Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để giải bài toán khung phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (998.47 KB, 36 trang )
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 1
I. bi:
Cho khung chu lc nh hỡnh v sau:
Hỡnh 1.
Bit: E = 210 GPa, A = 4x10
-2
m
2
, I = 4x10
-4
m
4
.
Yờu cu:
- Kho sỏt bin dng, phn lc, ni lc, ng sut phỏt sinh trong kt cu
ca h.
- Tớnh tn s dao ng v vộc t mode ca h.
II. C s lý thuyt:
Cỏc phn t khung phng c thit k nhm chng li bin dng un v bin
dng dc trc. Nh vy, s t hp ca phn t dm v phn t thanh bin dng dc
trc cú th c s dng phõn tớch bi toỏn khung phng m ú ngi ta gi s
rng: cỏc nh hng chng un v bin dng dc trc l c lp vi nhau. Tuy nhiờn,
gi thuyt ny ch ỳng trong khuụn kh lý thuyt chuyn v bộ.
Hỡnh 2 - Phn t khung phng.
Xột phn t khung phng c mụ t nh hỡnh 2.
Nu gi
1 2 3 4 5 6
T
d d d d d d d
v
1 2 3 2 2 2
T
u u v u v
ln lt l cỏc
vộc t chuyn v nỳt ca phn t trong h ta a phng v ton cc. Gi s mụ
men quỏn tớnh v ti trng phõn b u l hng s trờn phn t, cỏc ti trng tp trung
nu cú ch tỏc dng ti nỳt, lỳc ú trong h ta a phng cỏc phng trỡnh phn
t s l:
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 2
3 2 3 2
1
2
2
2
3
4
5
2
6
32
0 0 0 0
12 6 12 6
0
/2
/2
4 6 2
0
/12
/2
00
/2
12 6
/12
4
s
t
t
s
t
t
EA EA
LL
EI EI EI EI
d q L
L L L L
d q L
EI EI EI
d q L
L L L
d q L
EA
L
d q L
EI EI
d q L
LL
EI
sym
L
(1)k d r
(Lu ý rng ti phõn b q
s
, q
t
c quy c l dng khi cựng chiu vi cỏc
trc a phng).
Mi quan h gia cỏc bc t do trong h ta a phng v h ta ton
cc:
1
1
2
1
3
1
4
2
5
2
6
2
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
(2)
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
xx
xx
xx
xx
d
u
lm
d
v
ml
d
d T d
d
u
lm
d
v
ml
d
22
2 1 2 1
2 1 2 1
cos ; sin ; ( ) ( ) (3)
xx
x x y y
l m L x x y y
LL
Trong ú
l gúc c o theo chiu ngc kim ng h t trc x ton cc
n trc s a phng; (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2
); L l ta ca nỳt v chiu di ca phn t
trong h ta ton cc. T (2) ta cú:
(4)
T
l
d T d
Kt hp (1), (2) v (4) ta cú:
(5)
(6)
TT
k T d r
T k T d T r
Trong ú
T
Tr
l vộc t ti trng nỳt chuyn t h ta a phng n
ton cc. Vy trong h ton cc phng trỡnh phn t cú th vit di dng:
(7)k d r
Trong ú:
; (8)
TT
k T k T r T r
Sau khi thc hin lp ghộp, kh cỏc iu kin biờn, gii h phng trỡnh ton
cc ta tỡm c cỏc chuyn v nỳt. Cỏc chuyn v nỳt ny c chuyn v h ta
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 3
a phng cho mi phn t nh quan h (2). T ú cỏc kt qu trờn phn t cú th
tớnh toỏn nh sau:
Hỡnh 3 - Ni lc trong phn t khung phng.
Chuyn v dc trc:
1
4
( ) ; 0 (9)
d
s L s
u s s L
d
LL
u
s L s
N
LL
Chuyn v ngang:
2
3 2 3 2 2 3 3 2
3
3 2 2 2 3 2
5
6
2 3 2 3 2
( ) 1 , 0 (10)
d
d
s s s s s s s s
v s s s L
d
L L L L L L L L
d
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
2 3 2 3 2
1
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
Lu ý: vic tỡm li gii chớnh xỏc cho bi toỏn khung cú tit din u trờn cú ti
phõn b u cng c thc hin vi ý tng tng t nh phan tớch bi toỏn dm.
Lc dc:
()
( ) ; 0 (11)
d u s
f s EA s L
ds
Lc ct:
()
( ) ; 0 (12)
d M s
V s s L
ds
Mụ men:
2
2
()
( ) ; 0 (13)
d v s
M s EI s L
ds
Ma trn khi lng ca phn t cho bi toỏn n hi tng quỏt c xỏc nh
theo cụng thc sau:
(14)
T
V
m N N dV
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 4
Trong h ta a phng phn t khung phng l s kt hp gia phn t
dm v phn t thanh bin dng dc trc. Bõy gi chỳng ta i xỏc nh ma trn khi
lng ca phn t dm v phn t thanh bin dng dc trc.
Xỏc nh ma trn khi lng ca phn t thanh bin dng dc trc:
Hỡnh 4 - Phn t thanh.
Cho phn t thanh cú hai nỳt nh hỡnh v 4, chiu di L = x
2
x
1
, n gin
ta gi s tit din mt ct ngang ca thanh l A v nú khụng i sut chiu di L.
Cỏc hm ni suy:
2 2 1 1
12
1 2 2 1
;
x x x x x x x x
NN
x x L x x L
Vy ma trn khi lng ca phn t thanh mt chiu cú th c tớnh toỏn theo
cụng thc sau:
2
1
2
21
1
21
(15)
12
6
x
T
Vx
xx
x x x x
AL
L
m N N dV A dx
xx
LL
L
Xỏc nh ma trn khi lng ca phn t dm:
Hỡnh 5 - Phn t dm.
Cho phn t dm hai nỳt nh hỡnh 5. Cỏc hm ni suy:
1
3 2 3 2 2 3 3 2
1
3 2 2 2 3 2
2
2
2 3 2 3 2
( ) 1, , ,
T
v
s s s s s s s s
v s s N d
v
L L L L L L L L
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 5
p dng cụng thc (14) ta cú:
32
32
32
3 2 3 2 2 3 3 2
2
3 2 2 2 3 2
23
0
23
32
2
22
2
23
1
2
2 3 2 3 2
1, , ,
32
156 22 54 13
4 13 3
156 22
420
4
T
V
L
m N N dV
ss
LL
ss
s
s s s s s s s s
LL
A s ds
L L L L L L L L
ss
LL
ss
LL
LL
L L L
AL
L
sym L
(16)
Vy ma trn khi lng ca phn t khung trong h ta a phng cú dng
nh sau:
22
0
2
140 0 0 70 0 0
156 22 0 54 13
4 0 13 3
(17)
140 0 0
420
156 22
4
L
TT
V
LL
L L L
AL
m N N dV A N N ds
L
sym L
V ma trn khi lng ca phn t khung trong h ta ton cc:
(18)
T
m T m T
[T] l ma trn chuyn trc cú dng nh cụng thc (2) v [T]
T
l ma trn chuyn
trớ ca ma trn [T].
Tn s dao ng ca h c xỏc nh theo cụng thc sau:
2
det([ ]- [ ]) 0 (19)
n
km
Vộc t mode dao ng ( dng dao ng t nhiờn hay dng dao ng riờng )
c xỏc nh theo cụng thc:
2
([ ]- [ ]) 0 (20)
nn
km
Trong cụng thc (19), (20) [k] v [m] ln lt l ma trn cng v ma trn
khi lng ca h khung m ta tỡm c trờn.
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 6
III. Cỏc bc tớnh toỏn:
1) Ri rc húa h khung:
Chia h khung lm 4 phn t, mi phn t cú hai nỳt v c ỏnh s nh hỡnh
v 6.
Hỡnh 6.
Thụng tin v phn t:
S hiu phn t
(1)
(2)
(3)
(4)
Nỳt u
1
2
3
4
Nỳt cui
3
5
4
5
Thụng tin v nỳt:
S hiu nỳt
1
2
3
4
5
Ta x (m)
0
15
0
5
15
Ta y (m)
0
0
10
10
10
Trong phn t khung phng mi nỳt cú ba bc t do v c ỏnh s nh hỡnh
v 7.
10 m5 m
10 m
Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n
HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 7
Hình 7.
Các ràng buộc: tất cả các bậc tự do tại nút 1 và nút 2 đều bằng không do hai nút
này bị ngàm.
Thông tin về tải trọng:
Nút
Bậc tự do
Giá trị
3
7
2 kN
4
11
-4 kN
2) Xây dựng và lắp ghép các phương trình phần tử:
E = 210 GPa = 21x10
7
kN/m
2
,
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.
a) Các phương trình cho phần tử 1:
L = 10 m,
EI = 84000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
1
00
l
r
.
Phần tử
Node
Tọa độ x
Tọa độ y
(1)
1
0
0
3
0
10
Các cosin chỉ phương:
21
21
00
cos 0
10
10 0
sin 1
10
x
x
xx
l
L
yy
m
L
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 8
Cỏc phng trỡnh ca phn t 1 trong h ta a phng:
1
1
1
1
2
3
7
8
9
840000 0 0 840000 0 0 0
1008 5040 0 1008 5040 0
33600 0 5040 16800 0
840000 0 0 0
1008 5040 0
33600 0
l
l
l
r
d
k
d
d
d
d
d
d
sym
Ma trn chuyn trc [T
1
]:
1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
T
Ma trn chuyn v ca ma trn [T
1
]:
1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
T
T
Ma trn cng ca phn t 1 trong h ta ton cc:
1 1 1 1
1008 0 -5040 -1008 0 -5040
0 840000 0 0 -840000 0
-5040 0 33600 5040 0 16800
-1008 0 5040 1008 0 5040
0 -840000 0 0 840000 0
-5040 0 16800 5040 0 33600
T
l
k T k T
Cỏc phng trỡnh ca phn t 1 trong h ton cc:
1
1
1
3
3
3
1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0
0 840000 0 0 -840000 0 0
-5040 0 33600 5040 0 16800 0
.
-1008 0 5040 1008 0 5040 0
0 -840000 0 0 840000 0 0
-5040 0 16800 5040 0 33600 0
u
v
u
v
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 9
Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 1:
1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0
5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0
5040 0 16800 0 0
k
0 5040 0 33600 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r
b) Cỏc phng trỡnh cho phn t 2:
L = 10 m,
EI = 84000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
2
00
l
r
.
Phn t
Node
Ta x
Ta y
(2)
2
15
0
5
15
10
Cỏc cosin ch phng:
21
21
15 15
cos 0
10
10 0
sin 1
10
x
x
xx
l
L
yy
m
L
Cỏc phng trỡnh ca phn t 2 trong h ta a phng:
2
2
2
4
5
6
13
14
15
840000 0 0 840000 0 0 0
1008 5040 0 1008 5040 0
33600 0 5040 16800 0
840000 0 0 0
1008 5040 0
33600 0
l
l
l
r
d
k
d
d
d
d
d
d
sym
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 10
Ma trn chuyn trc [T
2
]:
2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
T
Ma trn chuyn v ca [T
2
]:
2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
T
T
Ma trn cng ca phn t 2 trong h ta ton cc:
2 2 2 2
1008 0 -5040 -1008 0 -5040
0 840000 0 0 -840000 0
-5040 0 33600 5040 0 16800
-1008 0 5040 1008 0 5040
0 -840000 0 0 840000 0
-5040 0 16800 5040 0 33600
T
l
k T k T
Cỏc phng trỡnh ca phn t 2 trong h ton cc:
2
2
2
5
5
5
1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0
0 840000 0 0 -840000 0 0
-5040 0 33600 5040 0 16800 0
.
-1008 0 5040 1008 0 5040 0
0 -840000 0 0 840000 0 0
-5040 0 16800 5040 0 33600 0
u
v
u
v
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 11
Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 2:
1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 -1008 0 -5040
0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 -840000 0
0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0
k
00
0 -840000 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 0 33600 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -1008 0 5040 0 0 0 0 0 0 1008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0 0 840000 0
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 0 0 5040 0 33600
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r
c) Cỏc phng trỡnh cho phn t 3:
L = 5 m,
2EI = 168000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
3
00
l
r
.
Phn t
Node
Ta x
Ta y
(3)
3
0
10
4
5
10
Cỏc cosin ch phng:
21
21
50
cos 1
5
10 10
sin 0
5
x
x
xx
l
L
yy
m
L
Cỏc phng trỡnh ca phn t 3 trong h ta a phng:
3
3
7
8
9
10
11
12
1680000 0 0 1680000 0 0 0
16128 40320 0 16128 40320 0
134400 0 40320 67200 0
1680000 0 0 0
16128 40320 0
134400 0
l
l
d
k
d
d
d
d
d
d
sym
3
l
r
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 12
Ma trn chuyn trc [T
3
]:
3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
T
Ma trn chuyn v ca [T
3
]:
3
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
T
T
Ma trn cng ca phn t 3 trong h ta ton cc:
3 3 3 3
1680000 0 0 -1680000 0 0
0 16128 40320 0 -16128 40320
0 40320 134400 0 40320 67200
-1680000 0 0 1680000 0 0
0 -16128 40320 0 16128 40320
0 40320 67200 0 40320 134400
T
l
k T k T
Cỏc phng trỡnh ca phn t 3 trong h ton cc:
3
3
3
4
4
4
1680000 0 0 -1680000 0 0 0
0 16128 40320 0 -16128 40320 0
0 40320 134400 0 40320 67200 0
.
-1680000 0 0 1680000 0 0 0
0 -16128 40320 0 16128 40320 0
0 40320 67200 0 40320 134400 0
u
v
u
v
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 13
Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 3:
1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 -1008 0 -5040
0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 -840000 0
0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1681008 0 5040
k
1680000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 1680000 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 16128 40320 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 40320 134400 0 0 0
0 0 0 -1008 0 5
040 0 0 0 0 0 0 1008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0 0 840000 0
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 0 0 5040 0 33600
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r
d) Cỏc phng trỡnh cho phn t 4:
L = 10 m,
2EI = 168000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
4
00
l
r
.
Phn t
Node
Ta x
Ta y
(4)
4
5
10
5
15
10
Cỏc cosin ch phng:
21
21
15 5
cos 1
10
10 10
sin 0
10
x
x
xx
l
L
yy
m
L
Cỏc phng trỡnh ca phn t 4 trong h ta a phng:
4
4
10
11
12
13
14
15
840000 0 0 840000 0 0 0
2016 10080 0 2016 10080 0
67200 0 10080 33600 0
840000 0 0 0
2016 10080 0
67200 0
l
l
l
r
d
k
d
d
d
d
d
d
sym
4
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 14
Ma trn chuyn trc [T
4
]:
4
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
T
Ma trn chuyn v ca [T
4
]:
4
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
T
T
Ma trn cng ca phn t 4 trong h ta ton cc:
4 4 4 4
840000 0 0 840000 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080
0 10080 67200 0 10080 33600
840000 0 0 840000 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080
0 10080 33600 0 10080 67200
T
l
k T k T
Cỏc phng trỡnh ca phn t 4 trong h ton cc:
4
4
4
5
5
5
840000 0 0 840000 0 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080 0
0 10080 67200 0 10080 33600 0
.
840000 0 0 840000 0 0 0
0 2016 10080 0 2016 10080 0
0 10080 33600 0 10080 67200 0
u
v
u
v
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 15
Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 4:
1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 -1008 0 -5040
0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 -840000 0
0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1681008 0 5040
k
1680000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 2520000 0 0 840000 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 18144 30240 0 2016 10080
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 30240 20160
0 0 10080 33600
0 0 0 -1008 0 5040 0 0 0 840000 0 0 841008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 2016 10080 0 842016 10080
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 10080 33600 5040 10080 100800
0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r
3) Kh iu kin biờn:
iu kin biờn chớnh ca bi toỏn:
Node
Dof
Giỏ tr
1
1
0
2
0
3
0
2
4
0
5
0
6
0
Cỏc ma trn ton cc sau khi kh iu kin biờn chớnh:
1681008 0 5040 1680000 0 0 0 0 0
0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
1680000 0 0 2520000 0 0 840000 0 0
0 16128 40320 0 18144 30240 0 2016 10080
0 40320 67200 0 30240 201600 0 10080 33600
0 0 0 840000 0 0 8410
k
08 0 5040
0 0 0 0 2016 10080 0 842016 10080
0 0 0 0 10080 33600 5040 10080 100800
2 0 0 0 4 0 0 0 0r
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 16
4) Gii h phng trỡnh ton cc tỡm giỏ tr ca nỳt:
Ta cú phng trỡnh:
1
.k d r d k r
Vi [k]
-1
l ma trn nghch o ca ma trn [k] v bng:
-1 3
0.6620 0.0004 0.0332 0.6617 0.0368 0.0110 0.6611 0.0004 0.0331
0.0004 0.0012 0.0001 0.0004 0.0008 0.0001 0.0004 0.0000 0.0001
0.0332 0.0001 0.0156 0.0331 0.0371 0.0008 0.0331 0.0001 0.0023
0.6617 0.0004 0.0
[ ] 10k
331 0.6620 0.0367 0.0110 0.6614 0.0004 0.0331
0.0368 0.0008 0.0371 0.0367 0.1816 0.0185 0.0365 0.0004 0.0225
0.0110 0.0001 0.0008 0.0110 0.0185 0.0084 0.0110 0.0001 0.0052
0.6611 0.0004 0.0331 0.6614 0.0365 0.0110 0.6620
0.0004 0.0332
0.0004 0.0000 0.0001 0.0004 0.0004 0.0001 0.0004 0.0012 0.0001
0.0331 0.0001 0.0023 0.0331 0.0225 0.0052 0.0332 0.0001 0.0156
3
3
3
4
3
4
4
5
5
5
0.6620 0.0004 0.0332 0.6617 0.0368 0.0110 0.6611 0.0004 0.0331
0.0004 0.0012 0.0001 0.0004 0.0008 0.0001 0.0004 0.0000 0.0001
0.0332 0.0001 0.0156 0.0331 0.03
10 .
u
v
u
v
u
v
71 0.0008 0.0331 0.0001 0.0023
0.6617 0.0004 0.0331 0.6620 0.0367 0.0110 0.6614 0.0004 0.0331
0.0368 0.0008 0.0371 0.0367 0.1816 0.0185 0.0365 0.0004 0.0225
0.0110 0.0001 0.0008 0.0110 0.0185 0.0084 0.0110 0.0001 0.0052
0.6611 0.0004 0.0331 0.6614 0.0365 0.0110 0.6620 0.0004 0.0332
0.0004 0.0000 0.0001 0.0004 0.0004 0.0001 0.0004 0.0012 0.0001
0.0331 0.0001 0.0023 0.0331 0.0225 0.0052 0.0332 0.0001 0.0156
2
0
0
0
.
4
0
0
0
0
0.0014710761( )
0.0000025083( )
0.0002146931( )
0.0014701242( )
0.0007997707( )
0.0000519555( )
0.0014682204( )
0.0000022536( )
0.0000236592( )
m
m
rad
m
m
rad
m
m
rad
5) Xỏc nh ni lc:
a) Phn t 1:
L = 10 m,
EI = 84000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN.
Chuyn v nỳt trong h ton cc:
0 0 0 0.0014710761 0.0000025083 0.0002146931d
Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n
HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 17
Chuyển vị nút trong hệ tọa độ địa phương:
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0.0014710761 0.0000025083
0 0 0 1 0 0 0.0000025083 0.0014710761
0 0 0 0 0 1 0.0002146931 0.0002146931
d T d
Các hàm nội suy chuyển vị dọc trục:
10
1
10 10 10 10
u
s L s s s s s
N
LL
Chuyển vị dọc trục:
1
7
7
0
( ) 1 2.5083 10
0.0000025083
10 10
u
d
ss
u s N x s
d
Lực dọc:
7
()
( ) 8400000 ( 2.5083 10 ) 2.106972
d u s
f s EA x x
ds
Các hàm nội suy chuyển vị ngang:
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2
1
2 3 2 3 2
1
10 10 10 10 10 10 10 10
0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
s s s s s s s s
s
s s s s s s s s s
Chuyển vị ngang (độ võng):
2
3
3 2 3 2 2 3 3 2
8
9
7 3 5 2
0
0
( ) 0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
0.0014710761
0.0002146931
7.95221 10 2.2663 10
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s
Mômen uốn:
2
65
2
()
( ) 84000(4.771326 10 4.5326 10 ) 0.400791384 3.807384
d v s
M s EI x s x s
ds
Lực cắt:
()
( ) 0.400791384
d M s
Vs
ds
b) Phần tử 2:
L = 10 m,
EI = 84000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN.
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 18
Chuyn v nỳt trong h ton cc:
0 0 0 0.0014682204 0.0000022536 0.0000236592d
Chuyn v nỳt trong h ta a phng:
0 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0.0014682204 0.0000022536
0 0 0 1 0 0 0.0000022536 0.0014682204
0 0 0 0 0 1 0.0000236592 0.0000236592
d T d
Cỏc hm ni suy chuyn v dc trc:
10
1
10 10 10 10
u
s L s s s s s
N
LL
Chuyn v dc trc:
4
7
13
0
( ) 1 2.2536 10
0.0000022536
10 10
u
d
ss
u s N x s
d
Lc dc:
7
()
( ) 8400000 ( 2.2536 10 ) 1.893024
d u s
f s EA x x
ds
Cỏc hm ni suy chuyn v ngang:
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2
1
2 3 2 3 2
1
10 10 10 10 10 10 10 10
0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
s s s s s s s s
s
s s s s s s s s s
Chuyn v ngang ( vừng):
5
6
3 2 3 2 2 3 3 2
14
15
6 3 5 2
0
0
( ) 0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
0.0014682204
0.0000236592
3.17303 10 4.64125 10
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s
Mụmen un:
2
55
2
()
( ) 84000(1.903818 10 9.2825 10 ) 1.59920712 7.7973
d v s
M s EI x s x s
ds
Lc ct:
()
( ) 1.59920712
d M s
Vs
ds
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 19
c) Phn t 3:
L = 5 m,
2EI = 168000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN.
Chuyn v nỳt trong h ton cc:
0.0014710761 0.0000025083 0.0002146931 0.0014701242 0.0007997707 0.0000519555d
Chuyn v nỳt trong h ta a phng:
1 0 0 0 0 0 0.0014710761 0.0014710761
0 1 0 0 0 0 0.0000025083 0.0000025083
0 0 1 0 0 0 0.0002146931 0.0002146931
0 0 0 1 0 0 0.0014701242 0.001
0 0 0 0 1 0 0.0007997707
0 0 0 0 0 1 0.0000519555
d T d
4701242
0.0007997707
0.0000519555
Cỏc hm ni suy chuyn v dc trc:
5
1
5 5 5 5
u
s L s s s s s
N
LL
Chuyn v dc trc:
7
7
10
0.0014710761
( ) 1 0.0014710761 1.9038 10
0.0014701242
55
u
d
ss
u s N x s
d
Lc dc:
7
()
( ) 8400000 ( 1.9038 10 ) 1.599192
d u s
f s EA x x
ds
Cỏc hm ni suy chuyn v ngang:
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2
1
2 3 2 3 2
1
5 5 5 5 5 5 5 5
0.016 0.12 1 0.04 0.4 0.12 0.016 0.04 0.2
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
s s s s s s s s
s
s s s s s s s s s
Chuyn v ngang ( vừng):
8
9
3 2 3 2 2 3 3 2
11
12
6 3 7 2 4
0.0000025083
0.0002146931
( ) 0.016 0.12 1 0.04 0.4 0.12 0.016 0.04 0.2
0.0007997707
0.0000519555
2.09026 10 5.96834 10 2.146931 10
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s x s
6
2.5083 10x
Mụmen un:
2
56
2
()
( ) 2 168000(1.254156 10 1.193668 10 ) 2.10698208 0.200536224
d v s
M s EI x s x s
ds
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 20
Lc ct:
()
( ) 2.10698208
d M s
Vs
ds
d) Phn t 4:
L = 10 m,
2EI = 168000 kN/m
2
,
EA = 8400000 kN,
Chuyn v nỳt trong h ton cc:
0.0014701242 0.0007997707 0.0000519555 0.0014682204 0.0000022536 0.0000236592d
Chuyn v nỳt trong h ta a phng:
1 0 0 0 0 0 0.0014701242 0.0014701242
0 1 0 0 0 0 0.0007997707 0.0007997707
0 0 1 0 0 0 0.0000519555 0.0000519555
0 0 0 1 0 0 0.0014682204 0.0014
0 0 0 0 1 0 0.0000022536
0 0 0 0 0 1 0.0000236592
d T d
682204
0.0000022536
0.0000236592
Cỏc hm ni suy chuyn v dc trc:
10
1
10 10 10 10
u
s L s s s s s
N
LL
Chuyn v dc trc:
10
7
13
0.0014701242
( ) 1 0.0014701242 1.9038 10
0.0014682204
10 10
u
d
ss
u s N x s
d
Lc dc:
7
()
( ) 8400000 ( 1.9038 10 ) 1.599192
d u s
f s EA x x
ds
Cỏc hm ni suy chuyn v ngang:
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
3 2 2 2 3 2
3 2 3 2 2 3 3 2
2 3 2 3 2
1
2 3 2 3 2
1
10 10 10 10 10 10 10 10
0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
v
s s s s s s s s
Ns
L L L L L L L L
s s s s s s s s
s
s s s s s s s s s
Chuyn v ngang ( vừng):
11
12
3 2 3 2 2 3 3 2
14
15
6 3 5 2 5
0.0007997707
0.0000519555
( ) 0.002 0.03 1 0.01 0.2 0.03 0.002 0.01 0.1
0.0000022536
0.0000236592
1.878 10 3.19507 10 5.19555 10 7
v
d
d
v s N s s s s s s s s s
d
d
x s x s x s
4
.997707 10x
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 21
Mụmen un:
2
55
2
()
( ) 2 168000( 1.1268 10 6.39014 10 ) 1.893024 10.7354352
d v s
M s EI x s x s
ds
Lc ct:
()
( ) 1.893024
d M s
Vs
ds
6) Xỏc nh phn lc:
Gi R
1
, R
2
, R
3
, R
4
, R
5
, R
6
l cỏc phn lc cha bit. Lỳc ú h phng trỡnh
ton cc sau khi kh iu kin biờn chớnh s l:
1008 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0
0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0
-5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 -1008 0 -5040
0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 0 -840000 0
0 0 0 -5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800
-1008 0 5040 0 0 0 1681008 0 5040 16 80000 0 0 0 0 0
0 -840000 0 0 0 0 0 856128 40320 0 16128 40320 0 0 0
-5040 0 16800 0 0 0 5040 40320 168000 0 40320 67200 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1680000 0 0 2520000 0 0 840000 0 0
0 0 0 0 0 0 0 16128 40320 0 18144 30240 0 2016 10080
0 0 0 0 0 0 0 40320 67200 0 30240 201600 0
0
0
0
0
0
0
0.0014710761
.
10080 33600
0 0 0 -1008 0 5040 0 0 0 840000 0 0 841008 0 5040
0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 2016 10080 0 842016 10080
0 0 0 -5040 0 16800 0 0 0 0 10080 33600 5040 10080 100800
1
2
3
4
5
6
2
0.0000025083 0
0.0002146931 0
0.0014701242 0
0.0007997707 4
0.0000519555 0
0.0014682204 0
0.0000022536 0
0.0000236592 0
R
R
R
R
R
R
Gii h phng trỡnh trờn ta tỡm c phn lc nh sau:
1
2
3
4
5
6
0.4008 ( )
2.1070 ( )
3.8074 ( )
1.5992 ( )
1.8930 ( )
7.7973 ( )
R
m
R
m
R
kNm
R
m
R
m
R
kNm
7) Xỏc nh ng sut:
ng sut un ln nht (ti th trờn v th di ca tit din) c tớnh theo
cụng thc sau:
( / 2)
NM
h
AI
Trong ú h l chiu cao ca tit din.
i vi tit din mt ct ngang l hỡnh ch nht thỡ ng sut ct ln nht (ti v
trớ trc trung hũa) c tớnh theo cụng thc sau:
3
2
Q
A
Gi s phn t cú tit din mt ct ngang l: bxd = 0.2x0.2 m
2
. Vỡ b = h nờn
ng sut ct trong thc t ln hn cụng thc tớnh trờn 13%. Do ú ta vit li cụng
thc tớnh ng sut ct nh sau:
Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n
HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 22
3
1.13 1.695
2
x
AA
a) Phần tử 1:
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.
Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)
Mômen (kNm)
Lực cắt (kN)
(1)
1
0
0
-2.107
-3.807
0.401
3
0
10
-2.107
0.201
0.401
Tại vị trí nút 1:
- Ứng suất uốn:
2
2.107 3.807
( / 2) 0.1 1004.425 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
0.401
1.695 1.695 16.992 ( / )
0.04
Q
kN m
A
Tại vị trí nút 3:
- Ứng suất uốn:
2
2.107 0.201
( / 2) 0.1 2.425 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
0.401
1.695 1.695 16.992 ( / )
0.04
Q
kN m
A
b) Phần tử 2:
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.
Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)
Mômen (kNm)
Lực cắt (kN)
(2)
2
15
0
-1.893
-7.797
1.599
5
15
10
-1.893
8.195
1.599
Tại vị trí nút 2:
- Ứng suất uốn:
2
1.893 7.797
( / 2) 0.1 1996.575 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
1.599
1.695 1.695 67.758 ( / )
0.04
Q
kN m
A
Tại vị trí nút 5:
- Ứng suất uốn:
2
1.893 8.195
( / 2) 0.1 2001.425 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n
HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 23
- Ứng suất cắt:
2
1.599
1.695 1.695 67.758 ( / )
0.04
Q
kN m
A
c) Phần tử 3:
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.
Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)
Mômen (kNm)
Lực cắt (kN)
(3)
3
0
10
-1.599
-0.201
2.107
4
5
10
-1.599
10.334
2.107
Tại vị trí nút 3:
- Ứng suất uốn:
2
1.599 0.201
( / 2) 0.1 90.225 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
2.107
1.695 1.695 89.284 ( / )
0.04
Q
kN m
A
Tại vị trí nút 4:
- Ứng suất uốn:
2
1.599 10.334
( / 2) 0.1 2543.525( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
2.107
1.695 1.695 89.284 ( / )
0.04
Q
kN m
A
d) Phần tử 4:
A = 4x10
-2
m
2
,
I = 4x10
-4
m
4
.
Phần tử
Tọa độ x
Tọa độ y
Lực dọc (kN)
Mômen (kNm)
Lực cắt (kN)
(4)
4
5
10
-1.599
10.735
-1.893
5
15
10
-1.599
-8.195
-1.893
Tại vị trí nút 4:
- Ứng suất uốn:
2
1.599 10.735
( / 2) 0.1 2643.775 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- Ứng suất cắt:
2
( 1.893)
1.695 1.695 80.216 ( / )
0.04
Q
kN m
A
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 24
Ti v trớ nỳt 5:
- ng sut un:
2
1.599 8.195
( / 2) 0.1 2088.725 ( / )
0.04 0.0004
NM
h kN m
AI
- ng sut ct:
2
( 1.893)
1.695 1.695 80.216 ( / )
0.04
Q
kN m
A
8) Xỏc nh ma trn khi lng:
a) Phn t 1:
A = 4x10
-2
m
2
,
L = 10 m,
3
7.8 /kN m
Ma trn khi lng ca phn t 1 trong h ta a phng:
1
1.04 0 0 0.52 0 0
0 1.159 1.634 0 0.401 0.966
0 1.634 2.971 0 0.966 2.229
()
0.52 0 0 1.04 0 0
0 0.401 0.966 0 1.159 1.634
0 0.966 2.229 0 1.634 2.971
l
m kN
Ma trn khi lng ca phn t 1 trong h ton cc:
1 1 1 1
1.159 0 1.634 0.401 0 0.966
0 1.04 0 0 0.52 0
1.634 0 2.971 0.966 0 2.229
()
0.401 0 0.966 1.159 0 1.634
0 0.52 0 0 1.04 0
0.966 0 2.229 1.634 0 2.971
T
l
m T m T kN
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn
HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 25
Ma trn khi lng ca h khung khi lp ghộp phn t 1:
1.159 0 1.634 0 0 0 0.401 0 0.966 0 0 0 0 0 0
0 1.04 0 0 0 0 0 0.52 0 0 0 0 0 0 0
1.634 0 2.971 0 0 0 0.966 0 2.229 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0.401 0 0.966 0 0 0 1.159 0 1.634 0 0 0 0 0 0
0 0.52 0 0 0 0 0 1.04 0 0 0 0 0 0 0
0.966 0 2.229 0
m
0 0 1.634 0 2.971 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
b) Phn t 2:
A = 4x10
-2
m
2
,
L = 10 m,
3
7.8 /kN m
Ma trn khi lng ca phn t 2 trong h ta a phng v h ton cc: cú
dng ging nh ma trn khi lng ca phn t 1.
Ma trn khi lng ca h khung sau khi lp ghộp phn t 2:
1.159 0 1.634 0 0 0 0.401 0 0.966 0 0 0 0 0 0
0 1.04 0 0 0 0 0 0.52 0 0 0 0 0 0 0
1.634 0 2.971 0 0 0 0.966 0 2.229 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1.159 0 1.634 0 0 0 0 0 0 0.401 0 0.966
0 0 0 0 1.04 0 0 0 0 0 0 0 0 0.52 0
0 0 0 1.634 0 2.971 0 0 0 0 0 0 0.966 0 2.229
0.401 0 0.966 0 0 0 1.159 0 1.6
m
34 0 0 0 0 0 0
0 0.52 0 0 0 0 0 1.04 0 0 0 0 0 0 0
0.966 0 2.229 0 0 0 1.634 0 2.971 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.401 0 0.966 0 0 0 0 0 0 1.159 0 1.634
0 0 0 0 0.52 0 0 0 0 0 0 0 0 1.04 0
0 0 0 0.966 0 2.229 0 0 0 0 0 0 1.634 0 2.971
c) Phn t 3:
A = 4x10
-2
m
2
,
L = 5 m,
3
7.8 /kN m
![Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán kết cấu [Tập 1]](https://media.store123doc.com/images/document/2015_04/10/medium_okl1428657302.jpg)
