Đề thi Olympic 30/4 môn Toán lop10 năm 2011

ĐỀ OLYMPIC 30 THÁNG 4 MÔN TOÁN 10
LẦN THỨ 17
NĂM 2011 TẠI CẦN THƠ
Câu 1 Giải phương trình sau trên tập số thực:
3 2
3
15 78 141 5 2 9x x x x− + − = −
Câu 2 Cho số nguyên dương n và các số d
1
< d
2
< d
3
< d
4
là bốn ước
nguyên dương nhỏ nhất của n. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho:
2 2 2 2
1 2 3 4
n d d d d= + + +
Câu 3 Trong mặt phẳng cho góc xOy và hai điểm
;A Ox B Oy∈ ∈
sao cho
tam giác OAB cân tại O. Gọi là một đường thẳng di động không đi qua O
nhưng luôn đi qua trung điểm I của đoạn AB, đường thẳng cắt Ox, Oy lần
lượt tại C và D. Gọi M là trung điểm của CD, gọi N là giao điểm của OM với
AB, gọi H là hình chiếu của N trên CD. Khi đường thẳng di động, hãy tìm
quỹ tích của điểm H.
Câu 4 Cho a, b, c là ba số không âm và thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
4 9 14a b c+ + =

. Chứng minh rằng:
3 8 12b c abc+ + ≤
Câu 5 Chứng minh rằng từ 2011 số nguyên dương bất kì luôn có thể chọn ra
2 số mà tổng hoặc hiệu của nó chia hết cho 4018.
Câu 6 Cho elip
2 2
( ) : 1
8 4
x y
E + =
và đường thẳng
: 2. 2 4 0x y∆ − + =
. Gọi B,
C là giao điểm của với (E) sao cho
B C
y y<
. Gọi A là điểm thuộc (E) sao
cho khoảng cách từ A tới là lớn nhất. Tìm điểm M thuộc (E) để khoảng cách
từ M tới đường thẳng AB là lớn nhất.
Hết