Tính chất egodic của hệ động lực và của quá trình ngẫu nhiên

Mục lục
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Không gian đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Không gian xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Quá trình ngẫu nhiên và hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Hệ động lực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Phép biến đổi bảo toàn độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2. Tính egodic của phép biến đổi bảo toàn độ đo . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Biến ngẫu nhiên và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2. Thu hẹp của độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.3. Xác suất có điều kiện cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.4. Định lý Radon - Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.5. Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.6. Xác suất có điều kiện chính quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.7. Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chương 2. Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. . . 24
2.1. Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1
MỤC LỤC 2
2.2. Trung bình theo tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Trung bình theo tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3. Biến ngẫu nhiên tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1. Dãy lượng tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.2. Tính đo được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Kỳ vọng (trung bình theo tập hợp) của biến ngẫu nhiên tổng quát. 30
2.4.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.2. Tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3. Khả tích đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Sự hội tụ của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Trung bình theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Độ đo dừng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 3. Hệ động lực có tính chất egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1. Tính chất egodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Một số hệ quả của tính chất egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Quá trình tiệm cận trung bình dừng (AMS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4. Tính hồi quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5. Kỳ vọng tiệm cận trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6. Giới hạn trung bình theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.7. Hệ động lực egodic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8. Định lý egodic hầu khắp nơi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn em xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. ĐẶNG HÙNG THẮNG - người đã tận tình
hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc
gia Hà Nội đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
tại khoa.
Nhân dịp này tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, 10-2014
Học viên
Nguyễn Học Thức
3
Lời mở đầu
Lý thuyết hệ động lực được khai sinh bởi nhà toán học nổi tiếng người
Pháp, Henri Poincaré cách đây một thế kỷ khi ông công bố tác phẩm nổi tiếng
cuả mình trình bày các nghiên cứu về lý thuyết định tính của phương trình vi
phân. Ngày nay, từ những kết quả đạt được của nhiều nghiên cứu gần đây, lý
thuyết hệ động lực đã trở thành một nhánh nghiên cứu chính trong toán học
được nhiều nhà khoa học quan tâm. Điều quan trọng hơn là lý thuyết hệ động
lực có mối liên quan chặt chẽ với nhiều ngành toán học khác cũng như có
nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý, hóa học,
sinh vật học, công nghệ thông tin,v.v
Cùng thời với Poincaré, Lyapunov cũng đã nghiên cứu lý thuyết định tính
của phương trình vi phân, nhưng cách tiếp cận của Lyapunov có phần khác
với Poincaré. Lyapunov nghiên cứu chủ yếu hệ phương trình vi phân không
Otonom và ông đã đưa ra hai phương pháp nghiên cứu kinh điển của ông là
phương pháp số mũ Lyapunov và phương pháp hàm số Lyapunov. Trong khi
Poincaré lại tiếp cận tới bài toán định tính mang tính đặc thù nền tảng lý thuyết
hệ động lực. Ông nhìn nhận hệ phương trình vi phân Otonom như một mô hình
toán của một hệ vật lý tiến hóa theo thời gian với tính chất nhóm và nghiên
cứu tính chất egodic của hệ.
Lý thuyết hệ động lực được chia thành ba nhánh nhỏ: Động lực khả vi
nghiên cứu các ánh xạ khả vi trên đa tạp trơn; động lực tôpô nghiên cứu các
ánh xạ liên tục trên không gian tôpô, thường là không gian metric compact;
lý thuyết egodic nghiên cứu tính chất bảo toàn độ đo của ánh xạ đo được trên
không gian đo, thường được giả thiết là hữu hạn.
4
MỤC LỤC 5

Trong khuôn khổ luận văn, tác giả trình bày một số nội dung trong lý
thuyết egodic. Cụ thể là tính chất egodic của hệ động lực và các định lý, đặc
biệt là định lý egodic hầu khắp nơi của Birkhoff.
Bố cục của luận văn được trình bày theo ba chương với nội dung cụ thể
như sau:
• Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này chủ yếu giới thiệu về mô
hình toán học cơ bản của quá tr ình ngẫu nhiên và trình bày một số khái niệm
cơ bản về hệ động lực ngẫu nhiên.
• Chương 2. Trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian. Chương
này nêu định nghĩa và phát triển một số tính chất của trung bình theo tập hợp
và trung bình theo thời gian.
• Chương 3. Hệ động lực có tính chất egodic. Trình bày tính chất egodic
của hệ động lực cũng như của quá trình ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, tác giả đưa
ra điều kiện cần và đủ để hệ động lực có tính chất egodic thông qua định lý
egodic hầu khắp nơi.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức có hạn nên luận
văn khó tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Tác giả rất mong nhận được
những ý kiến góp ý của các thầy, cô và bạn đọc quan tâm.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 10-2014
Học viên
Nguyễn Học Thức
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên
1.1.1. Không gian đo được
Không gian đo được là một cặp (Ω,B), bao gồm không gian mẫu Ω cùng
với σ - trường B các tập con của Ω (còn gọi là không gian biến cố). Một σ -
trường hay σ - đại số B là một họ các tập con của Ω với các tính chất sau:
Ω ∈ B. (1.1)

Nếu F ∈ B thì F
c
= {x : x /∈ F} ∈ B. (1.2)
Nếu F
i
∈ B;i = 1,2, , thì ∪ F
i
∈ B. (1.3)
Theo luật de Morgan ta cũng có
∞
∩
i=1
F
i
= (
∞
∪
i=1
F
c
i
)
c
∈ B.
Có hai σ- trường đặc biệt là:
• σ - trường lớn nhất của Ω là họ tất cả các tập con của Ω (còn được gọi
là tập luỹ thừa).
• σ - trường nhỏ nhất là {Ω,Ø} gồm không gian toàn thể Ω cùng với tập
rỗng Ø = Ω
c

(gọi là không gian tầm thường).
Nếu thay điều kiện hợp đếm được trong (1.3) bằng hợp hữu hạn của họ các
tập con thì họ các tập con đó được gọi là một trường.
1.1.2. Không gian xác suất
Không gian xác suất là bộ ba (Ω,B,m), bao gồm không gian mẫu Ω, σ
- trường B các tập con của Ω và độ đo xác suất m xác định trên σ - trường;
6
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
nghĩa là m(F) được gán cho một số thực với mọi phần tử F của B và thỏa mãn
các điều kiện sau:
Không âm:
m(F) ≥ 0, với mọi F ∈ B. (1.4)
Chuẩn hóa:
m(Ω) = 1. (1.5)
Cộng tính đếm được: Nếu F
i
∈ B,i = 1,2, là các tập rời nhau thì
m

∞
∪
i=1
F
i

=
∞
Σ
i=1
m(F

i
). (1.6)
Hàm tập m chỉ thỏa mãn (1.4) và (1.6) (không nhất thiết phải thỏa mãn
(1.5)) được gọi là độ đo; khi đó (Ω,B, m) được gọi là không gian độ đo. Một
hàm tập chỉ thỏa mãn (1.6) với một dãy hữu hạn các biến cố rời nhau được gọi
là cộng tính hay cộng tính hữu hạn.
1.1.3. Biến ngẫu nhiên
Cho (Ω,B) và (A,B
A
) là hai không gian đo được. Một biến ngẫu nhiên
hay hàm đo được xác định trên (Ω,B) và lấy giá trị trong (A,B
A
) là một ánh
xạ hoặc hàm f : Ω → A với tính chất
Nếu F ∈ B
A
thì f
−1
(F) = {x : f (x) ∈ F} ∈ B. (1.7)
Trong trường hợp A không được chỉ rõ thì ta coi f như là một biến ngẫu
nhiên A - giá trị. Nếu σ - trường không được cho một cách rõ ràng thì ta nói
rằng f là B/B
A
- đo được.
1.2. Quá trình ngẫu nhiên và hệ động lực
Bây giờ chúng ta xét hai mô hình toán học của quá trình ngẫu nhiên. Đầu
tiên là một mô hình quen thuộc: một quá trình ngẫu nhiên là một dãy các biến
ngẫu nhiên. Mô hình thứ hai ít gặp hơn: một quá trình ngẫu nhiên cũng có thể
được xây dựng từ một hệ động lực trừu tượng bao gồm một không gian xác
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

suất và một phép biến đổi trên không gian đó. Hai mô hình được kết nối bởi
việc xét sự dịch chuyển thời gian để được một phép biến đổi.
1.2.1. Quá trình ngẫu nhiên
Một quá trình ngẫu nhiên thời gian rời rạc, hoặc đơn giản là quá trình
ngẫu nhiên là một dãy các biến ngẫu nhiên {X
n
}
n∈I
, với I là tập chỉ số, xác
định trên không gian xác suất (Ω,B,m).
Hai tập chỉ số phổ biến nhất được quan tâm là tập số nguyên Z trong trường
hợp quá trình ngẫu nhiên hai phía và tập số nguyên không âm Z
+
trong trường
hợp quá trình ngẫu nhiên được gọi là một phía. Quá trình ngẫu nhiên một phía
thường khó để chứng minh hơn trong lý thuyết nhưng nó cung cấp những mô
hình tốt cho những quá trình ngẫu nhiên vật lý.
1.2.2. Hệ động lực
Giả sử rằng ta đang nghiên cứu một hệ thống (hay một quá trình) tiến hóa
theo thời gian và điều quan trọng là ta muốn mô tả nó bằng một mô hình toán
học. Tập hợp tất cả các trạng thái có thể có của hệ thống đang xét tạo thành
một không gian X mà ta gọi là không gian trạng thái của hệ đã cho.
Định nghĩa 1.2.1. Hệ động lực trừu tượng bao gồm một không gian xác
suất (Ω,B, m) cùng với một phép biến đổi đo được T : Ω → Ω. Tính đo được
theo nghĩa là nếu F ∈ B thì ta cũng có T
−1
F ∈ B. Bộ bốn (Ω,B,m,T) được
gọi là hệ động lực trong lý thuyết egodic.
Mô hình quá trình ngẫu nhiên là một dãy hoặc một họ các biến ngẫu nhiên
xác định trên một không gian xác suất thông thường được xem như một biến

ngẫu nhiên cùng với một phép biến đổi được xác định trên một không gian xác
suất. Nghĩa là qua một phép biến đổi nào đó định trước thì từ biến ngẫu nhiên
ban đầu sinh ra các biến ngẫu nhiên tiếp theo và tạo thành dãy các biến ngẫu
nhiên trên không gian ta đang xét.
Bây giờ, ta giả sử rằng T là một ánh xạ đo được từ không gian mẫu Ω
vào chính nó. Dễ dàng thấy rằng nếu ta định nghĩa phép biến đổi T
2
như sau:
T
2
x = T (T x) thì T
2
cũng là ánh xạ đo được. Tương tự như vậy, ta có T
n
cũng
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9
là ánh xạ đo được với mỗi n nguyên dương.
Giả sử rằng nếu f là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên A, hay còn
gọi là biến ngẫu nhiên A - giá trị xác định trên không gian (Ω,B) thì hàm
f T
n
: Ω → A xác định bởi
f T
n
(x) := f (T
n
x),∀x ∈ Ω,
cũng là một biến ngẫu nhiên với mỗi n là số nguyên dương. Do vậy, hệ động
lực cùng với một biến ngẫu nhiên hoặc một hàm đo được f cho ta xác định
được một quá trình ngẫu nhiên một phía X

n
, n ∈ Z
+
bởi hệ thức
X
n
(x) = f (T
n
x).
Và ta có thể định nghĩa quá trình ngẫu nhiên hai phía nếu T là phép biến đổi
có nghịch đảo T
−1
cũng bởi hệ thức
X
n
(x) = f (T
n
x),∀n ∈ Z.
Hầu hết hệ động lực thông thường cho mô hình quá trình ngẫu nhiên
thường bao gồm một dãy không gian Ω chứa một dãy biến ngẫu nhiên một
hoặc hai phía A - giá trị cùng với phép dịch chuyển T . Nghĩa là thông qua
phép biến đổi T thì dãy {x
n
} chuyển thành dãy {x
n+1
}. Chúng ta có thể xét
một ví dụ đơn giản như sau: xét Ω := A
Z
+
= {x = (x

0
,x
1
, ),x
i
∈ A} và định
nghĩa phép dịch chuyển T như sau
T : Ω → Ω
T (x
0
,x
1
,x
2
, ) =(x
1
,x
2
,x
3
),∀(x
0
,x
1
,x
2
, ) ∈ Ω.
Phép biến đổi T xác định như trên còn được gọi là phép dịch chuyển trái.
Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày thí dụ về hệ động lực được ứng dụng trong
giao tiếp có một cấu trúc tương tự. Ta xét một dãy đầu vào {x

n
} và một trạng
thái ban đầu u
0
, các trạng thái tiếp theo được mô tả bởi các phương trình vi
phân dưới đây
e
n
= x
n
− q(u
n
),
u
n
= e
n−1
+ u
n−1
,
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10
trong đó, q(u
n
) nhận giá trị +b nếu đối số u
n
của nó không âm và nhận giá trị
−b trong trường hợp ngược lại. Bộ giải mã được xác định bởi hệ thức
ˆx
n
=

1
N
N
∑
i=1
q(u
n−i
)
Ta xét một trường hợp đặc biệt là dãy đầu vào {x
n
} (có thể là luồng thông
tin quan sát được theo thời gian), x
n
= x ∈ [−b,b) với mọi n thì hệ thống được
mô tả như một hệ động lực với phép biến đổi T xác định bởi
Tu =

u + x − b, nếu u ≥ 0
u + x + b, nếu u < 0.
Từ đó cho thấy nếu cho trước một đầu vào x
n
= x, n = 1,2, ,N và một
điều kiện u
0
ban đầu thì dãy u
n
được xác định bởi hệ thức
u
n
= T

n
0
.
Nếu điều kiện ban đầu u
0
là ngẫu nhiên thì hệ thức trên cho ta xác định
một hệ động lực mà có thể phân giải được.
1.3. Phép biến đổi bảo toàn độ đo
1.3.1. Một số khái niệm
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (Ω
1
,B
1
,m
1
) và (Ω
2
,B
2
,m
2
) là hai không gian
xác suất.
i) Phép biến đổi T : Ω
1
→ Ω
2
được gọi là phép biến đổi bảo toàn độ đo
nếu T đo được và đồng thời thỏa mãn m
1

(T
−1
(A)) = m
2
(A),∀A ∈ B
2
ii) Phép biến đổi T : Ω
1
→ Ω
2
được gọi là một phép biến đổi khả nghịch
bảo toàn độ đo nếu T là phép biến đổi bảo toàn độ đo và T là song ánh và hơn
nữa T
−1
cũng bảo toàn độ đo.
1.3.2. Tính egodic của phép biến đổi bảo toàn độ đo
Giả sử (Ω,B,m) là một không gian xác suất và T là một phép biến đổi
bảo toàn độ đo từ Ω vào chính nó. Nếu T
−1
B = B,B ∈ B nào đó thì ta cũng có
T
−1
(Ω\B) = Ω\B và ta có thể nghiên cứu T bằng cách nghiên cứu hai phép
biến đổi đơn giản hơn là T
|B
và T
|Ω\B
. Nếu B có độ đo nằm giữa 0 và 1 thì điều
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11
này sẽ đơn giản được việc nghiên cứu T . Nếu B là tập có độ đo không hoặc

phần bù có độ đo không thì ta có thể bỏ qua tập B hoặc phần bù của nó và
khi đó ta không thể đơn giản hóa một cách đáng kể việc nghiên cứu T được,
bởi vì việc bỏ qua một tập có độ đo không là chấp nhận được trong lý thuyết
độ đo. Những suy luận trên dẫn tới việc nghiên cứu các phép biến đổi bảo
toàn độ đo mà không thể phân tích được các thành phần trên tập bất biến như
trên, đồng thời tìm cách phân tích một phép biến đổi bất kỳ thành những thành
phần không thể phân tích được. Các phép biến đổi không thể phân tích được
thì được gọi là egodic.
Phần này chúng ta trình bày một số điều kiện để phép biến đổi bảo toàn độ
đo T trở thành egodic thông qua các mệnh đề dưới đây.
Định nghĩa 1.3.2. Cho (Ω,B,m) là một không gian xác suất. Một phép
biến đổi bảo toàn độ đo T của (Ω,B,m) được gọi là egodic nếu với mọi B ∈ B
từ điều kiện T
−1
B = B suy ra m(B) = 0 hoặc m(B) = 1.
Mệnh đề 1.3.1. Nếu T : Ω → Ω là phép biến đổi bảo toàn độ đo của một
không gian xác suất (Ω,B,m) thì các khẳng định sau là tương đương:
i) T là egodic.
ii) Với bất kỳ B ∈ B điều kiện m(T
−1
B∆B) = 0 tương đương với điều kiện
B hoặc phần bù có độ đo không.
iii) Với mọi A ∈ B mà m(A) > 0 ta có m(U
∞
1
T
−n
A) = 1.
Mệnh đề 1.3.2. Nếu T là phép biến đổi bảo toàn độ đo của một không
gian xác suất (Ω,B,m) thì các điều kiện sau đây là tương đương:

i) T là egodic.
ii) Với bất kỳ hàm đo được f nếu ( f ◦ T )(x) = f (x ) với mọi x ∈ Ω thì f là
hằng số hầu khắp nơi.
iii) Với bất kỳ hàm đo được f nếu ( f ◦ T )(x) = f (x) hầu khắp nơi thì f là
hằng số hầu khắp nơi.
iv) Với bất kỳ hàm f ∈ L
2
(Ω) nếu ( f ◦ T )(x) = f (x) hầu khắp nơi thì f là
hằng số hầu khắp nơi.
Chứng minh chi tiết các mệnh đề trên bạn đọc có thể tìm hiểu thêm ở [16].
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 12
1.4. Xác suất có điều kiện và kỳ vọng có điều kiện
1.4.1. Biến ngẫu nhiên và biến cố
Cho hai không gian đo được (Ω,B) và (A,B
A
) và hàm f : Ω → A. Nhớ
lại rằng f là biến ngẫu nhiên hay hàm đo được nếu f
−1
(F) ∈ B,∀F ∈ B
A
. Rõ
ràng biến ngẫu nhiên f cung cấp thông tin về biến cố nào đó và có thể không
cung cấp thông tin về biến cố khác. Đặc biệt, nếu giả thiết f có giá trị trong
F ∈ B
A
thì ta biết rằng f
−1
(F) xảy ra. Chúng ta có thể gọi biến cố trong B
như vậy là f - biến cố vì nó được xác định bởi f lấy giá trị trong B
A

. Xét lớp
G = f
−1
(B
A
) = {tất cả các tập dạng f
−1
(F),F ∈ B
A
}. Vì f đo được nên
tất cả các tập thuộc G cũng thuộc B. Hơn nữa, ta dễ dàng thấy rằng G là σ -
trường các tập con của Ω. Vì G ⊂ B và nó là một σ - trường nên nó được gọi
là một σ - trường con.
Bằng trực giác G có thể được xem như σ - trường hoặc không gian biến
cố mà kết quả của các biến cố được xác định bởi kết quả quan sát của f . Do
đó ta định nghĩa σ - trường sinh bởi f là σ( f ) = f
−1
(B
A
).
Tiếp theo, từ cách xây dựng ta thấy rằng f
−1
(F) ∈ σ( f ),∀F ∈ B
A
; tức là
ảnh ngược của các biến cố có thể tìm được trong σ - trường con. Nghĩa là f
đo được đối với σ - trường nhỏ hơn σ( f ) cũng như đối với σ - trường lớn hơn
B. Ta sẽ thường có nhiều hơn một σ - trường cho một không gian cho trước,
ta nhấn mạnh khái niệm sau:
Cho các không gian đo được (Ω,B) và (A,B

A
) và σ - trường con G của
B (do đó (Ω,G) cũng là không gian đo được). Khi đó hàm f : Ω → A được
gọi là đo được đối với G hay G - đo được hay chi tiết hơn là G/B
A
- đo được
nếu f
−1
(F) ∈ G,∀F ∈ B
A
. Vì G ⊂ B nên nếu một hàm G - đo được rõ ràng
cũng là B - đo được.
Thông thường chúng ta sẽ đề cập đến các hàm B - đo được như là hàm đo
được đơn giản hoặc như là biến ngẫu nhiên.
Ta thấy rằng nếu σ( f ) là σ - trường sinh bởi biến ngẫu nhiên f thì f đo
được đối với σ ( f ). Nếu G là σ - trường khác mà f đo được trên đó thì G phải
chứa tất cả các tập dạng f
−1
(F),F ∈ B
A
và do đó phải chứa σ( f ). Vì vậy
σ( f ) là σ - trường nhỏ nhất mà f đo được.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13
Cho σ - trường G, gọi M(G) là lớp tất cả các biến ngẫu nhiên đo được đối
với G. Ta sẽ đề cập đến M(G) như là lớp các biến ngẫu nhiên sinh bởi G. Nói
ngắn gọn, đây là lớp các biến ngẫu nhiên mà biến cố đầu ra có thể được xác
định từ các biến cố trong G.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng nếu ta có biến ngẫu nhiên f : Ω → A thì hàm
giá trị thực g thuộc M(σ( f )), tức là đo được đối với σ( f ) khi và chỉ khi
g(x) = h( f (x)) với biến ngẫu nhiên h nào đó h : A → R, nghĩa là nếu g chỉ phụ

thuộc vào các điểm mẫu cơ bản thông qua giá trị của f .
Bổ đề 1.4.1. Cho không gian đo được (Ω,B) và f : Ω → A là biến ngẫu
nhiên, khi đó biến ngẫu nhiên g : Ω → R thuộc M(σ( f )) nếu và chỉ nếu có
hàm B
A
/B(R) - đo được h : A → R sao cho g(x) = h( f (x)),∀x ∈ Ω.
Như vậy ta đã phát biểu các tính chất của σ - trường sinh bởi các biến ngẫu
nhiên và lớp các hàm đo được sinh bởi σ - trường.
1.4.2. Thu hẹp của độ đo
Ứng dụng đầu tiên của lớp các biến ngẫu nhiên hoặc biến cố được xét trong
phần trước là khái niệm thu hẹp của độ đo xác suất trên σ - trường con. Điều
này đôi khi cung cấp cách đánh giá kỳ vọng của các hàm đo được đối với σ -
trường con và so sánh các hàm đó.
Định nghĩa 1.4.1. Cho không gian xác suất (Ω,B,m) và σ - trường con
G của B, định nghĩa thu hẹp của m trên G là m
G
như sau:
m
G
(F) = m(F), F ∈ G.
Do đó (Ω,G,m
G
) là không gian xác suất mới với không gian biến cố
nhỏ hơn.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng nếu f là biến ngẫu nhiên giá trị thực G - đo được
thì kỳ vọng của nó có thể được tính theo cả m hoặc m
G
.
Bổ đề 1.4.2. Cho biến ngẫu nhiên giá trị thực f ∈ L
1

(m), khi đó cũng có
f ∈ L
1
(m
G
) và

f dm =

f dm
G
với m
G
là thu hẹp của m trên G.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 14
Hệ quả 1.4.1. Cho các hàm G - đo được f ,g ∈ L
1
(m), nếu

F
f dm ≤

F
gdm,∀F ∈ G
thì f ≤ g, m - h.k.n. Nếu dấu bằng xảy ra thì f = g, m - h.k.n.
Chứng minh.
Theo bổ đề trên, bất đẳng thức tích phân đúng với m được thay bởi m
G
và
do đó kết luận đúng m

G
− h.k.n. Vì vậy có tập G ∈ G với m
G
- xác suất 1 (do
đó cũng có xác suất 1 theo m) để kết luận đúng.
Sự hữu dụng của hệ quả trên là nó cho phép ta so sánh các hàm G - đo được
bằng cách chỉ xét độ đo thu hẹp và kỳ vọng tương ứng.
1.4.3. Xác suất có điều kiện cơ bản
Cho không gian xác suất (Ω, B,m), độ đo xác suất m sẽ thay đổi thế nào
nếu có một vài biến cố hoặc họ các biến cố đã xảy ra? Ví dụ, nó sẽ bị ảnh hưởng
thế nào nếu ta đã biết kết quả của một biến ngẫu nhiên hoặc một họ các biến
ngẫu nhiên? Khái niệm xác suất có điều kiện sẽ trả lời cho câu hỏi này.
Xác suất có điều kiện cơ bản bao gồm trường hợp ta đã biết một biến cố
F có xác suất khác 0: m(F) > 0. Chúng ta muốn định nghĩa độ đo xác suất có
điều kiện m(G|F) với mọi biến cố G ∈ B. Bằng trực giác, nếu F xảy ra thì sẽ
đặt xác suất 0 cho tập hợp tất cả các điểm ngoài F nhưng nó không ảnh hưởng
tới xác suất của các biến cố trong F. Ngoài ra, độ đo xác suất mới phải được
chuẩn hóa lại để gán xác suất 1 cho "biến cố tất nhiên" mới F. Điều này dẫn
đến định nghĩa m(G|F) = km(G ∩ F), với k là hằng số chuẩn hóa để chắc chắn
rằng m(F|F) = km(F ∩ F) = km(F) = 1.
Do đó ta định nghĩa độ đo xác suất có điều kiện với F bất kỳ mà m(F) > 0
là
m(G|F) =
m(G ∩ F)
m(F)
,∀G ∈ B.
Xác suất có điều kiện cơ bản m(.|F) thường được viết tắt bởi m
F
. Cho
không gian xác suất (Ω, B,m) và biến cố F ∈ B với m(F) > 0, khi đó ta có

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15
một không gian xác suất mới (F,B ∩ F,m
F
) với B ∩ F = {tất cả các tập dạng
G ∩ F,G ∈ B }.
1.4.4. Định lý Radon - Nikodym
Phần này ta phát biểu định lý Radon-Nikodym, một trong những kết quả cơ
bản của lý thuyết độ đo và tích phân và là kết quả quan trọng trong việc chứng
minh sự tồn tại của độ đo xác suất có điều kiện.
Định nghĩa 1.4.2. Độ đo m được gọi là liên tục tuyệt đối đối với độ đo
P trên cùng một không gian đo được và ký hiệu m  P nếu P(F) = 0 suy ra
m(F) = 0, tức là m thừa hưởng tất cả các biến cố có xác suất 0 của P.
Định lý 1.4.1. (Định lý Radon - Nikodym) Cho hai độ đo m và P trên
không gian đo được (Ω,B) và m  P, khi đó có hàm đo được h : Ω → R với
tính chất h ≥ 0,P − h.k.n (do đó cũng là m − h.k.n) và
m(F) =

F
hdP,∀F ∈ B. (1.8)
Nếu cả h và g thỏa mãn (1.8) thì h = g,P − h.k.n.
Nếu có thêm hàm đo được f : Ω → R thì

F
f dm =

F
f hdP,∀F ∈ B. (1.9)
Hàm h được gọi là đạo hàm Radon - Nikodym của m đối với P và ta viết
h = dm/dP.
Chứng minh định lý, bạn đọc có thể tham khảo trong [14].

1.4.5. Xác suất có điều kiện
Giả sử ta có một không gian xác suất (Ω,B,m) và lớp các biến ngẫu nhiên
M và ta muốn xác định xác suất có điều kiện m(G|M) cho mọi biến cố G. Bằng
trực giác, nếu ta biết giá trị đầu ra của các biến ngẫu nhiên trong lớp M thì xác
suất để G xảy ra là gì? Đầu tiên ta thấy rằng chưa thể chỉ rõ giá trị đầu ra của
lớp đó là gì. Chúng ta có thể xác định các giá trị này bằng cách coi xác suất
có điều kiện như một hàm của x ∈ Ω vì với x cho trước thì mọi f (x), f ∈ M
là cố định. Do đó, chúng ta sẽ coi xác suất có điều kiện như là một hàm của
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16
các điểm mẫu có dạng m(G|M)(x) = m(G| f (x),∀ f ∈ M), tức là xác suất của
G để f = f (x) với mọi biến ngẫu nhiên f trong lớp M cho trước. Vì m(G|M)
chỉ phụ thuộc vào giá trị đầu ra của f ∈ M nên nó thuộc M(σ(M)), tức là nó
đo được đối với σ(M), là σ - trường sinh bởi lớp M.
Xác suất có điều kiện của G với M đã biết không thay đổi nếu ta cũng có
biến cố trong σ(M) xảy ra và do đó ta có
m(G ∩ F) =

F
m(G|M)dm,F ∈ σ (M)
Điều này dẫn tới định nghĩa sau:
Cho lớp các biến ngẫu nhiên M và biến cố G, xác suất có điều kiện m(G|M)
được xác định như là một hàm nào đó sao cho
m(G|M) là σ(M) - đo được (1.10)
và
m(G ∩ F) =

F
m(G|M)dm,∀F ∈ σ (M). (1.11)
Rõ ràng chúng ta vẫn chưa chỉ ra sự tồn tại của hàm trên. Tuy nhiên, trước
hết ta thấy rằng định nghĩa trên chỉ phụ thuộc vào M thông qua σ - trường sinh

bởi nó.
Do đó, tổng quát hơn chúng ta có thể định nghĩa xác suất có điều kiện của
biến cố G với σ - trường con G đã cho như một hàm m(G|G ) sao cho
m(G|G ) là G - đo được (1.12)
và
m(G ∩ F) =

F
m(G|G )dm,∀F ∈ G . (1.13)
Bằng trực giác, xác suất có điều kiện với một σ - trường là xác suất có điều
kiện với các biến cố trong σ - trường đã xảy ra hay tương đương như vậy là
cho trước kết quả của các hàm chỉ tiêu của tất cả các biến cố trong σ - trường.
Tức là, nếu G là một σ - trường và M = {∀1
F
;F ∈ G } thì G = σ(M) và do đó
m(G|G ) = m(G|M).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 17
Từ cách xây dựng ta có
m(G|M) = m(G|σ (M)). (1.14)
Bây giờ chúng ta đã sẵn sàng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của xác
suất có điều kiện.
Định lý 1.4.2. Cho không gian xác suất (Ω,B,m), biến cố G ∈ B và một
σ - trường con G , khi đó tồn tại xác suất có điều kiện m(G|G ). Hơn nữa, hai
phiên bản xác suất có điều kiện như vậy thì bằng nhau m - h.k.n.
Chứng minh.
Nếu m(G) = 0 thì (1.13) trở thành
0 =

F
m(G|G )dm,∀F ∈ G

và do đó nếu m(G|G ) là G - đo được thì nó bằng 0, m - h.k.n.
Nếu m(G) = 0 thì xác định độ đo xác suất m
G
trên (Ω,G ) như là xác suất
có điều kiện cơ bản
m
G
(F) = m(F|G) =
m(F ∩ G)
m(G)
,F ∈ G .
Thu hẹp m
G
G
của m(.|G) trên G liên tục tuyệt đối đối với m
G
- là thu hẹp
của m trên G . Vì vậy m
G
G
 m
G
, do đó theo định lý Radon-Nikodym thì tồn tại
duy nhất hàm h dương hầu khắp nơi G - đo được sao cho
m
G
G
(F) =

F

hdm
G
và từ Bổ đề 1.4.2
m
G
G
(F) =

F
hdm
do đó
m(F ∩ G)
m(G)
=

F
hdm,F ∈ G .
Vì vậy m(G)h là độ đo xác suất có điều kiện mong muốn m(G|G ).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 18
1.4.6. Xác suất có điều kiện chính quy
Cho biến cố F, xác suất có điều kiện cơ bản m(G|F) là độ đo xác suất
m(.|F) khi được coi như hàm của biến cố G. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là có
hay không một kết luận tương tự cho trường hợp tổng quát hơn. Nói cách khác,
chúng ta định nghĩa xác suất có điều kiện cho một biến cố G cố định với σ -
trường con G . Nếu chúng ta cố định một điểm mẫu x và xét hàm tập m(.|G )(x),
nó có là độ đo xác suất trên B không? Trong trường hợp tổng quát có thể là
không nhưng chúng ta sẽ xét hai trường hợp đặc biệt mà xác suất có điều kiện
tồn tại để với xác suất 1 thì m(F|G )(x),F ∈ B là độ đo xác suất. Trường hợp
đầu tiên ta xét là trường hợp tầm thường của σ - trường con rời rạc của một σ
- trường tuỳ ý. Trường hợp thứ hai quan trọng hơn là một σ - trường con tuỳ ý

của một không gian chuẩn.
Định nghĩa 1.4.3. Cho không gian xác suất (Ω,B,m) và σ - trường con
G . Khi đó xác suất có điều kiện chính quy với điều kiện G là hàm
f : B × Ω → [0,1]
sao cho
f (F,x);F ∈ B (1.15)
là độ đo xác suất với mỗi x ∈ Ω và
f (F,x);x ∈ Ω (1.16)
là một phiên bản của xác suất có điều kiện của F với điều kiện G .
Bổ đề 1.4.3. Cho không gian xác suất (Ω,B,m) và σ - trường con rời rạc
G (tức là G có hữu hạn hoặc đếm được phần tử), khi đó tồn tại độ đo xác suất
có điều kiện chính quy với điều kiện G .
Chứng minh.
Gọi F
i
là họ đếm được các phần tử của σ - trường con đếm được G . Khi đó
ta có thể dùng xác suất cơ bản để viết một phiên bản của xác suất có điều kiện
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 19
với mỗi biến cố trong G :
m(G|G )(x) = P (G|F
i
) =
m(G ∩ F
i
)
m(F
i
)
;x ∈ F
i

,
các F
i
có xác suất khác 0. Nếu x là điểm trong tập có xác suất 0 thì xác suất có
điều kiện có thể là tập p
∗
(G) với độ đo xác suất p
∗
tuỳ ý nào đó. Bây giờ, nếu
chúng ta cố định x thì dễ dàng thấy rằng độ đo xác suất có điều kiện là chính
quy vì mỗi F
i
trong σ - trường con đếm được, xác suất có điều kiện cơ bản
P(.|F
i
) là độ đo xác suất. 
Định lý 1.4.3. Cho không gian xác suất (Ω,B,m) và σ - trường con G ,
khi đó nếu (Ω,B) là không gian chuẩn thì tồn tại một độ đo xác suất chính
quy với G .
Sự tồn tại của xác suất có điều kiện chính quy là một trong những khía cạnh
hữu ích của độ đo xác suất trên không gian chuẩn.
1.4.7. Kỳ vọng có điều kiện
Ở trênchúng ta đã chỉ ra rằng không gian xác suất chuẩn chotrước (Ω,B,m)
và σ - trường con G thì có độ đo xác suất có điều kiện chính quy đối với G :
m(G|G )(x), G ∈ B,x ∈ Ω, tức là với mỗi x cố định thì m(.|G )(x ) là độ đo xác
suất và với mỗi G thì m(G|G )(x) là một phiên bản xác suất có điều kiện của G
với điều kiện G , ví dụ, nó thỏa mãn (1.12) và (1.13). Chúng ta có thể sử dụng
các độ đo xác suất riêng biệt để định nghĩa kỳ vọng có điều kiện
E ( f
|

G )(x) =

f (u)dm(u
|
G )(x) (1.17)
nếu tích phân tồn tại.
Cố định F ∈ G và cho f là hàm chỉ tiêu của biến cố G ∈ B. Tích phân
(1.17) trên F sử dụng (1.13) và thực tế E(1
G
|G )(x ) = m(G|G )(x) suy ra

F
E( f
|
G )dm =

F
f dm, (1.18)
vì vế phải là m(G ∩ F). Từ tính tuyến tính của kỳ vọng có điều kiện (bởi (1.17),
kỳ vọng có điều kiện đơn giản là kỳ vọng thông thường đối với một độ đo,
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20
nghĩa là độ đo xác suất có điều kiện chính quy với một điểm mẫu cụ thể) và
tích phân, (1.18) cũng đúng với các hàm đơn giản. Cho f không âm đo được,
lấy dãy lượng tử thông thường q
n
( f ) ↑ f thì (1.18) đúng vì hai vế bằng nhau
với mỗi n và cả hai vế hội tụ đến cùng tích phân, vế phải hội tụ bởi định nghĩa
của tích phân của hàm không âm, vế trái hội tụ theo định nghĩa và định lý hội
tụ đơn điệu. Với f tổng quát, sử dụng phân tách thông thường f = f
+

− f
−
và
áp dụng kết quả với mỗi phần. Quan hệ trên đúng theo nghĩa là nếu một tích
phân tồn tại thì tích phân còn lại cũng tồn tại và chúng bằng nhau. Chú ý rằng
trong trường hợp cụ thể điều này chỉ ra rằng nếu f ∈ L
1
(m) thì E( f |G )(x) phải
hữu hạn m - h.k.n. Thực tế là với G cố định, xác suất có điều kiện của G với
G là hàm G - đo được suy ra E( f |G )(x) là hàm G - đo được nếu f là hàm chỉ
tiêu, cũng suy ra nó là G - đo được với các hàm đơn giản và do đó cũng cho
giới hạn của các hàm đơn giản. Vì vậy chúng ta có các tính chất sau:
Nếu f ∈ L
1
(m) và h(x) = E( f |G )(x) thì
h(x) là G - đo được, và (1.19)

F
hdm =

F
f dm, với mọi F ∈ G (1.20)
Phương trình (1.20) thường được gọi là kỳ vọng lặp hoặc kỳ vọng trùng
nhau vì nó chỉ ra rằng kỳ vọng của f có thể tìm được theo hai bước: đầu tiên
tìm kỳ vọng có điều kiện với σ - trường đã biết hoặc lớp các biến ngẫu nhiên
(trong trường hợp G sinh ra σ - trường) và khi đó tích phân là kỳ vọng có điều
kiện.
Các tính chất này tương tự như các tính chất của xác suất có điều kiện và
làm yếu đi các tính chất này trong trường hợp của các hàm chỉ tiêu. Bổ đề đơn
giản sau đây chỉ ra rằng các tính chất cung cấp định nghĩa thay thế của kỳ vọng

có điều kiện có hiệu lực tổng quát hơn, tức là nó đúng ngay cả khi không gian
giá trị không là chuẩn. Bây giờ ta đưa ra định nghĩa mô tả tổng quát cho kỳ
vọng có điều kiện:
Định nghĩa 1.4.4. Cho không gian xác suất (Ω,B,m) và σ - trường con G
và biến ngẫu nhiên f ∈ L
1
(m) thì hàm h bất kỳ được gọi là một phiên bản của
kỳ vọng có điều kiện E( f |G ).
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 21
Từ Hệ quả 1.4.1, hai phiên bản kỳ vọng bất kỳ thì bằng nhau hầu khắp nơi.
Nếu không gian cơ bản là chuẩn thì định nghĩa mô tả phù hợp với định nghĩa
cấu trúc. Ta chỉ còn phải chỉ ra rằng kỳ vọng có điều kiện tồn tại trong trường
hợp tổng quát, tức là ta có thể luôn tìm thấy một phiên bản của kỳ vọng có điều
kiện ngay cả khi không gian cơ bản không là chuẩn. Để làm điều này, ta nhận
thấy rằng nếu f là hàm đơn giản
∑
i
a
i
1
G
i
thì
h =
∑
i
a
i
m(G
i

|
G )
là G - đo được và thỏa mãn (1.20) từ tính tuyến tính của tích phân và tính chất
của kỳ vọng có điều kiện:

F

∑
i
a
i
m(G
i
|
G )

dm =
∑
i
a
i

F
m(G
i
|
G )
=
∑
i

a
i

F
1
G
i
dm
=

F
(
∑
i
a
i
1
G
i
)dm =

F
f dm
Sau đó chúng ta tiến hành theo cách thông thường. Nếu f ≥ 0, lấy q
n
là dãy
lượng tử. Khi đó q
n
( f ) ↑ f và do đó E(q
n

( f )|G ) không giảm (Bổ đề 1.4.2), và
h = lim
n→∞
E(q
n
( f )|G ) thỏa mãn (1.19) vì giới hạn của hàm G - đo được là G
- đo được.
Bổ đề 1.4.4. Cho không gian xác suất (Ω,B,m), σ - trường con G và biến
ngẫu nhiên f ∈ L
1
(m), khi đó tồn tại hàm giá trị thực G - đo được h thỏa mãn
công thức

F
hdm =

F
f dm,∀F ∈ G , (1.21)
tức là tồn tại một phiên bản kỳ vọng có điều kiện E( f |G ). Nếu không gian cơ
bản là chuẩn thì (1.17) cũng đúng hầu khắp nơi, tức là định nghĩa mô tả và
định nghĩa theo cấu trúc là tương đương trên không gian chuẩn.
Kết quả tiếp theo chỉ ra rằng nhận xét (1.18) đúng ngay cả khi không gian
không phải là chuẩn.
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 22
Hệ quả 1.4.2.Cho không gian xác suất (Ω,B,m) (không nhất thiết chuẩn),
một σ - trường con G và biến cố G ∈ G thì với xác suất 1 ta có
m(G|G ) = E(1
G
|G ).
Chứng minh.

Từ định nghĩa mô tả của kỳ vọng có điều kiện ta có

F
E(1
G
|
G ) dm =

F
1
G
dm = m(G ∩ F),∀F ∈ G
với G ∈ B bất kỳ. Nhưng theo (1.13) thì tích phân này chỉ là

F
m(G|G )dm với
mọi F ∈ G . Vì E(1
G
|G ) và m(G|G ) là G - đo được nên hệ quả hoàn toàn được
chứng minh. 
Hệ quả 1.4.3. Nếu f ∈ L
1
(m) là G - đo được thì E( f |G ) = f , m - h.k.n.
Chứng minh.
Chứng minh được suy ra trực tiếp từ (1.20) và Hệ quả 1.4.1. 
Nếu kỳ vọng có điều kiện được xác định trên không gian chuẩn sử dụng
định nghĩa cấu trúc thì nó thừa hưởng các tính chất của kỳ vọng thông thường.
Bổ đề 1.4.5. Cho không gian xác suất (Ω,B,m), σ - trường con G , f và
g là hai biến ngẫu nhiên khả tích.
(a) Nếu f ≥ 0 với xác suất 1 thì E

m
( f |G ) ≥ 0.
(b) E
m
(1|G ) = 1.
(c) Kỳ vọng có điều kiện là tuyến tính, tức là với α,β là hai số thực bất kỳ
và hai biến ngẫu nhiên bất kỳ f ,g ta có
E
m
(α f + β g
|
G ) = αE
m
( f
|
G )+ β E
m
(g
|
G ).
(d) E
m
( f |G ) tồn tại và hữu hạn khi và chỉ khi E
m
(| f ||G ) hữu hạn và
|
E
m
f
|

≤ E
m
|
f
|
.
(e) Cho hai biến ngẫu nhiên f,g và f ≥ g với xác suất 1 thì
E
m
( f |G ) ≥ E
m
(g|G ) .
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 23
Chứng minh.
(a) Nếu f ≥ 0 và

F
E ( f |G )dm =

F
f dm,∀F ∈ G
thì vế phải không âm với mọi F ∈ G . Vì E( f |G ) là G - đo được nên từ Hệ quả
1.4.1 suy ra E( f |G ) ≥ 0.
(b) Cho f = 1, hàm h = 1 là G - đo được và thỏa mãn

F
hdm =

F
f dm = m (F),∀F ∈ G

vì (1.19) - (1.20) thỏa mãn với h = 1 nên 1 phải là một phiên bản của E(1|G ).
(c) Cho E( f |G ) và E(g|G ) là kỳ vọng có điều kiện của f và g đối với G .
Khi đó h = αE( f |G )+β E(g|G ) là G - đo được và thỏa mãn (1.20) với f được
thay bởi α f + β g. Do đó h là một phiên bản của E(α f + βg|G ).
(d) Cho f = f
+
− f
−
là phân tách thông thường thành các thành phần
dương và âm f
+
≥ 0, f
−
≥ 0. Từ phần (c) có E( f |G ) = E( f
+
|G ) − E( f
−
|G ).
Từ phần a) có E( f
+
|G ) ≥ 0 và E( f
−
|G ) ≥ 0. Vì vậy, lại sử dụng phần (c) ta có
E ( f |G ) ≤ E

f
+
|G

+ E


f
−
|G

= E( f
+
+ f
−
|
G ) = E(
|
f
| |
G )
(e) Chứng minh phần này được suy ra từ phần (a) và (c) bằng cách thay f
bởi f − g. 
Chương 2
Trung bình theo tập hợp và trung bình
theo thời gian
2.1. Giới thiệu
Trọng tâm của lý thuyết egodic cổ điển là phát triển các điều kiện để trung
bình theo thời gian là trung bình cộng của dãy các biến ngẫu nhiên trên một
quá tr ình ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất hoặc trung bình theo tập hợp của
biến ngẫu nhiên được mô tả bởi tích phân của biến ngẫu nhiên đối với độ đo
xác suất. Các định lý liên quan đến hai loại trung bình này gọi là các định lý
egodic.
2.2. Trung bình theo tập hợp
Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc tập trung vào các biến ngẫu nhiên chỉ lấy
một số hữu hạn các giá trị có thể. Điều này làm đơn giản hóa các định nghĩa và

chứng minh các tính chất cơ bản và mở đầu cho các kết quả tổng quát hơn.
2.2.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
Giả sử ta có một biến ngẫu nhiên f mà không gian giá trị (hoặc alphabet)
f (Ω) ⊂ R các giá trị có thể là hữu hạn. Khi đó, f được gọi là biến ngẫu nhiên
rời rạc hoặc phép đo rời rạc hay theo thuật ngữ chung của toán học là hàm đơn
giản. Các biến ngẫu nhiên rời rạc như vậy là cơ sở toán học quan trọng bởi vì
nhiều kết quả cơ bản được chứng minh từ các hàm đơn giản và như chúng ta
sẽ thấy, tất cả các biến ngẫu nhiên thực có thể được mô tả như giới hạn của các
hàm như vậy.
24
CHƯƠNG 2. TRUNG BÌNH THEO TẬP HỢP VÀ TRUNG BÌNH THEO THỜI GIAN 25
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc f , giả sử không gian giá trị của nó là f (Ω) =
{b
i
, i = 1, ,N} với b
i
khác nhau. Định nghĩa tập F
i
= f
−1
(b
i
) = {x : f (x) =
b
i
}, i = 1, ,N. Vì f đo được nên F
i
là các phần tử của B. Vì b
i
phân biệt nên

F
i
rời nhau. Vì mỗi điểm của Ω đều có ảnh là một b
i
nào đó nên hợp của các tập
F
i
bằng Ω. Do đó, họ {F
i
,i = 1, ,N} tạo thành một phân hoạch của Ω. Một
biến ngẫu nhiên rời rạc bất kỳ được biểu diễn dưới dạng
f (x) =
M
∑
i=1
b
i
1
F
i
(x), (2.1)
với b
i
∈ R, F
i
∈ B tạo thành một phân hoạch của Ω và 1
F
i
là hàm chỉ tiêu của
F

i
,i = 1, ,M. Mỗi hàm đơn giản có biểu diễn duy nhất theo dạng trên.
2.2.2. Trung bình theo tập hợp
Kỳ vọng hay trung bình theo tập hợp hay trung bình theo xác suất hoặc
trung bình của biến ngẫu nhiên rời rạc f : Ω → R xác định như trong công thức
(2.1) đối với độ đo xác suất m được xác định bởi công thức:
E
m
f =
M
∑
i=0
b
i
m(F
i
). (2.2)
Bổ đề đơn giản sau đây chỉ ra rằng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc là
định nghĩa tốt.
Bổ đề 2.2.1. Cho biến ngẫu nhiên rời rạc (hàm đo được đơn giản) f : Ω →
R xác định trên không gian xác suất (Ω, B,m), khi đó kỳ vọng là định nghĩa
tốt, tức là nếu
f (x) =
N
∑
i=1
b
i
1
F

i
(x) =
M
∑
j =1
a
j
1
G
j
(x)
thì E
m
f =
N
∑
i=1
b
i
m(F
i
) =
M
∑
j =1
a
j
m(G
j
).

Chứng minh.
Cho hai phân hoạch {F
i
} và {G
i
}, ta hình thành một phân hoạch mới {F
i
∩
G
j
} (gọi là giao của hai phân hoạch) và nhận thấy rằng
f (x) =
N
∑
i=1
M
∑
j =1
c
i j
1
F
i
∩G
j
(x), với c
i j
= a
j
= b

i
.