Đề số 6
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a)
x x
x x
2
2
3 4 11
1
6
− −
≤
− −
b)
x x x
2
9 10 2− − ≤ −
Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:
x m x m m
2 2
(2 1) 0− + + + =
Câu 3: (1,0 điểm) Bảng số liệu sau cho biết thời gian làm một bài toán (tính bằng phút) của 50 học sinh trong
một lớp học:
Thời gian 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tần số 1 3 4 7 8 9 8 5 3 2 N = 50
Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai của bảng số liệu thống kê trên.
Câu 4: (1,0 điểm) Cho 2 số a, b thoả mãn:
a b3 4 7+ =
. Chứng minh bất đẳng thức:
a b
2 2
3 4 7+ ≥
.
Câu 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ∆ABC có A(3; 5), B(1; –2) và C(1; 2).
a) Viết phương trình các đường thẳng chứa cạnh AB và đường cao AH của ∆ABC.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AH.
II. Phần riêng (3,0 điểm)
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Chứng minh hệ thức sau:
x x x
2 2 2
1 1 1
4cos sin 2 4sin
= −
.
b) Cho
x x x
1
sin cos ,
5 2
π
π
+ = < <
÷
. Tính
x xsin , cos
.
Câu 7a: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 60
0
, AB = 5, AC = 8. Tính diện tích S, đường cao AH và bán
kính đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Chứng minh hệ thức sau:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 )
4
= −
.
b) Cho
x x xtan cot 4, 0
4
π
+ = < <
÷
. Tính
x xtan , cot
.
Câu 7b: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):
x y
2 2
( 1) ( 2) 8− + − =
. Viết
phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) song song với đường thẳng ∆:
x y 1 0− − =
.
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
Đề số 6
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a)
x x x x
x x
x x
2 2
2
3 4 11 2 3 5
1 0
( 2)( 3)
6
− − − −
≤ ⇔ ≤
+ −
− −
0,50
x x
x
x x
( 1)(2 5) 5
0 ( 2; 1] ;3
( 2)( 3) 2
+ −
⇔ ≤ ⇔ ∈ − − ∪
÷
+ −
0,50
b)
x
x x x x x
x
2 2
2
9 10 2 9 10 0
5 14
≥
− − ≤ − ⇔ − − ≥
− ≤
0,50
x
x
x
x
x
2
1
10
10
14
5
≥
≤ −
⇔ ⇔ ≥
≥
≥ −
0,50
2
x m x m m
2 2
(2 1) 0− + + + =
có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
m m m
P m m
2 2
2
(2 1) 4( ) 0
0
∆
= + − + >
⇔
= + >
0,50
m ( ; 1) (0; )⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
0,50
3
Thời gian 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tần số 1 3 4 7 8 9 8 5 3 2 N = 50
0,50
Số trung bình: 7,68. Số trung vị: 8 0,25
Mốt: 8. Phương sai : 4,54 0,25
4
Cho 2 số a, b thoả mãn:
a b3 4 7+ =
. Chứng minh bất đẳng thức:
a b
2 2
3 4 7+ ≥
.
Áp dụng bất đẳng thức
a a b b a b a b
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
( )( ) ( )+ + ≥ +
, ta có:
( )
a b a b
2
2 2 2 2
( 3) 2 3 (2 ) (3 4 )
+ + ≥ +
0,50
a b a b
2 2 2 2
7(3 4 ) 49 (3 4 ) 7⇔ + ≥ ⇔ + ≥
0,25
Dấu "=" xảy ra
a b
b
a
3 2
2
3
⇔ = ⇔ =
0,25
5 a) A(3; 5), B(1; –2) và C(1; 2).
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là:
x y
x y
3 5
7 2 11 0
2 7
− −
= ⇔ − − =
− −
0,50
BC (0;4)= ⇒
uuur
Phương trình đường thẳng chứa đường cao AH là:
y 5 0− =
0,50
b)
Bán kính:
R d B AH
2 5
( , ) 7
0 1
− −
= = =
+
0,50
PT đường tròn:
x y
2 2
( 1) ( 2) 49− + + =
0,50
6a a)
x x
x x x x
2 2
2 2 2 2
1 1 sin cos
4cos 4sin 4sin .cos
+
+ =
0,50
x
2
1
sin 2
=
⇒ đpcm.
0,50
2
b)
x x x x x x
1 1 12
sin cos 1 2sin cos sin cos
5 25 25
+ = ⇔ + = ⇔ = −
0,25
Vậy sinx và cosx là hai nghiệm của phương trình:
t t t t
2 2
1 12
0 25 5 12 0
5 25
− − = ⇔ − − =
0,25
t
t
4
5
3
5
=
⇔
= −
0,25
Mặt khác
x x x x x
3 4
sin 0, cos 0 cos ; sin
2 5 5
π
π
< < ⇒ > < ⇒ = − =
0,25
7a
•
ABC
S AB AC A
1 1 3
. .sin 5.8. 10 3
2 2 2
∆
= = =
(đvdt)
0,25
•
BC AB AC AB AC A
2 2 2
2 . .cos= + −
BC
1
25 64 2.5.8. 49 7
2
= + − = ⇒ =
0,25
•
ABC
ABC
S
S BC AH AH
BC
2.
1 20 3
.
2 7
∆
∆
= ⇒ = =
0,25
•
ABC
ABC
abc abc
S R
R S
5.8.7 7 3
4 4 3
4.10 3
∆
∆
= ⇒ = = =
0,25
6b a)
Ta có:
x x x x x
3 2
4sin 2sin .2sin 2sin (1 cos2 )= = −
0,50
x x x x x x x x2sin 2sin cos2 2sin (sin3 sin ) 3sin sin3= − = − − = −
⇒ đpcm 0,50
b)
x x xtan cot 4, 0
4
π
+ = < <
÷
Ta luôn có
x xtan .cot 1=
nên tanx và cotx là các nghiệm của PT:
y y
2
4 1 0− + =
0,25
y
y
2 3
2 3
= −
⇔
= +
0,25
Với
x x x0 0 tan 1; cot 1
4
π
< < ⇒ < < >
0,25
Vậy
xtan 2 3= −
và
xcot 2 3= +
0,25
7b
Tâm I(1; 2), bán kính
R 2 2=
0,25
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
x y: 1 0
∆
− − =
nên phương trình tiếp tuyến có dạng:
x y C C0 ( 1)− + = ≠ −
0,25
C
C
d I R C
C
1 2
5
( , ) 2 2 1 4
3
1 1
∆
− +
=
= ⇔ = ⇔ − = ⇔
= −
+
0,25
Vậy phương trình tiếp tuyến là
x y 5 0− + =
hoặc
x y 3 0− − =
0,25
Hết
3