Đê thi Olympic 30/4 môn Toán lớp 11 năm 2011

ĐỀ OLYMPIC 30 THÁNG 4 MÔN TOÁN 11
LẦN THỨ 17
NĂM 2011 TẠI CẦN THƠ
Câu 1: (3đ)
Giải pt sau trên tập số thực
2 3 3 2
1 1 (1 ) (1 ) 2 1x x x x
 
+ − + − − = + −
 
Câu 2: (4đ)
Cho p là số nguyên tố lẻ. Cm rằng không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn hệ
thức
[ ]
( 1)!
p
p p
x y p p+ = −
Câu 3: (3đ)
Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một
hợp với nhau một góc
α
, cắt mặt cầu tại các điểm A,B,C (khác S) sao cho
SA = SB = SC. Xác định
α
để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất
Câu 4: (3đ)
Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là
trọng tâm của tam giác ABC và
0 0 0
, ,A B C

lần lượt là hình chiếu của G lên BC,
CA, AB. Các đường thẳng qua A,B,C lân 2lượt vuông góc với GA,GB,GC và đôi
một cắt nhau tại
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , ( ; ; )A B C A B C B AC C A B∈ ∈ ∈
. Gọi S
0
, S
1
lần lượt là
diện tích các tam giác
0 0 0 1 1 1
;A B C A B C
.
CMR:
0 1
32 27
27 16
S S≤ ≤
Câu 5 (3đ)
Cho dãy số (x
n
) xác định bởi
2
1 2 3 1
1
2
1 4 9 ( 1)
;
4 ( 1)

n
n
x x x n x
x x
n n
−
+ + + + −
= =
−
với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1. Tìm
2
lim (30 4 2011)
n
n
n n x
→+∞
− +
Câu 6: (4đ)
Tìm tất cả các hàm số
:[1;+ ) [1;+ )f ∞ → ∞
thỏa mãn điều kiện
( ( )) (x); x,y [1;+ )f xf y yf= ∀ ∈ ∞
Hết