phân loại và vận dụng các phương pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả

Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
A phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
1-Cơ sở khoa học :
Nh chúng ta đã biết thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững đợc
nội dung toán học và phơng pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn
học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên . Hơn nữa toán học còn là cơ sở của
mọi ngành khoa học khác chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà tr-
ờng phổ thông ,nó đòi hỏi ngời thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo,để
tạo ra những phơng pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán .
Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chơng trình toàn học từ tiểu
học đến trung học .Việc nắm vững các phơng pháp giải Bất đẳng thức không những
giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học
khác nh hoá học , vật lý , tin học Đặc biệt việc phát triển t duy sáng tạo cho học
sinh từ tiểu học đến trung học . Nhng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay
là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung va Bất đẳng thức nói riêng
Trong quá trình dạy toán ở THCS ,qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài
liệu bản thân tôi đã hệ thống đợc một số phơng pháp giải Bất đẳng thức mà tôi thiết
nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có nh vậy học sinh mới giải đợc
toán Bất đẳng thức góp phần phát triển t duy toán học ,tạo điều kiện cho việc học
toán ở THCS và học các môn học khác .
2- Cơ sở thực tiễn :
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó . Nhiều
học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phơng pháp giải
toán Bất đẳng thức nh thế nào .
Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chơng trình THCS ,nhng
không đợc hệ thống thành những phơng pháp nhất định gây cho học sinh nhiều khó
khăn khi gặp , khi giải toán Bất đẳng thức .
Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu nh có mặt ở mọi đề thi kể cả
các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT .
Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dỡng

học sinh giỏi thì việc nắm vững phơng pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiến thức
cho họ .
Đối với học sinh khắc phục đợc những hạn chế trớc đây giúp cho học sinh có
tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán .
II- Mục đích nghiên cứu :
Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng
thức nói riêng .đặc biệt là việc bồi dỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10
THPH chuyên .
Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phơng pháp giải Bất đẳng thức
một cách nhanh chóng và hiệu quả . Phát huy đợc tính tích cực , chủ động sáng tạo
của học sinh trong quá trình học tập .
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
III. Ph ơng pháp nghiên cứu :
- Nghiên cứu các phơng pháp giải Bất đẳng thức .
- Thông qua nội dung phơng pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố lý
thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh .
- Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị .
IV- Phạm vi nghiên cứu và sử dụng :
- Các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS .
- Bồi dỡng cho giáo viên và học sinh THCS .
B-Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức
I- Định nghĩa : Cho hai số : a, b ta nói
số a lớn hơn số b ,ký hiệu là : a>b nếu a-b >0
số a nhỏ hơn số b ,ký hiệu là : a<b nếu a-b <0
II- Tính chất :
1- a > b

b < a
2- a < b , b < c

a < c (tính chất bắc cầu )
3- a < b

a + c < b + c ( tính chất đơn điệu )
4- a < b , c < d

a + c < b +d ( Cộng hai vế của một Bất đẳng
thức cùng chiều ta đợc một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng
)
5- a < b , c > d

a - c < b d ( trừ hai Bất đẳng thức ngựoc
chiều ta đợc một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng
thức bị trừ )
6- Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m
a<b



<>
><

0,
0,
mmbma
mmbma
7- Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta đợc
một Bất đẳng thức cùng chiều :0 <a<b , 0<c<d

a.c<b.d

8- a> b >0

a
n
> b
n
;0>a>b

a
n+1
>b
2n+1
và a
n
<b
2n
9- so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số :m>n>0; a>1

a
m
> a
n
;
a
m
< a
n
với 0< a <1
10- Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta đợc một Bất đẳng
thức đổi chiều : a

b

ba
11

Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trớc .
III- Một số Bất đẳng thức cân nhớ :
1- A
2k

0 với mọi A Dấu"=" xảy ra khi A=0
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
2-
AA ,0
Dấu "=" xảy ra khi A=0.
3-
AAA
4-
BABA ++
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0
5-
BABA
Dấu "=" xảy ra khi A.B

0 và
BA

Chú ý : Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng
khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý .
Khi chứng minh song Bất đẳng thức a

b ta phải xét trờng hợp Dấu = xảy ra khi
nào .
c- các phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức
I Ph ơng pháp 1 : phơng pháp dùng định nghĩa:
1-Nội dung ph ơng pháp ;
Để chứng minh Bất đẳng thức A >B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0
2- Kiến thức cần vận dụng
-Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là : (A+B)
2
=A+2AB+B
2
-Tổng quát :
jiAjAiAiAi
n
ji
n
i
n
i
<+=

===
;.2)(
2.,1,
2
1

2
1
Các ký năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức
đúng hay điều kiện đúng của đề bài :
3-Bài tập áp dụng
Bài 1- chứng minh Bất đẳng thức a
2
+b
2

ab
Giải : Xét hiệu : a
2
+b
2
- ab = (a
2
+
4
1
b
2
-
2
1
.2
ab)+
4
3
b

2
=( a-
2
1
b)
2
+
4
3
b
2

0 đúng với
mọi a,b vì ( a-
2
1
b)
2

0 ;
4
3
b
2

0 Dấu "=" xảy ra khi (a-
2
1
b)
2

=
4
3
b
2
=0 suy ra
a=b=0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Chứng minh tơng tự cho Bài a
2
+b
2

ab
Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát : (a
n
)
2
+(b
n
)
2

nn
ba .
Bài 2 Cho ba số a,b,c thoả mãn 0,a

b

c chứng minh rằng :

b
c
c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++++
Giải :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Xét hiệu :
)(
1
222222
acbacbbcabca
abcb
c
c
a
a
b
a
c
c
b

b
a
++=++
)]()()[(
1
222222
acbcbaabcbca
abc
++=
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c
2
(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c
2
]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)

0 (do 0<a

b

c )

Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Bài 3 : Cho a

b

c và x

y

z hãy chứng minh rằng :
22
.
2
byaxyxba
+

++
Giải :
Xét hiệu :
22
.
2
byaxyxba
+

++
=
4
1

(ax+ay+by+bx-2ax-2by)
=
4
1
[(ay-ax)+(bx-by)]=
4
1
(x-y)(b-a)

0 ( do x

y và a

b )
Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh
Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức ;
33
.
3
czbyaxzyxcba ++

++++
Bạn đọc có thể tổng quát bài toán .
Bài 4 : Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng :
a
2
+b
2
+c

2
+d
2
+e
2

a(b+c+d +e)
Giải :
Xết hiệu : a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
- a(b+c+d +e) = a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
- ab-ac-ad ae
=

4
1
( 4a
2
+4b
2
+4c
2
+4d
2
+4e
2
- 4ab-4ac-4ad 4ae)
=
4
1
[(a
2
+4b
2
+4ab)+(a
2
+c
2
+4ac)+(a
2
+4d
2
+4ad)+(a
2

+4e
2
+4ae)]
=
4
1
[(a+2b)
2
+(a+2c)
2
+(a+2d)
2
+(a+2e )
2
]

0
Do (a+2b)
2


0 và (a+2c)
2


0 và (a+2d)
2

0 và (a+2e )
2

0
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e =
2
a
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh .
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh :
Bài 5 Tổng quát bài 4
Cho a
i
i=1,2, ,n là các sổ thực .chứng minh rằng :
Chứng minh tơng tự bài 4
4- Bài tập áp dụng :
Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau :
1/ 4.x
2
+y
2

4xy
2/ x
2
+y
2
+1

xy +x+y
3/ (x+y) (x
3

+y
3
) (x
7
+y
7
)

4(x
11
+y
11
)
4/ x
1996
+y
1996
+z
1996
):( x
1995
+y
1995
+z
1995
)

(x+y+z):3
5/ (a
3

+b
3
+c
3
)

(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
) : a,b,c >0
6/Cho các số dơng a,b,c chứng minh rằng ;
a/
cbaabc
cba 111
)(
3
888
++
++
b/
abc
a
bc
c
ab
b
ca

b
ac
a
cb
c
ba
6
333333
+++++
II-ph ơng pháp 2 :
Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng :
11- Nội dung ph ơng pháp :
Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần
chứng minh tơng đơng với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng
thức đã đợc chứng minh hoặc điều kiện của đề bài .
12- Kiến thức cơ bản :
Các tính chất của Bất đẳng thức .
Các Bất đẳng thức thờng dùng .
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức .
Các HĐ thức
3- Bài tập mẫu
Bài 1 Chứng minh rằng :
x
2
+2y
2
+2z
2

2xy +2yz+2z-1 (*)

==


n
i
i
n
i
i
aa
n
a
2
1
1
2
1
2
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Giải
(*)

x
2
+2y
2
+2z
2

-2xy -2yz-2z +1

0


(x
2
-2xy+y
2
)+(y
2
-2yz+z
2
)+(z
2
-2z+1)


(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-1)
2

0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh .
Bài 2 : chứng minh Bất đẳng thức :
(a

10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)
Giải :
(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
)

(a

8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

(a
10
+b
10
) (a
2
+b
2
) - (a
8
+b
8
) (a
4
+b
4
)

0

a
12
+ a
10
b
2
+ a
2
b
10
+ b
12
-a
12
a
8
b
4
- a
4
b
8
-b
12


0


( a

10
b
2
a
8
b
4
) +( a
2
b
10
- a
4
b
8


0

a
8
b
2
(a
2
-b
2
) a
2
b

8
(a
2
-b
2
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)( a
2
-b
2
)(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+a
2
b
2
+b
4
)

0 đúng với mọi a, b
Dấu "=" xảy ra khi a
2
=b2

a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh .

*-Nhận xét từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tơng tự :
Cho 0

a

b Chứng minh Bất đẳng thức :
(a
5
+b
5
) (a+b)

(a
2
+b
2
) (a
4
+b
4
)
Bài 3 : Chứng minh các Bất đẳng thức
a) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
b) Cho a

c

0 và b

c chứng minh

)( cac

+
)( cbc




ab

Giải :
a) Nhận xét : ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9 (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9

0
(x
2
-7x +6)(x
2
-7x+12)+9

0 (x
2
-7x +6)(x
2

-7x+6+6)+9

0
(x
2
-7x +6)
2
+6(x
2
-7x+6) +9

0 (x
2
-7x +9)
2

0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6)

- 9
Dấu "=" xảy ra khi x
2
-7x +9 =0 x=
2
137
b )
)( cac

+

)( cbc




ab
(
)( cac

+
)( cbc

)
2

(
ab
)
2
c(a-c)+c(b-c) +2
)( cac

)( cbc



ab
c
2
+2c

)( ca

)( cb

+(a-c)(b-c)

0
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
( c-
)( ca

)( cb

)
2


0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b ,c thoả mãn điều kiện của
đề bài vậy
)( cac

+
)( cbc




ab
với a

c

0 và b

c
Bài 4 Chứng minh Bất đẳng thức :
ab
3
+
cb
3
+
ac
3


4 (
ba +
1
+
bc +
1
+
ca +
1
)
2
. biết a,b,c >0
Giải :

Ta có
ab
1
+
cb
1
+
ac
1
=
abc
cba )( ++
. Do a,b,c >0 và (a+b)(b+c)(c+a)

8abc

ab
1
+
cb
1
+
ac
1



))()((
).(8
accbba

cba
+++
++
Hay
ab
1
+
cb
1
+
ac
1



))()((
)(4)(4)(4
accbba
accbba
+++
+++++

2(
ab
1
+
cb
1
+
ac

1
)

))((
8
cbca ++
+
))((
8
caba ++
+
))((
8
cbba ++
(1)
Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Mặt khác ta có (a+b)
2


4ab
ab
1



2
)(
4
ba +

tơng tự ta có
cb
1



2
)(
4
bc +
và
ac
1



2
)(
4
ca +

suy ra
ab
1
+
cb
1
+
ac
1

2
)(
4
ba +
+
2
)(
4
bc +
+
2
)(
4
ca +
(2)
Trong ( 2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Từ (1) và (2) Ta có
ab
3
+
cb
3
+
ac
3

4 (
ba +
1
+
bc +
1
+
ca +
1
)
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Nhận xét để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng
thức đúng có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh . Sau đây là một
ví dụ nữa kiểu nh vậy .
Bài 5 : Cho 0 < a ,b , c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau :
1
1
33
++ba
+
1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca

1
Giải :
Do 0

a

b

c (a-b)
2
(a+b)

0 Dấu "=" xảy ra khi a=b
(a-b)(a+b)(a-b)

0
(a
2
-b
2
)(a-b)

0 a
3
-a
2
b-ab
2

+b
3


0 a
3
+b
3


a
2
b+ab
2
a
3
+b
3
+1

a
2
b+ab
2
+abc a
3
+b
3
+1

(a+b+c)ab

1
1
33
++ba



)(
1
cbaab ++
=
)( cba
c
++
(do abc= 1
c
ab
=
1
)
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
suy ra
1
1
33
++ba

)( cba
c
++
Tơng tự ta có
1
1
33
++ bc



)( cba
a
++
Dấu "=" xảy ra khi b=c
và
1
1
33
++ ca


)( cba
b
++
Dấu "=" xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
1
1

33
++ba
+
1
1
33
++ bc
+
1
1
33
++ ca


1
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1
4-Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho 0

x,y,z

1 chứng minh :
A) 0

x+y+z xy-yz-zx

1
B) x
2
+y

2
+z
2


1+x
2
y +y
2
z +z
2
x
C)
1+yz
x
+
1+xz
y
+
1+yx
z


2
Bài 2 Cho a, b ,c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh
rằng : a
2
+b
2
+c

2
+2abc < 2
Bài 3 : Chứng minh với mọi x, y >
2
ta có :
x
4
x
3
y +x
2
y
2
xy
3
+y
4
>x
2
+y
2

Bài 4 Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1] .Chứng minh :
1- a
2
+b
2
+c
2

1+ a
2
b +b
2
c +c
2
a
2- 2(a
3
+b
3
+c
3
) (a
2
b+b
2
c+c
2
a)

3
3-
1+bc
a
+
+
+1ac
b

1+ba
c


2
III-ph ơng pháp 3 : Dùng tính chất của tỉ số
1- Nội dung phơng pháp :
Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở nên
rất nhanh và gọn .
2- Kiến thức cần vận dụng :
- Với ba số dơng a,b.c
Nếu
b
a


1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Nếu
b
a

1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
-Nếu b ,d >0 và
b
a


d
c



b
a



db
ca

+
+



d
c
Dấu "=" xảy ra khi ad=bc
3- Bài tập Mẫu :
Bài 1 : Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Chứng minh rằng :1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
<2
Do a ,b ,c là ba cạnh của tam giác nên ta có : a,b ,c >0 và a+b > c ; b+c > a
Và c+a >b .
Từ a+b > c


ba

c
+
< 1


ba
c
+
<
cba
cc
++
+
=
cba
c
++
2



ba
c
+
<
cba
c
++
2
Chứng minh tơng tự ta có :

ca
b
+
<
cba
b
++
2
và
bc
a
+
<
cba
a
++
2
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

<
cba
a
++
2
+
cba
b
++
2
+
cba
c
++
2
= 2
- Ta có
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
>
cba

a
++
+
cba
b
++
+
cba
c
++
=1 Do a,b ,c dơng
Vậy 1<
cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
< 2 (đfcm)
Nhận xét : ở đây ta đã sử dụng tính chất :
- Với ba số dơng a,b,c
Nếu
b
a

1 Thì
b
a



cb
ca
+
+
Dấu "=" xảy ra khi a=b
Bài 2 Chứng minh rằng
n
n
bbb
aaa
+++
+++


21
21
Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị
lớn nhất của (
1
1
b
a
,

2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) ở đó b
i
là các số dơng i=1,2, ,n
Giải :
Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (
1
1
b
a
,
2
2
b
a
, ,
n
n
b
a
) thứ tự là m và
M

Khi đó ta có m


i
i
b
a


M với mọi i=1,2, ,n


mb
i

a
i

b
i
.M Do b
i
>0 với mọi i=1,2, ,n
Lần lợt cho i+ 1,2, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đợc :
m( b
1
+b
2
+ +b
n

) < a
1
+a
2
+ +a
n
< M( b
1
+b
2
+ +b
n
)


m <
n
n
bbb
aaa
+++
+++


21
21
< M Do ( b
1
+b
2

+ +b
n
) >0 (đfcm)
Bài 3 :
Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng :
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Giải : Ta chứng minh
2
1

(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
Do a > 0 ta có
1+a
a
< 1


1+a
a
<
1++
+
ba
ba
Tơng tự ta có :
1+b
b
<
1++
+

ba
ba
Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta đợc :
(
1+a
a
+
1+b
b
) < 2
1++
+
ba
ba



2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba

(1)
*) Ta chứng minh
1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
Do a , b dơng ta có
1
+
a
a
>
1++ ba
a
và
1+b
b
>
1++ ba
a
Cộng vế với vế của
hai Bất đẳng thức này ta đợc :

1++
+
ba
ba
<
1
+
a
a
+
1+b
b
(2)
Từ (1) Và ( 2) Ta đợc :
2
1
(
1+a
a
+
1+b
b
) <
1++
+
ba
ba
<
1
+

a
a
+
1+b
b
4- Bài tập áp dụng :
Bài 1 Chứng minh rằng
3
2
<
2005 753
2004 642
++++
++++
<
2005
2004
Bài 2 Cho a, b là các số dơng thoả mãn ab=1 chứng minh rằng :

22
1
+a
+
22
1
+b
<
ba
ba
++

+
1
<
1
1
+a
+
1
1
+b
Bài 3 Cho
y
x

b
a

n
m
chứng minh rằng
y
x

nba
max
20052004
20052004
++
++

n
m
IV Ph ơng pháp 4
Phơng pháp phản chứng :
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A

B ta giả sử phản chứng A<B rồi

điều vô lý với giả
thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A

B là đúng .
2- Kiến thức cần nhớ :
Các tính chất của Bất đẳng thức .
Các Bất đẳng thức có sẵn .
Kỹ năng biến đổi tơng đơng một Bất đẳng thức .
Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức .
3- Bài tập mẫu :
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh rằng có ít nhất một trong các Bất đẳng thức
sau sai : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25
Giải : Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ; c(1-a) > 0,25
đều đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25
3
(1)
Mặt khác ta có
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
a(1-a) = a - a
2
= 0,25 (a

2
2 .a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 ( a-0,5 )
2


0,25


a(1-a)

0.25 Tơng tự ta có b(1-b)

0,25 và c(1-c)

0,25
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25
3
(2) ta nhận thấy (1) mâu thuẫn với (2) vậy điều giả
sử là sai suy ra : trong các Bất đẳng thức sau : a(1-b) > 0,25 ; b (1-c) >0,25 ;
c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai .
Bài 2 :Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba
Bất đẳng thức sau :
x
<
zy
,
zxy <
,
xyz <

Giải : Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức
nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có :
:
x
<
zy


x
2
< (y-z )
2


x
2
-(y-z )
2
<0

(x-y+z)(x+y-z) < 0
Tơng tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0
Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
[(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]
2
<0 vô lý .
Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức :
x
<
zy

,
zxy <
,
xyz <
Bài 3 : Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện





>
>++
>++
0
0
0
abc
cabcab
cba

Hãy chứng minh rằng : a,b,c > 0 (*)
Giải : Giả sử (*) không đúng

có ít nhất một trong các số a,b,c phải

0
Không mất tình tổng quát giả sử a

0 . do abc >0

bc <0
Xét trờng hợp a

0 b>0 c<0

a+c<0
từ gỉa thiết ta có b >-a-c

b(a+c) < -(a+c)
2


ac + b(a+c) < ac-(a+c)
2

ac + b(a+c) < -(-ac+a
2
+c
2
)

ac +ba +bc < -(a-0.5c)
2
- 0.75c
2

0

Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tơng tự đồi với trờng hợp A

0 b<0 ,c>0 ta cũng

điều vô lí .
Vậy (*) đợc chứng minh .
Bài 4 :Chứng minh rằng : Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó
không nhỏ hơn 2 .
Giải : Giả sử phản chứng
b
a
>0 ta có
b
a
+
a
b
< 2


b
a
+
a
b
- 2 <0

ba
abba 2
22
+

<0


ab
ba
2
)( +
< 0 Điêù này là vô lý


b
a
+
a
b

2
Vậy Tổng của một phân số dơng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2 .
4-Bài Tập áp dụng :
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ hơn 2 a,b,c : chứng minh rằng ít nhất một trong
các Bất đẳng thức sau là sai : a(2-b)>1 ; b(2-c) >1 ; c(2-a)>1
Bài 2 Cho a,b,c là ba số dơng thoả mãn abc =1 chứng minh rằng :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
S=(a-1 +b
-1
)( b-1+c
-1
)(c-1+a
-1
)

1
Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau
đúng :
c
2
> a : d
2
> b
Bài 4 : Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn :



<
>
04)1(
0
2
acb
a
Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thức
sai
ax
2
+bx +c

y ; ay
2
+by +c

z ; az
2
+ bz +c

x
V- Ph ơng pháp 5 Phơng pháp quy nạp ;
1 Nội dung phơng pháp ;
Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thờng thì
không thể chứng minh đợc .Thờng các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc
những Bất đẳng thức tổng quát . Thông thờng để chứng minh các Bất đẳng thức
kiểu nh vậy ta dùng phơng pháp quy nạp .
Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phơng quy nạp
chứng ta thực hiện các bớc sau ;
Bớc 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với

n
0
nào đo ( thông thờng ta
chọn n
0
=0 hoặc 1)
Bớc 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k
Bớc 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1
Bớc 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi
2- Kiến thức cần vân dụng :
Các tình chất của Bất đẳng thức :

Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức .
3 Bài tập mẫu :
Bài 1 : Chứng minh rằng :
a) [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
b)

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Bài Làm :

a) +) Với n =1 ta có (a+b):2

(a+b):2 đúng
+) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]
k


(a
k
+b
k
):2
+) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là :
[(a+b):2]
K+1


(a
k+1
+b
k+1
):2 Thật vậy:
xét [(a+b):2]
K+1
=[(a+b):2]
K
[(a+b):2]

[(a
k

+b
k
):2][ (a+b):2]
Ta chứng minh
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
(a
k
+b
k
) (a+b)

2(a
k+1
+b
k+1
)

a
k+1
+b
k+1
+a
k
b+ab
k

2(a
k+1
+b
k+1

)

a
k+1
+b
k+1
-a
k b
b - ab
k

0

(a-b)( a
k
- b
k
)

0 *
Nếu a,b

0 thì * đúng .
Nếu a

0

b

a-b

0
mà a+b

0 (gt)

a

-b

a


b


a
k


b
k
a
k
- b
k


0

* đúng
Chứng minh tơng tự cho trờng hợp a

0

b ta đợc * đúng
Do a+b

0 nên a, b không cùng <0 .
Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài .
+) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]
n


(a
n
+b
n
):2 với a+b

0 và N

n
đợc chứng minh .
b) + Với

1 Bất đẳng thức trở thành
a
<
2

141 ++ a


2
a
<
141 ++ a

Ta có :
141 ++ a
>1 +2
a
>2
a
đúng

a
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là :


dauk
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a

a

0
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với

k+1 tức là

dauk
aaa
),1(

++
+++
<
2
141 ++ a
a

0
Đặt x
n
=

daun
aaa
,

+++

x
k
=

dauk
aaa
,

+++
x
k+1
=

dauk
aaa
),1(

++
+++
=
k
xa
+

Ta chứng minh
k
xa
+
<
2

141 ++ a
a

0

(
k
xa
+
)
2
< (
2
141 ++ a
)
2

a+x
k
<
4
14242 +++ aa


4x
k
<2=
142 +a

x
k
<
2
141 ++ a

Đúng do giả thiết quy nạp

Bất đẳng thức đúng với n = k+1 .
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
+ Vậy

daun
aaa
,

+++
<
2
141 ++ a
a

0
Bài 2 : cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnh huyền
của tam giác đó chứng minh rằng :
b
2n
+a
2n

c
2n
Giải : + Với

1 theo định lí Pithago ta có b
2
+a
2
= c
2
Bất đẳng thức đúng .
+ Giả sử Bất đẳng thức đúng với

k tức là b
2k
+a
2k


c
2k
+Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)

Thật vậy : Ta có c
2(k+1)
= c
2k+2
=c
2k
. c
2


(a
2k
+b
2k
)(a
2
+b
2
) =a
2k+2
+ a
2k
.b
2
+b
2k
a
2
+b
2k+2

a
2k+2
+ b
2k+2


b
2(k+1)
+a
2(k+1)


c
2(k+1)
(đfcm)
Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông , c là độ dài cậnh huyền
của tam giác đó ta có ;b
2n
+a
2n


c
2n
Bài 3 cho m,n là các số nguyên dơng . Chứng minh rằng trong các số
n
m
,
m

n

có ít nhất một số không vợt quá
3
3
Giải : Trớc hết ta chứng minh 3
n


n
3
*

n , Z
+


n bằng quy nạp .
+ Với n =1 : ta có 3

1 * đúng
+ Với n =2 : ta có 9

8 * đúng
+ Với n =3 : ta có 27

27 * đúng
+ Với n = 4: ta có 81

64 * đúng

Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k

4 tức là 3
k


k
3
Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3
k+1


(k+1)
3
Thật vậy : Ta có 3
k+1
= 3. 3
k


3 k
3
=k
3
+3k
2
+ 3k +1 +k
3
-3k
2

+k
3
3k 1 =
=(k+1)
3
+k
2
(k-3) +k(k
2
-3) 1 > (k+1)
3
do k

4 nên k
2
(k-3) +k(k
2
-3) >1

3
k+1
> (k+1)
3


Bất đẳng thức * đúng với n = k+1
Vậy 3
n

n
3


n , Z
+


n


n
n
3
3



n
n
3
3



3
3

n
n


n , Z
+


n
- Với m là số tự nhiên
- Nếu m

n


n
m



n
n



n
m

3
3
- Nếu m

n


m
m



m
n



m
n



3
3
Vậy với m,n là các số nguyên dơng trong các số
n
m
,
m
n

có ít nhất một số
không vợt quá
3
3
.
4- Bài tập áp dụng :
Bài 1 : a) Chứng minh rằng với n

3 ta có 2
n
>2n +1
b) Chứng minh 1.2.3 .n < 2
-n
. (n+1

)n
c)

n

1 , Chứng minh :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
d) 1+
212
1

3
1
2
1

++++ n
n
Bài 2 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau :
a) 2
n+2
>2n+5

n

1 , N

n
b) [(n+1)!]
n


2!.4! .(2n)!

n , N
*


n
c) (2n)! < 2
2n
(n!)
2


n , N

*


n
VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác :
1- Nội dùng phơng pháp
Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên
khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của Bất đẳng
thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học đặc biệt là Bất
đẳng thức trong tam giác .
2- Các kiến thức cần vận dụng :
Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì ta có
- a,b,c >0
- /a-c/ < b <a+c ; /b-c/ < a <b+c và /c-a/ < b < a+c
- Một số quan hệ khác trong tam giác :
3- Bài tập mẫu :
Bài 1 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng
(a+b+c)
2


9bc . Biết a

b

c
Giải : Ta có a+b+c

2b+c do a

b Ta đi chứng minh (2b+c)
2


9bc (1)
(1)

4b
2
+ 4 bc + c
2

9bc

4b
2
- 5 bc + c
2

0

4b
2
4bc bc+ c
2


0

4b(b-c) c(b-c)

0

( b-c)(4b-c)

0 (2)
ta thấy b

c

b-c

0 và 4b-c

a+b-c +2b

0

(2) đúng
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh .
Bài 2 : cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng :
a
2
+b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca)
Giải : Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có :

0<a<b+c

a
2
< ab + ac tơng tự ta có b
2
< ba+bc và c
2
< ca +cb
Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta đợc :
a
2
+ b
2
+c
2
< 2 (ab+bc+ca) (Đfcm)
Bài 3 : Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3
Giải : a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3

a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
- a
3
- b
3
- c
3
> 0

a[(b-c)
2
- a
2
] + b[(c-a)
2
b
2
] + c[(a-b)
2
c
2
] > 0


a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0

( a+b-c)( ab-ac-a
2
-bc-b
2
+ab+ac+bc+c
2
) >0

(a+b-c)(c
2
a

2
- b
2
+2ab) > 0

(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) > .0 đúng
do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có :
a(b-c)
2
+ b(c-a)
2
c(a-b )
2
> a
3
+ b
3
+

c
3
4- Bài tập áp dụng :
Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
a
2
(b+c)+ b
2
(+-a) +c

2
(a+b ) >2abc + a
3
+ b
3
+

c
3
Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
a
2
(b+c)+ b
2
(c+a) +c
2
(a+b ) < 3abc + a
3
+ b
3
+

c
3
bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng :
2a
2
b
2
+2b

2
c
2
+ 2a
2
c
2
-a
4
b
4
c
4
> 0
VII Ph ơng pháp7
Phơng pháp làm trội :
1- Nội dung phơng pháp :
Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đa một vế của Bất đẳng thức về dạng tính
đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến
Tổng S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=(a
1
a

2
) + (a
2
-a
3
) +( a
3
a
4
)+ .+(a
n
-a
n+1
)
Tich T= u
1
. u
2
. u
n
=
132
21


+
n
n
aaa
aaa

2- Kiến thức cần vận dụng :
Các tính chất của Bất đẳng thức .
Kỹ năng biến đổi tơng đơng
3- Bài tập mẫu :
Bài 1 cho các số tự nhiên phân biệt u
1
, u
2
, ., u
n
khác >1
Chứng minh rằng : (1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
) .> 0,5
Giải : không mất tính tổng quát giả sử 2

u

1
< u
2
< .< u
n


u
i
> i +1
( Do các u
i
phân biệt )


(1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1

) > (1-
2
2
1
)(1-
2
3
1
) (1-
2
)1(
1
+n
)
=(1-
2
1
)(1-
3
1
) (1-
)1(
1
+n
)(1+
2
1
)(1+
3
1

) (1+
)1(
1
+n
)
=
)1 (4.3.2
3.2.1
+n
n
.
)1 (4.3.2
)2 (34
+
+
n
n
=
)1.(2
)2(
+
+
n
n
=
)1(2
1
2
1
+

+
n
>0,5
Vậy (1-
1
2
1
u
)(1-
2
2
1
u
) (1-
n
u
2
1
) .> 0,5
Nhận xét ở đây ta thay các u
i
bởi các i+1 để đợc giá tri nhỏ hơn VT
vì u
i
> i +1
Bài 2 Chứng minh rằng

n tự nhiên ta có
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1

n
n
<
12
1
+n
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Giải : ta có
)2(
)12(
n
n
=
2
2
)2(
)12(
n
n +


1)2(
)12(
2
2

+
n
n
=

12
12

+
n
n
Lần lợt thay n= 1,2,3, rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta đ ợc :
)2 (8.6.4.2
)12 (7.5.3.1
n
n
<
12
1
+n
(Đfcm)
Bài 3 Cho h
n
=1+
3
1
+
5
1
+ .+
12
1
n
Chứng minh rằng

n là các số nguyên dơng ta có
1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 2
Giải :

n là các số nguyên dơng ta có
=

2

)12(
1
k
hn
kk
h
n
hk )
12
1
)(12(
1
1

+

<
1
1
k
h
-
k
h
1
(Do h
k
= h
k-1
+

12
1
n
)

1
2
1
h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+ (
1
1

h
-
2
1
h
) +(
2
1
h
-
3
1
h
)+ +(
1
1
k
h
-
k
h
1
)

1
2
1
h
+
2

2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
-
1
1
k
h


1
2
1

h
+
2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 1+
1
1
h
=2
Vậy
1
2
1
h
+

2
2
3
1
h
+
3
2
5
1
h
+ .+
2
)12(
1
n
hn
< 2 (đfcm)
Bài 4 Chứng minh rằng :
2
1
1
n
+
+
2
)1(
1
1
+

+
n
+ +
2
)(
1
1
kn +
+
<
n
nkn 1++
Giải : Trớc tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mãn x+y+z =0 ta có:
222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
* Thật vậy :
Xét (
zyx
111
++
)
2
=
2

1
x
+
2
1
y
+
2
1
z
+2(
xy
1
+
xz
1
+
zy
1
)
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
=
2
1
x
+
2
1
y
+

2
1
z
+2(
xy
zyx ++
)=
2
1
x
+
2
1
y
+
2
1
z

222
111
zyx
++
=
zyx
111
++
áp dụng * với x=1 , y=n , z= -(n+1)
Ta có
2

1
1
n
+
<
22
)1(
11
1
+
++
nn
=1+
n
1
-
1
1
+n

2
1
1
n
+
+
2
)1(
1
1

+
+
n
+ +
2
)(
1
1
kn +
+
<1+
n
1
-
1
1
+n
+1 +
1
1
+n
-
2
1
+n
+ +1 +
kn +
1
-
1

1
++ kn
=k+1+
n
1
-
1
1
++ kn
< k+1+
n
1
=
n
nkn 1++
4 Bài tập áp dụng :
Bài 1 Chứng minh rằng : a)
10
1
+
11
1
+ .+
100
1
>1
Tổng quát b)
n
1
+

1
1
+n
+ .+
2
1
n
>1 n nguyên dơng
Bài 2 Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng :
.a)
1
)1((
1

3.2
1
2.1
1
<
+
+++
nn
.b) 1+
nn
1
2
1

3
1

2
1
222
<+++
Bài 3 Chứng minh
2
1

2
11
2
2
2
1
2
<+++
n
na
aa
trong đó N
*

, n a
k
=
k
1

3
1

2
1
+++
Bài 4 : Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có:
4
31

2
1
1
1
2
1
<
+
++
+
+
+
<
nnnn
VIII- Ph ơng pháp 8
Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
1 _ Kiến thức cơ bản
Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b

0 :
ab

ba

+
2
Dấu "=" xảy ra khi a=b
- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a
1 ,
a
2
, , a
n

n
aaa
n
+++
21



n
aaa
21
Dấu "=" xảy ra khi a
1
=

a
2
= = a

n
2- Bài tập mẫu :
Bài 1 Cho n số dơng a
1 ,,
a
2
, , a
n
và a
1 ,
a
2
. a
n
=1
Chứng minh rằng : (1+ a
1
)
,
(1+a
2
). (1+a
n
)

2
n
Giải : áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và a
i
, i=1,2,3 ,n

ta đợc
(1+a
1
)

2
1
a
, (1+a
2
)

2
2
a
, .,(1+a
n
)

2
n
a
Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta đợc :
(1+ a
1
)
,
(1+a
2

). (1+a
n
)

2
1
a
.2
2
a
.2
n
a

(1+ a
1
)
,
(1+a
2
). (1+a
n
)

2
n
do a
1 ,
a
2

. a
n
=1
Dấu "=" xảy ra khi 1= a
1
,1=a
2
,. ,1=a
n
.

a
1
= a
2
= =a
n
=1
Bài 2 Cho a,b

0 chứng minh rằng 3a
3
+72 b
3


18 ab
2
Giải : Do a,b

0

3a
3
, 9b
3
, 8b
3

0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a
3
, 9b
3
, 8b
3
Ta đợc 3a
3
+ 9b
3
+8b
3


3
3
333
893a bb
= 18ab
2

Dấu "=" xảy ra khi 3a
3
= 9b
3
= 8b
3


a=b=0

Bài 3 :Cho a>b >0 Chứng minh rằng a +
)(
1
bab


3
Giải Ta thấy a = b +( a-b ) do a>b

a-b >0 .
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b , a-b,
)(
1
bab
ta đợc :
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
a +
)(
1

bab
=b+(a-b) +
)(
1
bab


3 3
b)-b(a
1
b)-b(a
=3
Vậy a>b >0 ta có a +
)(
1
bab


3 Dấu "=" xảy ra khi b=a-b=
)(
1
bab

b= 0,5 a =
)(
1
bab


a=2 và b=1

Bài 3 :Cho a,b

0 p,q là các số hữu tỷ dơng thoả mãn
p
1
+
q
1
=1
Chứng minh rằng :
q
b
p
a
qp
+


ab .*
Giải : Do p,q là các số hữu tỉ nên
p
1
,
q
1
cũng là các số hữu tỉ , do đó từ giả thiết
tồn tại các số tự nhiên m,n,k sao cho
p
1
=

k
m
,
q
1
=
k
n
và m+

1
Khi đó *


k
m
m
k
a
+
k
n
n
k
b


ab
Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có
k

m
m
k
a
+
k
n
n
k
b
= (
m
k
a
+
m
k
a
+ .+
m
k
a
+
n
k
b
+
n
k
b

+ +
n
k
b
) :k

k
n
k
n
k
m
k
m
k
bbaa
= ab
Vậy


k
m
m
k
a
+
k
n
n
k

b

ab Dấu "=" xảy ra khi
m
k
a
=
n
k
b


nm
ba =
Bài 4: Cho các số a
1
, a
2
, ., a
n
thoả mãn điều kiện :
0< a

a
i


b với i = 1 , 2 , . ., n Chứng minh rằng :
(a
1

+a
2
+ +a
n
) (
n
aaa
1

11
21
+++
)


ab
ban
2
)(
222
+
Giải : Theo giả thiết ta có 0<a



a
i


b

a
i
2
(a+b) a
i
+ab

0 với i=1,2 . ,n

a
i
2
+ab

(a+b) a
i


a
i
+
i
a
ab


a+b do a
i
>0 với i=1,2 . ,n

Lần lợt cho i =1,2,3, ,n rồi cộng các vế lại với nhau ta đ ợc
(a
1
+a
2
+ +a
n
) + (
n
a
ab
a
ab
a
ab
+++
21
)

n(a+b) (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số ta đợc
(a
1
+a
2
+ +a
n
) + (
n
a

ab
a
ab
a
ab
+++
21
)

2[(a
1
+a
2
+ +a
n
) (
n
a
ab
a
ab
a
ab
+++
21
)]
2
1
(2)
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs

Từ (1) và (2)

2[(a
1
+a
2
+ +a
n
) (
n
a
ab
a
ab
a
ab
+++
21
)]
2
1

n(a+b)

4[(a
1
+a
2
+ +a
n

) (
n
a
ab
a
ab
a
ab
+++
21
)]

n
2
(a+b)
2


(a
1
+a
2
+ +a
n
) (
n
aaa
1

11

21
+++
)

ab
ban
4
)(
222
+



ab
ban
2
)(
222
+


(a
1
+a
2
+ +a
n
) (
n
aaa

1

11
21
+++
)


ab
ban
2
)(
222
+
( đpcm)
3-Bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho a,b,c >0 và a+b+c =1 .
Chứng minh (1+a
-1
)(1+b
-1
)(1+c
-1
)

64
Bài 2: Cho a,b,e,c,d >0 và a+b+c +d+ e=1 .
Chứng minh (-1+a
-1
)(-1+b

-1
)(-1+c
-1
)(-1+d
-1
)(-1+e
-1
)

1024
Bài 3 : Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh của tam giác
Chứng minh rằng :
8
1

+

+
+

+
+

ac
ac
cb
cb
ba
ba
Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích là S . Gọi E là giao điểm của

hai đờng chéo . Chứng minh rằng S
ABE


0,25 S
IX- Ph ơng pháp 9
Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxky
Cho 2n số a
1
, a
2
, , a
n
; b
1
, b
2
, ,b
n
ta luôn có
(a
1
b
1
+a
2
b
2
+ .a
n

b
n
)
2

(a
2

1
+ a
2
2
+ +a
2
n
). (b
2
1
+ b
2
2
+ +b
2
n
)
Dấu "=" xảy ra khi
1
1
b
a

=
2
2
b
a
= =
n
n
b
a
Bài tập mẫu :
Bài 1 Cho ba số x,y,z thoả mãn : .x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)

4
3
Chứng minh rằng x+y+z

4
Giải : áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky cho 6 số 1,1,1,x,y,z ta đợc :
(x+y+z)
2


(1+1+1) (x
2
+y
2
+z
2
) =3(x

2
+y
2
+z
2
) (1)
ta có x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)

4
3


(x
2
+y
2
+z
2
)-(x+y+z)

4
3
(2)
Từ (1) và (2) Ta có
3
1
(x+y+z)
2
-(x+y+z)

4
3
Đặt S = x+y+z ta có
3
1
S
2
-S

4
3


(S+1)(S-4) = 0

-1

S

4 Vậy x+y+z

4
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z =
3
4
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
Bài 2 Chứng minh rằng nếu phơng trình :
x
4
+ ax

3
+ bx
2
+ ax +1=0 có nghiệm thì a
2
+ (b-2)
2
>3
Giả sử x= t là nghiệm của phơng trình ta có : t# 0 vì 0 không là nghiệm của phơng
trình . và t
4
+ at
3
+ bt
2
+ at +1 =0

t
2
+
2
1
t
+a(t+
t
1
) +b = 0 (1)
Đặt T = (t+
t
1

)

T
2
= t
2
+
2
1
t
+2

4 do t
2
+
2
1
t


2
khi đó (1) Trở thành T
2
+aT +b 2=0

T
2
=-(aT +b 2)
áp dụng Bất đẳng thức Bu nhiacoxky ta có :
T

4
=(aT +b 2)
2

[a
2
+ (b-2)
2
] (T
2
+1)

a
2
+ (b-2)
2


1
2
4
+T
T
=T
2
-1+
1
1
2
+T

> 4-1 =3
Vậy a
2
+ (b-2)
2
> 3 (đfcm)
Bài Tập áp dụng :
A ) Cho a,b,c >0 và p=(a+b+c):2 Chứng minh rằng :
pbpcpapp 3++<
b-Cho n số bất kỳ a
1 ,
a
2
, , a
n
, Chứng minh rằng :
(a
1
+ a
2
+ + a
n
)
2


n(a
2
1
+ a

2
2
+ + a
2
n
)
c- Cho a,b,c Khác 0 chứng minh rằng :
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2
2
2
d- Cho a,b,c là dộ dài ba cạnh trong một tam giác hãy chứng minh rằng :
a(2b+2c-a)
-1
+b(2a+2c-b)

-1
+ c(2a+2b-c)
-1

1
e- Cho ax- by

m Chứng minh rằng ax
2
+by
2


m
2
: (a+b)
.f- giả sử Phơng trình x
2
+ ax + b =0 có nghiệm x = t .
Chứng minh rằng t<1+a
2
+b
2
X Ph ơng pháp 10
Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
1- Kiến thức cần vận dụng :
- Định lý về dấu của tam thức bậc hai :
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2

+bx +c (a khác 0 )
a)Nếu

= b
2
-4ac <0 thì a.f(x) >0

x R

x
c) Nếu

=0 Thì a.f(x)

0 ,

x R

x Dấu "=" xảy ra khi x=-b:2a
d) Nếu



0 thì f(x) có 2 nghiệm x
1 ,
x
2
ta có
x .x
1

x
2
af(x) - 0 + 0 -
-Nếu tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+bx +c (a khác 0 )
tồn tai số t sao cho a.f(t) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
< t < x
2
-Nếu tồn tại t,k sao ch f(t)f(k) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x
1
, x
2
và trong hai
số t,k có môt số nằm trong và một số nằm ngoài hai nghiệm .
2- Bài tập mẫu :
a- Dạng thứ nhất :
Để chứng minh ax
2
+ bx+ c

0 ta đi chứng minh a >0 và


0
Bài 1 :a Chứng minh rằng : x
2
y
4

+2(x
2
+2)y
2
+4xy +x
2

4xy
3
b) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

a (b + c + d + e )
Giải : a Ta có x
2
y
4
+2(x
2
+2)y
2
+4xy +x

2
- 4xy
3

0
Biển đổi tơng đơng ta đợc :
x
2
y
4
+2(x
2
+2)y
2
+4xy +x
2
- 4xy
3

0

(y
2
+1)
2
. x
2
+ 4y (1-y
2
).x +4y

2

0
Ta thấy (y
2
+1)
2
. x
2
+ 4y (1-y
2
).x +4y
2
là tam thức bạc hai đối với biến x vì
a= (y
2
+1)
2
>0 Xét

=[2 (1-y
2
)]
2
-(y
2
+1)
2
.4y
2

= -16 .y
2


0

y

x
2
y
4
+2(x
2
+2)y
2
+4xy +x
2
- 4xy
3

0 đúng

x,y

x
2
y
4
+2(x

2
+2)y
2
+4xy +x
2
- 4xy
3

0

Vậy x
2
y
4
+2(x
2
+2)y
2
+4xy +x
2


4xy
3
b ) a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2
+ e
2

a (b + c + d + e )


a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
- a (b + c + d + e )

0

Ta coi a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

+ e
2
- a (b + c + d + e ) là tam thức bậc hai đối với
biến a Ta có a=1 > 0

=(b + c + d + e )
2
-4 (b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
)
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc :



(1+1+1+1)(b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

) - 4 (b

2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
) =0 đúng

b,c,d,e


a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2
- a (b + c + d + e )

0

a, b,c,d,e

Vậy : a
2

+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ e
2

a (b + c + d + e )
Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2
b- Dạng thứ hai : Để chứng minh b
2
-4ac = 0 ta chứng minh a.f(x)

0
Trong đó f(x) =ax
2
+bx +c (a khác 0 )
Bài 2 :Cho 1 ,= x

0,5 ;và
3
2
6
5
<<

y
Chứng minh rằng x

2
+3xy +1 >0
Giải : Đặt f(x) = x
2
+3xy +1 ta có

= 9y
2
- 4 = (3y-2)(3y+2)
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs




< 0


3
2
3
2
<<

y


3
2
6
4

<<

y

Theo bài ra ta có :
3
2
6
5
<<

y




< 0

x
2
+3xy +1 >0
Bài 3 : Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện : x+y+z=xyz và x
2
=xy
Chứng minh rằng x
2


3
Giải : Theo bài ra ta có x+y+z=xyz và x

2
=xy

x+y+z = x
3


y+z =x(x
2
1)
Và yz =x
2


y,z là nghiệm của phơng trình t
2
+(x-x
3
) t + x
2
=0 (1)
Xét

=(x-x
3
)
2
-4x
2
=x

2
[(x
2
-1)
2
-4]

0 do (1) có nghiệm

(x
2
-1)
2
-4

0

(x
2
+1)(x
2
-3)

0 do (x
2
+1)

0

x

2

3
3-Bài tập áp dụng :
1/ Cho các số thực x,y,z thoả man điều kiện x+y+z =5 và xy+xz+yz =8
Chứng minh rằng ;1

x,y,z


3
7
2/ Giả sử x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình : x
2
+k.x + a =0 (a khác 0) .tìm tất cả
các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau : (x
1
:x
2
)
3
+(x
2
: x
1
)

3

52
3/ Giả sử x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình : x
2
+2k.x + 4 =0 (a khác 0) .tìm tất cả
các giá trị của k để có Bất đẳng thức sau : (x
1
:x
2
)
2
+(x
2
: x
1
)
2

3
XI- Ph ơng pháp 11
Phơng Pháp hình học :
1- Kiến thứ c cần vận dụng :
- Bất đẳng thức trong tam giác :
- Với ba điểm bất kỳ A,B,C ta luôn có AB +BC

CA
Dấu "=" xảy ra khi B nằm giã A và C
- Tổng quát : Cho n điểm bất khì A
1
,A
2
, .,A
n
ta luôn có
A
1
A
2
+A
2
A
3
+ + A
n-1
A
n


A
1
A
n

Dấu "=" xảy ra khi xảy ra khi các A
i

i=1,2, .,n-1 liên tiếp nằm giữa A
1
,A
n
2- Bài tập mẫu:
Bài 1 : Chứng minh rằng

a,b ta có
1)3(1)(4
222
+++++ bbaa


5
Giải
Trên mặt phẳng toạ độ lấy các điểm : A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3)
Khi đó ta có : AB=
1)3(,1)(,4
222
+=+=+ bCDbaBCa
,
AD=
22
)13()03( ++
=5 mà ta luôn có AB+BC+CD

AD
Vậy
1)3(1)(4
222

+++++ bbaa


5
Dấu "=" xảy ra khi B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó.
Bài 2 :Cho 0 < a,b,c

1 chứng minh a+b+c

1+ab +bc +ca
Giải :
Xét tam giác đều ABC Gọi M,N,P lần lợt
Sử dụng bất đẳng thức trong giải toán thcs
là các điểm trên AB,AC,BC sao cho AM=a BP =b và CN =c
Khi đó diện tích của tam giác AMN là
S
AMN
= 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60
o
=
4
3
a(1-c)
Tơng tự ta có S
BMP

=
4
3
b(1-a) và S

CNP
=
4
3
c(1-b)
Mặt khác ta có S
AMN
+S
BMP
+S
CNP


S =0,5.AB .AC Sin 60
o
=
4
3

4
3
a(1-c)+
4
3
b(1-a)+
4
3
c(1-b)

4
3


a (1-c)+ b (1-a)+ c (1-b)

1

a+b+c

1+ab +bc +ca
Bài 3 : Cho x,y,z,t là các số dơng hãy chứng minh rằng :
22
zx +
.
22
zy +
+
22
ty +
.
22
zx +


(x+y)(z+t)
Giải : Vì x,y,z,t là các số dơng nên luôn tồn tại
tứ giác ABCD có AC vuông góc với BD tại O
và OA=x , OC=y , OB =z , OD =t
khi đó ta có AB=

22
zx +
, BC=
22
zy +

CD=
22
ty +
, DA=
22
zx +
S
ABC
= 0,5 .AB .h

0,5 AB.BC
S
ACD
= 0,5 AD .l

0,5 .AD.DC
Ta có S
ABCD
=S
ABC
+S
ACD

0,5 (AB.BC +AC.D C)


S
ABCD


0,5 (AB.BC +AC.D C)

0,5(x+y)(z+t)

0,5 (
22
zx +
.
22
zy +
+
22
ty +
.
22
zx +
)

22
zx +
.
22
zy +

+
22
ty +
.
22
zx +


(x+y)(z+t) (đpcm)
3- Bài tập áp dụng :
1/ Chứng minh rằng :
106346
22
++ xxxx


4
2/Cho a,b ,c là đô dài ba cạnh của một tam giác a,b,c là ba chiều cao tơng
ứng chứng minh rằng : (a+b+c)
2
: (a
2
+b
2
+c
2
)

4
3/Cho x,y thoả mãn điều kiện 2x+y

2 , 2x-y

2 và x+4

2y
Tìm giá trị nhỏ nhất của x
2
+y
2
.
4/ Cho a

b

c>0 chứng minh rằng :
abcbcbac + )()(
5/ Cho a,b,c >0 chứng minh rằng :
2222
cbca +++


= (a+b).c
6/ Tìm giá trị nhỏ nhất của
11
22
++++ xxxx
Trên đây là một số phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức mặc dù cha đợc
đầy đủ .Nhng chúng ta đã biết trong chơng trình toán cấp II học sinh cha đợc học