011 2011
2011 2011
1

x y
x y
+
Bài 13: Cho a, b là các số nguyên và p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh: Nếu p
4
là ước của a
2
+b
2

và a(a + b)
2
thì p
4
cũng là ước của a(a + b).
Bài 14: Cho dãy số 10, 10
2
, 10
3
, …, 10
20
. Chứng minh rằng: Trong dãy số trên có 1 số khi chia
cho 19 thì có số dư là 1.
Bài 15: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn ab = cd.
Chứng minh rằng: Số A= a
2012
+ b
2012
+ c
2012

+ d
2012
là hợp số.
Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương
Bồi dưỡng HSG Toán 9
Bài 16: Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn:
( 1)
( 1)
( 1)
xy z
yz x
zx y
+


+


+

M
M
M
Bài 17: Xét một số tự nhiên A gồm ít nhất 5 chữ số. Đổi chỗ các chữ số của A theo một cách
nào đó ta được số tự nhiên B. Giả sử
A B−
= 11…1 ( gồm n chữ số 1, n ∈ N
*
). Tìm giá trị nhỏ
nhất của n và chỉ rõ cặp số A, B thỏa mãn giá trị nhỏ nhất đó của n.

Bài 18: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương phân biệt (a, b, c) khác 1 sao cho abc – 1 chia hết
cho (a – 1)(b – 1)(c – 1).
Bài 19: Chứng minh rằng
Trong 2010 số khác nhau tùy ý được lấy ra từ tập hợp A= { 1, 2, 3 … 2008
2009
}, có ít nhất hai
số x, y thỏa mãn:
2009
2009
0 1x y< − <
.
Bài 20: Tìm các chữ số a, b, c thỏa mãn:
( )abc a b c= +
Bài 21: Tìm số có 5 chữ số
abcde
thỏa mãn:
3
abcde ab=
Bài 22: Cho số tự nhiên n và n + 2 số nguyên dương a
1
, a
2
, …. a
n+2
thỏa mãn điều kiện:
1 ≤ a
1
< < a
2
< …< a

n+2

≤ 3n. Chứng minh rằng: Luôn tồn tại 2 số a
i
, a
j
( 1 ≤ j ≤ i ≤ n +2) sao cho
n < a
i
- a
j
< 2n.
Bài 23: Trong tập hợp N* xét hai số P = 1.2.3….(n-1).n = n! và S = 1+2+3 +…+ (n-1)+n
Tìm các số tự nhiên n ( n>2) sao cho P chia hết cho S.
Bài 24: Với mỗi số thực a, ta gọi phần nguyên của a được kí hiệu [a] – là số nguyên lớn nhất
không vượt quá a. Xét dãy số a
0
, a
1
, ….a
n
được cho bởi công thức a
n
=
1
2 2
n n+
   
−
   

   
.
Hỏi trong 200 số { a
0
, a
1
, ….a
199
}có bao nhiêu số khác 0 ( biết 1,41 <
2
< 1,42 )
Bài 25: Gọi S(n) là tổng tất cả các ước lẻ lớn nhất của các số tự nhiên 1, 2, 3, …, 2
n
( n ≥ 0).
Chứng minh rằng: S(n) =
4 2
3
n
+
Bài 26: Cho 3 số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
i) a là ước của b + c + bc.
ii) b là ước c + a + ca.
iii) c là ước của a + b + ab.
a/ Hãy chỉ ra một bộ ba số (a, b, c) thỏa mãn các điều kiện trên.
b/ CMR: a, b, c không thể đồng thời là các số nguyên tố.
Bài 27: Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z sao cho
( 1)( 1)( 1)xy yz zx
xyz
− − −
cũng có giá trị là

một số nguyên.
Phan Sơn – Trường THCS Tam Dương