Đề thi ĐH lần 6 - THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN VI NĂM HỌC 2010 -2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút không kể thời gian phát đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
 
2 1
1
x
y H
x
 



1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho.
2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị (H). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H),
biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình:
2
tan 4cos 2sin 2
3 cos
x x x
x

 

   
 
 

2. Giải phương trình:
 


3
2
5 1 21 1 20 5 9 5
x x x x x
       

Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân:


2
2
1
ln 1 x
I dx
x




Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp
.
S ABCD

có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
2
AB a

. Tam giác
SAB
đều
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết
SD AC

, tính theo a thể tích của khối chóp
.
S ABCD
và
khoảng cách giữa hai đường thẳng BD với SC.
Câu V (1,0 điểm). Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh:
2 2 2 2
2 2 8
2 2
a b b a
a b b a a b
 
 
  

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Dành cho thí sinh ban A
Câu VIa (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác
ABC
có trung tuyến và phân giác trong đỉnh B có
phương trình lần lượt là


1
: 2 3 0
d x y
  
,


2
: 2 0
d x y
  
. Điểm


2;1
M nằm trên đường thẳng chứa
cạnh AB ; đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng
5
. Biết đỉnh A có hoành độ dương, hãy
xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai điểm





0;0;2 , 4;2;0
A B và mặt phẳng (P) có
phương trình
2 2 6 0
x y z
   
. Viết phương trình của mặt cầu đi qua hai điểm A, B có tâm thuộc mặt
phẳng Oxy và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Câu VIIa (1,0 điểm). Xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức


1 2
i z i
 

trong đó số phức z thoả mãn điều kiện
2
z i
 
.
B. Dành cho thí sinh ban B, D.
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm




2;5 , 0;1
A B và đường thẳng (d) có phương trình

3 4 2 0
x y
  
. Viết phương trình của đường tròn đi qua hai điểm A, B và cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
M, N thoả mãn
2
MN

.
2. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng




1 2
,
d d
có phương trình lần lượt là
2 1 3
1 1 2
x y z
  
 
 
,
3 1
2 1 2
x y z
 
 


và mặt phẳng (P) có phương trình
2 2 3 0
x y z
   
. Tìm




1 2
,
M d N d
  thoả mãn


MN P
 .
Câu VIIb (1,0 điểm). Xác định tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thoả mãn
đẳng thức
2 2 2
z i z i
   

Hết

Họ tên thí sinh……………………………………………………….SBD…………………………………
ĐÁP ÁN TOÁN 12 – CHUYÊN ĐỀ LẦN 6

Câu Nội dung trình bày Điểm

I.1
1.0 điểm

Khảo sát vẽ đúng đồ thị

1.0
   
2 1
; 1
1
m
M m H m
m
 
 
 
 

 
, tiếp tuyến tại M
 
 
2
1 2 1
1
1
m
y x m
m

m
 
  




0.25


1; 2
I

khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là
 
4
2
1
1 1
1
d
m
m

 



0.25
Theo BĐT Cauchy ta có

   
max
4 2
0
1 2 2 2
1 ;
2
2 2
1 1
m
d d
m
m m


     


 



0.25



I.2
1.0 điểm
Vậy có hai tiếp tuyến
1; 5

y x y x
   

0.25
ĐK cos 0
2
x x k


   
PT
 
2
t anx sin 2 3 cos2 4cos 0
cos
x x x
x
 
     
 
 







2 2
sinx 1 2cos 2 2cos 1 3 cos 2 cos 0 cos2 2 sinx 3 cos 0

x x x x x x
         






0.5




II.1
1.0 điểm
 
cos2 0
4 2
/
sin 1
2
3
6
k
x
x
t m
x
x k
 







 




 

 
  
 

 





0.5

ĐK
5
x


PT
    


1 5 9 25 5 4 5 9 5
x x x x x
 
        
 




     
2
1 5 9 5 5 4 5 14 9 5 1 4 5
x x x x x x x x x
              



0.25


 
 
 
 
 
2 2 2

2 2
5 14 9 24 5 10 4 5 4
2 4 5 3 4 5 4 5 4 0
x x x x x x x
x x x x x x
         
         



0.25





II.2
1.0 điểm




2 2
4 5 4 2 4 5 3 4 0
x x x x x x
        
5 61
2
8
x

x











0.5


III
1.0 điểm
 
2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
ln ln | ln |
1 1
dx
I xd x x dx
x x x x x x x
   
        

   
 
   
  

2 2
1 1
1 1 2 1 8
ln | ln | ln3 ln 2 ln ln ln
1 2 3 2
3 3
x
x
x x
        



0.5


0.5

IV
1.0 điểm
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và CD,
E AC HD
 






1
gt SH ABCD AC SH   
Lại do


2
AC SD nên từ






1 & 2
AC SHD AC HD
   


0.25



Mặt khác
1 1
2 3
EH AH
HE CD

ED CD
   
Vì
 
2 2 2 2 2 2
1 1
.
3 3
AH HE HD AH HD AH AH AD
     

3
2 2
.
2 6
2 2
3
S ABCD
a
AD AH AD a V     




0.25

Trong mặt phẳng (ABCD) đường thẳng qua C song song với BD cắt AB, HK lần lượt tại
M và I. Dễ thấy HM=3a,
   
 

3 2
& ; ;
2
a
HI d BD SC d BD SMI
 


0.25


Trong


mp ABCD
kẻ
HG MI

; trong mặt phẳng (SHG) kẻ


HL SG HL SMI
  
 
 
 
 
2 2 6
; ;
3 3 3

a
d BD SMI d H SMI HL  


0.25

Theo BĐT Cauchy – Schwarz
2 2 2 2
2 2
2
2 2
a b b a
VT
a b b a
 
 
 
 
 
 

Ta CM









2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 8
2 4
2 2 2 2
a b a b b a a b
a b b a
a b b a a b a b b a
   
 
 
    
 
    
 




0.25

Mặt khác




 
2 2 2
2 2 2
2

3 3 3
1 1 1
2 2 2
a b a b
ab ab a
a b ab b a b
a b b
 
     
  
 


0.25




V
1.0
điểm
Lại do
 
2
3 3
2 0
2 2
a b
a b
a b b a

     
 
ĐPCM
0.5









1 2
1;1 : 1 ;1
d d B PT AB y A a
    
Gọi N là đối xứng của M qua phân giác






2
1;0 : 1 1;
d N PT BC x C c
   

0.5

Trung điểm AC là
1 1
;
2 2
a c
I
 
 
 
 
, do I thuộc trung tuyến


2 3 0 1
a c   
Dễ thấy tam giác ABC vuông ở B
     
2 2
5 1 1 20 2
IB a c     


0.25



VIa.1

1.0
điểm

Từ
   
 
   
3
1 & 2 3;1 , 1; 3
1
a
A C
a l


  

 



0.25




Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu

0.25

G

I

M

E

K

H

C

A

D

B

S

L







; ;0 ;
I Oxy I a b R IA IB d I P
     

   
2 2
2 2
2 2
4 4 2
2 6
4
3
a b a b
a b
a b

     


 
  



   
4 28
; 1;2 , ;
5 5
a b
 
  
 
 

0.5
VIa.2

1.0
điểm
Có hai phương trình mặt cầu
   
2 2
2 2
2 2
4 28 324
1 2 9;
5 5 9
x y z x y z
   
         
   
   


0.25

Đặt
 
2
1 2
1
w i
w i z i z

i

    


Xét điểm


;
M x y
là biểu diễn của w


0.25

2 1
2 2 2
1 1
w i w i
z i i
i i
  
      
 


0.25

VIIa
1.0
điểm
   
2 2
1
2 1 2 2 1 1 8
1
w i
w i x y
i
 
          


Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm


1; 1
I
 
bán kính
2 2
R 
0.25



0.25



; &
I a b R
là tâm và bán kính của đường tròn. Ta có
R IA IB
 
, do
MN=2
 


2 2
; 1
d I d R
  
     
 
2 2 2
2
2
2 2
2 5 1
3 4 2
1 1
5
a b a b
a b
a b


     



 
   






0.25

Giải hệ
   
499 174
; 1;4 , ;
121 121
a b
 
 
 
 


0.5

VIb.1

1.0
điểm
Có hai PT đường tròn
   
2 2
2 2
499 174 251810
1 4 1,
121 121 14641
x y x y
   
       
   
   


0.25












1 2
2 ;1 ;3 2 , 2 ;3 :1 2 2 2; 2; 2 2 2
M m m m d N n n n d MN n m n m n m
               


0.25

 
2 2 2 2 2 2
1 2 2
p
n m n m n m
MN P MN k n
      
     

 


0.25


VIb.2

1.0
điểm









; 1;1 1;2;1 , 2;4; 1
m n M N
   

0.5


;
M x y
biểu diễn cho số phức
z x yi
  


2 2 2
x yi i x yi i
     

0.25

       
2
2 2 2 2
2
2 16

2 1 4 2 2 1
3 9
x y x y x y
 
           
 
 


0.5

VIIb
1.0
điểm
Tập hợp điểm M là đường tròn tâm
2
; 1
3
I
 
 
 
 
bán kính
4
3
R


0.25