Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục

Mục lục
Lời cảm ơn 3
Mở đầu 4
1 Qúa trình ngẫu nhiên 6
1.1 Qúa trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Phân phối hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Quá trình Gaussian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của chuyển động Brown . 17
1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Martingales 25
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Martingales thời gian rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Biến đổi martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3 Khai triển Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5 Các định lý dừng tùy chọn . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Martingales thời gian liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.1 Upcrossings trong thời gian liên tục . . . . . . . . . . 40
2.3.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.3 Các định lý hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.4 Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.5 Tùy chọn dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Ứng dụng chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Biến phân bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.2 Bất đẳng thức mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1
MỤC LỤC
2.4.3 Luật loga lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.4 Phân bố các lần chạm . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Quá trình Markov 56
3.1 Định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Sự tồn tại của một bản sao chính tắc . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Quá trình Feller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Hàm chuyển trạng thái Feller và các giải thức . . . . . 63
3.3.2 Sự tồn tại của một bản sao cadlag . . . . . . . . . . . 68
3.3.3 Sự tồn tại của một bộ lọc tốt. . . . . . . . . . . . . . 71
Kết luận 73
Tài liệu tham khảo 74
2
Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình và
tận tâm của PGS. TS Phan Viết Thư. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng
dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã
tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với
công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo
điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hà nội, tháng 03 năm 2014
3
Mở đầu
Lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục là một trong
những lĩnh vực quan trọng của chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê
toán học.
Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể
được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường
thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu

trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . .
Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ
lửng trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà
thực vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự
chuyển động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân
tử nước bao quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn,
trong mỗi khoảng thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của
một va chạm duy nhất là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy
sự chuyển động của các hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên.
Trong khuôn khổ hạn chế, luận văn này chỉ đề cập đến một phần xung
quanh vấn đề tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên trong thời gian liên tục. Nội
dung chính của luận văn :
" Tìm hiểu về quá trình ngẫu nhiên thời gian liên tục"
giới thiệu một số các khái niệm cơ bản của quá trình ngẫu nhiên, bao gồm
các định lý, định nghĩa, bổ đề có chứng minh, sử dụng mô hình toán học
của chuyển động Brown, và các kiến thức có liên quan các Martingale và quá
trình Markov.
Bố cục của luận văn này gồm 3 chương:
4
MỤC LỤC
Chương 1: Quá trình ngẫu nhiên.
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về quá trình ngẫu nhiên (định
lý, định nghĩa, bổ đề, hệ quả), phân phối hữu hạn chiều, điều kiện liên tục của
Kolmogorov, quá trình Gaussian, tính không khả vi của các quỹ đạo chuyển
động Brown, bộ lọc và thời điểm dừng.
Chương 2: Các Martingale.
Mục đính của chương này là giới thiệu định nghĩa và cung cấp các ví dụ về
Martingale, lý thuyết Martingale với thời gian rời rạc, Martingale thời gian
liên tục và ứng dụng của chuyển động Brown.
Chương 3: Quá trình Markov.

Chương này trình bày các định nghĩa cơ bản, sự tồn tại của một bản sao
chính tắc, quá trình Feller.
5
Chương 1
Qúa trình ngẫu nhiên
1.1 Qúa trình ngẫu nhiên
Nói một cách đơn giản, quá trình ngẫu nhiên là một hiện tượng có thể
được coi như phát triển trong thời gian một cách ngẫu nhiên. Ví dụ thường
thấy là vị trí của một hạt trong một hệ thống vật lý, giá của một cổ phiếu
trong một thị trường tài chính, lãi suất,. . .
Một ví dụ cơ bản là sự chuyển động thất thường của hạt phấn hoa lơ lửng
trong nước, gọi là chuyển động Brown, được đặt theo tên tiếng Anh nhà thực
vật học R. Brown, người đầu tiên quan sát được nó vào năm 1827. Sự chuyển
động của các hạt phấn hoa được cho là do tác động của các phân tử nước bao
quanh nó. Những va chạm này xảy ra với một số lượng lớn, trong mỗi khoảng
thời gian nhỏ, chúng độc lập với nhau, và tác động của một va chạm duy nhất
là rất nhỏ so với tổng hiệu lực. Điều này cho thấy sự chuyển động của các
hạt có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với những đặc tính sau:
(i) Sự di chuyển trong khoảng thời gian bất kỳ [s,t] là độc lập với những
gì xảy ra trước thời gian s.
(ii) Di chuyển như vậy có một phân phối Gaussian, mà chỉ phụ thuộc vào
độ dài của khoảng thời gian [s,t].
(iii) Sự chuyển động là liên tục.
Mô hình toán học của chuyển động Brown sẽ là đối tượng chính đề cập
đến trong luận văn này. Hình 1.1 cho thấy một thể hiện cụ thể của quá trình
6
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
ngẫu nhiên này. Hình ảnh cho thấy chuyển động Brown có một số điểm đáng
chú ý, và chúng ta sẽ thấy rằng điều này thực sự đáng để nghiên cứu.
Hình 1.1: Biểu diễn các chuyển động Brown

Định nghĩa 1.1.1. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo
được. Một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T, lấy giá trị trong (E, E), là
một tập hợp X = (X
t
)
t∈T
, của những ánh xạ đo được X
t
từ một không gian
xác suất (Ω, F, P) vào (E, E). Không gian (E, E) được gọi là không gian
trạng thái của quá trình.
Chúng ta coi t như một tham số thời gian, và xem các bộ chỉ số T như tập
hợp tất cả các thời điểm có thể. Trong luận văn này chúng ta thường gặp
T = Z
+
= {0, 1, . . .} hoặc T = R
+
= [0, ∞). Trong trường hợp đầu chúng
ta gọi thời gian là rời rạc, trong trường hợp sau chúng ta gọi thời gian là liên
tục. Lưu ý rằng một quá trình thời gian rời rạc có thể được xem như là một
quá trình liên tục mà nó là hằng số trên khoảng [n − 1, n) với mọi n ∈ N.
Không gian trạng thái (E, E) thường dùng nhất là không gian ơclid R
d
, được
trang bị σ-đại số Borel B(R
d
) . Nếu E là không gian trạng thái của một quá
trình, chúng ta gọi là quá trình E-giá trị.
Với mọi t ∈ T cố định, quá trình ngẫu nhiên X cho chúng ta một phần
tử ngẫu nhiên E- giá trị X

t
trên (Ω, F, P). Chúng ta cũng có thể cố định
ω ∈ Ω và xét các ánh xạ t → X
t
(ω) trên T. Những ánh xạ này được gọi là
các quỹ đạo, hoặc quỹ đạo mẫu của quá trình. Các quỹ đạo mẫu là các hàm
từ T vào E, tức là các phần tử của E
T
. Do đó, chúng ta có thể coi quá trình
7
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
X là một phần tử ngẫu nhiên của không gian hàm E
T
. (Khá thường xuyên,
các quỹ đạo mẫu là các phần tử của một số tập hợp con tốt của không gian
này.)
Mô hình toán học của chuyển động Brown là một quá trình ngẫu nhiên
được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1.2. Quá trình ngẫu nhiên W = (W
t
)
t ≥ 0
được gọi là một
chuyển động Brown tiêu chuẩn, hoặc quá trình Wiener, nếu
(i) W
0
= 0, h.c.c
(ii) W
t
− W

s
độc lập với (W
u
: u ≤ s) với mọi s ≤ t,
(iii) W
t
− W
s
có phân phối N (0, t − s) cho tất cả các s ≤ t,
(iv) Hầu tất cả các quỹ đạo mẫu của W là liên tục
Chúng ta viết tắt chuyển động Brown là BM. Tính chất (i) nói rằng một
BM tiêu chuẩn bắt đầu ở 0. Một quá trình với tính chất (ii) được gọi là một
quá trình với số gia độc lập. Tính chất (iii) thể hiện rằng sự phân bố của
gia số W
t
− W
s
chỉ phụ thuộc vào t − s. Được gọi là tính dừng của gia số.
Một quá trình ngẫu nhiên có tính chất (iv) được gọi là quá trình liên tục.
Tương tự như vậy, chúng ta gọi một quá trình ngẫu nhiên là liên tục phải
nếu gần như tất cả các quỹ đạo mẫu của nó là hàm liên tục phải. Chúng ta
sẽ thường sử dụng các từ viết tắt cho các quá trình với quỹ đạo là liên tục
phải có những giới hạn bên trái hữu hạn ở mọi thời điểm.
Từ định nghĩa không khẳng định rằng BM thực sự tồn tại! Chúng ta sẽ
phải chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên mà thỏa mãn tất cả
các tính chất của Định nghĩa 1.1.2.
Mệnh đề 1.1.3. Quá trình W thỏa mãn các tính chất (i), (ii), và (iii) của
Định nghĩa 1.1.2 nếu và chỉ nếu với mọi t
1
, , t

n
≥ 0 vector (W
t
1
, , W
t
n
) có
phân phối Gaussian n chiều với vector trung bình 0 và ma trận hiệp phương
sai (t
i
∧ t
j
)
i,j=1, ,n
.
8
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
1.2 Phân phối hữu hạn chiều
Trong phần này, chúng ta nhớ lại định lý Kolmogorov về sự tồn tại của
quá trình ngẫu nhiên với các phân phối hữu hạn chiều đã cho. Chúng ta sử
dụng nó để chứng minh sự tồn tại của một quá trình có tính chất (i), (ii) và
(iii) Định nghĩa 1.1.2.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X = (X
t
)
t∈T
là một quá trình ngẫu nhiên. Phân
phối của các vectơ hữu hạn chiều có dạng (X
t

1
, , X
t
n
) được gọi là phân
phối hữu hạn chiều (fdd) của quá trình.
Có thể dễ dàng kiểm tra được fdd của một quá trình ngẫu nhiên tạo thành
một họ các độ đo, thể hiện bởi các định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 1.2.2. Cho T là một tập hợp và (E, E) là một không gian đo
được. Với mọi t
1
, , t
n
∈ T , cho µ
t
1
, , t
n
là một độ đo xác suất trên (E
n
, E
n
).
Bộ các độ đo được gọi là nhất quán nếu nó có các tính chất sau:
(i) Với mọi t
1
, , t
n
∈ T , mọi hoán vị π của {1, , n} và mọi A
1

, , A
n
∈ E
µ
t
1
, ,t
n
(A
1
× ×A
n
) = µ
t
π(1)
, ,t
π(n)
(A
π
(1)
× ×A
π
(n)
)
(ii) Với mọi t
1
, , t
n+1
∈ T và A
1

, , A
n
∈ E
µ
t
1
, , t
n+1
(A
1
× × A
n
× E) = µ
t
1
, , t
n
(A
1
× × A
n
) .
Định lý Kolmogorov về tính nhất quán khẳng định ngược lại, dưới điều
kiện chính quy nhẹ, mọi họ nhất quán của các độ đo trong thực tế là họ của
fdd của một quá trình ngẫu nhiên. Một số giả thiết là cần thiết trên không
gian trạng thái (E, E). Chúng ta giả thiết E là một không gian Polish ( không
gian metric khả ly đủ ) và E là σ-đại số Borel của nó, tức là σ-đại số được
tạo ra bởi các tập mở. Rõ ràng, không gian Euclid (R
n
, B(R

n
)) phù hợp với
nội dung này.
Định lí 1.2.3. (Định lý nhất quán của Kolmogorov). Giả sử E là một
không gian Polish và E là σ-đại số Borel. Cho T là một tập hợp và với mọi
t
1
, , t
n
∈ T , lấy µ
t
1
, ,t
n
là một độ đo trên (E
n
, E
n
). Nếu độ đo µ
t
1
, ,t
n
tạo
thành một hệ nhất quán, khi đó trên không gian xác suất (Ω, F, P) nào đó
tồn tại một quá trình ngẫu nhiên X = (X
t
)
t∈T
có độ đo µ

t
1
, ,t
n
là fdd của
nó.
Chứng minh. Xem ví dụ Billingsley (1995).
9
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Bổ đề sau đây là bước đầu tiên trong việc chứng minh sự tồn tại của BM.
Hệ quả 1.2.4. Tồn tại một quá trình ngẫu nhiên W = (W
t
)
t≥0
thỏa mãn
các tính chất (i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2.
Chứng minh. Chúng ta hãy lưu ý đầu tiên là một quá trình W có tính chất
(i), (ii) và (iii) của Định nghĩa 1.1.2 khi và chỉ khi với mọi t
1
, , t
n
≥ 0 vectơ
(W
t
1
, , W
t
n
) có phân phối Gaussian n chiều với vectơ trung bình 0 và ma
trận hiệp phương sai (t

i
∧ t
j
)
i,j=1 n
( Mệnh đề 1.1.3). Vì vậy, chúng ta phải
chứng minh rằng tồn tại một quá trình ngẫu nhiên có phân bố như trên trùng
với fdd của nó. Đặc biệt, chúng ta phải chỉ ra rằng ma trận (t
i
∧ t
j
)
i,j =1 n
là một ma trận hiệp phương sai hợp lệ, tức là nó xác định không âm. Điều
này thực sự là thích hợp, do với mọi a
1
a
n
, ta có :
n

i=1
n

j=1
a
i
a
j
(t

i
∧ t
j
) =
∞

0

n

i=1
a
i
1
[0,t
i
]
(x)

2
dx ≥ 0.
Điều này suy ra rằng với mọi t
1
, , t
n
≥ 0 tồn tại một véc tơ ngẫu nhiên
(X
t
1
, , X

t
n
) có phân phối Gaussian n chiều µ
t
1
, ,t
n
với trung bình 0 và ma
trận hiệp phương sai (t
i
∧ t
j
)
i,j =1 n
. Khi đó suy ra các độ đo µ
t
1
, ,t
n
tạo
thành một hệ nhất quán. Do đó, theo định lý nhất quán của Kolmogorov,
tồn tại một quá trình W có các phân phối µ
t
1
, ,t
n
như các fdd của nó.
Để chứng minh sự tồn tại của BM, còn cần phải xem xét tính liên tục (iv)
trong định nghĩa của BM. Đây là chủ đề của mục tiếp theo.
1.3 Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov

Theo hệ quả 1.2.4 tồn tại một quá trình W có tính chất (i) - (iii) của Định
nghĩa 1.1.2. Chúng ta muốn quá trình này cũng có cả tính chất liên tục (iv)
của định nghĩa. Tuy nhiên, chúng ta đi vào vấn đề mà không có lý do cụ thể
tại sao tập
{ω: t → W
t
(ω) là liên tục} ⊆ Ω
có thể đo được. Do đó, xác suất để quá trình W có đường quỹ đạo mẫu liên
tục nói chung không được xác định rõ.
Một cách giải quyết vấn đề này là liệu chúng ta có thể thay đổi được quá
trình W theo cách như quá trình kết quả, ký hiệu là
˜
W, có quỹ đạo mẫu liên
10
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
tục và vẫn thỏa mãn (i) - (iii), tức là có cùng các fdd như W. Để làm cho ý
tưởng này trở nên chính xác, chúng ta cần các khái niệm sau.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng một
tập T và với cùng không gian trạng thái (E, E), định nghĩa trên các không
gian xác suất (Ω, F, P) và (Ω

, F

, P

) tương ứng. Hai quá trình được gọi là
tương đương nhau nếu chúng có cùng fdd, tức là nếu với mọi t
1
, , t
n

∈ T
và B
1
, , B
n
∈ E
P(X
t
1
∈ B
1
, , X
t
n
∈ B
n
) = P

(Y
t
1
∈ B
1
, , Y
t
n
∈ B
n
)
Định nghĩa 1.3.2. Cho X và Y là hai quá trình đánh chỉ số bởi cùng một

tập T và với cùng không gian trạng thái (E, E), định nghĩa trên cùng một
không gian xác suất (Ω, F, P). Hai quá trình được gọi là bản sao của nhau
nếu ∀t ∈ T :
X
t
= Y
t
h.c.c.
Khái niệm thứ hai rõ ràng là mạnh hơn so với khái niệm đầu tiên: nếu
hai quá trình là bản sao của nhau, thì chắc chắn cũng là hai quá trình tương
đương nhau. Những điều ngược lại nói chung là không đúng .
Định lý sau đây cho một điều kiện đủ để một quá trình có một chỉnh sửa
liên tục. Điều kiện (1.1) được gọi là điều kiện liên tục của Kolmogorov.
Định lí 1.3.3. Tiêu chuẩn liên tục của Kolmogorov.
Cho X = (X
t
)
t∈
[0;T ]
là một quá trình R
d
- giá trị. Giả sử rằng tồn tại các
hằng số α, β, K > 0 sao cho
E  X
t
− X
s

α
≤ K|t − s|

1+β
(1.1)
với mọi s, t ∈ [0, T]. Khi đó tồn tại một chỉnh sửa liên tục của X.
Chứng minh. Để đơn giản, chúng ta giả thiết rằng T = 1 trong chứng minh.
Đầu tiên quan sát thấy theo Bất đẳng thức Chebychev, điều kiện (1.1) có
nghĩa là quá trình X là liên tục theo xác suất. Điều này có nghĩa là nếu
t
n
→ t, khi đó X
t
n
→ X
t
theo xác suất. Bây giờ với n ∈ N, định nghĩa
D
n
= {k/2
n
: k = 0, 1, 2
n
} và lấy D =

∞
n=1
D
n
. Khi đó D là một tập
đếm được, và D là trù mật trong [0, 1]. Mục tiêu tiếp theo của chúng ta là
chỉ ra rằng với xác suất 1, quá trình X là liên tục đều trên D.
11

Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Cố định γ ∈ (0, β/α) tùy ý. Sử dụng bất đẳng thức Chebychev một lần
nữa, chúng ta thấy rằng
P

 X
k/2
n
− X
(k−1)/2
n
≥ 2
−γn

 2
−n(1+β−αγ)
.
1
Khi đó
P

max
1≤k≤2
n
 X
k/2
n
− X
(k−1)/2
n

≥ 2
−γn

≤
2
n

k=1
P

 X
k/2
n
− X
(k−1)/2
n
≥ 2
−γn

 2
−n(β−αγ)
.
Do đó, theo bổ đề Borel-Cantelli, hầu chắc chắn tồn tại một N ∈ N sao cho
max
1≤k≤2
n
 X
k/2
n
− X

(k−1)/2
n
< 2
−γn
(1.2)
với mọi n ≥ N.
Tiếp theo, xét một cặp tùy ý s, t ∈ D sao cho 0 < t −s < 2
−N
. Mục đích
của chúng ta trong đoạn này là để chỉ ra thấy rằng
 X
t
− X
s
 |t − |
γ
(1.3)
Chú ý rằng có tồn tại một n ≥ N sao cho 2
−(n +1)
≤ t −s < 2
−n
. Chúng tôi
khẳng định rằng nếu s, t ∈ D
m
với m ≥ n + 1, thì
 X
t
− X
s
≤ 2

n

k=n+1
2
−γk
(1.4)
Chứng minh nhận định này tiến hành bằng quy nạp. Trước tiên giả sử rằng
s, t ∈ D
n+1
.Khi đó, nhất thiết, t = k/2
n+1
và s = (k − 1) /2
n+1
đối với một
số k ∈ {1, , 2
n+1
}. Từ (1.2), suy ra :
 X
t
− X
s
< 2
−γ(n−1)
điều đó chứng minh khẳng định trên cho m = n+1. Bây giờ giả sử rằngkhẳng
định đó đúng với m = n + 1, , l và giả thiết rằng s, t ∈ D
l+1
. Định nghĩa
các số s

, t


∈ D
l
bởi:
s

= min {u ∈ D
l
: u ≥ s}, t

= max{u ∈ D
l
: u ≤ t}.
1
Ký hiệu ‘’ có nghĩa là vế trái nhỏ hơn một hằng số dương so với vế phải.
12
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Khi đó bằng cách xây dựng, s ≤ s

≤ t

≤ t và s

−s ≤ 2
−(l+1)
, t

−t ≤ 2
−(l+1)
.

Do đó, theo bất đẳng thức tam giác, (1.2) và giả thuyết quy nạp,
 X
t
− X
s
 ≤ X
s

− X
s
 +  X
t

− X
t
 +  X
t

− X
s


≤ 2
−γ(l+1)
+ 2
−γ(l+1)
+ 2
l

k=n+1

2
−γk
= 2
l+1

k=n+1
2
−γk
,
vậy khẳng định cũng đúng với m = l + 1. Chứng minh (1.3) bây giờ đơn
giản. Thật vậy, từ t, s ∈ D
m
với m đủ lớn, quan hệ (1.4) suy ra rằng.
 X
t
− X
s
≤ 2
∞

k=n+1
2
−γk
=
2
1−2
−γ
2
−γ(n+1)
≤

2
1−2
−γ
|t −s|
γ
.
Chú ý là (1.3) dẫn đến đặc biệt là hầu chắc chắn, quá trình X là liên tục đều
trên D. Nói cách khác, chúng ta có một biến cố Ω
∗
⊆ Ω với P (Ω
∗
) = 1 sao
cho với mọi ω ∈ Ω
∗
, quỹ đạo mẫu t → X
t
(ω) là liên tục đều trên tập hợp
đếm được, trù mật D. Bây giờ chúng ta xác định một quá trình ngẫu nhiên
mới Y = (Y
t
)
t∈[0,1]
trên (Ω, F, P) như sau: với ω /∈ Ω
∗
, ta đặt Y
t
= 0 với mọi
t ∈ [0, 1], với ω ∈ Ω
∗
. Ta định nghĩa

Y
t
=





X
t
nếu t ∈ D,
lim
t
n
→t
t
n
∈D
X
t
n
(ω) nếu t /∈ D.
Tính liên tục đều của X có nghĩa là Y là một quá trình ngẫu nhiên liên tục
định nghĩa-tốt. Vì X là liên tục theo xác suất (xem phần đầu tiên của chứng
minh), Y là một chính sửa của X.
Hệ quả 1.3.4. Sự tồn tại chuyển động Brown.
Chứng minh. Theo định lý 1.3.3, tồn tại một quá trình W = (W
t
)
t ≥ 0

có
tính chất (i) - (iii) của Định nghĩa 1.1.2. Theo (iii) số gia W
t
− W
s
có phân
phối N (0, t −s) với mọi s ≤ t. Suy ra E(W
t
− W
s
)
4
= (t − s)
2
EZ
4
. Trong
đó Z là một biến ngẫu nhiên Gauss tiêu chuẩn. Điều này có nghĩa là tiêu
chuẩn liên tục của Kolmogorov (1.1) thỏa mãn với α = 4 và β = 1. Vì vậy,
với mỗi giá trị T ≥ 0, tồn tại một chỉnh sửa liên tục W
T
= (W
T
t
)
t
∈[0,T ]
của
quá trình (W
t

)
t
∈[0,T ]
. Bây giờ ta định nghĩa quá trình X = (X
t
)
t ≥0
bởi
X
t
=
∞

n=1
W
n
t
1
[n−1,n)
(t).
13
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Quá trình X là một chuyển động Brown.
1.4 Quá trình Gaussian
Chuyển động Brown là một ví dụ của quá trình Gaussian. Định nghĩa
chung là như sau.
Định nghĩa 1.4.1. Một quá trình ngẫu nhiên giá trị thực được gọi là Gaus-
sian nếu tất cả các fdd của nó là Gaussian.
Nếu X là một quá trình Gaussian đánh chỉ số bởi tập T, hàm trung
bình của quá trình là hàm m trên T được xác định bởi m (t) = EX

t
. Các
hàm hiệp phương sai của quá trình này là hàm r trên T × T xác định bởi
r (s, t) = Cov (X
s
, X
t
). Các hàm m và r xác định các fdd của quá trình X.
Bổ đề 1.4.2. Hai quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệp
phương sai thì tương đương nhau.
Hàm trung bình m và hàm hiệp phương sai r của BM được cho bởi m (t) =
0 và r (s, t) = s ∧ t (Mệnh đề 1.1.3). Ngược lại, bổ đề trước nói rằng tất cả
các quá trình Gaussian có cùng hàm trung bình và hàm hiệp phương sai có
fdd giống nhau là BM. Khi đó một quá trình như vậy có tính chất (i) -(iii)
của Định nghĩa 1.1.2. Do đó, ta có kết quả như sau.
Bổ đề 1.4.3. Một quá trình Gaussian liên tục X = (X
t
)
t ≥0
là một BM nếu
và chỉ nếu nó có hàm
EX
t
= 0
và hàm hiệp phương sai
EX
s
X
t
= s ∧ t

Sử dụng bổ đề này, ta có thể chứng minh các tính chất đối xứng và tỉ lệ
xích sau đây của BM.
Định lí 1.4.4. Cho W là một BM. Khi đó, các quá trình sau cũng là BM
(i) (Thời gian thuần nhất) với mọi s ≥ 0, quá trình (W
t+s
− W
s
)
t≥0
,
14
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
(ii) (Đối xứng) quá trình -W,
(iii) (Xác định tỉ lệ xích) với mọi a > 0, quá trình W
a
xác định bởi
W
a
t
= a
−1/2
W
at
,
(iv) (Nghịch đảo thời gian) quá trình X
t
xác định bởi X
0
= 0 và X
t

=
tW
1/t
cho t > 0.
Chứng minh. Phần (i), (ii) và (iii) dễ dàng chứng minh theo bổ đề trên. Để
chứng minh phần (iv), lưu ý đầu tiên là quá trình X có cùng hàm trung bình
và hàm hiệp phương sai như là BM. Do đó, theo bổ đề trên, chỉ cần chứng
minh rằng X là liên tục. Từ (X
t
)
t> 0
là liên tục, dễ thấy chỉ cần chứng minh
nếu t
n
↓ 0, khi đó
P (X
t
n
→ 0 khi n → ∞) = 1. (1.5)
Nhưng xác suất này được xác định bởi các fdd của quá trình (X
t
)
t> 0
. Vì
giống như của fdd của (W
t
)
t>0
, ta có:
P (X

t
n
→ 0 khi n → ∞) = P(W
t
n
→ 0 khi n → ∞) = 1.
Hoàn thành chứng minh.
Sử dụng các tính chất tỉ lệ xích và đối xứng, ta có thể chứng minh được
rằng các quỹ đạo của BM dao động giữa +∞ và −∞.
Hệ quả 1.4.5. Cho W là một BM. Khi đó
P(sup
t≥0
W
t
= ∞) = P(inf
t≥0
W
t
= −∞) = 1.
Chứng minh. Theo tính chất tỉ lệ xích, ta có với mọi a > 0
sup
t
W
t
=
d
sup
t
1
√

a
W
at
=
1
√
a
sup
t
W
t
.
Khi đó với n ∈ N,
P(sup
t
W
t
≤ n) = P(n
2
sup
t
W
t
≤ n) = P

sup
t
W
t
≤ 1/n


.
Bằng cách cho n tiến dần đến vô cùng chúng ta thấy rằng:
P(sup
t
W
t
< ∞) = P(sup
t
W
t
= 0),
15
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
để phân phối của sup
t
W
t
tập trung trên {0, ∞}. Do đó, để chứng minh rằng
sup
t
W
t
= ∞ h.c.c, ta chỉ cần chứng minh rằng P(sup
t
W
t
= 0) = 0. Bây
giờ chúng ta có :
P(sup

t
W
t
= 0) ≤ P(W
1
≤ 0, sup
t≥1
W
t
≤ 0)
≤ P(W
1
≤ 0, sup
t≥1
W
t
− W
1
< ∞)
= P(W
1
≤ 0)P(sup
t≥1
W
t
− W
1
< ∞),
bởi sự độc lập của các số gia Brown. Do thời gian thuần nhất của BM, xác
suất cuối cùng ở trên là xác suất mà các cận trên đúng của BM hữu hạn. Ta

đã chỉ ra rằng điều này phải bằng P(sup
t
W
t
= 0). Do đó, ta nhận được :
P(sup
t
W
t
= 0) ≤
1
2
P(sup
t
W
t
= 0)
chứng tỏ P(sup
t
W
t
= 0) = 0 và chúng ta có được những khẳng định đầu
tiên của hệ quả. Theo tính chất đối xứng,
sup
t≥0
W
t
=
d
sup

t≥0
− W
t
= −inf
t≥0
W
t
Cùng với khẳng định đầu tiên, điều này chứng minh khẳng định thứ hai.
Vì BM là liên tục, kết quả trước đó nói lên rằng hầu hết các quỹ đạo đi
qua tất cả các điểm của R vô hạn lần. Một quá trình giá trị thực với tính
chất này được gọi là lặp.
Hệ quả 1.4.6. BM là lặp.
Một hệ quả thú vị của nghịch đảo thời gian là luật mạnh số lớn sau đây
cho BM.
Hệ quả 1.4.7. Cho W là một BM. Khi đó
W
t
t
h.c.c
−−→ 0
khi t → ∞.
16
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Chứng minh. Cho X là như trong phần (iv) của Định lý 1.4.4. Khi đó
P(W
t
/t → 0 khi t → ∞) = P(X
1/t
→ 0 khi t → ∞) = 1,
vì X là liên tục và X

0
= 0
1.5 Tính không khả vi của các quỹ đạo của chuyển
động Brown
Chúng ta đã thấy rằng các quỹ đạo của BM là các hàm liên tục dao động
giữa + ∞ và − ∞. Hình 1.1 cho thấy các quỹ đạo là "rất lởm chởm". Định
lý sau đây nói rằng điều này thực tế là đúng.
Định lí 1.5.1. Cho W là một chuyển động Brown. Đối với mọi ω bên ngoài
một tập hợp có xác suất bằng không, đường quỹ đạo t → W
t
(ω) là không nơi
nào khả vi.
Chứng minh. Cho W là một BM. Xét các đạo hàm trên và dưới từ bên phải
D
W
(t, ω) = lim sup
h↓0
W
t+h
(Ω) − W
t
(Ω)
h
Và
D
W
(t, ω) = lim inf
h↓0
W
t+h

(Ω) −W
t
(Ω)
h
.
Xét các tập
A = {ω: tồn tại t ≥ 0 sao cho: D
W
(t, ω) và D
W
(t, ω) là hữu hạn }.
Lưu ý là A không nhất thiết phải đo được! Chúng ta sẽ chứng minh rằng A
được chứa trong một tập hợp B đo được với P (B) = 0, tức là A có xác suất
ngoài 0.
Để xác định các biến cố B, xét đầu tiên với k, n ∈ N biến ngẫu nhiên
X
n,k
= max




W
k+1
2
n
− W
k
2
n




,



W
k+2
2
n
− W
k+1
2
n



,



W
k+3
2
n
− W
k+2
2
n





và cho n ∈ N, định nghĩa :
Y
n
= min
k≤n2
n
X
n,k
17
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Biến cố B được định nghĩa bởi
B =
∞

n=1
∞

k=n

Y
k
≤
k
2
k


Ta khẳng định rằng A ⊆ B và P (B) = 0. Để chứng minh phép lồng, lấy
ω ∈ A. Khi đó, có tồn tại K, δ > 0 sao cho:
|W
s
(Ω) −W
t
(Ω)| ≤ K |s −t| với mọi s ∈ [t, t + δ] . (1.6)
Lấy n ∈ N đủ lớn để
4
2
n
< δ, 8K < n, t < n. (1.7)
Với n này, xác định k ∈ N sao cho:
k −1
2
n
≤ t <
k
2
n
(1.8)
Khi đó, theo quan hệ đầu tiên trong (1.7) chúng ta có k/2
n
, , (k + 3) /2
n
∈
[t, t + δ] . Từ (1.6) và quan hệ thứ hai trong (1.7) suy ra X
n,k
(ω) ≤ n/2
n

.
Từ (1.8) và mối quan hệ thứ ba trong (1.7) thì k − 1 ≤ t2
n
< n2
n
là đúng.
Do đó, chúng ta có k ≤ n2
n
và do đó Y
n
(ω) ≤ X
n,k
(ω) ≤ n/2
n
. Chúng
ta đã chỉ ra rằng nếu ω ∈ A, thì Y
n
(ω) ≤ n/2
n
với mọi n đủ lớn. Điều này
có nghĩa chính xác là A ⊆ B. Để hoàn thành chứng minh, chúng ta phải chỉ
ra P (B) = 0. Với ε > 0, tính chất cơ bản của BM dẫn đến
P (X
n,k
≤ ε) = P

|W
1
| ≤ 2
n/2

ε

3




2
n/2
ε

0
1
√
2π
e
−
1
2
x
2
dx



3
≤ 2
3n/2
ε
3

.
Khi đó
P (Y
n
≤ ε) ≤ n2
n
P (X
n,k
≤ ε)  n2
5n/2
ε
3
.
Đặc biệt chúng ta thấy rằng P (Y
n
≤ n/2
n
) → 0, nghĩa là P (B) = 0.
1.6 Bộ lọc và thời điểm dừng
Nếu W là một BM, gia số độc lập với “những gì đã xảy ra đến thời điểm
t”. Trong mục này, chúng ta giới thiệu các khái niệm về một lọc để chính thức
18
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
hóa khái niệm về ‘thông tin chúng ta có đến thời điểm t’. Các không gian
xác suất (Ω, F, P) là cố định một lần nữa và ta giả sử rằng T là một khoảng
con của Z
+
hoặc R
+
.

Định nghĩa 1.6.1. Một họ (F
t
)
t∈T
của các σ-đại số con của F được gọi là
một bộ lọc nếu F
s
⊆ F
t
với mọi s ≤ t. Một quá trình ngẫu nhiên X xác
định trên (Ω, F, P) và đánh chỉ số bởi T được gọi là thích nghi với bộ lọc nếu
với mọi t ∈ T , biến ngẫu nhiên X
t
là F
t
- đo được.
Chúng ta nên coi của một bộ lọc như một dòng chảy thông tin. Các σ-đại
số F
t
bao gồm các biến cố có thể xảy ra ‘tính đến thời điểm t’. Một quá trình
thích nghi là quá trình đó ‘không nhìn vào tương lai’. Nếu X là một quá trình
ngẫu nhiên, chúng ta có thể dùng các bộ lọc (F
X
t
)
t∈T
xác định bởi :
F
X
t

= σ (X
s
: s ≤ t) .
Chúng ta gọi bộ lọc này là bộ lọc được tạo ra bởi X, hoặc bộ lọc tự nhiên của
X. Bằng trực giác, bộ lọc tự nhiên của một quá trình theo dõi những “lịch
sử” của quá trình này. Một quá trình ngẫu nhiên là luôn luôn phù hợp với bộ
lọc tự nhiên của nó.
Nếu (F
t
) là một bộ lọc, khi đó cho t ∈ T , chúng ta xác định σ-đại số
F
t+
=
∞

n=1
F
t+1/n
.
Đây là σ-đại số F
t
, gia tăng thêm với các sự kiện xảy ra ngay lập tức
‘tính sau thời gian t’. Tập hợp (F
X
t
+
)
t∈T
vẫn là một bộ lọc ( Mệnh đề 1.6.2).
Trường hợp nó trùng với bộ lọc ban đầu được quan tâm đặc biệt.

Mệnh đề 1.6.2. Nếu (F
t
) là một bộ lọc thì (F
t
+
) cũng là một bộ lọc.
Định nghĩa 1.6.3. Chúng ta gọi bộ lọc (F
t
) là liên tục phải nếu F
t+
= F
t
với mọi t.
Trực giác, liên tục phải của môt bộ lọc có nghĩa là ‘không có gì có thể xảy
ra trong một khoảng thời gian vô cùng bé’. Lưu ý rằng đối với mỗi bộ lọc
(F
t
), các bộ lọc tương ứng (F
t+
) là liên tục phải.
Ngoài việc liên tục phải người ta thường giả thiết rằng F
0
chứa tất cả các
biến cố trong F
∞
có xác suất 0, trong đó F
∞
= σ (F
t
: t ≥ 0).

Như một hệ quả, mỗi F
t
khi đó chứa tất cả các biến cố đó.
19
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.6.4. Một lọc (F
t
) trên một không gian xác suất (Ω, F, P)
được gọi là thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu nó là liên tục phải và
F
0
chứa tất cả các biến cố P không đáng kể trong F
∞
.
Bây giờ chúng ta giới thiệu một lớp rất quan trọng của các ‘thời điểm
ngẫu nhiên’ có thể liên kết được với một bộ lọc.
Định nghĩa 1.6.5. Một biến ngẫu nhiên τ nhận giá trị trong [0, ∞] được
gọi là một thời điểm dừng liên quan đến bộ lọc (F
t
) nếu với mọi t ∈ T ta có
{τ ≤ t} ∈ F
t
. Nếu τ < ∞ hầu chắc chắn, chúng ta gọi là thời điểm dừng
hữu hạn.
Mệnh đề 1.6.6. Tập hợp F
τ
liên kết với thời điểm dừng τ là một σ-đại số.
Mệnh đề 1.6.7. Bộ lọc (F
t
) là liên tục phải, thì τ là một (F

t
)- thời điểm
dừng khi và chỉ khi {τ < t} ∈ F
t
với mọi t ∈ T .
Nói một cách dễ hiểu, τ là một thời điểm dừng nếu với mọi t ∈ T , chúng
ta có thể xác định xem τ đã xảy ra trước thời điểm t trên cơ sở các thông
tin mà chúng ta có đến thời điểm t. Với thời điểm dừng τ ta cho liên kết σ -
đại số
F
τ
=

A ∈ F : A ∩{τ ≤ t} ∈ F
t
với mọi t ∈ T

(Mệnh đề 1.6.5) Điều này nên được xem như là họ của tất cả các biến cố
xảy ra trước thời điểm dừng τ. Lưu ý rằng các ký hiệu không gây nhầm lẫn
vì một thời gian xác định t ∈ T rõ ràng là một thời điểm dừng và σ-đại số
liên quan là σ-đại số F
t
.
Nếu bộ lọc (F
t
) là liên tục phải, khi đó τ là thời điểm dừng nếu và chỉ
nếu {τ < t} ∈ F
t
với mọi t ∈ T (Mệnh đề 1.6.6). Đối với hệ thống lọc nói
chung, chúng ta có các lớp sau đây của thời điểm ngẫu nhiên.

Định nghĩa 1.6.8. Một biến ngẫu nhiên τ nhận giá trị trong [0, ∞] được gọi
là một thời điểm tùy chọn đối với lọc (F
t
) nếu với mọi t ∈ T thì {τ < t} ∈
F
t
. Nếu τ < ∞ hầu chắc chắn, chúng ta gọi là thời điểm tùy chọn hữu hạn.
Bổ đề 1.6.9. τ là một thời điểm tùy chọn liên quan đến (F
t
) khi và chỉ khi
nó là một thời điểm dừng đối với (F
t+
). Mọi thời điểm dừng đều là thời điểm
tùy chọn.
20
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Cái gọi là thời điểm chạm tạo thành một lớp quan trọng của thời điểm
dừng và thời điểm tùy chọn. Thời điểm chạm của một tập B là thời điểm
đầu tiên một quá trình thăm tập đó.
Bổ đề 1.6.10. Cho (E, d) là một không gian metric. Giả sử X = (X
t
)
t ≥ 0
là một quá trình liên tục E giá trị và B là một tập đóng trong E. Khi đó, biến
ngẫu nhiên
σ
B
= inf{t ≥ 0 : X
t
∈ B}

là một (F
X
t
)-Thời điểm dừng.
2
Chứng minh. Kí hiệu khoảng cách của một điểm x ∈ E đến tập B là d (x, B),
do đó
d (x, B) = inf{d (x, y) : y ∈ B}.
Vì X là liên tục, quá trình giá trị thực Y
t
= d (X
t
, B) cũng liên tục. Hơn
nữa, vì B đóng, suy ra X
t
∈ B khi và chỉ khi Y
t
= 0. Bằng cách sử dụng
tính liên tục của Y, khi đó σ
B
> t khi và chỉ khi Y
s
> 0 cho tất cả s ≤ t.
Nhưng Y là liên tục và [0, t] là compact, vì vậy chúng ta có
{σ
B
> t} = {Y
s
cách ly khỏi 0 với mọi s ∈ Q ∩ [0, t]}
= {X

s
cách ly khỏi B với mọi s ∈ Q ∩ [0, t]}.
Các biến cố trên bên phải rõ ràng thuộc về F
X
t
.
Bổ đề 1.6.11. Cho (E, d) là một không gian metric. Giả sử X = (X
t
)
t≥0
là
một quá trình E - giá trị liên tục phải và B là một tập mở trong E. Khi đó,
biến ngẫu nhiên
τ
B
= inf{t > 0 : X
t
∈ B}
là một (F
X
t
) -thời điểm tùy chọn.
Chứng minh. Vì B là mở và X là liên tục phải, suy ra X
t
∈ B nếu và chỉ
nếu tồn tại một ε > 0 sao cho X
s
∈ B với mọi s ∈ [t, t + δ]. Do khoảng này
luôn chứa một số hữu tỉ, khi đó
{τ

B
< t} =

s<t
s∈Q
{X
s
∈ B}
Biến cố ở vế phải rõ ràng là một phần tử của F
X
t
.
2
Như thường lệ, ta định nghĩa inf ∅ = ∞.
21
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Ví dụ 1.6.12. Cho W là một BM và với x > 0, xét các biến ngẫu nhiên
τ
x
= inf {t > 0 : W
t
= x}
Vì x > 0 và W là liên tục, τ
x
có thể được viết như
τ
x
= inf {t ≥ 0 : W
t
= x}

Theo bổ đề 1.6.10 đây là một (F
X
t
) - thời điểm dừng. Hơn nữa, sự lặp lại của
BM (xem Hệ quả 1.4.6), τ
x
là một thời gian dừng hữu hạn.
Chúng ta thường muốn xét một quá trình ngẫu nhiên X, đánh giá ở một
thời điểm dừng hữu hạn τ. Tuy nhiên, không phải rõ ràng từ đầu là ánh xạ
ω → X
τ(ω)
(ω) là đo được, tức là X
τ
thực chất là một biến ngẫu nhiên.
Điều này thúc đẩy định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.6.13. Một quá trình ngẫu nhiên X (E, E) - giá trị được gọi
là quá trình đo được dần dần đối với lọc (F
t
) Nếu với mọi t ∈ T, ánh xạ
(s, ω) → X
s
(ω) là đo được như một ánh xạ từ ([0, t] × Ω, B([0, t]) × F
t
)
vào (E, E).
Bổ đề 1.6.14. Mọi quá trình R
d
giá trị liên tục phải, thích nghi X là đo được
dần dần.
Chứng minh. Cho t ≥ 0 cố định. Với n ∈ N, định nghĩa quá trình này

X
n
s
= X
0
1
{0}
(s) +
n

k=1
X
kt/n
1
((k−1)t/n,kt/n]
(s), s ∈ [0, t]
Rõ ràng, ánh xạ (s, ω) → X
n
s
(ω) trên [0, t] ×Ω là B([0, t]) ×F
t
đo được.
Ta thấy do X là liên tục phải, ánh xạ (s, ω) → X
n
s
(ω) hội tụ theo từng điểm
đến ánh xạ (s, ω) → X
s
(ω) khi n → ∞. Khi đó các ánh xạ sau cũng là
B([0, t]) ×F

t
đo được.
Mệnh đề 1.6.15. Nếu σ và τ là các thời điểm dừng đối với bộ lọc (F
t
) sao
cho σ < τ, khi đó
i) F
σ
⊆ F
τ
,
ii) σ ∧ τ và σ ∨ τ cũng là các thời điểm dừng và xác định các liên kết σ-
đại số.
22
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên
Bổ đề 1.6.16. Giả sử X là một quá trình dần dần đo được và cho τ là một
thời điểm dừng hữu hạn. Khi đó X
τ
là một biến ngẫu nhiên F
t
đo được.
Chứng minh. Để chứng minh rằng X
τ
là F
t
đo được, chúng ta phải chỉ ra
rằng đối với mỗi B ∈ E và mọi t ≥ 0, ta có {X
τ
∈ B} ∩ {τ ≤ t} ∈ F
t

. Do
đó, chỉ cần chứng tỏ rằng các ánh xạ ω → X
τ(ω)∧t
(ω) là F
t
đo được. Ánh
xạ này là thành phần của ánh xạ ω → (τ(ω) ∧ t, ω) từ Ω vào [0, t] × Ω và
(s, ω) → X
s
(ω) từ [0, t] × Ω vào E. Các ánh xạ đầu tiên là đo được như
một ánh xạ từ (Ω, F
t
) vào ([0, t] × Ω, B([0, t]) × F
t
). Vì X là dần dần đo
được, ánh xạ thứ hai là đo được như một ánh xạ từ ([0, t]×Ω, B([0, t])×F
t
)
vào (E, E). Điều này hoàn thành chứng minh, vì hợp thành của ánh xạ đo
được cũng đo được.
Thường cần thiết xét một quá trình ngẫu nhiên X cho đến thời điểm dừng
cho trước τ. Với mục đích này, ta định nghĩa quá trình bị dừng X
τ
bởi
X
τ
t
= X
τ∧t
=


X
t
nếu t < τ,
X
τ
nếu t ≥ τ.
Theo bổ đề 1.6.16 và (Mệnh đề 1.6.15), chúng ta có kết quả sau đây.
Bổ đề 1.6.17. Nếu X là dần dần đo được đối với (F
t
) và τ là một (F
t
)- thời
điểm dừng, khi đó quá trình bị dừng X
τ
là thích nghi với các lọc (F
τ∧t
) và
(F
t
).
Trong các chương tiếp theo ta liên tục cần các kỹ thuật bổ đề sau đây.
Nó nói rằng mỗi thời điểm dừng là một giới hạn giảm của một dãy thời điểm
dừng mà chỉ nhận một số hữu hạn giá trị.
Bổ đề 1.6.18. Cho τ là một thời điểm dừng. Khi đó tồn tại thời điểm dừng
τ
n
chỉ nhận hữu hạn các giá trị sao cho τ
n
↓ τ hầu chắc chắn.

Chứng minh. Định nghĩa
τ
n
=
n2
n
−1

k=1
k
2
n
1
{τ∈[(k−1)/2
n
,k/2
n
)}
+ ∞1
{τ≥n}
.
Khi đó, τ
n
là một thời điểm dừng và τ
n
↓ τ hầu chắc chắn .
Sử dụng các khái niệm về lọc, chúng ta có thể mở rộng định nghĩa của
BM như sau.
23
Chương 1. Qúa trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.6.19. Giả sử trên một không gian xác suất (Ω, F, P), ta có
một lọc (F
t
)
t≥0
và một quá trình ngẫu nhiên thích nghi W = (W
t
)
t≥ 0
. Khi
đó W được gọi là chuyển động Brown tiêu chuẩn, (hoặc quá trình Wiener)
đối với với lọc (F
t
) nếu:
(i) W
0
= 0,
(ii)W
t
− W
s
là độc lập đối với F
s
với mọi s ≤ t,
(iii)W
t
− W
s
có phân phối N (0, t −s) với mọi s ≤ t,
(iv) Hầu hết tất cả các quỹ đạo của W là liên tục.

Rõ ràng, một quá trình W là một BM theo nghĩa ‘cũ’ của Định nghĩa
1.1.2 là một BM đối với lọc tự nhiên của nó. Nếu trong phần tiếp theo, ta
không đề cập đến bộ lọc của một BM một cách rõ ràng, điều đó có nghĩa là
chúng ta coi đó là bộ lọc tự nhiên. Tuy nhiên, ta cũng sẽ thấy trong một vài
trường hợp cần coi chuyển động Brown đối với lọc lớn hơn .
24
Chương 2
Martingales
2.1 Định nghĩa và ví dụ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu và nghiên cứu một lớp rất quan
trọng của quá trình ngẫu nhiên: các martingales. Martingales sinh ra tự nhiên
trong nhiều ngành của lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên. Đặc biệt, chúng
là những công cụ rất hữu ích trong nghiên cứu của BM. Trong mục này, tập
chỉ số T là một khoảng thời gian tùy ý của Z
+
hoặc R
+
.
Định nghĩa 2.1.1. . Một quá trình giá trị thực, (F
t
)-thích nghi M được gọi
là martingale (đối với bộ lọc (F
t
)) nếu:
i) E|M
t
| < ∞ với mọi t ∈ T ,
ii) E(M
t
|F

s
)=M
s
với mọi s ≤ t.
Nếu tính chất (ii) đúng với dấu ‘≥’ (hoặc ‘≤’) thay vì ‘=’, khi đó M được
gọi là một martingale dưới (hoặc martingale trên).
Một cách trực giác, một martingale là một quá trình ‘hằng số về trung
bình’. Cho mọi thông tin tính đến thời điểm s, dự đoán tốt nhất cho giá trị
của quá trình tại thời điểm t ≥ s chỉ đơn giản là giá trị M
s
hiện tại. Nói riêng,
tính chất (ii) có nghĩa là EM
t
= EM
0
cho mọi t ∈ T . Tương tự như vậy, một
martingale dưới là một quá trình tăng về trung bình, và một martingale trên
giảm về trung bình. Rõ ràng, M là một martingale dưới khi và chỉ khi - M là
một martingale trên và M là một martingale nếu nó vừa là một martingale
dưới vừa là một martingale trên.
25