Các định lý giới hạn cho martingale

MỤC LỤC
Những kí hiệu dùng trong luận án 4
Mở đầu 5
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị và khái niệm cơ bản 10
1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên . . . . . 13
1.3 Trường các hiệu martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. Luật số lớn cho trường các hiệu martingale 26
2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu martingale . . 26
2.2 Luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Luật yếu số lớn cho trường α-tương thích mạnh . . . . . . . 50
Chương 3. Hội tụ hoàn toàn và tốc độ hội tụ của trường các
hiệu Martingale 57
3.1 Hội tụ hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Hội tụ hoàn toàn trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Tốc độ hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 76
Chương 4. Sự hội tụ của dãy các martingale toán tử 88
4.1 Hội tụ của dãy martingale toán tử . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2 Sự hội tụ của tích các toán tử không bị chặn độc lập . . . . 97
Kết luận và kiến nghị 111
Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến
luận án 112
Tài liệu tham khảo 113
NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
Z Tập hợp các số nguyên
N Tập hợp các số nguyên dương
N
0
Tập hợp các số nguyên không âm
R Tập hợp các số thực

E Không gian Banach thực và khả ly
 ·  Chuẩn trên không gian Banach E
B(E) σ-đại số Borel các tập con của E
(Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ
Card(A) Số phần tử của tập hợp A
I
A
Hàm chỉ tiêu của tập hợp A
1 Phần tử (1, 1, , 1) ∈ N
d
n Phần tử (n
1
, n
2
, , n
d
) ∈ Z
d
n+m Phần tử (n
1
+ m
1
, n
2
+ m
2
, , n
d
+ m
d

) ∈ Z
d
[m, n)

d
i=1
[m
i
, n
i
)
n  m n
1
≤ m
1
, n
2
≤ m
2
, , n
d
≤ m
d
n ≺ m n  m và n = m
n  m ∨
d
i=1
(n
i
≤ m

i
) ( tồn tại ít nhất một 1 ≤ i ≤ d sao cho n
i
≤ m
i
)
2
n
Phần tử (2
n
1
, 2
n
2
, , 2
n
d
)
2
nα
Phần tử (2
n
1
α
1
, 2
n
2
α
2

, , 2
n
d
α
d
) với α = (α
1
, , α
d
) ∈ R
d
|n| Giá trị |n| = n
1
n
2
n
d
n Giá trị n = min{n
1
, n
2
, , n
d
}
|n
α
| Giá trị |n
α
| = n
α

1
1
n
α
2
2
n
α
d
d
với α = (α
1
, , α
d
) ∈ R
d
1/α Phần tử (1/α
1
, , 1/α
d
)
log(x) logarit cơ số e của x
log
+
(x) max{log(x), 0}
[x] Số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
4
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết martingale nghiên cứu những vấn đề liên quan đến lý thuyết

trò chơi nhưng về sau được phát triển thành một lĩnh vực toán học chặt
chẽ, trở thành một mô hình toán học quan trọng có nhiều ứng dụng trong
thống kê, phương trình vi phân, toán kinh tế. Đặc biệt, gần đây đã có
nhiều ứng dụng thú vị trong chứng khoán, thu hút khá nhiều nhà toán học
quan tâm. Về phương diện xác suất, martingale là sự mở rộng của tổng
các biến ngẫu nhiên độc lập kì vọng không.
1.2. Các định lý giới hạn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất,
chúng được ví như những viên ngọc của xác suất, Kolmogorov đã từng nói
"Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các
kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật
số lớn". Ngày nay, các định lý giới hạn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự
của lý thuyết xác suất.
1.3.Từ những năm 1950 trở lại đây, các định lý giới hạn đã được nghiên cứu
mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Tuy nhiên đối với trường hợp trường các hiệu martingale cũng như với các
dãy martingale toán tử vẫn chưa được nghiên cứu nhiều.
Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án của mình là: Các định lý giới hạn cho martingale.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận án nghiên cứu sự hội tụ cũng như tốc độ hội tụ của của trường
các hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach, luật mạnh số
lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund, luật số lớn
dạng Brunk-Prokhorov, luật yếu số lớn, hội tụ hoàn toàn và hội tụ hoàn
5
toàn trung bình của trường các hiệu martingale.
Luận án nghiên cứu về sự hội tụ của các dãy toán tử ngẫu nhiên, dãy
martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích các toán tử ngẫu nhiên độc
lập trong không gian Banach.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là trường các biến ngẫu nhiên nhận

giá trị trong không gian Banach và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong không gian Bannach.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các định lý giới hạn như luật mạnh số lớn, luật yếu
số lớn, các định lý về hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn trung bình, tốc
độ hội tụ của tổng các trường hiệu martingale, các định lý về hội tụ cho
dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên cũng như tích vô hạn của dãy toán
tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị trong không gian Banach.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng các kĩ thuật của xác suất, giải tích, giải tích ngẫu
nhiên, các công cụ của martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một
số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bất đẳng thức Kolmogorov,
Bất đẳng thức Doob, Bổ đề Toeplitz, lý thuyết toán tử tất định, các tính
chất về thác triển toán tử, nguyên lý đồ thị đóng cũng được sử dụng để
chứng minh các kết quả.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự
hiểu biết về hội tụ của chuỗi ngẫu nhiên, luật mạnh số lớn của trường các
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, cũng như các kết
quả của toán tử ngẫu nhiên.
Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí
giới hạn của trường biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
trong lý thuyết xác suất.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong xác suất đóng vai
6
trò quan trọng trong phát triển lý thuyết, thực hành xác suất và thống
kê. Chính vì vậy mà các định lý về giới hạn đã thu hút nhiều nhà khoa
học nghiên cứu và mở rộng. Đầu tiên phải kể đến luật số lớn: Luật số
lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này

được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải
đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được Borel phát hiện. Kết quả này
của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926, ta thường gọi là
luật số lớn dạng Kolmogorov. Đồng thời Kolmogorov cũng chỉ ra rằng
trong trường hợp dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố thì
điều kiện cần và đủ của luật mạnh số lớn là các biến ngẫu nhiên đó có
moment tuyệt đối cấp một hữu hạn. Kết quả này đã được Marcinkiewicz
và Zygmund mở rộng (gọi là luật số lớn dạng Marcinkiewicz-Zygmund).
Brunk (1948) và Prokhorov (1950) đã khái quát điều kiện đủ dạng Kol-
mogorov với moment bậc cao hơn và thu được luật mạnh số lớn dạng
Brunk-Prokhorov. Luật số lớn tiếp tục được mở rộng bởi nhiều tác giả như
Tien, Quang, Hung, Thanh, Huan, Dung, Stadtmulle, Rosalsky, Volodin
(xem [47],[48],[49],[16],[14],[67],[50],[30]) bằng cách làm nhẹ điều kiện độc
lập của dãy biến ngẫu nhiên (như nghiên cứu trong trường hợp dãy các
hiệu martingale, cho các hộp độc lập, và hộp martingale), nghiên cứu cho
trường hợp chỉ số nhiều chiều, hoặc xem xét trên các không gian khác
Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các định lý luật số lớn
cho trường các hiệu martingale, trường hộp các α-hiệu martingale nhận
giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, trường các biến ngẫu nhiên
α-tương thích mạnh nhận giá trị trong không gian Bannach p-khả trơn.
Định lý giới hạn còn được nghiên cứu dưới dạng chuỗi ngẫu nhiên,
đầu tiên được biết đến với các định lý hai chuỗi, ba chuỗi sau đó là các
nghiên cứu về tốc độ hội tụ của chuỗi độc lập, chuỗi hiệu martingale, (xem
[51],[52],[64]). Các khái niệm khác như hội tụ hoàn toàn, hội tụ hoàn toàn
trung bình cũng được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu (như [31], [34],
[7],[53],[10]). Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về hội tụ hoàn toàn,
hội tụ hoàn toàn trung bình, và đánh giá tốc độ hội tụ của chuỗi các trường
7
hiệu martingale nhận giá trị trong không gian p-khả trơn.
Khái niệm toán tử ngẫu nhiên như là một mở rộng của ma trận ngẫu

nhiên được giới thiệu trong các công trình của Skorokhod [56] và được khá
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu như Thắng, Thịnh, [73], [69], [74].
Trong luận văn này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các
toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại Seminar bộ môn và tại
các hội nghị: Hội nghị khoa học chúc mừng sinh nhật G.S. Nguyễn Duy
Tiến (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên-ĐHQG
Hà Nội, 2012), hội nghị toán học toàn quốc lần thứ 10 (Nha trang, 2013),
đại hội toán học thế giới (ICM) tại Seoul, Hàn Quốc (2014), hội nghị toán
ứng dụng trong công nhiệp (Math-for-industry) tại Kyushu University,
Nhật Bản (2014), đã được đăng và nhận đăng ở các tạp chí: Statistics and
Probability Letters, Applications of Mathematics, Journal of Inequalities
and Applications, Journal of the Korean Mathematical Society, Journal of
Probability and Statistical Science, đang được gửi đăng tại các tạp chí: An
International Journal of Probability and Stochastic Processes, Journal of
bulletin of the Korean Mathematical Society.
7.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các bài
báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận
án được trình bày trong bốn chương.
Chương 1 trình bày các khái niệm về kỳ vọng, kỳ vọng có điều kiện của
biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, khái niệm về trường
các hiệu martingale, toán tử ngẫu nhiên, dãy toán tử ngẫu nhiên độc lập,
dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, một số dạng hội tụ của trường các
biến ngẫu nhiên và dãy các toán tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach.
Chương 2 gồm ba mục, mục 2.1 đưa ra khái niệm trường hộp các α-hiệu
martingale và trường hộp các M-hiệu martingale; thiết lập luật mạnh số
lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewicz - Zygmund cho trường hộp các
α-hiệu martingale nhận giá trị trên không gian Banach. Mục 2.2 thiết lập
8

luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov cho trường các hiệu martingale. Mục
2.3 đưa ra khái niệm trường α-tương thích mạnh và thiết lập luật yếu số
lớn cho trường các đại lượng ngẫu nhiên α-tương thích mạnh.
Chương 3 gồm ba mục, mục 3.1 đưa ra các điều kiện cho hội tụ hoàn
toàn của tổng trung bình trượt của trường các hiệu martingale, từ đó đi
đến các luật mạnh số lớn cho tổng trung bình trượt cũng như đánh giá tốc
độ hội tụ của luật mạnh số lớn. Mục 3.2 trình bày các kết quả về hội tụ
hoàn toàn trung bình, các điều kiện của hội tụ hoàn toàn trung bình cũng
như mối quan hệ giữa hội tụ hoàn toàn trung bình với hội tụ h.c.c. và hội
tụ trung bình; sau đó áp dụng cho các nghiên cứu về luật số lớn, hội tụ
trung bình và tốc độ hội tụ của trường các hiệu martingale E-giá trị. Mục
3.3 trình bày về tốc độ hội tụ của chuỗi các trường hiệu martingale.
Chương 4 thiết lập các điều kiện hội tụ của dãy các toán tử ngẫu nhiên,
toán tử ngẫu nhiên mở rộng, dãy hiệu martingale toán tử ngẫu nhiên bị
chặn trong không gian Banach và nghiên cứu các điều kiện hội tụ của tích
vô hạn các toán tử ngẫu nhiên độc lập.
9
CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm về kỳ
vọng, kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian Banach, khái niệm trường hiệu martingale, trường hiệu martingale
mạnh, toán tử ngẫu nhiên, toán tử ngẫu nhiên độc lập và martingale toán
tử. Ngoài ra, một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu nhiên, toán
tử ngẫu nhiên cũng được trình bày. Trong toàn bộ luận án, các hằng số
dương C xuất hiện trong các công thức toán không nhất thiết phải giống
nhau trong mỗi lần xuất hiện.
1.1 Kiến thức chuẩn bị
Kỳ vọng có điều kiện
Cho (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian Banach

khả ly thực, X : Ω → E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian
Banach E (gọi tắt là biến ngẫu nhiên E-giá trị). Khi đó, tích phân Bochner
của X (nếu tồn tại) được gọi là Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X và được
kí hiệu là EX.
Định nghĩa 1.1.1 (xem [17], trang 179). Cho X : Ω → E là biến ngẫu
nhiên E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F. Kỳ vọng
có điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với σ-đại số G là biến ngẫu nhiên
E-giá trị, ký hiệu là E(X|G) và thỏa mãn 2 điều kiện:
(i) E(X|G) là G-đo được,
(ii) E(E(X|G)I(A)) = E(XI(A)) với mọi A ∈ G.
10
Mệnh đề sau chỉ ra sự tồn tại của kỳ vọng có điều kiện của một biến
ngẫu nhiên E-giá trị.
Mệnh đề 1.1.2 (xem [17], trang 179). Cho X : Ω → E là biến ngẫu nhiên
E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F. Khi đó kỳ vọng
có điều kiện E(X|G) tồn tại.
Các tính chất về kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên E-giá trị có
thể xem trong các tài liệu [17] và [54].
Không gian Banach p-khả trơn
Khái niệm p-khả trơn là khái niệm khá quan trọng trong nghiên cứu
luật số lớn của xác suất được Day [13] đưa ra năm 1944.
Định nghĩa 1.1.3 (xem [78], trang 216). Một không gian Banach thực
khả ly E được gọi là p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) nếu (có thể sau khi đổi sang
chuẩn tương đương) với t > 0,
ρ(t) = sup

x + ty + x − ty
2
− 1 : x = y = 1


= O(t
p
), t → 0.
Dễ thấy rằng, mọi không gian Banach thực khả ly đều là không gian
1-khả trơn, không gian Hilbert là các không gian 2-khả trơn. Nếu E là
không gian Banach p-khả trơn (1 < p ≤ 2) thì E là không gian q-khả trơn
với mọi q ∈ [1; p).
Borovskykh và Korolyuk [3] đã chỉ ra rằng các không gian Banach L
p
và l
p
là các không gian p ∧ 2-khả trơn.
Với {S
k
, F
k
; k = 1, 2, , n} là dãy martingale nhận giá trị trong không
gian Banach E , kí hiệu X
k
= S
k
− S
k−1
và giả sử S
0
= 0 (h.c.c.). Assouad
[2] chỉ ra rằng E là không gian p-khả trơn nếu và chỉ nếu với bất kỳ
q ≥ 1 tồn tại hằng số C > 0 sao cho với mọi dãy martingale {S
k
, F

k
; k =
1, 2, , n} ta có
ES
n

q
≤ CE

n

k=1
X
k

p

q/p
. (1.1)
11
Bổ đề 1.1.4 ([24], Định lí 2.2). Cho 1 ≤ p ≤ 2, khi đó các phát biểu sau
là tương đương
(i) E là một không gian Banach p-khả trơn.
(ii) Tồn tại hằng số dương C sao cho E(

n
j=1
X
j


p
) ≤ C

n
j=1
E(X
j

p
)
với mọi hiệu martingale X
1
, X
2
, , X
n
có moment bậc p hữu hạn nhận giá
trị trong E.
(iii) Với mọi hiệu martingale X
1
, X
2
, , X
n
nhận giá trị trong E, điều
kiện
∞

j=1
EX

j

p
j
p
< ∞
kéo theo
1
n
n

j=1
X
j
h.c.c.
−→ 0 khi n → ∞.
Không gian Banach có tính chất Radon-Nikodym
Định nghĩa 1.1.5. Lấy µ : F → E là một hàm tập E-giá trị σ-cộng tính.
• µ được gọi là có biến phân bị chặn nếu biến phân toàn phần
V
µ
= sup{
n

k=1
µ(A
k
) : A
k
∈ F, Ω = ∪

n
n=1
A
k
, {A
k
}
n
k=1
là rời nhau}
là hữu hạn.
• µ được gọi là liên tục tuyệt đối với P nếu với mỗi A ∈ F, µ(A) = 0
mỗi khi P (A) = 0.
Định nghĩa 1.1.6. ( [6]) Một không gian Banach E được gọi là có tính
chất Radom-Nikodym (R-N) nếu với mọi hàm tập µ nhận giá trị trong E,
σ-cộng tính, có biến phân bị chặn và liên tục tuyệt đối với P thì tồn tại
ξ ∈ L
E
1
(Ω) sao cho
µ(A) =

A
ξ(ω)dP (ω) với mọi A ∈ F.
Định lý 1.1.7. ([6]) Cho {ξ
n
, F
n
, n ≥ 1} là một dãy martingale E-giá trị.
Giả sử rằng E có tính chất R-N. Ta có

12
1) Nếu sup
n≥1
Eξ
n
 < ∞ thì tồn tại ξ ∈ L
E
1
(Ω) sao cho ξ = lim
n→∞
ξ
n
h.c.c.
2) Nếu sup
n≥1
Eξ
n

p
< ∞ (1 < p < ∞) thì tồn tại ξ ∈ L
E
p
(Ω) sao cho
lim
n→∞
Eξ
n
− ξ
p
= 0.

Các bổ đề chuẩn bị
Kí hiệu d(j) = Card{(k
1
, k
2
, , k
d
) ∈ N
d
: k
1
k
2
k
d
= j}. Ta có bổ đề
sau,
Bổ đề 1.1.8 ([22], Bổ đề 3.1).
(i)

n
j=1
d(j)j
γ
≤ Cn
γ+1
(log n)
d−1
(γ > −1).
(ii)


n
j=1
d(i)(log j)
δ
j
≤ C(log n)
d+δ
(δ ≥ −1).
(iii)

∞
j=n
d(i)(log j)
δ
j
γ
≤ C
(log n)
d−1+δ
(γ − 1)n
γ−1
(γ > 1, −∞ < δ < ∞).
Bổ đề 1.1.9 ([68], Bổ đề 3). Cho n
1
, n
2
, , n
d
, N ∈ N(d ≥ 1) và α

k+1
, , α
d
>
1 với k ≤ d. Khi đó ta có

1≤n
1
n
2
n
k
n
α
k+1
k+1
n
α
d
d
≤N
1 =
C
(k − 1)!
N(log N)
k−1
(1 + o(1)) khi N → ∞.
1.2 Một số dạng hội tụ của trường các biến ngẫu
nhiên
Trong mục này sẽ trình bày một số khái niệm về hội tụ hầu chắc chắn,

hội tụ hoàn toàn và hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p (0 < p < ∞) của
trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị.
Định nghĩa 1.2.1. Cho {a
n
; n ∈ N
d
} là một trường các phần tử trong E.
1) Ta nói rằng a
n
→ a khi n → ∞ nếu với mọi  > 0 tồn tại n

∈ N
d
sao cho với mọi n  n

thì a
n
− a < .
2) Ta nói rằng a
n
→ a khi |n| → ∞ nếu với mọi  > 0 tồn tại n

∈ N
d
sao cho với mọi n  n

thì a
n
− a <  (xem [33]).
13

Rõ ràng, a
n
→ a khi |n| → ∞ thì a
n
→ a khi n → ∞; nhưng ngược
lại không đúng. Ví dụ, lấy a = b, a
(n
1
,1 ,1)
= b và a
n
= a nếu ngược lại,
thì a
n
→ a khi n → ∞ nhưng a
n
→ khi |n| → ∞.
Tuy nhiên với d = 1, thì hai sự hội tụ trên là tương đương.
Cho trường các số thực {x
n
, n ∈ N
d
}, khi đó các khái niệm lim sup và
lim inf của trường các số thực được xác định như sau:
lim sup
|n|→∞
x
n
= lim
n→∞

sup
|k|≥n
x
k
,
lim sup
n→∞
x
n
= lim
n→∞
sup
k≥n
x
k
,
lim inf
|n|→∞
x
n
= lim
n→∞
inf
|k|≥n
x
k
,
lim inf
n→∞
x

n
= lim
n→∞
inf
k≥n
x
k
.
Ta dễ thấy rằng, với một trường các số thực {x
n
, n ∈ N
d
} thì
inf
n
x
n
≤ lim inf
|n|→∞
x
n
≤ lim inf
n→∞
x
n
≤ lim sup
n→∞
x
n
≤ lim sup

|n|→∞
x
n
≤ sup
n
x
n
.
Trong luận án này, nếu không nói gì thêm thì lim sup và lim inf được hiểu
theo nghĩa |n| → ∞.
Sử dụng ý tưởng chứng minh của Định lý 3.1 trong [29], ta thu được
bổ đề sau.
Bổ đề 1.2.2. Cho {a
n
; n  1}, là trường các số thực dương không giảm,
sao cho
1 < lim inf
n≺mn+1
a
m
a
n
≤ lim sup
n≺mn+1
a
m
a
n
≤ M. (1.2)
Nếu {x

n
; n  1} là một trường các hằng số thực thỏa mãn
lim
|n|→∞
x
n
= 0,
thì
lim
|n|→∞
1
a
n
sup
kn




1jk
a
j+1
x
j



= 0.
14
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh

1
a
n

1jn
a
j+1
≤ C. (1.3)
Từ (1.2), ta có thể giả thiết rằng sup
n≺mn+1
a
m
a
n
≤ M. Hơn nữa, tồn tại
hằng số 0 < δ < 1 và n
o
sao cho với mọi m  n  n
o
thì
a
n
a
m
≤ δ. Khi đó
với mỗi n  1,
1
a
n


1jn
a
j+1
≤ M
1
a
n+1

1jn
a
j+1
≤ M(|n
o
| +
1
(1 − δ)
d
).
Vậy ta thu được (1.3).
Với mọi  > 0, tồn tại N > 0 sao cho với |n| ≥ N, |x
n
| ≤

C
thì
1
a
n
sup
kn





1jk
a
j+1
x
j



≤
1
a
n
sup
|k|<N




|j|k
a
j+1
x
j




+ .
Cho |n| → ∞, sau đó cho  → 0 ta được điều phải chứng minh.
Tiếp theo ta sẽ nêu một số ký hiệu sẽ sử dụng trong chương 3 của luận
án: Cho {a
n
; n ∈ N
d
} là trường các phần tử trong E, {b
n
; n ∈ N
d
} là
trường các số thực khác không, khi đó ta ký hiệu
• a
n
= o(b
n
) khi |n| → ∞ nếu lim
|n|→∞
a
n
b
n
= 0.
• a
n
= o(b
n
) khi n → ∞ nếu lim
n→∞

a
n
b
n
= 0.
• a
n
= O(b
n
) nếu như {
a
n
b
n
; n ∈ N
d
} bị chặn.
Ta dễ thấy, a
n
= o(b
n
) khi |n| → ∞ thì a
n
= O(b
n
). Tuy nhiên a
n
=
o(b
n

) khi n → ∞ thì không khẳng định được a
n
= O(b
n
). Ví dụ, lấy
a
(n
1
,1 ,1)
= n
1
, a
n
= 0 nếu ngược lại và lấy b
n
= 1 với mọi n ∈ N
d
thì
a
n
= o(b
n
) khi n → ∞ nhưng không có a
n
= O(b
n
).
15
1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn
Định nghĩa 1.2.3.

1) Trường biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n
; n  1} xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu
nhiên X khi |n| → ∞, nếu tồn tại A ∈ F sao cho P (A) = 0 và
lim
|n|→∞
X
n
(ω) = X(ω) với mọi ω ∈ Ω \ A. Khi đó, ta ký hiệu X
n
h.c.c.
−→ X
(hoặc X
n
→ X h.c.c.) khi |n| → ∞.
2) Trường biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n
; n  1} xác định trên không
gian xác suất (Ω, F, P ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu
nhiên E-giá trị X khi n → ∞ nếu tồn tại A ∈ F sao cho P (A) = 0 và
lim
n→∞
X
n
(ω) = X(ω) với mọi ω ∈ Ω\A. Khi đó, ta ký hiệu X
n
h.c.c.
−→ X
khi n → ∞.

3) Cho trường biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n
; n  1} xác định trên
không gian xác suất (Ω, F, P ), đặt S
n
=

kn
X
k
. Chuỗi

n1
X
n
được
gọi là hội tụ hầu chắc chắn nếu S
n
hội tụ hầu chắc chắn đến một biến
ngẫu nhiên E-giá trị nào đó khi n → ∞.
Khi đó, ta nói

n1
X
n
hội tụ h.c.c
Rõ ràng rằng các giới hạn của hai loại hội tụ trong định nghĩa 1) và 2)
là duy nhất theo nghĩa hầu chắc chắn.
Bổ đề 1.2.4. Cho {X
n

; n  1} là một trường các biến ngẫu nhiên E- giá
trị. Ta có,
1) X
n
→ 0 h.c.c. khi |n| → ∞ nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0,
lim
n→∞
P

sup
kn
X
k
 ≥ ε

= 0. (1.4)
2) X
n
→ 0 h.c.c. khi n → ∞ nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0,
lim
n→∞
P

sup
kn
X
k
 ≥ ε

= 0. (1.5)

Chứng minh. 1) Điều kiện cần. Giả sử rằng X
n
→ 0 h.c.c. khi |n| → ∞.
Với mỗi  > 0, lấy A

n
= {sup
kn
X
k
 ≥ } và A

=

n1
A

n
, ta có
16
P (A

) = 0. Đặt n = (n
1
, n
2
, , n
d
) = (n
1

, n
1
), bởi tính liên tục của
độ đo xác suất, nên
0 = P (A

) = P (

n1
A

n
) = lim
n
1
→∞
P (

n
1
1
A

n
) = = lim
n→∞
P (A

n
),

ta được (1.5).
Điều kiện đủ. Giả sử (1.5) đúng, với mọi n ∈ N
d
và i ∈ N, ta đặt
A
i
n
= {sup
kn
X
k
 ≥
1
i
} và A =

i≥1

n1
A
i
n
.
Do tính liên tục của độ đo, ta có
P (A) = P (

i≥1

n1
A

i
n
) = lim
i→∞
lim
n→∞
P (A
i
n
) = lim
i→∞
0 = 0,
tức là X
n
→ 0 h.c.c. khi |n| → ∞.
2) Chứng minh (2) tương tự như chứng minh (1).
Bổ đề 1.2.5. Cho {X
n
; n  1} là trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị.
Ta có, X
n
hội tụ h.c.c. khi n → ∞ nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0,
lim
n→∞
P

sup
k0
X
n+k

− X
n
 > ε

= 0. (1.6)
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử rằng X
n
→ X h.c.c. khi n → ∞.
Theo Bổ đề 1.2.4 thì sup
mn
X
m
−X hội tụ theo xác suất về 0 khi n → ∞.
Hơn nữa, do bất đẳng thức sau
sup
k0
X
n+k
− X
n
 ≤ sup
mn
X
m
− X + X
n
− X.
Do đó (1.6) đúng.
Điều kiện đủ. Giả sử (1.6) đúng. Lấy n


= (n, n, , n), k

= (k, k, , k),
ta có n → ∞ khi và chỉ khi n

 → ∞. Đặt Y
n
= X
n

(n ≥ 1); với bất kỳ
ε > 0,
lim
n→∞
P

sup
k≥0
Y
n+k
− Y
n
 > ε

= lim
n

→∞
P


sup
k

0
X
n

+k

− X
n

 > ε

= 0
17
suy ra Y
n
hội tụ h.c.c. tới một biến ngẫu nhiên E-giá trị X khi n → ∞
tức là X
n

hội tụ h.c.c. tới X khi n

 → ∞. Tiếp theo ta chứng minh
X
n
→ X h.c.c. khi n → ∞.
Với mỗi ε > 0,
P


sup
nn

X
n
− X > ε

≤ P

sup
nn

X
n
− X
n

 > ε/2

+ P (X
n

− X > ε/2) → 0 khi n → ∞,
suy ra X
n
→ X h.c.c. khi n → ∞.
1.2.2 Hội tụ hoàn toàn
Định nghĩa 1.2.6. Một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n

; n  1}
được gọi là hội tụ hoàn toàn tới 0 nếu với mọi ε > 0, thì

n1
P (X
n
 > ε) < ∞.
Khi đó, ta ký hiệu X
n
c
−→ 0.
Rõ ràng, một trường các biến ngẫu nhiên hội tụ hoàn toàn tới 0 thì
trường biến ngẫu nhiên đó sẽ hội tụ h.c.c. tới 0 khi |n| → ∞.
Bổ đề 1.2.7. Cho {b
n
; n  1} là một trường các hằng số dương sao cho
b
n
≤ b
m
với mọi n  m và sup
n1
b
2
n+1
b
2
n
< ∞. Lấy {X
n

; n  1} là một
trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị. Khi đó

n1
1
|n|
P { max
1kn
X
k
 > b
n
} < ∞ với mọi  > 0, (1.7)
nếu và chỉ nếu
1
b
2
n
max
1k2
n
X
k

c
−→ 0.
Hơn nữa, (1.7) suy ra rằng
1
b
n

max
1kn
X
k
 → 0 h.c.c. khi |n| → ∞.
Chứng minh. Chứng minh tương tự như chứng minh Định lý 3.1 của [16]
ta thu được bổ đề.
18
1.2.3 Hội tụ hoàn toàn trung bình
Định nghĩa 1.2.8. Cho p > 0, một trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị
{X
n
; n  1} được gọi là hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới 0 nếu

n1
EX
n

p
< ∞.
Khi đó, ta ký hiệu X
n
c,L
p
−→ 0.
Rõ ràng, với mỗi p > 0 thì hội tụ hoàn toàn trung bình cấp p tới 0 thì
sẽ hội tụ h.c.c. cũng như hội tụ trung bình cấp p về 0.
1.3 Trường các hiệu martingale
Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm về trường tương thích,
trường các hiệu martingale và trường các hiệu martingale mạnh. Các

định nghĩa dưới đây có hiệu lực khi thay thế tập chỉ số hữu hạn {n ∈
Z
d
; m  n  M} bằng các tập chỉ số dạng {n ∈ Z
d
; n  m},N
d
hoặc
Z
d
.
Định nghĩa 1.3.1. Cho {X
n
; m  n  M} là một trường các biến ngẫu
nhiên E- giá trị và {F
n
; m  n  M} là một trường các σ- đại số con
không giảm của F tương ứng với quan hệ thứ tự  trên Z
d
. Đặt F
∗
n
=
σ{F
k
; ∨
d
i=1
(k
i

≤ n
i
)} với m − 1  n  M. (trong đó ta quy ước F
k
=
{∅, Ω} nếu k  m − 1).
1) Một trường {X
n
, F
n
; m  n  M} được gọi là trường tương thích
nếu X
n
là F
n
-đo được với mọi m  n  M.
2) Một trường tương thích {X
n
, F
n
; m  n  M} được gọi là trường
các hiệu martingale nếu
E(X
n
|F
∗
n−1
) = 0 với mọi m  n  M. (1.8)
3) Một trường các hiệu martingale {X
n

, F
n
; m  n  M} được gọi là
trường các hiệu martingale mạnh nếu E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) là F
n
-đo được
với mọi m  n  M và A ∈ σ(X
n
).
19
Nhận xét 1.3.2. Khi d = 1 (chỉ số một chiều) nếu {X
n
, F
n
; m ≤ n ≤ M}
là một dãy các hiệu martingale, bởi vì E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) = E(X

n
I
A
|F
n−1
) ∈
F
n−1
, nên {X
n
, F
n
; m ≤ n ≤ M} là dãy các hiệu martingale mạnh.
Tuy nhiên trong trường hợp d > 1 (chỉ số nhiều chiều) thì một trường
hiệu martingale không nhất thiết là trường hiệu martingle mạnh, bởi
vì E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) có thể không phải là F
n
-đo được.
Sau đây là một số ví dụ minh họa các khái niệm trên.
Ví dụ 1.3.3. Cho {X
n
; 1  n  N} là một trường các biến ngẫu nhiên
E-giá trị độc lập, kỳ vọng 0. Đặt F

n
= σ(X
k
; k  n), thì E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) =
E(X
n
I
A
) với mọi A ∈ σ(X
n
) và n ∈ N
d
. Vì vậy, {X
n
, F
n
; n ∈ N
d
} là
một trường các hiệu martingale mạnh.
Ví dụ 1.3.4. Cho {X
n
, G

n
; n ≥ 1} là một dãy các hiệu martingale. Ta đặt
X
n
= X
n
nếu n = (n, n, , n) và X
n
= 0 nếu n = (n, n, , n);
G
n
= G
n
nếu n = (n, n, , n) và G
n
= {∅, Ω} nếu n = (n, n, , n).
Lấy F
n
= σ{G
k
, k  n}. Khi đó với mọi A ∈ σ(X
n
), n  1 ta có E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) =

E(X
n
I
A
|G
n−1
) nếu n = (n, n, , n) và E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) = 0 nếu ngược lại,
nên E(X
n
I
A
|F
∗
n−1
) ∈ F
n
. Hơn nữa, E(X
n
|F
∗
n−1
) = 0 với mọi n  1. Vậy
{X

n
, F
n
; n  1} là một trường các hiệu martingale mạnh, nhưng không
phải là trường các biến ngẫu nhiên độc lập.
Nhận xét 1.3.5. 1) Khái niệm trường các hiệu martingale đã được định
nghĩa bởi Quang, Huan [44] cho trường hợp d = 2 và gọi là mảng hiệu
martingale.
2) Khái niệm trường hiệu martingale được định nghĩa khác đã cho trong
[8], [30] như sau (ta tạm gọi đó là trường các hiệu martingale theo
nghĩa thông thường):
Một trường tương thích {X
n
, F
n
; m  n  M} được gọi là trường
các hiệu martingale theo nghĩa thông thường nếu
E(E(X|F
m
)|F
n
) = E(X|F
m∧n
) với mọi X ∈ L
1
(1.9)
20
và
E(X
n

|F
n−1
) = 0 với mọi m  n  M. (1.10)
Đối với định nghĩa trường các hiệu martingale trong luận văn này thì
điều kiện (1.9) của {F
n
; m  n  M} là không đòi hỏi, tuy nhiên điều
kiện (1.8) thì yêu cầu mạnh hơn điều kiện (1.10).
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng có những trường các hiệu martingale nhưng
không phải là trường các hiệu martingale theo nghĩa thông thường, hơn
nữa cũng không phải trường các biến ngẫu nhiên độc lập.
Ví dụ 1.3.6. Cho {X
n
; 1  n  N} là trường các biến ngẫu nhiên độc
lập, kì vọng 0. Đặt F
n
= σ(X
k
, k  n) và Y
n
=

kn
X
k
. Nếu EY
n
< ∞ với
mọi n  N, thì E(Y
n

I
A
|F
∗
n−1
) = 0 với mọi 1  n  N và mọi A ∈ σ(Y
n
).
Vì vậy, {X
n
, F
n
; 1  n  N} là một trường các hiệu martingale mạnh,
nhưng không phải là trường các biến ngẫu nhiên độc lập và cũng không
phải trường các hiệu martingale theo nghĩa thông thường vì điều kiện (1.9)
là không đúng với {F
n
; 1  n  N}.
Sau đây là một số bất đẳng thức quan trọng về trường các hiệu mar-
tingale E-giá trị.
Bất đẳng thức đầu tiên với phương pháp chứng minh bằng cách đánh
số lại, tương tự như chứng minh Bổ đề 2.1 trong [43].
Bổ đề 1.3.7. Cho 1 ≤ p ≤ 2, q ≥ 1 và E là một không gian Banach
p-khả trơn. Khi đó tồn tại hằng số dương C sao cho với trường các hiệu
martingale E -giá trị {X
n
, F
n
; 1  n  N}, ta có
E


1nN
X
n

q
≤ CE


1nN
X
n

p

q/p
. (1.11)
Chứng minh. Với trường các hiệu martingale E -giá trị {X
k
, F
k
; 1  k  N},
ta định nghĩa dãy {Y
k
, G
k
; 1 ≤ k ≤ |N|} xác định bởi
Y
1
= X

(1, ,1,1)
; Y
2
= X
(1, ,1,2)
; ; Y
N
d
= X
(1, ,1,N
d
)
;
Y
N
d
+1
= X
(1, ,2,1)
; Y
N
d
+1
= X
(1, ,2,2)
; ; Y
|N|
= X
N
,

21
với mọi 1 ≤ k ≤ |N|, lấy G
k
= σ{Y
i
; 1 ≤ i ≤ k}. thì
E(Y
k
|G
k−1
) = E(E(X
i
|F
∗
i
)|G
k−1
) = 0,
(với Y
k
= X
i
) nên {Y
k
; G
k
; 1 ≤ k ≤ |N|} là một dãy các hiệu martingale
E -giá trị. Từ bất đẳng thức (1.1) ta có (1.11).
Bổ đề sau là phiên bản d chiều của Bổ đề 1.1 trong [44].
Bổ đề 1.3.8. Cho E là không gian Banach khả ly p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2.

Khi đó tồn tại hằng số C sao cho với mọi trường các hiệu martingale
{X
n
, F
n
; 1  n  N} trong E , ta có
E max
1nN


1kn
X
k

p
≤ C

1nN
EX
n

p
. (1.12)
Chứng minh. Lặp lại chứng minh của Bổ đề 1.1 trong [44].
Định nghĩa 1.3.9 ([35]). Trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n
; n ∈
N
d
} được gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu, tồn tại

hằng số dương C < ∞,
P {X
n
 ≥ x} ≤ CP{X ≥ x}
với mọi n ∈ N
d
và x > 0.
Cho trường các biến ngẫu nhiên E-giá trị {X
n
; n ∈ N
d
} và trường các
số thực khác không {b
n
; n ∈ N
d
}. Ta ký hiệu X
n
= O
P
(b
n
) nếu
sup
n1
P

X
n


b
n
> x

→ 0 khi x → +∞.
1.4 Toán tử ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.4.1. ( [73]) Cho E; H là hai không gian Banach khả ly.
1) Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → L
H
0
(Ω) từ E vào L
H
0
(Ω) được
gọi là toán tử ngẫu nhiên từ E vào H. Một toán tử ngẫu nhiên từ E
vào E được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên E.
22
2) Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L
H
0
(Ω) được gọi là bị chặn nếu tồn
tại một biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mỗi x ∈ E,
Ax(ω)  k(ω)x h.c.c. (1.13)
Chú ý rằng miền xác định h.c.c. trong (1.13) là phụ thuộc vào x.
Nếu E = R
n
; H = R
m
là các không gian hữu hạn chiều thì mọi toán tử
ngẫu nhiên A : E → L

H
0
(Ω) là bị chặn và khi đó, nó chính là ma trận ngẫu
nhiên n × m. Trong trường hợp tổng quát, một toán tử có thể không bị
chặn. Trong [73]đã chỉ ra các ví dụ về toán tử không bị chặn, đồng thời
cũng chứng minh được khẳng định sau.
Định lý 1.4.2. ([73]) Một toán tử ngẫu nhiên A : E → L
H
0
(Ω) là bị chặn
nếu và chỉ nếu tồn tại ánh xạ T
A
: Ω → L(E, H) sao cho
Ax(ω) = T
A
(ω)x h.c.c (1.14)
Dễ thấy rằng ánh xạ T
A
là xác định duy nhất theo nghĩa: nếu T
(1)
A
, T
(2)
A
thỏa mãn (1.14) thì T
(1)
A
(ω) = T
(2)
A

(ω) h.c.c Hơn nữa, ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.4.3. T
A
 là các biến ngẫu nhiên thực.
Chứng minh. Lấy {x
n
, n ≥ 1} là một dãy trù mật trong hình cầu đơn vị
{x ∈ X : x = 1}. Khi đó với mọi ω ∈ Ω, ta có
T
A
(ω) = sup
n≥1
T
A
(ω)x
n
.
Mặt khác, vì
Ax(ω) = T
A
(ω)x h.c.c.,
nên tồn tại tập D với xác suất 1 sao cho mỗi ω ∈ D,
Ax
n
(ω) = T
A
(ω)x
n
với mọi n ≥ 1.
Cố định ω ∈ D ta được

T
A
(ω) = sup
n≥1
T
A
(ω)x
n
 = sup
n≥1
A(ω)x
n
.
Vậy T
A
 là biến ngẫu nhiên thực.
23
Lấy A là một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ không gian Banach E vào
không gian Banach H, trong [73] đã xác định một mở rộng của toán tử A
thành ánh xạ tuyến tính liên tục
˜
A : L
E
0
(Ω) → L
H
0
(Ω) bởi thuật toán sau
đây:
• Nếu u là biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị u(ω) =


n
i=1
1
E
i
x
i
(với
{E
i
}
n
i=1
∈ F và rời nhau) thì
˜
Au =

n
i=1
1
E
i
Ax
i
.
• Nếu u ∈ L
E
0
, lấy dãy các biến ngẫu nhiên đơn giản E-giá trị {u

n
; n ≥
1} và p − lim
n→∞
u
n
= u. Khi đó p − lim
n→∞
˜
Au
n
tồn tại và giới hạn này
không phụ thuộc vào việc chọn dãy xấp xỉ {u
n
; n ≥ 1}, nó được ký
hiệu là
˜
Au.
Từ bây giờ để cho đơn giản ta viết Au thay cho
˜
Au và gọi là tác động của
toán tử ngẫu nhiên A lên biến ngẫu nhiên u.
Trong trường hợp với dãy toán tử, ta định nghĩa các khái niệm hội tụ
như sau.
Định nghĩa 1.4.4. Cho E, H là các không gian Banach khả ly, A, A
n
(n ≥
1) : E → L
H
0

(Ω) là các toán tử ngẫu nhiên.
1) A
n
được gọi là hội tụ tới A h.c.c. nếu với mỗi x ∈ E,
lim
n→∞
A
n
x(ω) = Ax(ω) h.c.c
2) Giả sử rằng Ax, A
n
x ∈ L
H
p
(Ω), ∀x ∈ E. Thì A
n
được gọi là hội tụ tới
A theo trung bình cấp p nếu với mỗi x ∈ E,
lim
n→∞
EA
n
x − Ax
p
= 0.
3) Giả sử A, A
n
(n ≥ 1) là các toán tử bị chặn. Thì A
n
được gọi là hội

tụ đều tới A h.c.c. nếu
lim
n→∞
T
A
n
(ω) − T
A
(ω)
L(E,H)
= 0 h.c.c.
và được gọi là hội tụ đều tới A trong L
p
(hội tụ đều theo trung bình
cấp p) nếu
lim
n→∞
ET
A
n
− T
A

p
L(E,H)
= 0.
24
Cuối cùng, ta định nghĩa các khái niệm về các toán tử ngẫu nhiên độc
lập và dãy các martingale toán tử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.4.5. Cho A là một toán tử ngẫu nhiên từ E vào H.

F(A) được ký hiệu là σ-trường sinh bởi họ {Ax; x ∈ E} các biến
ngẫu nhiên H-giá trị.
1) Ta nói rằng A và biến ngẫu nhiên u ∈ L
E
0
(Ω) là độc lập nếu F(A) và
F(u) là độc lập, ở đây ký hiệu F(u) là σ-trường sinh bởi u.
2) Ta nói rằng A và σ-trường con G của F là độc lập nếu F(A) và G là
độc lập.
3) Lấy {A
k
}
n
k=1
là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào H. Dãy toán tử
ngẫu nhiên {A
k
}
n
k=1
được gọi là độc lập nếu các σ-trường {F
k
(A)}
n
k=1
là độc lập.
4) Lấy {A
n
; n ≥ 1} là dãy các toán tử ngẫu nhiên từ E vào H, đặt
F

n
= F(A
n
). Dãy toán tử ngẫu nhiên {A
n
; n ≥ 1} được gọi là dãy
các martingle toán tử ngẫu nhiên nếu E(A
n+1
x|F
n
) = A
n
x với mọi
x ∈ E, n ≥ 1.
Kết luận chương 1
Trong Chương 1, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
- Trình bày các khái niệm cần thiết, các bổ đề quan trọng để phục vụ
các chương sau.
- Đưa ra các định nghĩa về trường các hiệu martingale, trường các hiệu
martingale mạnh, các ví dụ và so sánh quan trọng.
- Đưa ra các định nghĩa về dãy martingale toán tử ngẫu nhiên, dãy toán
tử ngẫu nhiên độc lập, các loại hội tụ của dãy toán tử ngẫu nhiên.
25
CHƯƠNG 2
LUẬT SỐ LỚN CHO TRƯỜNG CÁC HIỆU MARTINGALE
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về luật mạnh số lớn
cho trường hộp các α-hiệu martingale, luật số lớn dạng Brunk-Prokhorov
cho trường các hiệu martingale và luật yếu số lớn cho trường các biến ngẫu
nhiên α-tương thích mạnh, nhận giá trị trong không gian Banach E. Các
kết quả này đã được công bố trong Stat. Probab. Lett. [58], J. Inequal.

Appl. [72], nhận đăng trong J. Probab. Stat. Sci. [62] và được gửi đăng
trong J. Bull. Korean Math. Soc. [63].
2.1 Luật mạnh số lớn cho trường hộp các α-hiệu
martingale
Năm 1987, Móricz [37] đã giới thiệu khái niệm m-hộp phụ thuộc của
dãy các biến ngẫu nhiên thực và mở rộng luật số lớn dạng Kolmogorov
cho trường hợp này, tiếp sau đó rất nhiều tác giả đã nghiên cứu khái niệm
hộp phụ thuộc và đưa ra các kết quả về luật số lớn cho các hộp phụ thuộc
trong những trường hợp khác, chẳng hạn cho các biến ngẫu nhiên nhận
giá trị trong không gian Banach, hoặc cho trường hợp đa chỉ số (xem
Gaposhkin [21], Rosalsky, Thành [50], Quảng, Thành [47], [48]), gần đây
Móricz, Stadtm¨uller và Thalmaier [38] đã giới thiệu khái niệm mảng các
hộp hai chỉ số M-phụ thuộc và thiết lập luật số lớn dạng Kolmogorov, kết
quả này được mở rộng bởi Stadtm¨uller và Thành [67] đặc biệt Huấn,
Quảng, Volodin [29] đã đưa ra khái niệm hộp martingale hai chỉ số và
nghiên cứu luật số lớn dạng Kolmogorov và Marcinkiewiz-Zygmund.
Trong phần này chúng tôi giới thiệu khái niệm trường hộp các α-hiệu
26
martingale, trường hộp các M-hiệu martingale và mở rộng các luật số lớn
dạng Kolmogorov, Marcinkiewiz-Zygmund. Nội dung chính của phần 2.1
này dựa theo [72] và [63]. Đầu tiên là một số ký hiệu và khái niệm.
Cho các dãy số thực dương tăng chặt {ω
i
(k); k ≥ 1}, {Γ
i
(k); k ≥ 1}
với ω
i
(1) = Γ
i

(1) = 1, (1 ≤ i ≤ d) và các dãy số nguyên dương, không
giảm {α
i
(k); k ≥ 1} (1 ≤ i ≤ d). Với m, n ∈ N
d
, ta giới thiệu các khái
niệm sau:
ω(n) = (ω
1
(n
1
), , ω
d
(n
d
)); Γ(n) = (Γ
1
(n
1
), , Γ
d
(n
d
));
α(n) = (α
1
(n
1
), , α
d

(n
d
));
∆
n
=

ω(n), ω(n + 1)

; ∆
m
= [Γ(m), Γ(m + 1)); ∆
m
n
= ∆
n
∩ ∆
m
;
I
m
= {n : ∆
m
n
= ∅}; c
m
= cardI
m
;
ϕ

1
(n) =
∞

k1
c
k
I
∆
k
(n); φ
1
(n) = max
kn
ϕ
1
(k);
ϕ
2
(n) =

k1
|α(Γ(k + 1))|.c
k
I
∆
k
(n); φ
2
(n) = max

kn
ϕ
2
(k).
Định nghĩa 2.1.1. Cho {X
k
, F
k
; n  k  m} là một trường tương thích
các biến ngẫu nhiên E- giá trị. Đặt F
∗
k
= σ{F
l
: ∨
d
i=1
(l
i
≤ k
i
)} với k  m
(trong đó ta quy ước F
k
= {∅, Ω} nếu k  n − 1).
1) {X
k
, F
k
; n  k  m} được gọi là trường các α-hiệu martingale nếu

E(X
k
|F
∗
k−α(k)
) = 0 với mọi n  k  m.
Trong trường hợp α(n) = M với mọi n ∈ N
d
ta gọi {X
k
, F
k
; n  k  m}
là trường các M-hiệu martingale.
Khi M = 1 ta được khái niệm trường các hiệu martingale đã định
nghĩa ở chương 1.
2) Trường các α-hiệu martingale (M-hiệu martingale) {X
k
, F
k
; n  k  m}
được gọi là các α-hiệu martingale mạnh (M-hiệu martingale mạnh)
nếu E(X
k
I
A
|F
∗
k−α(k)
) (E(X

k
I
A
|F
∗
k−M
)) là F
k
-đo được với mọi n  k  m
và A ∈ σ(X
k
).
27