chuyen de vanh da thuc va ung dung

Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
c huyên đề:
vành đa thức và ứng dụng
lời nói đầu
Mt trng hp c bit ca cu trỳc vnh, ú l vnh a thc. õy cng l cu trỳc m rng ca
tp a thc m ta ó hc ph thụng. Ngoi ra ta cũn nghiờn cu cỏc bi toỏn liờn quan nh l a
thc trờn vnh s nguyờn Z, a thc trờn trng s thc R, T ú tỡm hiu v a thc. Rt nhiu
ng dng v bi tp ó c hc trong chng trỡnh ph thụng. V hụm nay, vi s hng dn ca
cụ Lờ Th Hng Hi. Nhúm chỳng em ó hon thnh chuyờn nh v vnh a thc v mt s ng
dng trong gii toỏn ph thụng.
Do mt hn ch v thi gian nờn vn cũn nhiu thiu sút, mong cụ giỏo v cỏc bn gúp ý, chnh sa
thờm.
Xin chõn thnh cm n
Phn 1: Vnh a thc mt n
1.Vnh a thc mt n
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 1
a
i
A vi mi i

N

i + j= k
a
i
b
j
, k = 0, 1, 2,
.
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Cho a thc thụng thng:

f(x) = a
0
+ a
1
x ++ a
n
x
n
g(x) = b
0
+ b
1
x ++ b
m
x
m
,
trong ú a
i,
b
j
R, gi s m n
Phộp cng v phộp nhõn a thc l:
f(x) + g(x) = (a
0
+ a
1
x ++ a
n
x

n
) + (b
0
+ b
1
x ++ b
m
x
m
) = a
0
+ b
0
++(a
n
+ b
m
) x
n
+
b
n+1
x
n+1
++ b
m
x
m
.
f(x).g(x) = (a

0
+ a
1
x ++ a
n
x
n
) (b
0
+ b
1
x ++ b
m
x
m
) = a
0
b
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
)x ++ (a
0
b

k
+ a
1
b
k-1
++ a
k
b
0
)x
k
++ a
n
b
m
x
n+m
.
õy chỳng ta hóy nh ngha a thc mt cỏch tng quỏt hn v chớnh xỏc hn.
Gi s A l mt vnh giao hoỏn, cú n v kớ hiu l 1.
Gi P l tp hp cỏc dóy (a
0
, a
1
,, a
n
,), trong ú cỏc , v
bng 0 tt c tr mt s hu hn.
Nh vậy P là một bộ phận của luỹ thừa đề các A
N

.
Ta định nghĩa các phép toán trong P nh sau:
(1)
(a
0
, a
1
, .,a
n
,
.) + (b
0
, b
1
, .,b
n
,
.) = (a
0

+ b
0
, a
1

+b
1
, .,a
n

+b
n
,.)
(2) (a
0
, a
1
, .,a
n
,
.) (b
0
, b
1
, .,b
n
,
.) = (c
0
, c
1

, .,c
n
,.),
Vi
C
k
= a
0

b
k
+ a
1
b
k-1
++ a
k
b
0
=
Vỡ cỏc a
i
v b
i
bng 0 tt c tr mt s hu hn nờn cỏc a
i
+ b
i
v c
i
cng bng 0 tt c
tr mt s hu hn, cho nờn (1) v (2) cho ta hai phộp toỏn trong P.
Ta hóy chng minh P l mt vnh giao hoỏn, cú n v.
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 2
∑
i + j=
k
a
i

b
j
∑
i + j=
k

c
j
∑
h + k=
m
∑
i+j= k

b
j
c
j
∑
h + i+j= m

a
h

(b
i
c
j
)

∑
h + i+j= m
(a
h
b
i
)c
j
∑
j+l = m
∑
h + i= l
a
h
b
i
∑
i + j=
k
a
i
(b
j
+
c
j
)
=
∑
i + j=

k
a
i
b
j
a
i
c
j
+
∑
i + j=
k
x = (0, 1, 0,…,0,…)
…
Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải
Trước hết, hiển nhiên phép cộng là giao hoán và kết hợp. Phần tử không là dãy
(0, 0, …, 0, …),
phần tử đối của dãy
(a
0
, a
1
, ….,a
n
,
….) là dãy (-a
0
, -a
1

, ….,-a
n
,
….). Vậy A là giao
hoán, nên
= b
j
a
i

Do đó phép nhân là giao hoán. Do phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân
phối đối với phép cộng, nên với mọi m = 0, 1, 2, … ta có thể viết
a
h
( ) = = = ( )
Từ đó ta có phép nhân trong P là kết hợp. Dãy (1, 0, …, 0, …) là phần tử đơn vị của
P. Vậy P là một vị nhóm nhân giao hoán.
Cuối cùng luật phân phối trong A cho phép ta viết
với mọi k = 0, 1, 2, …, ta suy ra từ đó luật phân phối trong P.
Bây giờ ta hãy xét dãy
Ta có theo quy tắc nhân (2)
X
2

= (0, 0, 1, 0, 0,…,0,…)
X
3
=
(0, 0, 0, 1, 0,…,0,…)
Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 3

x
n
= ( , 1, 0,…,0…)
x
o
= (1, 0,0,…,0,…) = 1
Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải
Ta quy ước viết
Mặt khác ta xét ánh xạ: A → P
a (a, 0,…, 0, …)
Ánh xạ này hiển nhiên là một đơn cấu (vành). Do đó từ giờ ta đồng
nhất phần tử a
A với dãy
(a, 0,…, 0, …)
P, và vì vậy A là một vành con
của vành P. Vì mỗi phần tử của P là một dãy
(a
0
, a
1
, ….,a
n
,
….)
trong đó các a
i
bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của
P có dạng
(a
0

, a
1
, ….,a
n
, 0,
….)
trong đó a
0
, …, a
n

A không nhất thiết khác 0. Việc đồng nhất a với
(a, 0,
…, 0, …) và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết
(a
0
, ….,a
n
, 0,
…) = (a
0
, 0, …) + (0, a
1
, 0, …) + …+ (0, …, a
n
, 0, …) = (a
0
,
0, …) + (a
1

, 0, …) (0, 1, 0, …) + …+ (a
n
, 0,
…) , 1, 0, …) = a
0
+
a
1
x + … + a
n
x
n
= a
0
x
0
+ a
1
x + … + a
n
x
n
.
Người ta thường kí hiệu các phần tử của P viết dưới dạng
a
0
x
0
+ a
1

x + … + a
n
x
n

b
ằng f(x), g(x)…
Định nghĩa 1.
Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 4
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn tắt vành đa thức của
ẩn x trên A, và kí hiệu là A [x]. Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ
tử trong A. Trong một đa thức
f(x) =
a
0
x
0
+ a
1
x + + a
n
x
n

các a
i
, i = 0, 1, , n gọi là các hệ tử của đa thức. Các a
i
x

i
gọi là các hạng tử của đa
thức, đặc biệt
a
0
x
0
= a
0
gọi là hạng tử tự do. Đa thức có dạng
ax
n
(a
R) đợc gọi là
một đơn thức.
2. Bậc của một đa thức:
Xét một dãy
(a
0
, a
1
, .,a
n
,
.)
thuộc vành P. Vì các
a
i
bằng 0 tất cả trừ một số hữu
hạn nên nếu

(a
0
, a
1
, .,a
n,
.) (0, 0, , 0, )
thì bao giờ cũng có một chỉ số
n
sao cho
a
n
0
và
a
i
= 0, i > n
. Theo nh trên ta viết
(a
0
, a
1
, .,a
n,
.) = a
0
x
0
+ a
1

x + + a
n
x
n
= f(x)
trong đó nếu
a
n
0
thì số n đợc gọi là bậc của đa thức f(x), và kí hiệu
deg(f) = n
. Đa
thức với các hệ tử đều bằng 0 gọi là đa thức không. Đa thức bậc 0 là một phần tử của
vành A và nó còn đợc gọi là đa thức hằng. Chú ý rằng ta không định nghĩa bậc

của
đa thức 0.
Định nghĩa 2. Bậc của đa thức khác 0

f(x) =
a
0
x
0
+ + a
n-1
x
n-1
+ a
n

x
n

với a
n
0, n 0, là n. Hệ tử a
n
gọi là hệ tử cao nhất của f(x).
Định lí 1. Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0.
Nếu bậc f(x) khác bậc g(x), thì ta có
f(x) + g(x) 0 và bậc (f(x) + g(x)) = max (bậc f(x), bậc g(x)).
Nếu bậc f(x) = bậc g(x), và nếu thêm nữa
f(x) + g(x) 0, thì ta có
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 5
n
f(x)=

a
i

x
i

, g
(x)=
m


b
i

x
i

,
với

a
n
, b
m

0
, m = n + k,
k > 0
n m
f(x)+ g(x) =

(a
i
+
b
i
)x
i
+

b
i
x
i

i = 0 i = n+1
f(x).g(x) = a
0
b
0

+ + (a
0
b
k

+ a
1
b
k1

+ a
k
b
0

)x
k

+ + a
n
b
m

x

n+m
f(x).g(x) = a
0
b
0

+ + (a
0
b
k

+ a
k
b
0

)x
k

+ + a
m
b
n

x
n+m
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
bậc (f(x) + g(x)) max (bậc f(x), bậc g(x)).
Nếu f(x).g(x) 0, thì ta có
bậc (f(x).g(x)) bậc f(x) + bậc g(x).

Chứng minh:
Giả sử
Khi đó
Và
Chú ý rằng, nếu A là vành nguyên thì a
n
b
m
0. Từ đó, suy ra các khẳng định đã
nêu trong định lí.
Định lí 2. Nếu A là một miền nguyên f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành
A[x], thì f(x) g(x) 0 và bậc (f(x) g(x) = bậc f(x) + bậc g(x).
Chứng minh: Giả sử f(x), g(x) A[x] là hai đa thức khác 0
f(x) =
a
0
+ + a
m
x
m
(a
m
0)

g(x) =
b
0
+ + b
n
x

n
(b
n
0)
theo quy tắc nhân đa thức, ta có

Vì A là miền nguyên và
a
m
, b
n
0
nên
a
n
b
m
0 (A không có ớc của 0), do đó f(x).g(x)
0 và bậc (f(x)g(x)) = m + n = bậc f(x) + bậc g(x). (đpcm)
Hệ quả. Nếu A là miền nguyên, thì A[x] cũng là miền nguyên.
3. Phép chia với d.
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 6
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Trong mục 2 ta đã thấy nếu A là một miền nguyên thì A[x] cũng là một miền
nguyên. Ta tự đặt câu hỏi: nếu A là một trờng thì A[x] có phải là một trờng không?
Câu hỏi đợc trả lời ngay tức khắc, A[x] không phải là một trờng vì đa thức x chẳng
hạn không có nghịch đảo. Tuy vậy trong trờng hợp này A[x] là một miền nguyên đặc
biệt, nó là một vành ơclit, nghĩa là một vành trong đó có phép chia với d.
Định lí 3 (phép chia ơclit). Giả sử A là một trờng, f(x) và g(x)

0 là hai đa thức của
vành A[x]; thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A [x] sao
cho
f(x) = g(x) q(x) + r(x), với bậc r(x) < bậc g(x)
nếu r(x)

0.
Các đa thức q(x) và r(x) đợc gọi tơng ứng là thơng và d trong phép chia f(x) cho g(x).
Chứng minh: i) Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất.
Giả sử f(x) = g(x) q(x) + r(x), với bậc r(x) < bậc g(x)
nếu r(x)

0.

Ta suy ra g(x) (q(x) - q(x)) + r(x) - r(x) = 0.

Nếu r(x) = r(x), ta có g(x) (q(x) - q(x)) = 0, vì g(x)

0 và A[x] là một miền
nguyên, nên suy ra q(x) - q(x) = 0 tức là q(x) = q(x).
Giả sử r(x)

r(x), vậy

Bậc (r(x) - r(x)) = bậc (g(x) (q(x) - q(x))) = bậc g(x) + bậc (q(x) - q(x)) (định lí 2).
Mặt khác theo giả thiết và định lí 1, ta có: bậc (r(x) - r(x))

max (bậc r(x), bậc r(x)
< bậc g(x)

bậc g(x) + bậc (q(x) - q(x)), điều này mâu thuẫn với đẳng thức trên.
ii) Sự tồn tại.
Sự tồn tại của q(x) và r(x) thì suy ra từ thuật toán dới đây. Tìm q(x) và r(x) gọi là
thực hiện phép chia f(x) cho g(x). Đa thức q(x) gọi là thơng, đa thức r(x) là d của f(x)
cho g(x). Việc tìm thơng và d là tức khắc nếu bậc f(x) < bậc g(x). Ta chỉ cần đặt q(x)
= 0, r(x) = f(x). Trong trờng hợp trái lại ta dùng nhận xét sau đây:
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 7
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Nếu ta biết một đa thức h(x) sao cho
f
1
(x) = f(x) g(x) h(x)
có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x) thì bài toán trở thành đơn giản hơn: tìm thơng
và d của f
1
(x) cho g(x). Thật vậy, nếu f
1
(x) = g(x) q
1
(x) + r
1
(x)
từ đó
q(x) = h(x) + q
1
(x), r(x) = r
1
(x)
Trong thực tiễn, với
f(x) = a

m
x
m
+ a
m-1
x
m-1
+ + a
0
g(x) = b
n
x
n
+ b
n-1
x
n-1
++ b
0
, b
n
0
và n

m ta nhận xét rằng, lấy
h(x) =
b
a
n
m

x
m-n
, thì đa thức
f
1
(x) = f(x) g(x) h(x)
có bậc thực sự bé hơn bậc của
f(x),
hoặc
f
1
(x) bằng 0. Trong trờng hợp f
1
(x) = 0, d r(x) = 0 và thơng q(x) = h(x). Nếu f
1
(x)

0
ta tiếp tục với f
1
(x), ta đợc f
2
(x) Dãy đa thức có bậc f
1
(x), f
2
(x) có bậc giảm dần.
Khi ta đi đến một đa thức có bậc thực sự bé hơn bậc của g(x) thì đa thức đó chính là
d r(x). Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d r(x) = 0. Để nhìn thấy rõ hơn ta hãy viết
ra các bớc mà ta đã thực hiện để đợc dãy f

1
(x), f
2
(x)
f
1
(x) = f(x) g(x) h(x)
f
2
(x) = f
1
(x) g(x) h
1
(x)
.
f
k
(x) = f
k-1
(x) g(x) h
k-1
(x)
với = 0 hoặc bậc f
k
(x) < bậc g(x). Cộng vế với vế các đẳng thức đó lại, ta đợc
f(x) = g(x)( h(x) + h
1
(x) + + h
k-1
(x)) + f

k
(x),
từ đó

q(x) = h(x) + h
1
(x) + + h
k-1
(x), r(x) = f
k
(x).
(đpcm)
Ví dụ. Trong thực tiễn để thực hiện phép chia f(x) cho g(x), ngời ta sắp đặt nh sau để
lập dãy f
1
(x), f
2
(x)
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 8
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
1) A là trờng số hữu tỉ
.

- x
3
7x
2
+ 2x 4 - 2x
2
+ 2x - 1

- x
3
x
2
-
2
1
x
2
1
x + 4
- 8
x
2
+
2
5
x - 4
- 8
x
2
+ 8x - 4

2
11

x
Từ đó: - x
3
7x

2
+ 2x 4 = (- 2x
2
+ 2x 1) (
2
1
x + 4)
2
11

x.
2) A là trờng các số nguyên mod 11.
-

1
x
3


7
x
2
+

2
x

4
-

2
x
2
+

2
x -

1
-

1
x
3


1
x
2
-

6
x

6
x +

4

-

8
x
2
+

8
x -

4

-

8
x
2
+

8
x -

4


0
Vậy -

1
x
3

7
x
2
+

2
x

4
= (-

2
x
2
+

2
x -

1
)(

6
x +

4
)
Hệ quả. f(x) chia hết cho g(x) khi và chỉ khi d trong phép chia f(x) cho g(x) bằng 0.

4. Nghiệm của một đa thức.
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 9
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Định nghĩa 3. Giả sử c là một phần tử tuỳ ý của vành A, f(x) =
a
0
+ a
1
x + + a
n
x
n

là một đa thức tuỳ ý của vành A[x]; phần tử
f(c) =
a
0
+ a
1
c + + a
n
c
n

A
đợc bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu f(c) = 0 thì c gọi là
nghiệm của f(x). Tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phơng trình đại số bậc n

a
n

x
n
++ a
0
= 0 (a
n
0)
trong
A.

Định lí 4. Giả sử A là một trờng, c
A, f(x) A[x]. D của phép chia f(x) cho x c
là f(c).
Chứng minh. Nếu ta chia f(x) cho x c, d hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0
vì bậc (x c) bằng 1. Vậy d là một phần tử r A. Ta có
f(x) = (x c) q(x) + r
Thay x bằng c, ta đợc
f(c) = 0 . q(c) + r,
Vậy r = f(c). (đpcm)
Hệ quả. c là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x c.
Thực hiện phép chia
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
++ a

n
cho x c, ta đợc các hệ tử của đa thức thơng
q(x) = b
0
x
n-1
+ x
n-2
++ b
n-1
cho bởi các công thức
b
0
= a
0
, b
i
= a
i
+ cb
i-1
, i = 1, , n-1
và d
r = a
n
+ cb
n-1
.
Vì r = f(c), ta suy ra một phơng pháp (phơng pháp Hoocne) để tính f(c) bằng sơ đồ
sau đây:

Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 10
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
a
0
a
1
a
n-1
a
n
c b
0
b
1
b
n-1
r
trong đó mỗi phần tử của dòng thứ nhì đợc bằng cách cộng vào phần tử tơng ứng của
dòng thứ nhất tích của c với phần tử đứng trớc dòng thứ nhì.
Định nghĩa 4. Giả sử A là một trờng, c A, f(x) A[x] và m là một số tự nhiên 1, c
là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f(x) chia hết cho (x c)
m
và f(x) không chia hết
cho x c)
m + 1
. Trong trờng hợp m = 1, ngời ta còn gọi c là nghiệm đơn, m = 2 thì c là
nghiệm kép.
Ngời ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m nh một đa thức có m nghiệm
trùng với nhau.
5. Phần tử đại số và phần tử siêu việt.

Định nghĩa 5. Giả sử A là một trờng con của một trờng K. Một phần tử c K gọi là
đại số trên A nếu c là nghiệm của đa thức khác 0 lấy hệ tử trong A; c gọi là siêu việt
trên A trong trờng hợp trái lại.
Ví dụ:
Các phần tử của trờng A đều đại số trên A.
Trong trờng số thực R,
2
là đại số trên trờng số hữu tỉ Q, là siêu việt trên Q.
Trong trờng số phức C, mọi số phức là đại số trên trờng số thực R. Thực vậy, mọi số
phức z = a + bi là nghiệm của đa thức x
2
2ax + a
2
+ b
2
.
Định lí 5. Giả sử A là một trờng con của một trờng K và c là một phần tử của K. Nếu
c là siêu việt trên A thì A[c] đẳng cấu với vành đa thức A[x] của ẩn x. Nếu c là đại số
trên A thì A[c] đẳng cấu với một vành thơng của vành A[x].
Chứng minh. Xét ánh xạ
= A[x] K
f(x) f(c)
Hiển nhiên là một đồng cấu (vành) và Im = A[c].
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 11
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Theo hệ quả của định lí 13 trong (ch III, Đ1, 5_GT Đại số đại cơng) ta có
A[c]

A[x] / Ker
Trong trờng hợp c là siêu việt trên A, f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x) = 0. Vậy Ker =

{0}. Do đó
A[c]

A[x] / {0}

A[x]. (đpcm)
Phần 2. Vành đa thức nhiều ẩn.
1. Vành đa thức nhiều ẩn.
Với A là một vành giao hoán, có đơn vị. Ta đã xây dựng vành đa thức P
của ẩn x, kí hệu là vành đa thức A[x]. Ta đã biết A[x] cũng là một vành giao
hoán, có đơn vị, nh vậy hoàn toàn có thể xây dựng một vành đa thức mới lấy hệ
tử trong vành đa thức một ẩn A[x].
Để cho tiện ta kí hiệu: A
1
= A[x
1
]; A
2
= A[x
2
]; , A
n
= A
n-1
[x
n
].
Định nghĩa 1. Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Ta đặt
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 12
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi

A
1
= A[x
1
]
A
2
= A[x
2
]
A
3
= A[x
3
]

A
n
= A
n-1
[x
n
]
Vành A
n
= A
n-1
[x
n
] kí hiệu là A[x

1
, x
2
, , x
n
] và gọi là vành đa thức của n ẩn
x
1
, x
2
, , x
n
lấy hệ tử trong vành A. Một phần tử của A
n
gọi là một đa thức của n ẩn
x
1
, x
2
, , x
n
lấy hệ tử trong vành A, ngời ta kí hiệu nó bằng f(x
1
, x
2
, , x
n
) hay
g(x
1

, x
2
, , x
n
)
T nh ngha 1 ta có dãy vành
A
0
= A

A
1


A
2




A
n
trong đó A
i-1
là vành con của A
i
, i = 1, 2, , n.
Bây giờ ta hãy xét vành A
1
[x

2
] = A[x
1
, x
2
]. Đó là vành đa thức của ẩn x
2
lấy
hệ tử trong A
1
= A[x
1
]. Vậy mỗi phần tử của A[x
1
, x
2
] có thể viết dới dạng
(1) f(x
1
,x
2
) = a
0
(x
1
) + a
1
(x
1
)x

2
++ a
n
(x
1
)
x
n
2
với các a
i
(x
1
) A[x
1
].
(2) a
i
(x
1
) = b
i0
+ b
i1
x
1
++
b
i
im

1
x
i
m
, i = 0, 1, , n
Vì A[x
1
, x
2
] là một vành nên ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng, do đó
f(x
1
, x
2
) còn có thể viết
(3) f(x
1
, x
2
) = c
1
x
a
11
1
+ c
2
x
a
21

1
x
a
22
2
+ + c
m
x
m
a
1
1
x
m
a
2
2
với các c
i
A, các a
i1
, a
i2
là những số tự nhiên và (a
i1
, a
i2
) (a
j1
, a

j2
) khi i j. Các
c
i
gọi là các hệ tử và các c
i
x
i
a
1
1
x
i
a
2
2
gọi là các hạng tử của đa thức f(x
1
, x
2
).
Đa thức f(x
1
, x
2
) = 0

các hệ tử c
i
= 0,

i = 1, 2,
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 13
m

(c
i

d
j
)
x
i
a
1
1

x
in
a
n

i =1


c
i
d
j
x

ji
aa
11
1
+


x
jnin
aa
n
+

i,j
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Thật vậy, nếu các c
i
= 0 thì rõ ràng f(x
1
, x
2
) = 0.
Đảo lại, giả sử f(x
1
, x
2
) = 0. Viết f(x
1
, x
2

) dới dạng (1), ta đợc các đa thức (2) bằng 0
tất cả, tức là
b
i0
==
b
i
im
=0, i = 0, , n
Nhng các c
1
, , c
m
trong (3) chính là các b
i0
, ,
b
i
im
, i = 0, , n do đó
c
1
= c
2
= = c
m
= 0.
Bằng quy nạp ta chứng minh mỗi đa thức f(x
1
, x

2
, , x
n
) của vành A[x
1
, x
2
, ,
x
n
] có thể viết dới dạng
(4) f(x
1
, x
2
, , x
n
) = c
1
x
a
11
1

x
n
a
n
1
+ + c

m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
với các c
i
A, các a
i1
,
, a
in
, i = 1, , m, là những số tự nhiên và các c
i
x
i
a
1
1

x
in
a
n

gọi là các hạng
tử của đa thức f(x
1
, x
2
, , x
n
).
Đa thức f(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 tất cả.
Cho hai đa thức f(x
1
, , x
n
) và g(x
1
, , x
n
) bao giờ ta cũng có thể viết chúng d-
ới dạng sau đây
f(x
1
, , x
n
) = c

1
x
a
11
1

x
n
a
n
1
+ + c
m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
(5)
g(x
1
, , x
n
) = d
1

x
a
11
1

x
n
a
n
1
+ + d
m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
,
trong đó (a
i1
, , a
in
) (a
j1
,, a

jn
) khi i j.
Do các tính chất của các phép toán trong vành A[x
1
, , x
n
] ta có tổng, hiệu, tích
của f(x
1
, , x
n
) và g(x
1
, , x
n
) là
f(x
1
, , x
n
)

g(x
1
, , x
n
) =
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 14
m

(c
i
-
d
i
)
x
i
a
1
1


x
in
a
n
i =1
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
f(x
1
, , x
n
) g(x
1
, , x
n
) =
i = 1, , m; j = 1,, m
(5) f(x

1
, , x
n
) - g(x
1
, , x
n
) =
Do đó
f(x
1
, , x
n
) - g(x
1
, , x
n
) = 0 khi và chỉ khi c
i
d
i
=0, i = 1, , m, tức là
f(x
1
, , x
n
) = g(x
1
, , x
n

) khi và chỉ khi c
i
= d
i
, i = 1, , m.
2. Bậc của đa thức.
Định nghĩa 2. Giả sử f(x
1
, , x
n
) A [x
1
, , x
n
] là một đa thức khác 0
f(x
1
, , x
n
) = c
1
x
a
11
1

x
n
a
n

1
+ + c
m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
với các c
i
0, i = 1, , m và (a
i1
, , a
in
) (a
j1
,, a
jn
) khi i j. Ta gọi
là bậc của đa thức f(x
1
, , x
n
) đối với ẩn x
i

số mũ cao nhất mà x
i
có đợc
trong các hạng tử của đa thức.
Nếu trong đa thức f(x
1
, , x
n
) ẩn x
i
không có mặt thì bậc của f(x
1
, , x
n
)
đối với nó là 0.
Ta gọi là bậc của hạng tử c
i
x
i
a
1
1

x
in
a
n
tổng các số mũ a
i1

++ a
in
của các
ẩn.
Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của
các hạng tử của nó.
Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của f(x
1
, , x
n
) có cùng bậc k thì f(x
1
, , x
n
) gọi là
một đa thức đẳng cấp bậc k. Đặc biệt một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến
tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phơng, một dạng bậc ba gọi là dạng
lập phơng.
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 15
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Có hai cách sắp xếp các hạng tử của một đa thức là: sắp xếp nó theo các luỹ
thừa tăng hay giảm đối với một ẩn nào đó và sắp xếp theo lối từ điển (giống
cách sắp xếp các chữ trong từ điển). Các ví dụ trong GT Đại số đại c-
ơng_trang 112.
Định lí 1. Giả sử f(x
1
, , x
n
) là một đa thức với hạng tử cao nhất là c

x
a
1
1

x
n
a
n
, g(x
1
, , x
n
) là một đa thức với hạng tử cao nhất là d
x
b
1
1

x
n
b
n
và giả sử
(a
1
, , a
n
) > (b
1

, , b
n
). Thế thì hạng tử cao nhất của đa thức tổng f(x
1
, ,
x
n
) + g(x
1
, , x
n
) là c
x
a
1
1

x
n
a
n
. (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 113)
Hệ quả. Giả sử f
1
(x
1
, , x
n
), , f
k

(x
1
, , x
n
) là những đa thức có hạng tử
cao nhất theo thứ tự là
c
1
x
a
11
1

x
n
a
n
1
, ,c
mk
x
k
a
1
1

x
kn
a
n

và giả sử
(a
11
, , a
1n
) > (a
21
, , a
2n
)> (a
k1
, , a
kn
)

Thế thì c
1
x
a
11
1

x
n
a
n
1
là hạng tử cao nhất của đa thức tổng f
1
(x

1
, , x
n
) ++
f
k
(x
1
, , x
n
).
Bổ đề 1. Nếu (a
1
, , a
n
) > (b
1
, , b
n
)
thì (a
1
+ c
1
,, a
n
+ c
n
) > (b
1

+ c
1
,, b
n
+ c
n
), với mọi (c
1
, , c
n
) N
n
.
(Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 114)
Hệ quả. Nếu (a
1
, , a
n
) > (b
1
, , b
n
) và (c
1
, , c
n
) > (d
1
, , d
n

) thì
(a
1
+ c
1
,, a
n
+ c
n
) > (b
1
+ d
1
,, b
n
+ d
n
). (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr
115)
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 16
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Định lí 2. Giả sử f(x
1
, , x
n
) và g(x
1
, , x
n
) là hai đa thức khác 0 của vành

A[x
1
, , x
n
] có các hạng tử cao nhất theo thứ tự là c
1
x
a
11
1

x
n
a
n
1
và d
1
x
b
11
1

x
n
b
n
1
. Nếu
c

1
d
1
0 thì hạng tử cao nhất của đa thức tích f(x
1
, , x
n
) g(x
1
, , x
n
) là c
1
d
1
x
ba
1111
1
+


x
nn
ba
n
11
+
. (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 115)
Hệ quả. Nếu A là một miền nguyên thì A[x

1
, , x
n
] cũng vậy.
3. Đa thức đối xứng.
Định nghĩa 3. Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, f(x
1
, , x
n
) là một đa
thức của vành A[x
1
, , x
n
]. Ta bảo f(x
1
, , x
n
) là một đa thức đối xứng của n
ẩn nếu
f(x
1
, x
2
, , x
n
) = f(x
(1)
, x
(2)

, , x
(n)
)
với mọi phép thế
1 2 n
=
(1) (2) (n)
f(x
(1)
, , x
(n)
) suy ra từ f(x
1
, , x
n
) bằng cách thay trong f(x
1
, , x
n
), x
1
bởi
x
(1)
,, x
n
bởi x
(n)
.
Định lí 3. Bộ phận gồm các đa thức đối xứng của vành A[x

1
, , x
n
] là một
vành con của vành A[x
1
, , x
n
]. (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 117)
Bổ đề 2. Giả sử f(x
1
, , x
n
) là một đa thức đối xứng khác 0 và
x
a
1
1
x
a
2
2

x
n
a
n
là hạng tử cao nhất của nó. Thế thì a
1
a

2
a
n
. (Chứng minh: GT
Đại số đại cơng_ tr 119)
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 17
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Bổ đề 3. Giả sử a
1
, , a
n
là những số tự nhiên sao cho
a
1
a
2
a
n
thế thì đa thức
f(x
1
, , x
n
) =

21
1
aa

32
2
aa



nn
aa
n



1
1

n
a
n
trong đó
1
, ,
n
là các đa thức đối xứng cơ bản, có hạng tử cao nhất là
x
a
1
1
x
a
2

2

x
n
a
n
(Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 120)
Bổ đề 4. Giả sử a
1
là một số tự nhiên. Bộ phận M của N
n
, với N là tập hợp
các số tự nhiên , gồm các phần tử (t
1
, t
2
, , t
n
) sao cho
a
1
t
1
t
2
t
n
là hữu hạn.
Bổ đề 5. Giả sử g(
1

, ,
n
) là một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản
g(
1
, ,
n
) = c
1

11
1
a


n
a
n
1
++ c
m

1
1
m
a


mn
a

n
trong đó c
i
0, i = 1, , m và (a
i1
, , a
in
) (a
j1
,, a
jn
) khi i j. Thế
thì g(
1
, ,
n
) 0. (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 121)
Hệ quả. Giả sử
h(x
1
, , x
n
) = c
1
x
a
11
1

x

n
a
n
1
+ + c
m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
và
h(x
1
, , x
n
) = c
1
x
a
11
1

x
n

a
n
1
+ + c
m
x
m
a
1
1

x
mn
a
n
là hai đa thức trong đó (a
i1
, , a
in
) (a
j1
,, a
jn
) khi i j, sao cho
h(
1
, ,
n
) = h(
1

, ,
n
);
thế thì c
i
= c
i
, i = 1, 2, , m. (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 122)
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 18
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Định lí 4. Giả sử f(x
1
, x
2
, , x
n
) A[x
1
, x
2
, , x
n
] là một đa thức đối xứng
khác 0. Thế thì có một và chỉ một đa thức
h(x
1
, x
2
, , x
n

) A[x
1
, x
2
, , x
n
]
sao cho f(x
1
, x
2
, , x
n
) = h(
1
,
2
, ,
n
)
trong đó
1
,
2
, ,
n
là các đa thức đối xứng cơ bản.
(Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 123-124)
Một số ví dụ:
1, Cho đa thức đối xứng trên Z[x

1
, x
2
, x
3
]:
f(x
1
, x
2
, x
3
) = x
1
2
x
2
+ x
1
x
2
2
+ x
1
2
x
3
+ x
1
x

3
2
+ x
2
2
x
3
+ x
2
x
3
2
.
Hãy biểu diễn f(x
1
, x
2
, x
3
) qua các đa thức đối xứng cơ bản s
1
, s
2
, s
3
.
Giải:
Ta có hạng tử cao nhất là: x
1
2

x
2
(2, 1 ,0) = (a
1
, a
2
, a
3
).
Lập hiệu: f(x
1
, x
2
, x
3
) - s
1
2-1
s
2
1-0
s
3
0
= f(x
1
, x
2
, x
3

) - s
1
s
2
= f(x
1
, x
2
, ,
x
n
) - (x
1
+ x
2
+ x
3
)( x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
) = -3x

1
x
2
x
3
= -3s
3
f(x
1
, x
2
,
x
3
) = s
1
s
2
- 3s
3
.
2, Ví dụ SGK: Tr 125. (GT Đại số đại cơng)
Sử dụng phơng pháp hệ số bất định (để biểu diễn một đa thức đối
xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản) Xem GT Đại số đại cơng
Tr 126-127.
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 19
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
Phần 3. Ưng dụng đa thức đối xứng trong toán sơ cấp ở phổ thông
1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử (phơng pháp hệ số bất định).

x
4
-6x
3
+12x
2
-14x+3
Thử: x= 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm
nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Đa thức trên phân tích đợc thành
thừa số thì phải có dạng: (x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)=x
4
+(a+c)x
3
+(ac+b+d)x
2
+
(ad+bc)x+bd
=x
4
-6x
3
+12x
2
-14x+3
a+c=-6
ac+b+d=12

ad+bc=-14
bd=3

bd=3 mà b,d Z
=> b 1; 3
Với b=3 => d=1
a+c=-6
ac=8
a+3c=-14
a=-2
c=-4
Vậy: a=-2
b=3
c=-4
d=1
x
4
-6x
3
+12x
2
-14x+3 = (x
2
-2x+3)(x
2
-4x+1).

2. Tìm các số nguyên thoả mãn hệ điều kiện.
Ví dụ1: Hóy tỡm nhng giỏ tr ca tham s a sao cho nhng nghim
x

1
,x
2
,x
3
ca a thc
3 2
( ) 2P x x x x a
= + + +
tha món iu kin
2 2 2
1 2 3
x x x
+ =
Li gii:: Chỳ ý ti cụng thc Viốte v iu kin ó cho ca nghim x
1
,x
2
,x
3
v
a tha món nhng ng thc sau:
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 20
Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải
1 2 3
1 2 2 3 1 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
2

1
x x x
x x x x x x a
x x x
x x x
+ + = −


+ + =


=


+ =

Từ đẳng thức trên ta nhân được:
2 2 2
1 2 3 3 3
4 ( ) 2 2 2x x x x a x a
= + + = + ⇒ = −
Nhưng x3 là nghiệm của đa thức đã cho nên:
2 2
3 3 3 3
0 2 4 2 2x x ax x a
= + − = −
. Nghĩa là x
3
=a hoặc là a
2

=2-a
Giải phương trình trên ta nhận được : a=1 hoặc a=-2.
VÝ dô 2 :
3. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc.
4. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc.
Tµi liÖu tham kh¶o:
1. S¸ch gi¸o khoa §¹i Sè 7. NXB Gi¸o Dôc.
2. S¸ch gi¸o khoa §¹i Sè 8. NXB Gi¸o Dôc.
Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 21
Hãy tìm những giá trị của tham số a sao cho những
nghiệm x
1
,x
2
,x
3
của đa thức thỏa mãn điều kiện
Hướng dẫn :tương tự ví dụ 1,
Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi
3. Một số vấn đề phát triển Đại Số 8 Vũ Hữu Bình.
4. Giáo trình Đại số đại cơng _ Hoàng Xuân Sính NXB Giáo Dục
lời kết
Cho n gi phỳt ny, nh tm lũng nhit thnh ch dn ca cụ giỏo,
chỳng em ó hon thnh chuyờn u tiờn ca mỡnh. Du cũn nhiu thiu sút
trong quỏ trỡnh biờn son nhng tp th nhúm mong rng, nú s mang li mt s
kin thc b ớch v kh nng gii toỏn a thc.
Xin chõn thnh cm n
Giỏo viờn hng dn: Dơng Thị Hồng Hải
Thnh viờn:
1. Nguyễn văn Ba (Nhóm trởng)

2. Nguyễn văn Đỉnh
3. Đinh văn Tùng
Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 22
Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải


Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 23