ÁP DỤNG LÝ THUYẾT PHÂN TÍCH KHOẢNG XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA HỆ KẾT CẤU CÓ MỘT BẬC TỰ DO

i
f






BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG

2011
ÁP DỤNG LÝ THUYẾT
PHÂN TÍCH KHOẢNG
XÁC ĐỊNH PHẢN ỨNG ĐỘNG
CỦA HỆ KẾT CẤU
CÓ MỘT BẬC TỰ DO

KS. PHÙNG QUYẾT THẮNG


KHOA XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

B
B
Ộ
Ộ


G
G

I
I
Á
Á
O
O


D
D
Ụ
Ụ
C
C


V
V
À
À


Đ
Đ
À
À
O
O

T
T
Ạ
Ạ
O
O


T
T
R
R
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G


Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I

H
H
Ọ
Ọ
C
C


X
X
Â
Â
Y
Y


D
D
Ự
Ự
N
N
G
G


------------------------------------------

K
K
S
S
.
.


P
P
H
H
Ù
Ù
N
N
G
G


Q
Q
U
U
Y
Y
Ế

Ế
T
T


T
T
H
H
Ắ
Ắ
N
N
G
G




Á
Á
P
P


D
D
Ụ
Ụ
N

N
G
G




L
L
Ý
Ý


T
T
H
H
U
U
Y
Y
Ế
Ế
T
T


P
P
H

H
Â
Â
N
N


T
T
Í
Í
C
C
H
H


K
K
H
H
O
O
Ả
Ả
N
N
G
G

X
X
Á
Á
C
C


Đ
Đ
Ị
Ị
N
N
H
H


P
P
H
H
Ả
Ả
N
N


Ứ

Ứ
N
N
G
G


Đ
Đ
Ộ
Ộ
N
N
G
G




C
C
Ủ
Ủ
A
A


H
H
Ệ

Ệ


K
K
Ế
Ế
T
T


C
C
Ấ
Ấ
U
U


C
C
Ó
Ó


M
M
Ộ
Ộ
T

T


B
B
Ậ
Ậ
C
C


T
T
Ự
Ự


D
D
O
O








L

L
U
U
Ậ
Ậ
N
N


V
V
Ă
Ă
N
N


T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C


S
S
Ỹ

Ỹ


K
K
Ỹ
Ỹ


T
T
H
H
U
U
Ậ
Ậ
T
T




C
C
h
h
u
u
y

y
ê
ê
n
n


n
n
g
g
à
à
n
n
h
h
:
:


X
X
â
â
y
y


d

d
ự
ự
n
n
g
g


c
c
ô
ô
n
n
g
g


t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

D
D
â
â
n
n


d
d
ụ
ụ
n
n
g
g


v
v
à
à


C
C
ô
ô
n

n
g
g


n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
p
p


M
M
ã
ã


s
s
ố
ố
:

:


6
6
0
0
.
.
5
5
8
8
.
.
2
2
0
0




N
N
G
G
Ư
Ư
Ờ

Ờ
I
I


H
H
Ư
Ư
Ớ
Ớ
N
N
G
G


D
D
Ẫ
Ẫ
N
N


K
K
H
H
O

O
A
A


H
H
Ọ
Ọ
C
C


T
T
S
S
.
.


N
N
G
G
U
U
Y
Y
Ễ

Ễ
N
N


X
X
U
U
Â
Â
N
N


T
T
H
H
À
À
N
N
H
H

H
H
À
À


N
N
Ộ
Ộ
I
I


1
1
0
0
/
/
2
2
0
0
1

1
1
1



LỜI NÓI ĐẦU

Khi phân tích kết cấu, ta hay gặp các số liệu về vật liệu, hình học, liên kết, tải
trọng... là những đại lượng không chắc chắn. Những số liệu này ảnh hưởng trực tiếp
đến các thông số ban đầu của hệ kết cấu trong bài toán động lực học bao gồm các
tham số đặc trưng (độ cứng, độ cản, khối lượng) và điều kiện ban đầu cho trước. Vì
vậy, phản ứng của hệ (chuyển vị, vận tốc, gia tốc, ...) cũng là các giá trị không chắc
chắn.
Mặc dù mô hình xác suất và thống kê được xây dựng khá đầy đủ và rõ ràng
nhưng trong trường hợp số liệu không đủ, không rõ ràng, không được phân loại...
thì người ta phải chuyển sang sử dụng các mô hình phi xác suất. Đó là lý thuyết tập
mờ, phương pháp phân tích khoảng, mô hình lồi, lý thuyết nhân chứng... được xem
là phù hợp hơn để mô hình hóa các yếu tố không chắc chắn kể trên. Với lý do này,
đề tài có tên là “Áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản ứng động của hệ
kết cấu có một bậc tự do”.
Ý tưởng ban đầu của đề tài là khá rõ ràng nhưng trong quá trình triển khai
thực hiện, chúng tôi thấy rằng vấn đề đặt ra không đơn giản như ý tưởng ban đầu
bởi đề tài liên quan nhiều đến kiến thức toán và kỹ năng lập trình. Đây có thể xem
là một dạng kiến thức tổng hợp liên quan đến nhiều lĩnh vực của toán học, tin học
và động lực học kết cấu công trình. Bởi hệ kết cấu trong thực tế khá đa dạng, phụ
thuộc nhiều yếu tố như loại kết cấu gì (bê tông hay thép), ở trạng thái nào (đàn hồi
hay ngoài đàn hồi), có tính chất ra sao (tuyến tính hay phi tuyến) và đặc trưng của
ngoại lực tác động lên kết cấu (phân bố, điều hòa, ngẫu nhiên,...). Ngoài ra, các tài
liệu liên quan hầu hết bằng tiếng Anh cũng gây trở ngại không nhỏ và đôi chỗ nhầm

lẫn khiến chúng tôi mất khá nhiều công sức và thời gian trong suốt thời gian qua.
Nhìn lại cả quá trình thực hiện đề tài, nhiều thời điểm tác giả cảm thấy khá bế
tắc bởi nội dung nghiên cứu tương đối trừu tượng, không biết đâu là con đường
cuối cùng để hướng tới. Dù kết quả trong luận văn chưa đạt được kỳ vọng như ban
đầu (tất cả nghiệm của mô hình Taylor bao ngoài nghiệm của Monte-Carlo) nhưng
đây là sự cố gắng nỗ lực không biết mệt mỏi của chúng tôi trong suốt thời gian qua.
Qua luận văn, chúng tôi mong muốn giới thiệu lý thuyết phân tích khoảng ứng
dụng phương pháp mô hình Taylor đến các bạn có quan tâm dù biết rằng kiến thức
của mình còn hạn chế. Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong nhận
được ý kiến đóng góp của các bạn gửi vào địa chỉ email sau:
hoặc

Lời cuối, tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình
tới gia đình, thầy Thành và đặc biệt là anh Toan, người tác giả coi như anh trai của
mình. Cảm ơn anh trai vì tất cả những gì đã làm cho em!
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình tới các thầy cô khoa
sau đại học. Chúc các thầy, các cô luôn giữ vững niềm đam mê và nhiệt huyết để
tiếp thêm sức mạnh cho thế hệ trẻ ngày càng trưởng thành hơn trong nghề nghiệp và
chuyên môn.
Cuối cùng, tác giả xin dành lời cảm ơn đến tất cả các bạn lớp cao học khóa 2-
2009, những người bạn thân hồi đại học, cấp 2, cấp 3 cùng những bạn bè của mình
ở công ty TNHH Tư vấn thiết kế Cimas và diễn đàn Ketcau.com đã luôn ở bên,
động viên, ủng hộ tác giả trong suốt chặng đường cao học đã qua, một chặng đường
gian nan và đầy thử thách.

Hà Nội, mùa thu 2011


Phùng Quyết Thắng

i
MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH VẼ............................................................................... iv
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................... v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ ............................................................................... vi
DANH MỤC VÍ DỤ .................................................................................... vi
CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU ................................................................................... 1
I.1 TỔNG QUAN ......................................................................................... 1
I.2 ĐẶT VẤN ĐỀ ......................................................................................... 3
I.2.1 Bài toán Tĩnh học ............................................................................ 3
I.2.2 Bài toán Động lực học ..................................................................... 4
I.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI ............................................................... 7
I.4 CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI ......................................................... 8
I.4.1 Phương pháp Monte-Carlo .............................................................. 8
I.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor ........................................................ 10
I.4.3 Nhận xét........................................................................................ 11
I.5 NHIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI ........................................... 12
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ............................................................. 14
II.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG .............................................................................. 14
II.1.1 Số học khoảng ............................................................................. 14
II.1.2 Các phép toán của số học khoảng................................................. 15
II.1.3 Hàm số khoảng ............................................................................ 18
II.1.4 Véc tơ khoảng, ma trận khoảng .................................................... 19
II.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý thuyết phân tích khoảng ......................... 20
II.2 MÔ HÌNH TAYLOR ........................................................................... 26
II.2.1 Khái niệm .................................................................................... 26
II.2.2 Xây dựng mô hình Taylor ............................................................ 27
II.2.3 Phép toán số học trong mô hình Taylor ........................................ 28

ii
II.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG ĐỐI VỚI CÁC BÀI
TOÁN ĐIỀU KIỆN ĐẦU (ODEs IVP) ................................................ 29
II.3.1 Dạng phương trình ....................................................................... 29
II.3.2 Phương pháp giải chung............................................................... 29
II.3.3 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP ........................................... 31
CHƯƠNG III: BÀI TOÁN GIẢI QUYẾT .................................................... 41
III.1 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH
TAYLOR ............................................................................................. 41
III.1.1 Quy đổi phương trình động lực học về ODEs IVP ...................... 41
III.1.2 Thuật toán VSPODE giải ODEs IVP .......................................... 41
III.2 QUY TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO ........ 45
III.2.1 Nghiệm giải tích của phương trình vi phân ................................. 45
III.2.2 Các bước thực hiện ..................................................................... 45
III.3. PHẦN MỀM THỰC HIỆN TÍNH TOÁN .......................................... 46
III.4 THỰC HIỆN SỐ ................................................................................. 48
III.4.1 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.8ω’
D
...................... 50
III.3.2 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.5ω’
D
...................... 71
III.3.3 Kết quả tính toán của chương trình tại ω = 0.3ω’
D
...................... 75
III.3.4 Đánh giá kết quả của hai phương pháp theo tỷ số tần số ω/ω
D
.... 78
III.3.4 Kết luận ...................................................................................... 79
CHƯƠNG IV: KẾT LUẬN .......................................................................... 80

IV.1 CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC ............................................................ 80
IV.2 CÁC TỒN TẠI, KIẾN NGHỊ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ
TÀI ...................................................................................................... 80
IV.2.1 Các tồn tại .................................................................................. 80
IV.2.2 Kiến nghị và hướng phát triển đề tài ........................................... 80
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 82
PHỤ LỤC ..................................................................................................... 85
I. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω
D
= 0.3 ................... 85
I.1 Chuyển vị......................................................................................... 85

iii
I.2 Vận tốc ............................................................................................ 89
II. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω
D
= 0.5 .................. 93
II.1 Chuyển vị ....................................................................................... 93
II.2 Vận tốc ........................................................................................... 97
III. SỐ LIỆU TÍNH TOÁN THEO TỶ SỐ TẦN SỐ ω/ω
D
= 0.8 ............... 101
III.1 Chuyển vị .................................................................................... 101
III.2 Vận tốc ........................................................................................ 105
IV. TỶ SỐ ĐỘ RỘNG CHUYỂN VỊ VÀ VẬN TỐC CỦA MÔ
HÌNH TAYLOR SO VỚI MONTE-CARLO ...................................... 109
IV.1 Chuyển vị .................................................................................... 109
IV.2 Vận tốc ........................................................................................ 110

iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt .......................................... 4
Hình 2: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo ........................................... 9
Hình 3: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử) .................................................... 10
Hình 4: Mối quan hệ giữa phương pháp Mô hình Taylor và Monte-Carlo .............. 12
Hình 5: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn ...................................................... 13
Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều ........................................................ 14
Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X ........................... 14
Hình 8: Chương trình MATLAB tính toán VD9 .................................................... 22
Hình 9: Ảnh các miền bao của hàm f(x,y) .............................................................. 24
Hình 10: Biểu đồ tọa độ ( +,−) bằng phương pháp Mote-Carlo .............. 24
Hình 11: Hiệu ứng bao phủ với dao động điều hòa ................................................ 25
Hình 12: Giảm hiệu ứng bao bằng cách chuyển hệ trục tọa độ ............................... 26
Hình 13: Hình ảnh nghiệm của bài toán ODEs - IVP ............................................. 30
Hình 14: Hình ảnh nghiệm sơ bộ của bài toán ODEs IVP ...................................... 34
Hình 15: Hình ảnh minh họa giai đoạn 2 của thuật toán ......................................... 37
Hình 16: Hình ảnh phần mềm tính toán ................................................................. 47
Hình 17: Thân chương trình chính của phần mềm tính toán ................................... 47
Hình 18: Thân chương trình con “Giaidoan01” ..................................................... 47
Hình 19: Thân chương trình con “Giaidoan02” ..................................................... 48
Hình 20: Chương trình MATLAB tính toán bằng phương pháp Monte-Carlo ........ 48
Hình 21: Các chỉ tiêu đánh giá ............................................................................... 64
Hình 22: Các trường hợp biểu đồ bao của hai phương pháp ................................... 66



v
DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1: Phép nhân khoảng hai số thực .................................................................. 16
Bảng 2: Lịch sử phát triển các thuật toán giải ODEs IVP ....................................... 32
Bảng 3: Chuyển vị ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ............. 51
Bảng 4: Vận tốc ở giai đoạn 1 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ................. 52
Bảng 5: Chuyển vị ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ............. 53
Bảng 6: Vận tốc ở giai đoạn 2 của mô hình Taylor sau chu kỳ đầu tiên ................. 54
Bảng 7: Chuyển vị của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên ......... 55
Bảng 8: Vận tốc của mô hình Taylor và Monte-Carlo sau chu kỳ đầu tiên ............. 56
Bảng 9: Chuyển vị quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo ........................... 60
Bảng 10: Vận tốc quy đổi của mô hình Taylor và Monte-Carlo ............................. 61
Bảng 11: Tiêu chí đánh giá thứ nhất “so sánh với lý thuyết” .................................. 65
Bảng 12: Tiêu chí đánh giá thứ hai “vị trí tương đối” ............................................ 66
Bảng 13: Đánh giá kết quả chuyển vị của hai phương pháp ................................... 67
Bảng 14: Đánh giá kết quả vận tốc của hai phương pháp ....................................... 68
Bảng 15: Tổng hợp các kết quả chuyển vị đúng theo lý thuyết .............................. 69
Bảng 16: Tổng hợp các kết quả vận tốc đúng theo lý thuyết .................................. 69
Bảng 17: Tổng hợp các kết quả chuyển vị đúng theo lý thuyết .............................. 71
Bảng 18: Tổng hợp các kết quả chuyển vị đúng theo lý thuyết .............................. 72
Bảng 19: Tổng hợp các kết quả chuyển vị đúng theo lý thuyết .............................. 75
Bảng 20: Tổng hợp các kết quả chuyển vị đúng theo lý thuyết .............................. 75



vi
DANH MỤC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 1: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.8 ..................................................... 57
Biểu đồ 2: Chuyển vị và độ rộng tương đối của mô hình Taylor và phương

pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.8 ..................................................... 62
Biểu đồ 3: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.5 ..................................................... 73
Biểu đồ 4: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.5 .............................................................. 74
Biểu đồ 5: Chuyển vị và độ rộng tuyệt đối của mô hình Taylor và phương
pháp Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.3 ..................................................... 76
Biểu đồ 6: Chuyển vị và độ rộng quy đổi của mô hình Taylor và phương pháp
Monte-Carlo ở tần số ω/ω
D
=0.3 .............................................................. 77
Biểu đồ 7: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ...................................................................................................... 78
Biểu đồ 8: Biểu đồ so sánh tỷ lệ độ rộng của mô hình Taylor so với Monte-
Carlo ...................................................................................................... 78

DANH MỤC VÍ DỤ
VD1: Bài toán tĩnh học ........................................................................................... 4
VD2: Bài toán vi phân đại số ................................................................................... 6
VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài ........................................................... 7
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo. .............................................. 9
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor ......................................... 10

VD6: Minh họa cách tính trong số học khoảng ...................................................... 17
VD7: Minh họa khái niệm miền bao (inclusion function) ...................................... 18
VD 8: Luật liên kết trong ma trận số học khoảng ................................................... 20
VD9: Minh họa cách tính dạng trung tâm để giảm vấn đề phụ thuộc ..................... 21
VD10: Minh họa hiệu ứng bao phủ “wrapping effect” ........................................... 23
VD11: Biểu diễn đại lượng khoảng  =[1.4,1.6] theo đại lượng ngẫu nhiên
Monte-Carlo với số lần thử  = 1000 .................................................... 45
1
CHƯƠNG I: MỞ ĐẦU
I.1 TỔNG QUAN
Động lực học là một môn quan trọng của ngành Cơ học Kết cấu bởi tính phức
tạp so với Tĩnh lực học khi có sự tham gia của thành phần “động” (vận tốc, gia tốc,
...) trong tính toán. Tuy vậy, do nó có nhiều ứng dụng quan trọng trong các ngành
công trình đặc biệt là ngành xây dựng nên ngày càng được quan tâm nghiên cứu.
Thực tế phân tích kết cấu của một công trình, ta hay gặp các số liệu về vật
liệu, hình học, liên kết, tải trọng... là những đại lượng không chắc chắn. Những số
liệu này ảnh hưởng trực tiếp đến các thông số tính toán của hệ kết cấu trong bài toán
động lực học bao gồm các tham số đặc trưng (độ cứng, độ cản, khối lượng) và điều
kiện ban đầu cho trước. Vì vậy, kết quả thu được của hệ sau phản ứng (chuyển vị,
vận tốc, gia tốc, ...) cũng là kết quả không chắc chắn.
Mô hình xác suất, thống kê được xây dựng phần nào đã giải quyết khá đầy đủ
và rõ ràng vấn đề không chắc chắn nêu trên. Nhưng trong những trường hợp số liệu
không đủ, không rõ ràng, không được phân loại... thì người ta phải chuyển sang sử
dụng các mô hình phi xác suất như lý thuyết tập mờ, phương pháp phân tích
khoảng, mô hình lồi, lý thuyết nhân chứng... được xem là phù hợp hơn [1], [2].
Bên cạnh đó, nếu chỉ biết miền giá trị của tham số bất định mà không có thông
tin nào thêm thì người ta thường sử dụng hàm phân bố đều trong lý thuyết xác suất.
Như vậy, sự thiếu hụt thông tin đã được bù đắp bởi ý kiến chủ quan của người phân
tích. Ferson và Ginzburg đã chứng minh rằng phương pháp xác suất có thể mang lại
những kết quả không chính xác [1]. Khi đó yếu tố không chắc chắn sẽ được biểu

diễn tốt nhất dưới dạng khoảng giá trị của nó với giá trị bị chặn dưới là  và giá trị
chặn trên là .

 = [ , ]
(1.1)
Phương pháp phân tích khoảng được đề cập ở đây không hề gán một cấu trúc
xác suất nào cả; được dùng để đánh giá chính xác nhất có thể khoảng giá trị của
phản ứng hệ thống khi biết khoảng giá trị của các tham số đầu vào.
Khái niệm khoảng thực chất không phải là mới. Khoảng số học được biết đến
từ lâu với số  của nhà bác học Archimedes khi ông thực hiện nội tiếp và ngoại tiếp
đường tròn một đa giác 96 cạnh để thu được kết quả xấp xỉ của số  [3]

2

3+
10
71
< < 3+
1
7

(1.2)
Mãi sau này (1951), người ta mới tìm thấy một ấn phẩm xuất bản ở Nga [3] về
số học khoảng được trình bày khá chi tiết và rõ ràng về quy tắc tính cũng như xem
nó như một công cụ của phương pháp số. Và nó chỉ thực sự trở thành một phương
pháp và biết đến rộng rãi khi Moore bảo vệ luận án tiến sỹ năm 1966 [3].
Đến những năm 1990, phương pháp phân tích khoảng đã được ứng dụng vào
các hệ kỹ thuật để biểu diễn các tham số không chắc chắn một cách đơn giản, gọn
nhẹ và cho hiệu quả tính toán cao khi các tham số đó chỉ chứa thông tin về miền giá
trị. Lý thuyết phân tích khoảng có thể hỗ trợ cho các chứng minh, các phỏng đoán

của con người trong đó phải kể đến phỏng đoán về quỹ đạo các hành tinh của
Kepler từng tồn tại gần 400 năm qua [4].
Ngoài ra, phương pháp phân tích khoảng có liên quan chặt chẽ đến các
phương pháp đánh giá các yếu tố không chắc chắn khác như lý thuyết tập mờ, lý
thuyết tập ngẫu nhiên, mô hình lồi, mô hình Dempster-Shafer, phương pháp biên
xác suất,... Ví dụ, một số mờ là một tập không đếm được của các khoảng tương ứng
với mức độ thuộc . Do đó phân tích mờ có thể được biểu diễn như là phân tích
khoảng với những mức độ thuộc  khác nhau [1].
Tuy vậy, để xác định miền giá trị (miền bao) có giá trị sử dụng (validated
bounds) dựa trên lý thuyết phân tích khoảng là tương đối khó khăn bởi vấn đề phân
kỳ của miền bao sau mỗi bước thời gian khi thực hiện các phép tính khoảng liên
quan đến phương trình vi phân. Người ta chỉ ra rằng vấn đề phụ thuộc (dependency
problems) và hiệu ứng bao phủ (wrapping effects) là nguyên nhân gây ra hiện tượng
phân kỳ nói trên [2], [4], [5], [6]. Đây được xem là đặc trưng rất riêng của toán học
khoảng so với toán học thông thường.
Để giải quyết vấn đề trên, một phương pháp mới dựa trên chuỗi Taylor đại số
kết hợp với miền bao dư (phương pháp mô hình Taylor) nhận được sự quan tâm của
nhiều nhà khoa học trên thế giới trong những năm qua. Với tên gọi ban đầu “Số học
Taylor nhiều chiều bao chặt với miền dư” được đề xuất lần đầu tiên bởi nhà khoa
học Lanford (1980) thì phải sau đó bốn năm (1984), nó mới được nhóm tác giả
Eckmann, Kock, Wittwer chứng minh chi tiết. Đến năm 1996, phương pháp này
mới được biết đến nhiều hơn với những nghiên cứu độc lập của tập thể nhóm tác giả
Berz, Makino, Hoefkens và mang tên gọi “phương pháp mô hình Taylor” đến bây
giờ [7].
Từ đó đến nay, rất nhiều thuật toán được đề xuất nhằm làm giảm ảnh hưởng
của vấn đề phụ thuộc dựa trên mô hình Taylor như AWA của Lohner (1988),
COSY của Berz (1997) ... [8]. Một trong những ứng dụng nổi bật của mô hình

3
Taylor là sử dụng tích phân xác định để tính phản ứng động lực học của các hành

tinh trong hệ mặt trời năm 2001 [7]. Ngoài ra có thể kể đến một vài ứng dụng khác
như: ổn định của hạt gia tốc của Berz (1998), tính toán miền bao giá trị riêng của
ma trận của Brown (2003), độ tin cậy của mặt tương giao (2004),...
Ở Việt Nam, lý thuyết phân tích khoảng bước đầu được nghiên cứu, ứng dụng
giải các bài toán liên quan đến kết cấu như sử dụng đại số khoảng để ứng dụng vào
phân tích kết cấu thanh theo phương pháp phần tử hữu hạn khoảng (2009) của PGS.
TS. Trần Văn Liên [1], [2]. Mô hình Taylor chưa được ứng dụng vào trong nghiên
cứu này nên kết quả của nghiên cứu vẫn còn mắc phải các hạn chế về vấn đề sự
phụ thuộc. Nhìn chung, các đề tài liên quan đến lý thuyết phân tích khoảng hiện nay
ở Việt Nam còn khá ít đặc biệt là phương pháp mô hình Taylor áp dụng giải các bài
toán liên quan đến phương trình vi phân điều kiện đầu.
Với mục đích tìm hiểu một lĩnh vực hiện còn khá mới ở Việt Nam, tác giả
mạnh dạn chọn đề tài “Áp dụng lý thuyết phân tích khoảng xác định phản ứng động
của hệ kết cấu có một bậc tự do” làm đề tài luận văn thạc sỹ của mình với sự hướng
dẫn của TS. Nguyễn Xuân Thành. Thuật toán đưa ra trong luận văn cho kết quả tốt
so với kết quả thu được từ phương pháp Monte-Carlo và có thể ứng dụng vào thực
tế tìm khoảng phản ứng động của hệ kết cấu có một bậc tự do.
I.2 ĐẶT VẤN ĐỀ
I.2.1 Bài toán tĩnh học
Phương trình cân bằng của bài toán tĩnh học có dạng đại số nên việc tìm
nghiệm là không mấy khó khăn. Đây là dạng phương trình rất quen thuộc khi giải
một bài toán cơ học.

. =
(1.3)
trong đó:
 : chuyển vị của hệ kết cấu.
 : độ cứng của hệ kết cấu.
 : ngoại lực tác động lên hệ kết cấu.
Khi đại lượng , là các giá trị xác định thì nghiệm xác định dễ dàng. Nhưng

khi đại lượng , là các đại lượng dạng khoảng thì vấn đề trở nên khó khăn hơn,
liên quan nhiều đến vấn đề cực trị hoặc các vấn đề xác suất thống kê trong toán học.
Nhưng đó không phải là bản chất vấn đề của đại lượng dạng khoảng. Vì vậy,
một lý thuyết mới được xây dựng và không ngừng phát triển trong hơn 50 năm qua
được đặt tên là lý thuyết phân tích khoảng (interval analysis theory) [4].

4
VD1: Bài toán tĩnh học
a) Khi  = 3; = 10 thì nghiệm của (1.3) là  =/ = 3/10 = 0.3 dễ
dàng tìm được không mấy khó khăn.
b) Khi  =
[
2.95,3.05
]
; = [49.5,50.5] thì nghiệm của (1.3) cũng dễ dàng
tìm được khi ứng dụng lý thuyết phân tích khoảng:
 =


=
[
2.95,3.05
]
[
49.5,50.5
]
=
2.95
50.5
,

3.05
49.5
 =[0.0584,0.0617]
I.2.2 Bài toán động lực học
Xét bài toán dao động của hệ kết cấu một bậc tự do có phương trình vi phân
cấp hai tuyến tính tham số hằng:

̈
(

)
+ ̇
(

)
+ 
(

)
=
(

)

(1.4)
Đây là hệ kết cấu phổ biến và đơn giản nhất trong nghiên cứu động lực học
công trình nhưng rõ ràng việc tìm nghiệm của nó phức tạp hơn so với hệ (1.3) bởi
yếu tố vi phân.
Hiện nay, lý thuyết động lực học đã cung cấp hầu hết lời giải cho việc tìm
nghiệm của hệ (1.4) khi ,,, là các đại lượng xác định [9].

Hình 1: Hệ kết cấu dao động một bậc tự do có cản nhớt
Trường hợp ngoại lực là hàm điều hòa 
(

)
=

 thì nghiệm chuyển vị
() của phương trình (1.4) với  < 1 có dạng như sau:


(

)
=



(


+


)
+ +
(1.5)

 =




1−





1−







+2






(1.6)

5

 =




−2




1−







+2






(1.7)

 =

−
(1.8)
 =



+

−


(1.9)

 =

2




(1.10)



= 


1−

; 

=




(1.11)



=
2


=
2


1−

=


1−


(1.12)
trong đó:
  : độ cứng của hệ kết cấu.
  : hệ số cản nhớt của hệ kết cấu.
  : khối lượng của hệ kết cấu.
 

: tần số riêng không cản của hệ.
 


: tần số riêng có cản của hệ.
  : tỷ lệ cản.
 

: chuyển vị ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: vận tốc ban đầu của dao động tại thời điểm  = 0
 

: chu kỳ dao động của hệ không cản.
 

: chu kỳ dao động của hệ có cản.
  : tần số dao động cưỡng bức (rad/s)
 

: độ lớn của lực kích thích.
Trong biểu thức (1.5), số hạng đầu là nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.4) = 0); số hạng thứ hai là nghiệm
riêng của phương trình không thuần nhất (với vế phải của phương trình (1.4) ≠ 0)
và còn được gọi là nghiệm bình ổn.
Đạo hàm chuyển vị theo thời gian biểu thức (1.5), ta có vận tốc của hệ kết cấu

6
có dạng như sau:

(


)
=̇
(

)
=−



(




+



+




−ω



)+−ω
(1.13)

VD2: Bài toán vi phân bậc hai
Tìm chuyển vị () của một hệ kết cấu biết:
 Điều kiện ban đầu: 
(
0
)
= 

= 0.01;
(
0
)
= 

= 0.01
 Tham số đặc trưng (,,) =(50,1.5,3)
 Lực () có dạng tuần hoàn: 
(

)
= 2sin ớ  = 1.0
Giải
Thay các số liệu vào phương trình (1.4) ta có:

3̈()+ 1.5̇()+ 50() = 2.
(1.14)
Tính hệ số  theo công thức (1.10) và (1.11) được:  = 0.0612 < 1.
Nghiệm của phương trình (1.14) được tính theo công thức (1.5). Tính các hệ số
theo biểu thức từ (1.6) đến (1.12), ta có:



=



=

50
3
= 4.0825


= 4.0825×√1−0.0612

= 4.0748
 =
2
50
×
1−
1
4.0825


1−
1
4.0825





+2×0.0612×
1
4.0825


= 0.0425
 =
2
50
×
−2×0.0612×
1
4.0825

1−
1
4.0825




+2×0.0612×
1
4.0825


=−0.0014
 = 0.01−(−0.0014) = 0.0114
 =

0.01+0.0612×4.0825×0.0114−0.0425×1.0
4.0748
=−0.0073
Nghiệm thuần nhất của (1.14) có dạng:


(

)
= 



(


+


)


7
= 
.
(
0.0114
(
4.0748
)

−0.0073sin (4.0748
)

Nghiệm riêng của (1.14) có dạng:


(

)
=+ = 0.0425sint−0.0014t
Nghiệm tổng quát của (1.14) theo biểu thức (1.5) tại  = 1() là:

(
1
)
=

(
1
)
+

(
1
)
= 0.074+0.0029 =0.0102 (cm)

Qua ví dụ trên ta thấy rằng, việc tìm lời giải của bài toán động lực học với các
thông số xác định không đơn giản. Hơn nữa, các đại lượng ,, trong thực tế
thường không phải là những số xác định khi một trong các yếu tố kích thước hình

học của cấu kiện, vật liệu chế tạo (mác bê tông chẳng hạn) ... thay đổi trong một
miền giá trị nào đó. Khi đó, việc áp dụng đại lượng khoảng vào công thức giải tích
(1.5) như trường hợp tĩnh học có hợp lý không? Để làm sáng tỏ câu hỏi trên, chúng
ta hãy xét tiếp một ví dụ đơn giản ở phần tiếp theo.
I.3 SỰ CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
VD 3: Ví dụ minh họa sự cần thiết của đề tài
Tính giá trị của biểu thức 
(

)
với  = [2,3] theo lý thuyết phân tích khoảng.



(

)
=

−1
(1.15)
Giải
Cách 1: Thay trực tiếp giá trị của khoảng  vào biểu thức (1.15):

(

)
=

−1

=
[
2,3
]
[
2,3
]
−1
=
[
2,3
]
[
1,2
]
= [1,3]
Cách 2: Phân tích biểu thức (1.15) thành dạng tương đương rồi thay trực tiếp giá trị
của khoảng :

(

)
=

−1
= 1+
1
−1
= 1+
1

[
2,3
]
−1

= 1+
1
[
1,2
]
=1+
[
0.5,1
]
=[1.5,2]
Chú ý: xem thêm các tính chất khoảng ở mục I. Chương II để hiểu hơn về cách tính
trình bày ở ví dụ 3.
Chúng ta nhận được hai kết quả khác nhau từ cùng một biểu thức. Vậy, kết

8
quả nào là đáng tin cậy? Bản chất của “hiện tượng” trên do đâu?
Về mặt toán học, đây là bài toán tìm miền giá trị hàm số () với 2≤≤ 3.
Lời giải của bài toán như sau:
Ta có:


(

)
= −

1
(
−1
)

< 0
nên () là hàm nghịch biến trong khoảng [2,3]. Khi đó, 

=
(
3
)
= 1.5;


=
(
2
)
= 2. Vì vậy, miền giá trị của f(x) là 1.5≤()≤2. Đối chiếu với
hai cách đã làm thì cách 2 là lời giải chính xác của bài toán!
Bản chất của “hiện tượng” trên là do lý thuyết phân tích khoảng không có khả
năng nhận diện được các biến có sự lặp lại trong cùng một biểu thức nên khi thay
giá trị khoảng vào biểu thức chưa “xử lý” thì miền giá trị bị mở rộng so với kết quả
thực tế. Đây là một trong những đặc trưng rất riêng của lý thuyết phân tích khoảng
được đặt tên là vấn đề phụ thuộc cùng với ảnh hưởng của hiệu ứng bao phủ.
Vấn đề phụ thuộc là khả năng không nhận diện được sự có mặt lặp lại của các
biến trong biểu thức, dẫn đến kết quả nhận được không còn hợp lý.
Hiệu ứng bao phủ chỉ xảy ra khi xét bài toán từ hai biến trở lên. Khi đó các giá
trị của bài toán không nằm toàn bộ trong hình hộp trực giao được bao mà chỉ “tập

trung” trong hình hộp bao xoay nằm bên trong hình hộp trực giao bao ngoài. Hiện
tượng này xảy ra do các biến khoảng không có khả năng nhận diện được hệ trục tọa
độ trực giao Descartes. Từ đó ảnh hưởng đến kết quả tính toán khi kết quả này được
truyền tới kết quả tính toán tiếp theo như bài toán giải phương trình vi phân bằng
phương pháp số. (chi tiết xem tại Chương II, mục II.1.5 Đặc trưng cơ bản của lý
thuyết phân tích khoảng).
Như vậy, chúng ta không thể áp dụng lý thuyết phân tích khoảng bằng cách
“thay trực tiếp” vào biểu thức giải tích (1.5) mà không có biện pháp xử lý sai số do
các đặc tính của lý thuyết phân tích khoảng đã nêu ở trên dẫn đến sự cần thiết phải
có một phương pháp tiếp cận để giải quyết vấn đề này.
I.4 CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
Để giải quyết vấn đề đặt ra, phương pháp mới mô hình Taylor dựa trên chuỗi
đại số Taylor hiện đang được nghiên cứu và ứng dụng trong một vài năm trở lại
đây. Bên cạnh đó, phương pháp cổ điển Monte-Carlo dựa trên cơ sở lý thuyết xác
suất thống kê được áp dụng để kiểm định kết quả của bài toán.
I.4.1 Phương pháp Monte-Carlo
Với lịch sử ra đời cùng với sự xuất hiện của máy tính điện tử những năm 40
của thế kỷ trước, phương pháp Monte-Carlo là phương pháp giải “thô” một cách

9
nhanh chóng các bài toán nhiều chiều trong giải tích số cũng như được sử dụng để
tiến hành và quan sát trên máy tính điện tử các thí nghiệm theo kiểu mô phỏng của
việc xuất hiện các hiện tượng ngẫu nhiên trong nhiều bài toán quan trọng của toán
học,vật lý và của nhiều lĩnh vực khác.
Bằng cách sử dụng đại lượng ngẫu nhiên nhiều chiều, phương pháp Monte-
Carlo được sử dụng ở đây với mục đích quy đổi đại lượng giá trị khoảng thành đại
lượng số xác định bằng một số lượng lớn mẫu thử ngẫu nhiên. Từ đó cho ta một
miền kết quả cần tìm. Do đó, mẫu thử càng lớn thì độ chính xác của kết quả càng
cao, đạt tới “miền giới hạn của kết quả” tạo thành một miền biên, bao xung quanh.
Đây có thể xem là “phương pháp liệt kê phần tử”.

Hình 2: Hình ảnh minh họa phương pháp Monte-Carlo
(chấm tròn thể hiện phần tử kết quả Monte-Carlo)
VD 4: Giải lại VD 3 theo phương pháp Monte-Carlo.
Giải
Chọn ngẫu nhiên các giá trị 

trong khoảng  = [2,3] với phép thử  = 50:


= {2,2.1,2.3,2.5,…,3}.
Thay lần lượt 

vào biểu thức (1.15), ta thu được kết quả tương ứng. Một vài
ví dụ của kết quả tính toán như sau:

(
2.0
)
=
2
2−1
=
2
1
= 2.0 
(
2.5
)
=

2.5
2.5−1
=
2.5
1.5
= 1.667

(
2.1
)
=
2.1
2.1−1
=
2.1
1.1
= 1.909 
(
2.9
)
=
2.9
2.9−1
=
2.9
1.9
= 1.526

(
2.3

)
=
2.3
2.3−1
=
2.3
1.3
= 1.769 
(
3.0
)
=
3
3−1
=
3
2
= 1.50


10




Hình 3: Biểu đồ tọa độ (x,y) với R=50 (lần thử)
Từ đồ thị Hình 3, ta thấy kết quả là một dải các điểm có giá trị tung độ trong
khoảng [1.5, 2], trùng với kết quả của cách 2 VD 3.
Ưu điểm của phương pháp Monte-Carlo là đơn giản, dễ thực hiện khi chỉ cần
thực hiện “phép lặp lại” nhưng số lượng lặp phải đủ lớn để đạt kết quả chính xác.

Do đó, vấn đề thời gian và khả năng hỗ trợ của MTĐT là vấn đề quan trọng trong
phương pháp này.
I.4.2 Phương pháp Mô hình Taylor
Nhằm giải quyết các vấn đề đặc trưng của lý thuyết phân tích khoảng, một
phương pháp mới được ra đời từ những năm 1980 đã mở ra một trang mới cho sự
phát triển của phương pháp phân tích khoảng. Phương pháp mới đó được đặt tên là
mô hình Taylor vì dựa trên chuỗi Taylor đại số khoảng kết hợp với phần dư để
chuyển các hàm toán học phức tạp (lượng giác, logarit, hàm mũ...) về hàm đa thức.
Mô hình Taylor gồm hai phần: phần đa thức  (số hạng đầu) và phần dư  (số
hạng sau), ký hiệu là (,):

(

)
=

(

)
(


)
!
(
−

)




 +

(

)
[


+(−

)
 ]
!
(
−

)

(1.16)
Áp dụng phương pháp này, bài toán (1.4) được đưa về bài toán phương trình
vi phân thường với điều kiện đầu ODEs IVP, Ordinary Differential Equations Initial
Valued Problem và sẽ được xem xét ở các chương tiếp theo.
VD5: Giải lại VD 3 theo phương pháp mô hình Taylor

11

(

)

=

−1
ớ  =
[
2,3
]
; =
[
0,1
]

Giải
Khai triển chuỗi Taylor khoảng tại lân cận


=
(

)
=
+
2
=
2+3
2
=2.5


=


+
(
−

)
 = 2.5+
([
2,3
]
−2.5
)
.
[
0,1
]
= [2,3]
với lũy thừa bậc q = 5, ta được:
 =
(


)
+

(

)
(



)
!
(
−

)




=
5
3
−
4
9
(
−2.5
)
+
8
27
(
−2.5
)

−
16
81

(
−2.5
)

+
32
243
(
−2.5
)


 =
(
−1
)

(


−1
)

(
−2.5
)


Thay  =
[

2,3
]
vào biểu thức  và , ta thu được:
 =
[
1.4170, 1.9987
]
;  = [−0.0313,0.0313]
Vậy, mô hình Taylor là:
 =
(
,
)
=(
[
1.4170,1.9987
]
,
[
−0.0313,0.0313
]
)

(

)
=  + = [ 1.3857, 2.0299]
I.4.3 Nhận xét
Kết quả của bài toán “hội tụ” chính xác khi lũy thừa bậc  tiến đến vô cùng và
lận cận 


tiến đến “vị trí trung tâm” (vị trí nằm ở giữa miền khoảng của biến x).
Khi  = 101 & 

= 2.5 (vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
;≈


chính xác hơn với  = 5,

= 2.5 rất nhiều; khi  = 101 & 

= 2.4
(lệch 0.1 so với vị trí trung tâm) thì  =
[
.,.
]
; ≈

, độ “hội
tụ” giảm đi nhiều. Do đó, đây là một phương pháp gần đúng.
Kết quả của phương pháp mô hình Taylor luôn “bao ngoài” miền kết quả
mang tính liệt kê của phương pháp Monte-Carlo. Do đó, vấn đề “sót nghiệm” do
phép thử không đủ lớn của phương pháp Monte-Carlo sẽ được giải quyết.

12



Hình 4: Mối quan hệ giữa phương pháp Mô hình Taylor và Monte-Carlo
trong đó: chấm tròn: phương pháp Monte-Carlo
Hình vuông [0,2;0,2]: phương pháp Mô hình Taylor
I.5 NHIỆM VỤ VÀ GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Phương pháp mô hình Taylor là một phương pháp tiếp cận vấn đề theo hướng
trực tiếp sử dụng lý thuyết phân tích khoảng (đối lại với phương pháp tiếp cận vấn
đề gián tiếp kiểu liệt kê phần tử Monte-Carlo). Với phương pháp mới này, tác giả
mong muốn áp dụng phương pháp mô hình Taylor vào giải quyết bài toán động lực
học dựa trên lý thuyết phân tích khoảng bên cạnh các phương pháp truyền thống
như phương pháp Monte-Carlo, phương pháp tối ưu,...; từ đó làm tiền đề cho sự
phát triển các đề tài khác liên quan đến lý thuyết phân tích khoảng sau này. Chính
vì vậy, luận văn này chỉ tập trung giải quyết một trường hợp cụ thể của bài toán
động lực học: hệ kết cấu đàn hồi tuyến tính một bậc tự do chịu tác động của ngoại
lực tác động điều hòa. Trong đó, ngoại lực có độ lớn và tần số tất định, hệ có điều
kiện đầu và các tham số đặc trưng là đại lượng khoảng.
Phương pháp nghiên cứu trong luận văn là tiếp cận lý thuyết phân tích khoảng
và phương pháp mô hình Taylor trên cơ sở lý thuyết, từ đó lập trình một chương
trình trên MATLAB để tính toán cho bài toán cụ thể.
Dưới đây là sơ đồ tóm tắt các bước thực hiện trong luận văn:




13

SO SÁNH
KẾT QUẢ 1
KẾT QUẢ 2
Thay thế đại lượng
ngẫu nhiên vào
nghiệm giải tích

Biểu diễn dữ liệu
đầu vào dưới dạng
đại lượng ngẫu nhiên
KẾT LUẬN

Hình 5: Sơ đồ thực hiện và triển khai luận văn
Bài toán ĐỘNG LỰC HỌC
tham số là đại lượng Khoảng
Phương pháp
Monte – Carlo
Phương pháp
Mô hình Taylor
Phương pháp
Taylor model chứa
tham số
Phương pháp
Taylor model
thông thường
Giai đoạn 1
Tìm nghiệm sơ bộ

duy nhất
Giai đoạn 2
Tìm nghiệm chặt từ
giai đoạn 1

14
CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
II.1 ĐẠI SỐ KHOẢNG
II.1.1 Số học khoảng
Số học khoảng (interval arithmetic)  = ,  = {
∈
R : ≤ ≤ } là
tập hợp các số thực nằm giữa hai giá trị  gọi là cận dưới infimum và  gọi là cận
trên supremum [4].
Nếu  có dạng phức tạp hơn, cận dưới và cận trên được viết dưới dạng:

 =() ;  =()
(2.1)
Hình 6 biểu diễn hình ảnh của số học khoảng  hai chiều  =
[
(,
)
;
(
,
)
]

Hình 6: Biểu diễn số học khoảng X hai chiều
Tập hợp tất cả các số khoảng được ký hiệu là ℝ. Điểm giữa (), bán kính

(), độ rộng (), giá trị tuyệt đối () của khoảng :


(

)
=
+
2
; 
(

)
=
−
2

(2.2)


(

)
=− ; 
(

)
=
|


|
= {
|

|
,}
(2.3)

Hình 7: Độ rộng, giá trị tuyệt đối và điểm giữa của số khoảng X
a
X
b
c
d
x
y
x
x
x
w(X)
0
|X|
m(X)

15
II.1.2 Các phép toán của số học khoảng
II.1.2.1 Phép toán so sánh
Cho  = [, ] và  = [, ] với , ∈  thì

 = ℎ  = &  = ;  < ℎ  <

(2.4)

⊆ ℎ ≤ & ≤
(2.5)
II.1.2.2 Các phép toán số học
Bốn phép toán cơ bản của số thực (+,−×,÷) có thể mở rộng cho các số
khoảng. Một phép toán bất kỳ ∘ ∈ (+,−×,÷) trên các khoảng được định nghĩa
theo quy tắc chung như sau:
∘ = {∘|∈,} (2.6)
Tập hợp các kết quả của phép toán đối với ∈ và ∈ tạo thành một
khoảng đóng (nếu mẫu số ≠ 0) với các cận của khoảng xác định như sau:

∘ = [
(
∘
)
,
(
∘
)
]
(2.7)
Cận dưới và cận trên của phép toán ∘ được xác định từ bốn cặp số ∘,
∘, ∘, ∘.
 Phép cộng:

 + = [+, +]
(2.8)
 Phép trừ:

− = [−,−]
(2.9)
 Phép nhân:

∗ = [ {,,,}, {,,,}]
(2.10)
 Phép chia:
⁄ =∗(1/). Áp dụng phép nhân ∗ (2.11)
II.1.2.3 Các phép toán khác