DE THI HKII, TOAN 11

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2009-2010
MÔN: TOÁN- LỚP 11
Thời gian: 90 phút ( không kể thời gian giao đề)

I.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH ( 7,0 điểm )
Câu 1:(1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:
1)
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
+
2)
0
1 2 1
lim
x
x
x
→
+ −
3)
2
lim ( 1)
x

x x x
→−∞
+ − +
Câu 2:(1,0 điểm) Xét tính liên tục trên
¡
của hàm số:

− + +

=
+


+ ≤

2
2 10
nÕu x > -2
( )
2
4 17 nÕu x -2
x x
f x
x
x
Câu 3:(1,5 điểm) Tính đạo hàm của hàm số:
1) y = x(1 – x)(x
2
+ 2) tại x
0

= -1 2) y
−
=
− +
2
2 3
1
x
x x
tại x
0
= 1
Câu 4:(3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ mp (ABCD).
Hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SD lần lượt là I, H.
1) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông.
2) Chứng minh: AI ⊥ SC, AH ⊥ SC
II.PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm) Học sinh chỉ được làm một trong hai phần sau:( phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1: Theo chương trình chuẩn
Câu 5a:(2,0 điểm)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
+
=
−
2
2
x
y
x
tại điểm có hoành độ x
0

= 1
2) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của
tham số m: (m
2
– m + 1)x
2010
– 2x – 4 = 0
Câu 6a:(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh m. Tính góc giữa hai đường
thẳng BD’ và AC
Phần 2: Theo chương trình nâng cao
Câu 5b:(2,0 điểm)
1)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
− +
2
1
2
4
x x
đi qua điểm M(
7
;0
2
)
2)Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
(m
2
– m + 4)x
2010
+ 2x – 1 = 0
Câu 6b:(1,0 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh m. Tính góc giữa hai đường

thẳng BD và AB’
Hết
Câu Nội dung Điểm
1
(1,5)
1)
(0,5)

2
2
3 2
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
+
=
2
( 1)( 2)
lim
2
x
x x
x
→−
+ +
+

=
2
lim( 1) 1
x
x
→−
+ = −
0,25
0,25
2)
(0,5)

0 0
1 2 1 (1 2 ) 1
lim lim
( 1 2 1)
x x
x x
x
x x
→ →
+ − + −
=
+ +

=
0
2
lim 1
1 2 1

x
x
→
=
+ +
0,25
0,25
3)
(0,5)
2
2
1
lim ( 1) lim
1
x x
x
x x x
x x x
→−∞ →−∞
−
+ − + =
− − +
=
2 2
1
1
1 1
lim lim
2
1 1 1 1

1 1 1
x x
x
x
x x
x x x x
→−∞ →−∞
−
−
= =
− − + + − +
0,25
0,25
2
(1,0)
3
(1,5)
(1,0)
1)
(0,75)
* x > - 2:
− + +
=
+
2
2 10
( )
2
x x
f x

x
liên tục trên (-2;+∞)
x< - 2: f(x) = 4x + 17 liên tục trên (-∞; - 2)
* Tại x = - 2:

+ + +
→ − → − → −
− + +
= = − + =
+
( 2) ( 2) ( 2)
( 2 5)( 2)
lim ( ) lim lim ( 2 5) 9
2
x x x
x x
f x x
x

− −
→ − → −
= + =
( 2) ( 2)
lim ( ) lim (4 17) 9
x x
f x x
f(-2)= 9
*
+
→ −( 2)

lim ( )
x
f x
=
−
→ −
= − =
( 2)
lim ( ) ( 2) 9
x
f x f
⇒ f(x) liên tục tại x = -2
* y = (x – x
2
)(x
2
+ 2) = - x
4
+ x
3
– 2x
2
+ 2x
* y’ = - 4x
3
+ 3x
2
– 4x + 2
* y’(- 1) = 4 + 3 +4 + 2 = 13
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
(0,75)
*y’ =
− − + − − −
− +
2
2 2
3( 1) (2 1)(2 3 )
( 1)
x x x x
x x
=
− + − − − + − − −
=
− + − +
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3 ( 6 7 2) 3 4 1
( 1) ( 1)
x x x x x x
x x x x
* y’(1) = -2
0,25
0,25

0,25
4
(3,0)
0,5
(Hình vẽ đúng: 0,5 đ)
1)
(1,5)
* SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒∆ SAB, ∆SAD vuông tại A
* BC ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD) )
BC ⊥ AB (gt)
⇒ BC⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB ⇒∆ SBC vuông tại B
* Tương tự: CD ⊥ SA ( vì SA ⊥ (ABCD) )
CD ⊥ AD (gt) ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD⊥ SD ⇒∆ SCD vuông tại D

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
2)
(1,0)
* BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AI
AI ⊥ SB (gt) ⇒ AI ⊥ (SBC) ⇒ AI ⊥ SC
* Tương tự:
CD ⊥ (SAD)⇒ CD ⊥ AH
AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ (SCD) ⇒ AH ⊥SC
0,25
0,25
0,5

5a
(2,0)
1)
(1,0)
* x
0
= 1 ⇒ y
0
= - 3
*y’ =
2
4
( 2)x
−
−
* y’(1) = -4
* Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(1;-3) : y + 3 = - 4(x – 1)
⇔ y = - 4x + 1
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
(1,0)
* Đặt: f(x) = (m
2
– m + 1)x
2010

– 2x – 4
* f(0) = - 4 < 0
f(-2) = (m
2
– m + 1).2
2010
= [(m-
1
2
)
2
+
3
4
].2
2010
> 0,
m∀ ∈¡
⇒ f(-2).f(0) < 0
m∀ ∈¡
* Mặt khác hàm số f(x) = (m
2
– m + 1)x
2010
– 2x – 4 liên tục trên
¡
,
nên liên tục trên [-2;0]
* Do đó theo tính chất của của hàm số liên tục, tồn tại số c∈ (-2;0) sao
cho f(c) = 0, tức là phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm âm

thuộc khoảng (-2;0) với mọi giá trị của tham số m
0,25
0,25
0,25
0,25
6a
(1,0)
C
A
D
B
S
I
H
* Đặt:
; ' ; . . . 0BA a BB b BC c a b b c c a= = = ⇒ = = =
uuur uur uuur uur uuur ur r r r r r r

2 2 2
2
a b c m= = =
r r r
*
' ;BD a b c AC BC BA c a= + + = − = −
uuuur r r ur uuur uuur uuur r r
*
2 2
2 2
'. 0BD AC a c m m= − + = − + =
uuuur uuur r r

0
( , ') 90BD AB⇒ =
uuur uuur
⇒ Góc giữa hai đường thẳng BD’ và AC bằng 90
0
0,25
0,25
0,25
0,25
5b
(2,0)
1)
(1,0)
* Giả sử M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (P): y =
− +
2
1
2
4
x x

Ta có: y’ =
1
2

x

– 1; M∉ (P)
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại M
0
(x
0
;y
0
) :
y =
0 0
1
( 1)( )
2
x x x− −
+
2
0 0
1
2
4
x x− +
⇔ y =
2
0 0
1 1
( 1) 2
2 4
x x x− − +

(1)
* Tiếp tuyến đi qua M nên:
0 =
2
0 0
1 7 1
( 1) 2
2 2 4
x x− − +
⇔
0
2
0 0
0
1
7 6 0
6
x
x x
x
=

− + − = ⇔

=

* x
0
= 1
(1)

⇒
PT tiếp tuyến: y = -
1 7
2 4
x +
* x
0
= 6
(1)
⇒
PT tiếp tuyến: y = -2x -7
0,25
0,25
0,25
0,25
2)
(1,0)
* Đặt: f(x) = (m
2
– m + 4)x
2010
+ 2x – 1
* f(0) = - 1 < 0
f(-2) = m
2
– m + 1 = (m-
1
2
)
2

+
3
4
> 0,
m∀ ∈¡
⇒ f(-1).f(0) < 0
m∀ ∈¡
* Mặt khác hàm số f(x) = (m
2
– m + 4)x
2010
+ 2x – 1 liên tục trên
¡
,
nên liên tục trên [-1;0]
* Do đó theo tính chất của của hàm số liên tục, tồn tại số c∈ (-1;0) sao
cho f(c) = 0, tức là phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng (-1;0) mọi giá trị của tham số m
6b
(1,0)
c
b
a
C
D
B
C '
A '
D '
B '

A
* Đặt:
; ' ; . . . 0BA a BB b BC c a b b c c a= = = ⇒ = = =
uuur uur uuur uur uuur ur r r r r r r

2 2 2
2
a b c m= = =
r r r
*
; ' 'BD a c AB BB BA b a= + = − = −
uuur r r uuur uuur uuur r r
*
2
. ' 1
os( , ')
. ' 2
2. 2
BD AB m
c BD AB
BD AB
m m
−
= = = −
uuur uuur
uuur uuur
0
( , ') 120BD AB⇒ =
uuur uuur
* Vậy góc giữa hai đường thẳng BD và AB’bằng 60

0
0,25
0,25
0,25
0,25
c
b
a
C
D
B
C '
A '
D '
B '
A