sáng kiến kinh nghiệm: Môn toán THCS

Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trình bậc cao
I. đặt vấn đề:
1. cơ sở lí luận:
Phơng trình bậc cao là một dạng phơng trình khó- là một trong những chủ
đề khó của chơng trình toán THCS . Vì vậy học sinh thờng gặp khó khăn trong
vấn đề biến đổi cũng nh giải quyết bài toán. Cho nên khi giảng dạy vấn đề này
ngời giáo viên không nên chỉ dừng lại ở việc hớng dẫn học sinh giải một bài
toán cụ thể nào đó mà cần phải chú trọng đến việc hớng dẫn học sinh biến đổi
các bài toán đó nh thế nào? Đó là điều cốt lõi để học sinh có thể vận dụng để
giải các bài toán khác. Vì vậy tôi đa ra nghiên cứu đề tài một số phơng pháp
giải phơng trình bậc cao.
Để giảng dạy tốt phần kiến thức này giáo viên cũng nh học sinh phải nắm
vững các kiến thức về phơng trình bậc hai cũng nh các kĩ năng biến đổi đa
thức.
2/ cơ sở thực tiễn:
Đối với phơng trình bậc cao học sinh thờng lúng túng khi biến đổi vì nó
không có một số một quy tắc giải nào cụ thể nh đối với phơng trình bậc hai, và
học sinh thờng vận dụng một cách cứng nhắc cha nhận dạng đợc một loại ph-
ơng trình cụ thể nào để biến đổi đi đến tìm nghiệm của phơng trình đó.
Cơ sở thực tiễn của việc giải phơng trình bậc cao là biến đổi nó về dạng ph-
ơng trình bậc hai hoặc phơng trình tích để tìm nghiệm những dạng quen thuộc
đã gặp từ đó tìm nghiệm của phơng trình cần tìm.
Phơng trình bậc cao có nhiều dạng nhng ở để tài này tôi chỉ đa ra hai dạng
phơng trình chính đó là phơng trình bậc ba và phơng trình bậc bốn thờng gặp
trong chơng trình.
II. giải quyết vấn đề:
Trong tất cả các phơng trình bậc cao khi tiến hành giải ta thờng sử dụng
phép biến đổi để nh làm thế nào đó để hạ bậc của phơng trình đã cho để đa về
dạng quen thuộc, trong đề tài này tôi chủ yếu trình bày hai phơng pháp quen
thuộc đó là: phơng pháp phân tích thành nhân tử và phơng pháp biến đổi để đặt

ẩn phụ.
Vì vậy tôi nghiên cứu đề tài này nhằm giúp bản thân tôi nghiên cứu sâu hơn
về phơng trình bậc cao qua đó áp dụng cho học sinh vận dụng thành thạo các
phép biến đổi linh hoạt trong quá trình giải toán nhằm góp phần nâng cao hơn
t duy của học sinh.
1
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
1. Ph ơng trình quy về ph ơng trình bậc hai:
Dạng 1: Phơng trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m với a + b = c + d.
Giáo viên cần cho học sinh thấy đợc nếu ta tính riêng tích (x + a)(x + b) và tích
(x + c)(x + d) thì ta thấy các tích trên có hai hạng tử chứa ẩn x là chung ( vì ta
thấy đợc a + b = c + d ). Từ đó ta đặt X = x
2
+ (a + b)x.
Ví dụ: Giải phơng trình: (x +2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) = 3. (1)
Ta thấy phơng trình (1)

(x
2
+ 7x + 10)( x
2
+ 7x + 12) = 3. khi đó ta đặt
X = x
2
+ 7x + 10

x
2
+ 7x + 12 = X + 2 Từ đó ta có phơng trình: X(X + 2) = 3
giải ra ta đợc X = 1 và X = -3.

Với X = 1 ta lại có phơng trình x
2
+ 7x + 10 = 1

x
2
+7x +9 = 0, từ đó ta dễ
dàng tìm đợc nghiệm của phơng trình là: x
1
=
7 13
2
+
, x
2
=
7 13
2

.
Với X = -3 ta có phơng trình x
2
+ 7x + 10 = -3

x
2
+ 7x +13 = 0, phơng trình
này vô nghiệm.
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm: x
1

=
7 13
2
+
và x
2
=
7 13
2

.
Dạng 2: Phơng trình ax
4
+ bx
3
+ cx
2

kbx + k
2
a = 0 (1) (ka

0). Đây là dạng
cơ bản mà ta dễ dàng thấy đợc x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình, từ đó
hớnh dẫn HS chia hai vế của phơng trình cho x
2
, ta đợc một phơng trình mới: a( x
2
+
2

2
x
k
) + b( x


x
k
) + c = 0. Từ đó hớng dẫn HS đặt:
t = x


x
k


x
2
+
2
2
x
k
= t
2


2k .Vậy ta đã chuyển phơng trình (1) về dạng phơng trình bậc
hai: at
2

+ bt + c

a.2k = 0.
Ví dụ: Giải phơng trình: x
4
+ 4 = 5x(x
2
2).
Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: x
4
5x
3
+10x + 4 = 0.
Dễ thấy x = 0 không là nghiệm cua phơng trình. Chia hai vế cua phơng trình cho
x
2
ta đợc: x
2
+
2
4 2
5( )x
x x

= 0.
Đặt t =
2
x
x

t
2
=
2
2
4
4x
x
+



2 2
2
4
4x t
x
+ = +
, ta có phơng trình:
t
2
5t + 4 = 0

t
1
= 1, t
2
= 4

Với t = 1 ta có
2
1x
x
=
x
2
x -2 = 0

x
1
= -1, x
2
= 2.
Với t = 4 ta có
2
4x
x
=
x
2
4x 2 = 0

x
3
=
2 6+
, x
4
=

2 6
.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là S =
{ }
1; 2;2 6; 2 6 +
.
Dạng 3: Phơng trình dạng: (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c (*).
2
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
Đối với phơng trình dạng này HS sẽ rất khó khai triển để biến đổi vì vậy GV cần
hớng dẫn HS tìm cách đặt ẩn phụ để ẩn phụ có thể biểu diễn qua hai đại lợng (x
+ a)
4
, (x + b)
4
từ đó biến đổi phơng trình về một dạng mới.
Đặt:
2 2
a b a b
y x x y
+ +
= + =

Suy ra: x + a =
2 2
a b a b

y a y
+
+ = +
x + b =
2 2
a b a b
y b y
+
+ =
Thay vào phơng trình (*), ta đợc một phơng trình trùng phơng:
2y
4
+ 3(a b)
2
y
2
+
1
8
(a b)
4
c = 0 (**)
Đặt: t = y
2
, t

0. Ta có: 2t
2
+ 3(a b)
2

t +
1
8
(a b)
4
c = 0.
Từ đó ta giải phơng trình với ẩn t

y

x.
Ví dụ: Giải phơng trình: (x + 5)
4
+ (x + 3)
4
= 2. (*)
Đặt: y = x + 4
Suy ra: x + 5 = y + 1 ; x + 3 = y 1. Thay vào phơng trình (*), ta đợc phơng
trình: (y + 1)
4
+ (y 1)
4
= 2


[ ]
2
2
2 2
( 1) ( 1) 2 ( 1)( 1)y y y y

+ + +

= 2


y
4
+ 5y
2
= 0. Giải ra ta đợc y = 0.
Với y = 0, ta có x = - 4. Vậy phơng trình (*) có nghiệm là x = - 4.
( chú ý với phơng trình (x a)
4
+ (x b)
4
= c, Ta cũng thực hiện tơng tự với ẩn
phụ là
2
a b
y x
+
=
).
Dạng 4: Phơng trình dạng: (x a)(x b)(x c)(x d) = Ax
2
.
Trong đó ad = bc, đây là một phơng trình khó đối với HS nếu không có phơng
pháp giải vì vậy GV cần hớng dẫn cho HS thấy đợc nếu ghép các tích (x a)(x
d) và các tích (x b)(x c) thì ta sẽ có ngay hai hạng tử không chứa ẩn x

của các tích là bằng nhau ( x
2
+ ad = x
2
+ bc).
Vậy để giải phơng trình trên ta đặt ẩn phụ là:
ad
y x
x
= +
.
Ví dụ: Giải phơng trình (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x
2
Ta biến đổi phơng trình về dạng sau:
(x
2
+ 14x + 24)(x
2
+ 11x + 24) = 4x
2
.
Ta dễ dàng thấy đợc x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình, ta chia cả hai vế
của phơng trình cho x
2


0, ta đợc:
3
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao

24 24
14 11 4x x
x x

+ + + + =
ữ ữ

. Đặt
24
y x
x
= +
(1), từ đó ta đa phơng trình về
dạng:
(y + 14)(y + 14) = 4. Ta dễ dàng tìm đợc nghiệm là: y
1
= - 15; y
2
= - 10.
* Với y = - 15 thay vào (1), ta đợc phơng trình: x
2
+ 15x + 24 = 0. Giải ra ta có
các nghiệm là:
1 2
15 129 15 129
,
2 2
x x
+
= =

.
* Với y = - 10, thay vào (1), ta đợc phơng trình: x
2
+ 10x + 24 = 0. Giải ra ta đợc
các nghiệm là: x
3
= - 6 , x
4
= - 4.
2. Ph ơng trình đ ợc đ a về dạng ph ơng trình tích:
Có những dạng phơng trình mà ta có thể biến đổi về dạng phơng trình tích để
tìm nghiệm. Để có thể đa phơng trình về dạng tích ta cần sử dụng thành thạo các
kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử mà ở đó qua mỗi dạng chúng ta có
thể sử dụng các phơng pháp khác nhau.
Ví dụ 1: Giải phơng trình : 2(x
2
+ x + 1)
2
7(x 1)
2
= 13(x
3
1). (1)
(1)

2(x
2
+ x + 1)
2
+ (x

3
1) 14(x
3
1) 7(x 1)
2
= 0


(x
2
+ x + 1)(2x
2
+ 3x + 1) 7(x 1)(2x
2
+ 3x + 1) = 0


(2x
2
+ 3x + 1)(x
2
6x + 8) = 0


(2x
2
+ 3x + 1) = 0 hoặc (x
2
6x + 8) = 0.
Vậy tập nghiệm của phơng trình là

1
1; ; 2;4
2





.
Ví dụ 2: Giải phơng trình :
2
1 5
8
2
x
x
+ =
. Đối với dạng phơng trình này GV cần
hớng dẫn HS làm thế nào đó để mất dấu căn trong phơng trình sau khi đã đặt điều
kiện cho ẩn ( có thể bằng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc phơng pháp bình phơng).
Điều kiện x (x
2
6x + 8) = 0. Đặt t =
1
x
(t > 0) suy ra x =
2
1
t
. Phơng trình đã

cho trở thành:

4
8 5
2
t
x
+ =


2t
5
5t
4
+ 16 = 0. (1) Có thể hớng dẫn HS nhẩm nghiệm
( nghiệm nguyên nếu có là ớc của hạng tử tự do).
Rõ ràng t = 2 là nghiệm của phơng trình (1), sử dụng sơ đồ horner ta có thể biến
đổi phơng trình (1)

(t 2)
2
(2t
3
+3t
2
+ 4t + 4) = 0

t = 2
1
4

x =
.
Ví dụ 3: Giải phơng trình :
x
4
4x
3
10x
2
+ 37x 14 = 0
GV cần cho HS thấy đối với những phơng trình không có nghiệm nguyên và
nghiệm hữu tỉ ta có thể sử dụng phơng pháp hệ số bất định.
4
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
Ta nhận thấy vế trái là một đa thức bậc bốn, giả sử ta phân tích đợc thành hai
nhân tử bậc hai x
2
+ px + q và x
2
+rx +s, trong đó p, q, s là các số nguyên cha xác
định, khi đó:
x
4
4x
3
10x
2
+ 37x 14 = (x
2
+ px + q)( x

2
+rx +s).
Khai triển, nhóm các hạng tử rồi đồng nhất các số hạng cùng bậc ở hai vế của
đồng nhất thức ta có hệ thức sau:
4
10
37
14
p r
s p qr
ps qr
qs
+ =


+ + =


+ =


=

Giải hệ này ta đợc p = - 5; q = 2; s = - 7; r = 1. Do đó phơng trình đã cho trở
thành:
(x
2
5x + 2)(x
2
+ x 7) = 0.

Giải hai phơng trình bậc hai x
2
5x + 2 = 0 và x
2
+ x 7 = 0, ta đợc các
nghiệm của phơng trình ban đầu là:

5 17 1 29
;
2 2

.
3. Ph ơng trình chứa tham số.
Đây là dạng phơng trình mà thờng gây cho HS rất nhiều khó khăn khi giải
quyết, mặc dù nó không phải là một dạng phơng trình khó. Vấn đề là GV cần h-
ớng dẫn cho HS phơng pháp giải hợp lí để HS có thể giải quyết dễ dàng khi gặp
dạng tơng tự. Các kiến thức chủ yếu để giải phơng trình này là các phơng pháp
phân tích đa thức đa thức thành nhân tử ; các kiến thức về công thức nghiệm đối
với phơng trình bậc hai.
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
3
+ ax
2
+ bx + c = 0, với a, b, c là các số hữu tỉ và
3

là một nghiệm của phơng trình. Tìm các nghiệm còn lại.
Đối với dạng phơng trình này GV cần hớng cho HS thay ẩn x bằng
3
, sau đó

dựa vào các điều kiện đã cho của bài toán và thực hiện giải.
? Vì
3
là nghiệm của phơng trình x
3
+ ax
2
+ bx + c = 0 nên ta có biểu thức
nào?

3 3 3 3 0 3( 3) 3 0a b c b a c + + + = + + + =
?
3
là số vô tỉ nên các biểu thức còn lại phải thoã mãn điều kiện gì?
b + 3 = 0 và 3a + c = 0, suy ra b = - 3 và c = - 3a. Khi đó x
3
+ ax
2
+ bx + c = 0

x
3
+ ax
2
3x 3a = 0

(x
2
3)(x + a) = 0

3x
x a

=

=

Ví dụ 2: Xác định m để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt
(x
2
1)(x + 3)(x + 5) = m (1)
? Với dạng phơng trình này ta biến đổi nó nh thế nào để giải quyết đợc yêu cầu
bài toán?
5
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
Giúp Hs xác định đây là phơng trình bậc bốn, vậy cần biến đổi nó về dạng tích
của hai tam thức bậc hai và xác định điều kiện về nghiệm của các tam thức đó để
thoã mãn yêu cầu của bài toán.
Ta dễ dàng biến đổi phơng trình (1) về dạng (x
2
+4x 5)(x
2
+ 4x + 3) = m.
Đặt X = x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)
2


0, ta đợc phơng trình:

(X 9)(X 1) = m

X
2
10X + 9 m = 0. (2)
? Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi nào?
Phơng trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình (2) có hai
nghiệm dơng phân biệt. Điều đó xãy ra khi và chỉ khi:

0
0
0
S
P
>


>


>




25 (9 ) 0
10 0
9 0
m
m

>


>


>




16 0
9 0
m
m
+ >


>



- 16 < m < 9.
Ví dụ 3: Cho phơng trình: x
3
2(m + 1)x
2
+ (m
3
+ 4m - 4)x 2(m

3
+ 4) = 0
(*)
Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt.
Đối với dạng phơng trình này GV cần hớng dẫn HS làm thế nào đó để phân tích
vế trái thành nhân tử trong đó sẽ có một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai.
(phơng pháp thông thờng là nhẩm một nghiệm của phơng trình hoặc tách nhóm
các hạng tử).
Từ phơng trình trên ta dễ dàng xác định đợc một nghiệm của nó là x = 2. Vậy
ta có thể biến đổi phơng trình (*) về dạng:
(x 2)(x
2
2mx +m
3
4) = 0. ? Vậy để phơng trình (*) có 3 nghiệm
phân biệt cần thoã mãn điều kiện gì?
Cần hớng cho HS phát hiện ra (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: Phơng
trình x
2
2mx +m
3
4 = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2:



2
, 3 2
4 0
4 0
m m

m m




= + + >





2
( 4) 0
(2 )( 2) 0
m m
m m m



+ + >




0
2
m
m

<

III. kết luận:
Trong chơng trình toán THCS, phơng trình bậc cao là một dạng toán khó đòi
hỏi HS cần có kĩ năng biến đổi khéo léo và sự chính xác trong từng phép toán cụ
thể. Vì vậy trong quá trình dạy dạng toán này ngời HS cần có yêu cầu cao về các
kiến thức đại số cơ bản, nếu có những phơng pháp biến đổi hợp lí thì việc giải ph-
ơng trình bậc cao sẽ trở nên hết sức đơn giản. Vấn đề cốt lõi trong việc giải phơng
trình bậc cao là nhận dạng các bài toán từ đó có những phép biến đổi hợp lí để đa
phơng trình về dạng đơn giản hơn.
6
Bàn về một số phơng pháp giải phơng trìng bậc cao
Việc giải phơng trình bậc cao sẽ giúp HS nâng cao t duy sáng tạo của mình
đồng thời rèn các kĩ năng về biến đổi đại số, cũng nh cũng cố các kiến thức về ph-
ơng trình bậc hai. Đặc biệt đối với việc bồi dỡng HS giỏi, cũng nh ôn luyện thi
vào các trờng THPT.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài này chúng ta cần rút ra những kinh nghiệm cơ
bản nh sau:
- Lu ý HS nhận dạng từng bài toán để có những phơng pháp giải cụ thể, qua đó
vận dụng vào giải những bài toán tơng tự khác.
- Trong quá trình dạy học ngời giáo viên không chỉ là hớng dẫn HS giải mà cần
cho HS nghiên cứu kĩ từng dạng toán đó để xâu chuỗi và phát triển bài toán thành
bài toán mới.
- Để giúp các em có phơng pháp học tập tốt hơn môn toán trong quá trình giảng
dạy GV cần tìm tòi các cách khác nhau để tiếp cận một vấn đề, giải kỹ các phơng
pháp khác nhau những bài toán cơ bản trọng tâm, và phát triển các bài toán đó dới
các hình thức khác nhau. Thông qua các nhận xét, liên hệ giữa cái vừa tìm đợc để
tạo ra cái mới.
Trong đề tài tôi nghiên cứu chắc chắn còn có nhiều sai sót, mong các bạn đọc

và các đồng nghiệp góp ý cho tôi để đề tài này hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hơng sơn, ngày 24 / 04 / 2009.
7