Tiểu luận ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (596.47 KB, 30 trang )
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN
TIỂU LUẬN
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
ĐỀ TÀI:
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT
VÀ BÀI TẬP
GVHD: Trần Chiến
Lớp: 211301101
Khoa: Kế Tốn – Kiểm Tốn
Nhóm 1:
1. Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071)
2. Bùi Văn Tiệp (08267261)
3. Phạm Văn Tồn (08096701)
4. Nguyễn Như Tn (08251411)
Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
PHẦN I: LÝ THUYẾT
Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất
3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn
3.1.1. Phân phối đều:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều
trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là:
Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân
phối đều là:
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
đều trên [a,b] là:
Hình 1: Đồ thị hàm mật độ
của phân phối đều.
Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất
của phân phối đều.
Các đặc trưng số của phân phối đều:
Kỳ vọng: E ( X )
b
xf ( x) dx
x
ab
dx
Med ( X )
ba
2
a
Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Với: E(X2) =
b
x 2 f ( x)dx
x2
1
dx (b 2 ab a 2 )
ba
3
a
E( X )
b
xf ( x) dx
x
ab
(Tính ở trên)
dx
ba
2
a
Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
=
1 2
a b 2 (b a ) 2
(b ab a 2 ) - (
) =
3
2
12
3.1.2. Phân phối chuẩn:
Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là:
1
f(x)=
e
2
( x )2
2 2
Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2)
Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là:
x
1
F(X)=
e
2
( t )2
2 2
dt
Do hàm mật độ của phân phối chuẩn khơng có ngun hàm sơ cấp nên ta
không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp.
Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối
chuẩn như sau:
Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của
phân phối chuẩn.
Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác
suất của phân phối chuẩn.
Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chng nên phân phối
chuẩn cịn có tên gọi là phân phối hình chng.
Các đặc trưng số của phân phối chuẩn:
1
Kỳ vọng: E(X) = x.
e
2
( x )2
2 2
dx =
Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X)
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
1
Với: E(X ) = x .
e
2
2
2
E (X) =
2
( x )2
2
2 2
2
2
dx = µ + σ
Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 – 2 = σ2
Vậy phương sai : D(X) = σ2
Ta thấy hai tham số và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối
chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hồn tồn xác định khi
biết kì vọng và phương sai của nó.
Tính xác suất: Giả sử X ~ N( ;σ2)
b
1
P[a≤ X ≤b] =
e
a 2
( x )2
2 2
dx = (
b
a
) (
)
Quy tắc 3 : Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng và phương sai σ2
X
P[ X ] P
2 ( ) 1
Với ta có: P[ X ]=2 (1) - 1 = 0,6826
Với 2 ta có: P[ X 2 ]=2 (2) - 1 = 0,9544
Với 3 ta có: P[ X 3 ]=2 (3) - 1 = 0,9973
Như vậy nếu X ~ N(( ;σ2) thì P[ X ] 1 khi 3 . Điều này có
nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai
σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [ - 3σ , + 3σ]
Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân
phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối
chuẩn tắc được kí hiệu là ( x) cịn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí
hiệu là ( x) còn gọi là hàm Laplace.
- Hàm ( x) là hàm chẵn, ( x) ( x) , trong khoảng (0, +∞) thì hàm ( x) đơn
điệu giảm. (0) 0,3989 , (1) 0, 2420 , (2) 0, 0540 , (3) 0, 0044 ,
(4) 0, 0001 và nếu x≥4 thì ( x) 0
x
- Hàm ( x) =
(t )dt Hàm ( x)
là hàm lẻ.
Ta có: (0) 0,5 , (1) 0, 2420 , (2) 0,0540 , (3) 0, 0044 , (3,9) 0, 0001 và
nếu x≥4 thì ( x) 1 và nếu x < -4 thì ( x) 0
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Hình 5 : Đồ thị hàm ( x)
3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov)
Hình 6 : Đồ thị hàm ( x)
Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một.
n
Đặt Y =
n
n
X i ; EXi và 2 VarX i
i 1
i 1
i 1
3
n
E X i EX i
Nếu EXi , VarXi hữu hạn và lim
0
n
3
i 1
Thì Y ( ; 2 )
3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức
3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức:
Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với
quy luật phân phối nhị thức.
H(N, M, n) B(n, p)
K
Ta có: P[X=K] =
c .c
c
n K
M
N M
n
K
c n . p K .q n K với (q=1–p)
N
Ví dụ : Một lơ hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400
sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong
10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra.
X={0,1,2,...,9,10}
Ta có: X ~ H(1000, 600, 10) B(10; 0,6)
K
Suy ra: P[X=K] =
c .c
c
600
10 K
K
c10.(0, 6) K .(0, 4)10 K
400
10
với K= 0;10
1000
Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra.
3
Suy ra: P(A) = P[X=3]=
c .c
c
7
600
400
10
3
c10.(0, 6) 3.(0, 4) 7 = 0,04246
1000
3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức:
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức
xấp xỉ quy luật phân phối poisson.
B(n, p) P ( )
e . K
K
Ta có: P(X=K) = c n . p K .q n K
với =np và K= 0;
K!
Ví dụ: Tại một trận địa phịng khơng, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường.
Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn
trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì
chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng
bắn, mỗi lần bắn một viên.
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
X={0,1,2,...,1000}
Ta có: X ~ B(1000; 0,001) P ( )
Với: = np = 1000 x 0,001 = 1
Suy ra: X ~ B(1000; 0,001) P (1)
Gọi B là biến cố máy bay bị rơi.
Gọi A0 là biến cố khơng có viên đạn nào trúng máy bay
A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay
A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay
Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)
Với P(A0) = P(X=0) =
0
0
1000
c1000.(0, 001) .(0,999)
e 1.1 0 1
0!
e
P(B/ A0) = 0
P(A1) = P(X=1) =
1
1
999
c1000.(0, 001) .(0,999)
e 1.11 1
1!
e
P(B/A1) = 0,8
P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 -
2
e
P(B/A2) = 1
Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2)
=
1
1
2
.0 + .0,8 + (1 - ).1 = 0,5585
e
e
e
Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn
một viên là 0,5585
3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức
Khi n khá lớn (n≥30) và P không quá gần 0, cũng khơng q gần 1 (0< P <1)
thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có:
1
K
K
o P[X=K] = c n . p K .q n K . (u ) với u
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
o P[K1
K2
K
) ( 1
)
Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu
của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu?
Giải:
Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu
X = {0,1,2,..100}
X ~ B(100; 0,8) N ( ; 2 )
Với =100. 0,8 = 80 và 2 = npq = 100.0,8.0,2 = 16
Suy ra: X ~ B(100; 0,8) N(80;16)
Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu
1 70 80
1
.(0,8)70 .(0, 2)30 . (
) . ( 2,5)
4
4
4
1
1
. (2,5) .0, 0175 0, 004375
4
4
Suy ra: P(A) = P(X=70) =
c
70
100
Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375
PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT
II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH
Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi
(khơng hồn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen?
Giải:
Xác suất cả hai đều là bi trắng:
Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng
B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng
C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng
1
1
C8 C7
8*7
4
* 1
1
C14 C13 14*13 13
4
Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là :
13
P(C ) P( A * B) P( A)* P( B / A)
Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen
Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng
B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen
C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen
C AB AB
P(C ) P ( AB AB) P( AB) P( AB)
P ( A) P ( BA) P( A) P( B / A)
1 1
C8 C6
C 1C1
48 48 48
16 8
1
1
1
C14 C13 C14C13 182 182 91
II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES
Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg
và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra khơng lép,
tính xác suất hạt này là của bao thứ 2.
Giải:
Xác suất hạt bốc ra là hạt lép
Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất”
A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai”
A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba”
B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép”
Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3)
Với
20
0, 2
20 30 50
30
P(A2) =
0,3
20 30 50
50
P(A3) =
0,5
20 30 50
P(A1) =
P(B/A1) = 0,01
P(B/A2) = 0,02
P(B/A3) = 0,03
P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3%
Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3%
Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai:
Gọi B : “Biến cố hạt lấy ra không lép”
P( B ) = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977
Suy ra :
P ( A2 / B ) =
0,3.0,98
P ( A2 ).P ( B / A2 )
=
0,3009 = 30,09%
0, 977
P( B)
Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09%
Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ;
hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang
hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó
lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh.
Giải:
Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì A là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1
Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì B là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2
Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3
P(A) =
C
C
1
3
1
7
3
3 4
P ( A) 1
7 7
7
Áp dụng công thức đầy đủ
P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/ A )P( A )=
Lớp: 211301101
C
C
1
1
3
5
6 4
. C1 . =
7
7 C9 7
9
7
1
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
P( B ) 1 P( B) 1
GVHD: Trần Chiến
5 2
7 7
Áp dụng công thức đầy đủ
P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/ B ).P( B ) =
C
C
1
1
5
2 5 5 4 2 11
. C14 . . .
7 C 12 7 12 7 12 7 28
12
5
1
Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là:
11
28
II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC
Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ
kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần)
a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
Giải:
a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được.
Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được X 0,1, 2
X 0 P0 P X 0
X 1 P P X 1
1
C50C32 1.3 3
C82
28 28
1 1
C5C3 5.3 15
C82
28 28
X 2 P2 P X 2
C52 C30 10
C82
28
Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt)
X
0
1
P X
3
28
15
28
2
10
28
Khi x 0 F ( X ) P( X x) P() 0
Khi 0 x 1 F ( X ) P X x P X 0
3
28
Khi1 x 2 F ( X ) P X x P X 0 P X 1
3 15 18
28 28 28
Khi x 2 F ( X ) P X x P X 0 P X 1 P X 2
3 15 10
1
18 18 28
Vậy hàm phân phối xác suất là:
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
0 nếu x 0
F(X )
3
nếu 0
28
18
nếu 1
1 nếu x>2
b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được.
Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: X 0,1, 2
Ta tính xác suất tương đương của X
Khi X 0 P0 P X 0
Khi X 1 P P X 1
1
0
C3 C52 10
C82
28
1 1
C3 C5 3.5 15
C82
28 28
Khi X 2 P2 P X 2
C32 C50 3
C82
28
Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu)
X
0
1
P( X )
10
28
15
28
2
3
28
Khi 0 x F ( X ) P X x P 0
Khi 0 x 1 F ( X ) P X 0
10
28
10 15 25
28 28 28
Khi x 2 F ( X ) P X 0 P X 1 P X 2 1
Khi 1 x 2 F ( X ) P X 0 P X 1
Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là:
0 nếu x 0
F(X) =
10
nếu 0 x 1
28
25
nếu 1 x 2
28
1 nếu x>2
c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu.
3
15
10 35
1. 2.
28
28
28 28
10
15
3 21
Kỳ vọng sản phẩm xấu là: E2 X 0. 1. 2.
28
28
28 28
2
3
15
10 55
Ta có: E1 ( X 2 ) xi 2 pi 02. 12. 22.
28
28
28 28
0
Kỳ vọng sản phẩm tốt: E1 X 0.
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
E2 X 2 0 2.
GVHD: Trần Chiến
10 2 15
3 27
1
22.
28
28
28 28
Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là: D1 X E1 X 2 [ E1 X ]2
45
112
2
27 21
45
Và phương sai của số sản phẩm xấu là: D2 X E2 X [ E2 X ]
28 28 112
2
2
x2
, x [0;3]
Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: f ( x) 9
0, x [0;3]
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng
(1;4)
Giải:
a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX
* Tìm hàm phân phối F(x):
x
Khi x 0 F ( x ) P( X x)
f (t )dt 0
0
Khi 0
x
t2
x3
f (t ) f (t )dt 0 9 dt 27
0
0
x
Khi x >3 F ( x) P( X x)
x
0
f (t ) dt
3
f (t ) dt f (t )
0
f (t )dt 1
3
Vậy hàm phân phối xác suất của x là:
0
3
x
F ( x)
27
1
nếu x 0
nếu 0
* ModX:
Ta có f(x)=
x2
2x
nếu 0 x 3 f , ( x)
f , ( x) 0 x 0
9
9
Bảng xét dấu f(x):
x
0
f ’(x)
Lớp: 211301101
3
+
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
f(x)
mod(x) = 3
* MedX:
a
Gọi a là median của x thì a 0,3
0
Vậy med(x)= 2
a3 1
3
x2
1
a 2
dx
27 2
9
2
2
3
2
* EX:
0
3
3
3
E(x)= xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx xf ( x)dx
0
3
0
0
x3
3
dx
9
4
* VarX:
2
2
3
x4
3
387
xf ( x) dx 0 dx
D(x)= x f ( x)dx
9
80
4
0
2
b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4)
Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là :
4
3
4
3
P(1
1
3
1
x2
26
dx 0
9
27
Gọi A là biến cố để trong 3 phép thử độc lập cố 2 lần x thuộc (1,4) thì A tn theo
cơng thức bernoulli vói p=
26
, k=2,n=3
27
26
P(A) = C 3 p (1 p ) 3.
27
2
2
2
26 676
0,103
1
27 6516
Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là
P(A) = 0,103
II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT
II.4.1. Phân phối Poisson
Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong
một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một
phút, khơng ít hơn hai cuộc gọi trong một phút.
Giải:
Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút.
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút:
300
5
60
Suy ra: X~ P ( )
Ta có: P( X K )
e 5 .5K
, K 0, n
K!
Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến.
Suy ra: P( A) P( X 2)
e 5 5 2
0, 0842
2!
Gọi B là biến cố trong một phút khơng ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến.
Suy ra: P( B) P( X 2) 1 P ( X 2) 1 P( X 0) P( X 1)
1[
e5 e 5 .5
] 1 6e5 0,9595
1
1
Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842
Xác suất trạm điện thoại nhận khơng ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595
Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu
nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Giải:
Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách.
là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách: =
100
0,1
1000
Suy ra: X~ P( )
Ta có: P( X K )
e 0,1.0,1K
, K 0, n
K!
Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai.
Suy ra: P( A) P( X 3)
e 0,1 .0,13
0, 00015
3!
Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai.
Suy ra: P( B) P( X 3) 1 [P ( X 0) P( X 1) P( X 2) P( X 3)]
1 (
e0,1.0,10 e 0,1.0,11 e 0,1.0,12 e 0,1.0,13
) 0, 0000038
0!
1!
2!
3!
Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015
Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038
II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức
Câu 56: Một lơ hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra
ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lơ hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu
cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm khơng bé hơn 91%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để
xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm khơng nhỏ hơn 91% thì A là biến cố khơng
nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít
nhất 1 phế phẩm khơng nhỏ hơn 91%
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố
A thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân
theo lược đồ bernoulli
Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p =0,003 và q = 0,997
P( A ) = P(X=0)=
C
P(A) = 1- (0,997)
0
.(0,003)0.(0,997)n = (0,997)n
n
n
Theo đề P(A) 0,91 1- (0,997)n 0,91 n
ln(0,09)
801, 4
ln(0,997)
Vì n Z nên chọn n = 802
Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm
không nhỏ hơn 91%
Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu
nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm
tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Suy ra A là biến cố không chọn được học sinh nào bị cận thị trong tối thiểu n học sinh
chọn ra để xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95%
Hai biến cố A và A là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác suất của biến cố A
thì xác suất của biến cố A là P( A ) = 1- P(A)
Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy
ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị
cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli
Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli
Với p= 0,009 và q = 0,991
P( A ) = P(X=0)=
C
0
n
.(0,009)0.(0,991)n = (0,991)n
n
P(A) = 1 - (0,991)
Theo đề P(A) 0,95 1 - (0,991)n 0,95 n.ln(0,991) ln(0,05)
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
n
GVHD: Trần Chiến
ln(0, 05)
331,36
ln(0,991)
(*)
Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) là n = 332
Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa mãn xác suất chọn được ít nhất
một học sinh bị cận thị khơng bé hơn 95%
Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá
ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu
3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3.
Giải:
Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá
Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i
Gọi Bi là biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai)
A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung
khắc từng đơi.
Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)=
1
3
Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở
mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8
1
1
2
0.288
1
2
0.189
1
2
0.096
P(B1)= P (X=1)=
C .0.6 .0.4
P(B2)= P (X=1)=
C .0.7 .0.3
P(B3)= P (X=1)=
C .0.8 .0.2
3
1
3
1
3
P(A)= P(A1). P(A/A1)+P(A2). P(A/A2)+P(A3). P(A/A3)
= P(A1). P(B1). +P(A2). P(B2). +P(A3). P(B3). = 0.191
1
.0.096
P(A3). P(A/A3) 3
32
=
P(A3/A)=
P(A)
0.191
191
Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là
32
191
II.4.3. Phân phối chuẩn
Câu 73: Cho X N (3; 4) . Tính P(X<2), P(X2≤4), P( X 3 4 ), P( X 2 1 )
Giải:
Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo qui luật phân phối chuẩn với 3, 2 4
Giả sử ta cần tính P( X 1 X X 2 )
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
x2
x2
Ta có P( X 1 X X 2 )= f ( x)dx
x1
Đặt u
1
2
x1
( x ) 2
e
2 2
dx
x
dx
; du
dx du
x2
x2
1
2
x1
P( X 1 X X 2 )=
e
u 2
2
0
du
x2
f (u )du
x1
x1
f (u)du
0
x2
x
1
f (u)du f (u )du
0
0
23
3
P ( X 2) P( X 2)
0.19146 0.5 0.30854
2
2
2 3
2 3
P ( X 2 4 ) P ( 2 X 2 )
0.19146 0.49379 0.30233
2
2
7 3
1 3
P( X 3 4) P(4 X 3 4) P(1 X 7)
2.0, 47725 0, 9545
2
2
3 3
1 3
P( X 2 1) P( X 1 X 3) 1 P(1 X 3) 1
= 0,65866
2
2
Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến
1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy
được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc
trưng:
Đặc điểm Đường kính
Độ lệch
Giá bán
Nhà máy
trung bình tiêu chuẩn
X(Nhà máy I)
1,2cm
0,01
3 triệu/hộp/100 cái
Y(Nhà máy II)
1,2cm
0,015
2,7 triệu/hộp/100 cái
Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào?
Giải:
Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối
chuẩn với 1,2 và 0.01 suy ra:
1,22 1,2
1,18 1,2
0,9545
0,01
0,01
P(X)=
Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi
đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đồng suy ra giá trị sử dụng trung bình của một trục là
3
0,031143tr
95,45
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Gọi Y là số trục đạt tiêu chuẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn
với 0,12 và 0,015 suy ra:
1,22 1,2
1,8 1,2
P(Y )
0,81648
0,015
0,015
Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu
Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là
2,7
0,03307 tr
81,648
Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục
của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà máy X.
II.4.4. Các loại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn)
Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000
hạt. Tính xác suất để:
a) Có đúng 2 hạt thóc lép.
b) Có ít nhất 2 hạt thóc lép.
Giải:
Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt.
Ta có: X ~ B(5000; 0,0001)
Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ:
X P( ) với = 5000. 0,0001 = 0,5 X ~ P(0,5)
Với P(X=K) =
e 0,5 .0,5 K
K!
a) Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
P(A)=P(X=2)=
e 0,5 .0,5 2
0, 0758
2!
b) Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt
thóc.
P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (
e 0,5 .0,5 0 e 0,5 .0,51
+
) = 0,0902
0!
1!
Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác
suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng.
Giải:
Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0 X 1000 )
Gọi A là biến cố số đĩa nhạc khơng hỏng >10
Thì A là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng 8990
P(A)=1- P( A )
Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài tốn tn theo cơng thức
bernoulli với n=9000 và p=0,001
Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức bernoulli xấp xỉ công thức
poisson với =np=0,001.9000 = 9
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
e9 98990 e 9 98991 e 9 98992 e9 98993 e 9 .98994 e9 98995 e9 98996
8990!
8991
!
8992!
8993!
8994!
8995!
8996!
9 8997
9
9
9
e 9
e 8998 e 8999 e 9000
0
8997!
8998!
8999!
9000!
P ( A) 1 P( A) 1 0 1
P(A ) = P(X 8990)
Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa khơng hỏng là 1
Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi
học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học
sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao
nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01.
Giải:
Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngày X (900;
Gọi là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngày =
1
)
365
900
2, 466
365
Suy ra: X~P( )
Với P(X=K) =
e 2,466 .2, 466 K
K!
Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01
e 2,466 .2, 466 K
0, 01
K!
K 0
m
Suy ra: 1
e2,466 .2, 466 K
1 0, 01 0, 99 m=7
K!
K 0
m
Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7
giường.
PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ
III.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG
Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có
20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy
này.
Giải:
Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra:
p=
380
= 0,95
400
Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông
f n (1 f n )
1 2 (t )
n
1 0,95 2 (t ) (t ) 0, 475 t 1,96
fn
380
0, 95, P p f n t
400
p1 f t
p2 f t
f (1 f )
n
f (1 f )
n
Lớp: 211301101
0,95 1, 96
0,95 1,96
0,95(1 0,95)
400
0,95(1 0,95)
400
0,9286
0,9714
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714)
Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản
phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9
sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho
này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất?
Giải:
Nếu dự đoán thơ:
100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B
1000 sản phẩm nhà máy A
1000.91
10111 sản phẩm nhà máy B
9
Tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất trong 100 sản phẩm là:
FB =
91
0,91
100
Độ tin cậy: 1 - =0,92 (t )
Độ chính xác: t
f B (1 f B )
n
1
0, 46 tα = 1,76
2
0,91(1 0,91)
= 1,76.
100
= 0,05
Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra:
PB =(fB- ; fB+ ) = (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96)
Số sản phẩm do nhà máy B sản xuất là N với: N1 N N2
10111
10532
0,96
10111
N2=
11757
0,86
Trong đó: N1=
Vậy trong kho có khoảng (10532; 11757) sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra với độ
tin cậy 92%
Câu 30: Một nông dân gieo thử nghiệm 1000 hạt của một giống lúa mới thì có 640
hạt nảy mầm.
a) Với độ tin cậy là 95%, hãy ước lượng tỉ lệ nảy mầm của giống lúa này.
b) Muốn có độ tin cậy 97% và sai số ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là 2% thì
người nơng dân cần gieo tối thiểu bao nhiêu hạt?
Giải:
640
0, 64
1000
1
Độ tin cậy: 1 - =0,95 (t )
0, 475 tα = 1,96
2
f (1 f n )
0, 64(1 0, 64)
Độ chính xác: t n
1,96.
0, 02975
n
1000
Ước lượng tỉ lệ hạt nảy mầm là: P(fn- ; fn+ ) = (0,61; 0,67)
1
b) Với độ tin cậy: 1 - =0,97 (t )
0, 485 tα = 2,17
2
Độ chính xác: 0, 02
a) Tỉ lệ hạt giống nảy mầm là: fn =
Gọi n là số hạt cần gieo thỏa mãn u cầu bài tốn.
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
2 . f (1 f )
2,17 2.0,64.(1 0, 64)
Suy ra: n= t 2
1
1
0, 02 2
= 2712,3264 +1= 2712+1=2713
Vậy số hạt lúa tối thiểu cần gieo để thỏa mãn u cầu bài tốn là: 2713 (hạt)
Chú thích: x gọi là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất không vượt quá x
Câu 40: Độ dày của một bản kim loại (đơn vị: mm) là đại lượng ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn. Đo ngẫu nhiên 10 bản loại này thu được kết quả như sau:
4,1 3,9 4,7 4,4 4,0 3,8 4,4 4,2 4,4 5,0
a) Ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại này với độ tin cậy 90%
b) Ước lượng độ phân tán của độ dày bản kim loại với độ tin cậy 95%
Giải:
a) Tính ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại với độ tin cậy 90%
Độ dày trung bình của bản kim loại là:
x
1
4,1 3,9 4, 7 3.4, 4 4, 0 3,8 4, 2 5, 0
4, 29
xi
n
10
Trung bình bình phương của bản kim loại là:
1
4,12 3,92 4, 72 3.4, 42 4, 02 3,82 4, 22 5, 02
xi 2
18,527
n
10
2
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: S x 2 - ( x) 2 = 18,527 – 4,29 2 = 0,1229
x2
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
n
.
n 1
S=
10
.
10 1
2
S =
0,1229 = 0,37
Độ tin cậy: 1 - = 0,9 = 0,1
n 1
9
Vì n = 10 <30 nên t t 0,1 1,833 (Tra bảng C)
S
0,37
= 1,833.
= 0,214 (mm)
n
10
n 1
Do đó độ chính xác: = t .
Vậy ước lượng độ dày trung bình của bản kim loại là:
( x ; x ) = (4,29-0,214; 4,29+0,214) = (4,076; 4,504)
b) Độ tin cậy: 1 - = 0,95 2
0, 025
1 0,975
2
Gọi là độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại.
Ta có:
2
2
n 1;
Suy ra: 1
2
2
9;0,025 2, 7 và
( n 1).S 2
2
n 1;
2
n 1;1
Lớp: 211301101
2
2
n 1;1
2
2
9;0,975 19, 023
(10 1).0,1369
0, 4563
2, 7
(10 1).0,1369
0, 0648
19, 023
2
(n 1).S 2
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Vậy độ phân tán (phương sai) của độ dày bản kim loại từ ( 0, 0648 ; 0,4563) với độ tin
cậy là 95%
III.2. KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT
Câu 41: Tỉ lệ phế phẩm do công ty A sản xuất là 5%. Nhằm giảm tỉ lệ phế phẩm,
công ty A đã cải tiến kỹ thuật. Sau cải tiến người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản
phẩm thấy có 18 phế phẩm.Với mức ý nghĩa 5%, hãy cho kết luận về hiệu quả
của việc cải tiến kỹ thuật của công ty A?
Giải:
Gọi tỷ lệ phế phẩm của công ty A sau khi cải tiến kỹ thuật là p.
Đặt giả thiết H0: p= p0 = 0,05
Với mức ý nghĩa 0, 05 t 1,96
18
0, 045
400
f p0
0, 045 0, 05
n
400 0, 46
p0 (1 p0 )
0, 05 0,95
Từ mẫu đã cho ta có f
t
Vì t t nên ta chấp nhận giả thiết.
Kết luận: Sau khi cải tiến kỹ thuật chưa làm giảm được tỉ lệ phế phẩm.
Câu 42: Điểm danh ngẫu nhiên 100 sinh viên khoa Kinh tế thấy có 8 người vắng,
điểm danh 120 sinh viên Cơ khí thấy có 12 người vắng. Với mức ý nghĩa 3% hãy
cho biết mức độ chuyên cần của sinh viên hai khoa?
Giải:
1
Mức ý nghĩa: = 0,03 (t )
0, 485 tα = 2,17
2
8
0, 08
100
0,08(1 0, 08)
* Tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học: fKT =
f KT (1 f KT )
Độ chính xác: KT t
n
2,17.
100
0, 05887
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Kinh tế nghỉ học là:
PKT(fKT- ; fKT+ ) = (0,08 - 0,05887; 0,08+0,05887) = (0,02113; 0,13887)
12
0,1
120
0,1(1 0,1)
* Tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học: fCK =
fCK (1 fCK )
Độ chính xác: CK t
n
2,17.
120
0, 05943
Ước lượng tỉ lệ sinh viên khoa Cơ khí nghỉ học là:
PCK(fCK- ; fCK+ ) = (0,1 - 0,05943; 0,1 + 0,05943) = (0,04057; 0,15943)
Dựa vào ước lượng tỉ lệ sinh viên nghỉ học của sinh viên hai khoa ta thấy sinh viên
khoa Kinh tế chuyên cần hơn sinh viên khoa Cơ khí.
Câu 55: Để kiểm tra thời gian sản xuất ra 1 sản phẩm của hai máy (đơn vị: giây),
người ta theo dõi ngẫu nhiên cả hai máy và ghi lại kết quả:
Máy
58
1
Lớp: 211301101
58
56
38
70
38
42
75
68
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
67
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
Máy
2
57
55
63
GVHD: Trần Chiến
24
67
43
33
68
56
Với mức ý nghĩa 5%, có thể xem máy 2 tốt hơn máy 1 không? Giả sử độ lệch tiêu
chuẩn thời gian xuất ra 1 sản phẩm của hai máy là như nhau và có phân phối chuẩn.
Giải:
Gọi thời gian trung bình để sản xuất của máy 1 và máy 2 lần lượt là X, Y.
Theo giả thiết ta có X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn.
Đặt giả thiết : H0 : E(X) = E(Y)
Lập bảng cho máy 1 và máy 2:
MÁY 1
xi
ni
xi ni
xi2 ni
38
42
56
58
67
68
70
75
2
1
1
2
1
1
1
1
10
76
42
56
116
67
68
70
75
570
2888
1764
3136
6728
4489
4624
4900
5625
34154
Ta có : x
2
Và s X
570
34154
57 , x 2
3415.4
10
10
10
3415.4 572 166.4
9
MÁY 2
yi
ni
yi ni
yi2 ni
24
33
43
54
55
56
57
63
67
68
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
24
33
43
54
55
56
57
63
67
68
520
576
1089
1849
2916
3025
3136
3249
3969
4489
4624
28922
520
28922
52 , y 2
2892.2
10
10
2
Và sY 2892.2 522 188.2
Ta có : y
Lớp: 211301101
Trường Đại học Cơng Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
54
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
Với mức ý nghĩa 0.05, 2 (t ) 1 0.95
t 1.96
Ta tính được t
x y
57 52
0.84
2
2
166.4 188.2
s X sY
10
10
n m
Ta thấy t 0.84 t 1.96 nên ta chấp nhận giả thiết, tức là hai máy tốt như nhau.
III.3. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 56: Thu nhập (triệu đồng/năm) của 80 hộ dân trong bản A là đại lượng ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn. Điều tra ngẫu nhiên về thu nhập của 40 hộ dân trong
bản A, có bảng số liệu:
Thu
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
nhập
Số hộ
1
3
4
6
8
7
6
3
2
dân
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số hộ dân của bản A có thu nhập dưới
5tr/năm
b) Nếu biết trước đây 2 năm, thu nhập bình quân của các hộ dân ban A là
5,5tr/năm, với mức ý nghĩa 3% có nhận xét gì về mức sống của dân trong bản A?
Giải:
a) Ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm với độ tin cậy 95%
Tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm: fn =
4
0,1
40
1
0, 475 tα = 1,96
2
f n (1 f n )
0,1(1 0,1)
1,96.
0, 093
n
40
Độ tin cậy: 1 - =0,95 (t )
Độ chính xác: t
Ước lượng tỉ lệ số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là:
P(fn- ; fn+ ) = (0,1 – 0,093; 0,1 + 0,093) = (0,007; 0,193)
Vậy ước lượng số hộ dân có thu nhập dưới 5tr/năm là:
M=(0,007.80; 0,193.80) = (0,56; 15,44)
b) Nhận xét về mức sống của dân trong bản A:
Thu nhập trung bình của 40 hộ dân là:
x
1
1.4, 0 3.4,5 4.5, 0 6.5,5 8.6, 0 7.6,5 6.7, 0 3.7, 5 2.8, 0
6,1125
xi ni
n
40
Thu nhập trung bình bình phương của 40 hộ dân là:
x2
1.4, 02 3.4,52 4.5, 02 6.5,52 8.6, 02 7.6,52 6.7, 02 3.7, 52 2.8, 02
1
xi 2 ni
n
40
= 38,31875
2
Phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh: S x 2 - ( x) 2 = 38,31875 – 6,1125 2 = 0,956
Suy ra phương sai mẫu đã hiệu chỉnh là:
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
40
. 0,956 = 0,99
40 1
1
Mức ý nghĩa: = 0,03 (t )
0, 485 tα = 2,17
2
x 0
6,1125 5,5
Kiểm định: t
3,9129
S
0,99
n
40
S=
n
.
n 1
GVHD: Trần Chiến
2
S =
Vì t = 3,9129 > tα = 2,17 nên bác bỏ giả thiết.
Vậy mức sống của người dân trong bản A cao hơn 5,5tr/năm so với mức ý nghĩa 3%
Câu 57: Thu nhập (triệu đồng / tháng) của nhân viên trong 1 cơng ty nước ngồi
A là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Khảo sát ngẫu nhiên một số nhân
viên ở cơng ty A, có kết quả:
Thu
8,08,59,09,5-10 10-10,5 10,5-11 11-11,5 11,5-12
nhập
8,5
9,0
9,5
Số
12
35
66
47
24
20
6
3
người
a) Ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin cậy 97%.
b) Nếu muốn ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A với độ tin
cậy 99% và độ chính xác 0,3 triệu đồng / tháng thì cần khảo sát thêm bao nhiêu
nhân viên nữa.
c) Những nhân viên có thu nhập trên 10,5 triệu đồng / tháng là có thu nhập cao.
Với độ tin cậy 98%, hãy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu
nhập cao.
d) Có người nói tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao ở công ty A là 13%, với mức ý
nghĩa 1% có nhận xét gì về lời nói trên.
Giải:
Ta lập bảng tính :
xi
8,25
8,75
9,25
9,75
10,25
10,75
11,25
11,75
ni
12
35
66
47
24
20
6
3
n = 213
xini
99
306,25
610,5
458,25
246
215
67,5
35,25
2037,75
xi2ni
816,75
2679,688
5647,125
4467,938
2521,5
2311,25
759,375
414,1875
19617,81
2037.75
19617.81
9, 567
x2
92,102
213
213
213
2
s2
92,102 9,567 0,577 s s 2 0,577 0, 76
212
a) 2 của mức thu nhập chưa biết
x
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
Tiểu luận: Xác suất – Thống kê
GVHD: Trần Chiến
1 0.97 2 (t ) (t ) 0, 485
t 2,17
Với n =213 > 30 và 2 chưa biết.Ta áp dụng công thức: x t
s
n
0, 76
9, 45
213
0, 76
2 9,567 2,17.
9, 68
213
1 9, 567 2,17.
Vậy mức thu nhập trung bình của nhân viên ở công ty A trong khoảng ước lượng
(9,45triệu đồng ; 9,68triệu đồng).
b) Với độ tin cậy 1 0, 99 2 (t ) 0,99 (t ) 0, 495 t 2,58
Độ chính xác 0,3 . Từ công thức t (
n(
s
n
)
t .s 2
2,58.0, 76 2
) (
) 43
0,3
Vậy cần khảo sát thêm 43 nhân viên nữa với độ tin cậy 99%
c) Ta lập bảng tính cho nhân viên có thu nhập cao
xi
10,75
11,25
11,75
ni
20
6
3
29
xini
215
67,5
35,25
317,75
xi2ni
2311,25
759,375
414,1875
3484,813
317, 75
3484,813
10,96; x 2
120,17
29
29
29
2
s2
120,17 10,96 0, 05 s 0, 05 0, 224
28
Với độ tin cậy 1 0,98 2 (t ) 0,98 (t ) 0, 49
t 2,33 ta có:
x
0, 224
10,86
29
0, 224
1 10,96 2,33.
11, 06
29
1 10,96 2,33.
Vậy ước lượng thu nhập trung bình của nhân viên có thu nhập cao là khoảng
(10,86triệu ; 11,06triệu)
d) Tỉ lệ nhân viên có thu nhập cao là p 0=0,13
Ta đặt giả thiết H0 : p= p 0=0,13
29
0,136 vậy
213
f p0
0,136 0,13
n
. 213 0, 279
p0 (1 p0 )
0,13 0,87
Từ mẫu đã cho ta có f
t
Với mức ý nghĩa 0, 01 t 2,58
Lớp: 211301101
Trường Đại học Công Nghiệp Thành phố Hồ Chí Minh
