Tài liệu Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng ppt

Chuyên đề 13:

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:


Bảng 1 Bảng 2

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x
α

1
1
x
C
α
α
+
+
+

()ax b
α
+

a
1

1
()
1
ax b
C
α
α
+
+
+
+

1
x

ln x C+

1
ax b
+

1
ln ax b C
a
++

x
a

ln
x
a
C
a
+


x
e

x
eC+

ax b
e
+

1
ax b
eC
a
+
+

sinx -cosx + C sin(ax+b)

1
cos( )ax b C
a

−+
+

cosx Sinx + C cos(ax+b)

1
sin( )ax b C
a
++

2
1
cos
x


tgx + C
2
1
cos ( )ax b
+

1
()tg ax b C
a
++

2
1
sin

x


-cotgx + C
2
1
sin ( )ax b
+


1
cot ( )gax b C
a
−+
+

'
()
()
ux
ux

ln ( )ux C+

22
1
x a
−

1
ln
2
x a
C
axa
−
+
+

tgx

ln cos x C−+

22
1
x a+

22
ln x xa C+++
cotgx
ln sin x C+







Phương pháp 1:

• Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên
hàm cơ bản
• Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi
lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1.
3
1
() cos
1
fx x
x x
=+
+−
2.
2
2x 5
f(x)
x4x3
−
=
− +


83
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.
5
cos sinx xdx
∫

2.
cos
tgx
dx
x
∫
3.
1lnx
dx
x
+
∫

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;ab
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
thì:

[]
() () () ()
b
b
a
a
f xdx Fx Fb Fa==−
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)

2. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :
() 0
b
a
fxdx=
∫

•
Tính chất 2:
() ()
ba
ab
f xdx f xdx=−
∫∫

•
Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;ab
thì:
()
b
a
cdx c b a= −
∫

• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;ab

và
() 0f x ≥
thì
() 0
b
a
fxdx≥
∫
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;ab
và
[ ]
() () x a;bfx gx≥∀∈
thì

() ()
bb
aa
f xdx gxdx≥
∫∫

• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;ab
và
( ) ( m,M là hai hằng số)mfx M≤ ≤
thì

() () ()

b
a
mb a f xdx Mb a− ≤≤
∫
−

•
Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;ab
thì

[]
() () () ()
bb
aa
b
a
f x gx dx f xdx gxdx±= ±
∫∫∫

•
Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;ab
và k là một hằng số thì

.() . ()
bb
aa

kf xdx k f xdx=
∫∫
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;ab
và c là một hằng số thì

() () ()
bcb
aac
f xdx f xdx f xdx=+
∫∫∫

• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên
[ ]
;ab
cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa
là :
( ) ( ) ( ) ...
bbb
aaa
f x dx f t dt f u du==
∫∫∫
=

84
Bài 1: Tính các tích phân sau:

85
1)

1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x1 xdx−
∫
4)
1
2
0
4x 11
dx
x5x6
+
++
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x4x4
−
−+
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x2x1++
∫
7)
6
66
0
(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2

0
4sin x
dx
1cosx
π
+
∫

9)
4
2
0
1sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx
π
∫
11)
2
6
1sin2xcos2x
dx

sin x cos x
π
π
++
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π
14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos

π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x
16)
∫
−
2
0
sin25
cos
π
dx
x
x

17)
∫
−+

−
0
2
2
32
4
dx
xx

18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx


Bài 2:
1)
3
2
3
x1dx
−
−
∫
2)

4
2
1
x3x2dx
−
−+
∫
3)
5
3
(x 2 x 2)dx
−
+−−
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x2
x
+−
∫
dx

5)
3
x

0
24dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1sinxdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2

Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π+
thỏa mãn đồng thời các điều kiện
và
'

f(1) 2=
2
0
f(x)dx 4=
∫

2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
23
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ −+ =
∫

II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1)
DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
Công thức đổi biến số dạng 1:
[]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu

au
b
a
dttfdxxuxuf
Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()(
'
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
)(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

[]
∫
=
b
fI (tiếp tục tính tích phân mới)
∫

=
)(
)(
)()('.)(
bu
aua
dttfdxxuxu


Tính các tích phân sau:
1)
2
32
0
cos xsin xdx
π
∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin 4x
dx

1cosx
π
+
∫
4)
1
32
0
x1xdx−
∫

5)
2
23
0
sin2x(1 sin x) dx
π
+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
7)
e

1
1lnx
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫

9)
e
2
1
1lnx
dx
x
+
∫
10) 11)
1
536
0
x(1 x)dx−
∫

6
2
0
cosx
dx
6 5sin x sin x
π
−+
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫

13)
4
0
cos sin
3sin2
x x
dx
x
π
+
+
∫

14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln
32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin

π
dx
x
x

17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−
4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫
+
−
2

4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x
xx

21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx

x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x
23)
∫
−+
2
1
11
dx
x
x
24)
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31

25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x


2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x =
b
a
f(x)dx
∫
(t)ϕ


Công thức đổi biến số dạng 2:
[]
∫
=
∫
=

β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'
ϕϕ
=⇒=
Bước 2: Đổi cận :
α
β
=
=
⇒
=
=
t
t
ax
bx

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
(tiếp tục tính tích phân mới)
[]

∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()(

Tính các tích phân sau:
1)
1
2
0
1xdx
−
∫
2)
1
2
0
1
dx
1x
+
∫
3)

1
2
0
1
dx
4x
−
∫
4)
1
2
0
1
dx
xx1
−+
∫

5)
1
42
0
x
dx
xx1
++
∫
6)
2
0

1
1cos sin
dx
x x
π
++
∫
7)
2
2
2
2
0
x
dx
1x−
∫
8)
2
22
1
x4xdx−
∫


86
9)
2
3
2

2
1
dx
xx 1
−
∫
10)
3
2
2
1
93x
dx
x
+
∫
11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x
−
+
∫
12)
2

2
2
3
1
1
dx
xx−
∫

13)
2
0
cos
7cos2
x
dx
x
π
+
∫
14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x

+
+
∫
15)
2
0
cos
1cos
x
dx
x
π
+
∫
16)
∫
++
−
0
1
2
22xx
dx

17)
∫
++
1
0
311 x

dx
18)
∫
−
−
2
1
5
1
dx
x
xx


II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1
dx
xx
+
∫
2)
7
3
32

0
1
x
dx
x+
∫
3)
3
52
0
1x xdx+
∫
4)
ln2
x
0
1
dx
e2
+
∫

5)
7
3
3
0
1
31
x

dx
x
+
+
∫
6)
2
23
0
1
x xd
+
∫
x
7)
∫
+
32
5
2
4xx
dx


III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:


[]
∫∫

−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

Cách thực hiện:

Bước 1: Đặt
)(
)('
)('
)(
xvv
dxxudu
dxxvdv

xuu
=
=
⇒
=
=

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
[]
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .
Bước 3: Tính
[
và
]
b
a
vu.
∫
b
a
vdu

Tính các tích phân sau:
1)
2
5
1
ln x
dx
x
∫
2)
2
2
0
xcos xdx
π
∫
3)
1
x
0
esinxdx
∫
4)
2
0
sin xdx
π
∫
5) 6)
e

2
1
xln xdx
∫
3
2
0
xsinx
dx
cos x
π
+
∫


87