CÔNG THỨC TOÁN - LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 1

A. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
I. Bất đẳng thức côsi
- Nếu
, 0
a b

thì
2
a b
ab

 ,
Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
a b

.
- Nếu
, , 0
a b c

thì
3
3
a b c
abc
 


Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
 
.
- Nếu
1 2
, , , 0
n
a a a

thì
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
a a a
n
  
 hay
1
1
1
nn
n
i i
i

i
a a
n






Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi:
1 2

n
a a a
  

Kĩ thuật cộng mẫu số(BĐT cộng mẫu số)
Cho
, 0
a b


Ta có:
 
2
4 1 1 4
2 4
a b
a b ab a b ab
ab a b a b a b


         
 
( 1 )
Hoặc ta có
2
1 1 4

1 1 2
a b ab
a b a b
a b
ab

 

  


 



Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Tổng quát với n số
1 2
, , , 0
n
a a a


Ta có:
2
1 2 1 2
1 1 1


n n
n
a a a a a a
   
  

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2

n
a a a
  
.

B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Công thức lượng giác :
 Công thức lượng giác cơ bản
sin
2

+ cos
2


= 1 1 + tan
2

=

2
cos
1
, Zkk  ,
2




1 + cot
2

=

2
sin
1
, Zkk


,


tan


.cot

= 1 , Zkk  ,
2



 Cung đối nhau
cos(-

) = cos

sin(-

) = -sin


tan(-

) = -tan

cot(-

) = -
cot


 Cung bù nhau
sin )(




= sin

cos )(



= -cos


tan )(



= -tan

cot )(



= -cot


 Cung hơn kém


sin )(




= - sin

cos )(



= -cos


tan )(



= tan

cot )(



= cot


 Cung phụ nhau
sin )
2
(



 = cos

cos )
2
(


 = sin


tan )
2
(


 = cot

cot )
2
(


 = tan


Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 2
 Cung hơn kém
2


sin
( )
2



= cos

cos
( )
2



= -sin


tan
( )
2



= -cot

cot
( )
2




= - tan


 Công thức cộng
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb
sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan(a – b) =
ba
ba
tantan1
tantan


tan(a + b) =
ba
ba
tantan1
tantan



 Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa
2 2
2 2
cos2a = cos a - sin a
= 2cos a - 1 = 1 - 2sin a
tan2a =

a
a
2
tan
1
tan2


 Công thức hạ bậc
cos
2
a =
2
2cos1 a

sin
2
a =
2
2cos1 a

tan
2
a =
a
a
2
cos
1
2cos1




 Công thức nhân ba

3
cos3a = 4cos a - 3cosa

3
sin3 3sin 4 n
a a si a
 

 Công thức hạ bậc
3
cos3 3cos
os a=
4
a a
c


3
3sin cos3
sin a=
4
a a


 Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa cosb =
 
)cos()cos(
2
1
baba 
sina sinb =
 
)cos()cos(
2
1
baba 

sina cosb =
 
)sin()sin(
2
1
baba 
 Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
vu

cos
2
vu

cosu - cosv = -2sin
2

vu

sin
2
vu


sinu + sinv = 2sin
2
vu

cos
2
vu

sinu - sinv = 2cos
2
vu

sin
2
vu



Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt

Cung

GTLG

0
6


4


3


2


Sin 0
1
2

2
2

3
2

1
Cos 1
3
2

2
2

1
2

0
Tan 0
3
3

1
3


Cot

3

1
3
3

0

II. Phương trình lượng giác đặt biệt
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 3
+ sinx = 0

x = k


, k

Z
+ sinx = 1

x =


2
2
k , k

Z
+ sinx = -1

x = -


2
2
k , k

Z
+ cosx = 0

x =


k
2

, k

Z
+ cosx = 1

x = k2

, k

Z
+ cosx = -1

x =(2k + 1)

, k

Z
+ tanx = 0

x = k

, k

Z
+ tanx = 1

x =


k

4
, k

Z
+ tanx = -1

x = -


k
4
, k

Z
+ cotx = 0

x =


k
2
, k

Z
+ cotx = 1

x =


k

4
, k

Z
+ cotx = -1

x = -


k
4
, k

Z
III. Phương trình lượng giác cơ bản
1. sin


u x
= sin


v x





   
2

( )
2
u x v x k
k Z
u x v x k

 

 


  



2. cos


u x
= cos


v x





   
2

( )
2
u x v x k
k Z
u x v x k



 


 



3. tan


u x
= tan


v x

 
   
2
,( )
v x k
k Z

u x v x k




 




 


4. cot


u x
= cot


v x



   
,( )
v x k
k Z
u x v x k








 



IV. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)
Cách giải
phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a
2
+ b
2


c
2

Chia hai vế phương trình (1) cho
22
ba  ta được

222222
cossin
ba
c

x
ba
b
x
ba
a





(2)
Đặt
22
cos
ba
a



; sin
22
ba
b




Pt (2) trở thành: cos


.sinx + sin

.cosx =
22
ba
c


sin(x +

) =
22
ba
c

(3)
Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản.

Chú ý : sinx

cosx =
2
sin(x

4

)
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 4
V. Phương trình asin

2
x + bsinx. cosx + ccos
2
x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin
2
x + bsinx. cosx + ccos
2
x = d


a.
2
2cos1 x

+ b.
2
2sin x
+ c.
2
2cos1 x

= d


bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c
Cách 2:
Nếu cosx = 0 không là nghiệm của phương trình thì ta chia hai vế của phương trình cho

cos
2
x

0 ta được phương trình bậc hai:
a.tan
2
x + btanx + c = d.(1 + tan
2
x)


(a – d).tan
2
x + btanx + c – d = 0

C. ĐẠO HÀM
1. Một số quy tắc
1.
 
'
' '
u v u v
  
2.
 
'
' '
.
u v u v vu

  3.
'
' '
2
u u v vu
v v

 

 
 

2. Bảng các đạo hàm

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm hợp
1
( )'
0
a
a R
x ax
x



 

 

 

1
( )' . '
a a
u u u



2
1 1
'
x x

 

 
 

2
1 '
'
u
u u

 

 
 

1
( )'
2
x
x

'
( )'
2
u
u
u

1
1
'
n n
n
x x


 

 
 

1
1 '
'
n n

nu
u u


 

 
 






Hàm số
lũy thừa


1
1
'
n
n n
x
n x


1
'
( )'

n
n n
u
u
n u


(sinx)’ = cosx (sinu)’= u’cosu
(sin
n
u)’ = n.u’sin
n-1
u.cosu
(cosx)’= -sinx (cosu)’ = -u’sinu
(cos
n
u)’ = -n.u’cos
n-1
u.sinu
(tanx)’ =
2
2
1
1 tan
cos
x
x
  (tanu)’=
2
2

'
'(1 tan )
cos
u
u u
u
 



Hàm số
lượng giác
(cotx)’=
2
2
1
(1 cot )
sin
x
x

   (cotu)’ =
2
2
'
'(1 cot )
sin

  
u

u u
u

( )'
x x
e e


( )' ' ''
u
e u e

Hàm số
mũ
( )' ln
x x
a a a

( )' ' ln
u u
a u a a

1
(ln )'
x
x

(lnu)’ =
'
u

u





Hàm số
1
(ln )'
x
x


'
(ln )'

u
u
u

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 5
1
(log )'
ln
a
x
x a


'
(log )'
ln
a
u
u
u a


logarit
1
(log )'
ln
a
x
x a


'
(log )'
ln
a
u
u
u a




Phân thức

 
/
2
a
x b ad bc
cx d
cx d
 
 

 

  
;
     
 
/
2
2
2
2
2
' ' 2 ' ' ' '
a
a' ' '
a' ' '
ab ba x ac ca x bc cb
x bx c
x b x c
x b x c

    
 
 

 
 
 
 


D. KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Xét sự đồng biến , nghịch biến của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
    

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
    

Phương pháp xét tính đơn điệu
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i

(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không xác định.
B3: Lập bảng biến thiên và kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Chú ý : Nếu






' 0, ' 0,
f x x K f x x K
     
và


' 0
f x

tại hữu hạn điểm
thuộc K thì hàm số y = f(x) đồng biến ( nghịch biến ) trên K
Dạng 2. Sử dụng chiều biến thiên của hàm số để chứng minh BĐT
Bài toán : Chứng minh bất đẳng thức :











x
u x v x u v x
 
,


;
x a b
 

Phương pháp
B1 : Đưa BĐT về dạng




>0
u x v x . Đặt






f x u x v x
 

B2 : Xét dấu y’ từ đó suy ra f(x) đồng biến ( hay nghịch biến) trên (a;b)
B3: Chứng minh






0 0
f a f b
 
. Suy ra điều phải chứng minh
Dạng 3. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Qui tắc I ( Dùng đạo hàm cấp 1)
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0
hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II ( Dùng đạo hàm cấp 2)
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x) và f ”(x). Giải phương trình f’(x)
= 0 và kí hiệu là x
i
là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(x
i
)
- Nếu f ”(x

i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
;
- Nếu f ”(x
i
) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i

* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0
phức tạp.
Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị . Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 6
Phương pháp
Cách 1 (Sử dụng đạo hàm cấp 1 )
B1: Tìm TXĐ của hàm số.
B2: HS f(x) có cực trị tại
0
x


'
f x

đổi
dấu qua
0
x

Cách 2 ( Sử dụng đạo hàm cấp 2 )
B1: Tìm TXĐ của hàm số.
B2: - HS f(x) có cực đại tại
0
x


 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x









- HS f(x) có cực tiểu tại
0
x



 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x









Chú ý:
 Hàm số
3 2
ax ( 0)
y bx cx d a
    
có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai
nghiệm phân biệt.
 Hàm số
   
4 2
ax ( 0)
y bx c a





   
3 2
' 4ax 2 2 2ax
y bx x b

o có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình
 
2
2ax 0
b
có hai nghiệm phân biệt khác 0.
o có 1 cực trị khi và chỉ khi
0; 0
0; 0
0
a b
a b
ab
 


 





 Hàm số
2
ax
bx c
y
dx e
 



 
2
2
2
'
adx aex be dc
y
dx e
 
  

 
 

 
có cực trị
2
2 0
adx aex be dc
    

có hai nghiệm phân biệt
e
d



 
0
0 ' 0
ad 




   



 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3
C1: TH pt y’=0 có nghiệm đơn giản
B1: Tính trực tiếp hai điểm cực trị




1 1 2 2
, ; ,
A x y B x y

B2: Phương trình đt qua hai điểm cực trị

1 1
2 1 2 1
x x y y
x x y y
 

 

C2: TH pt y’=0 có nghiệm phức tạp
B1: Chia y cho y’ ta được




. '
y u x y v x
 
B2: Giả sử
1 2
,
x x
là hoành độ hai điểm cực trị . Khi
đó ta có




1 2
' ' 0
y x y x

 
. Do đó tọa độ các
điểm cực trị




1 1 2 2
, ; ,
A x y B x y
thỏa phương trình


y v x

.
KL : pt đường thẳng qua hai cực trị của đồ thị hàm
số


y v x

Dạng 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên


;
a b
:
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x)

trên [a; b]:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên





Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc không xác
định
B1: Tìm các giá trị x
i



;
a b

(i = 1, 2, , n)
làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

B3: GTLN =
max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN =
Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
Dạng 6 . Khảo sát hàm số
1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3:
    
3 2
(a 0)
y ax bx cx d
Sơ đồ khảo sát hàm số
3 2
(a 0)
y ax bx cx d
    
:
GTNN
+
-

y
y'
b
x
0a
x
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 7
1. Tìm tập xác định.
2. Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :
+ Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị.
2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực
2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy, điểm uốn.
+ Nhận xét đồ thị: Chỉ ra tâm đối xứng (điểm uốn) (không cần chứng minh)
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
   
4 2
(a 0)
y ax bx c

Sơ đồ khảo sát hàm số
   
4 2
(a 0)
y ax bx c :

Tìm tập xác định.

Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :
+ Tính đạo hàm y’ và tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định;
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Tìm cực trị.
2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực và các giới hạn vô cực
2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy.
+ Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận Oy làm tục đối xứng.
3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

  

(c 0;ad-bc 0)
ax b
y
cx d

Sơ đồ khảo sát hàm số

  

(c 0;ad-bc 0)
ax b
y
cx d

:

Tìm tập xác định.

Sự biến thiên
2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số :
+ Tính đạo hàm y’( chú ý phương trình y’=0 không có nghiệm);
+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
2.2 Hàm số không có cực trị.
2.3 Tìm các tiệm cận ( đứng và ngang)
2.4 Lập bảng biến thiên của hàm số
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
+ Xác định một số điểm đặc biệt: Giao với trục Ox, Oy.
+ Nhận xét : giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị
Dạng 7. biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Phương pháp:
Để biện luận số nghiệm phương trình F(x, m) = 0 ta có thể biến đổi về dạng: f(x) =
g(m), trong đó y = f(x) là hàm số đã khảo sát hoặc có thể dễ dàng khảo sát còn y = g(m) là
đường thẳng phụ thuộc tham số m.
Khi đó số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = g(m) chính bằng số
nghiệm của phương trình F(x, m) = 0
Nhận xét :
Với phương pháp này ta chú ý tới cách vẽ đồ thị các hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Đồ thị hàm số y = f(|x|):
Đồ thị hàm số y = f(|x|) được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía bên phải trục Oy.
+ Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải qua trục Oy.
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 8
* Đồ thị hàm số y = |f(x)|:

Đồ thị hàm số y = |f(x)| được suy ra từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới qua trục Ox.
Dạng 8. tìm điểm cố định của họ đường cong
BÀI TOÁN :
Cho họ đường cong ),(:)( mxfyC
m
 ( m là tham số )
Tìm điểm cố định của họ đường cong (C
m
)
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bước 1: Gọi
);(
000
yxM
là điểm cố định (nếu có) mà họ (C
m
) đi qua. Khi đó phương
trình: ),(
00
mxfy  nghiệm đúng

m (1)
Bước 2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:
Dạng 1:
0


BAm

m


Dạng 2:
0
2
 CBmAm

m


Áp dụng :
0


BAm






0
0
B
A
m
( 2) ;










0
0
0
0
2
C
B
A
mCBmAm
(3)
Bước 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được
);(
00
yx

Chú ý : Hệ (2) hoặc (3) có n nghiệm thì có n điểm cố định mà họ (C
m
) luôn đi qua
Dạng 9. tiếp tuyến, tiếp xúc và tương giao
Bài toán :
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C ) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
1. Tiếp tuyến tại điểm M(x

0
; y
0
)  (C): y - y
0
= f’(x
0
)(x - x
0
).
2. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:
Cách 1:
- Gọi x
0
là hoành độ tiếp điểm. Ta có f’(x
0
) = k.
- Giải phương trình ta tìm được x
0
, rồi tìm y
0
= f(x
0
) từ đó ta được phương trình tiếp
tuyến.
Cách 2: - PT đường thẳng (d) có hệ số góc k là : y = kx + b
- (d) tiếp xúc với ( C )

hệ







kxf
bkxxf
)(
)(
có nghiệm.
- Giải hệ trên tìm được b từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Nếu  là tiếp tuyến và:
+  // d: y = ax + b  k

= a.
+   d: y = ax + b  k

= -1/a.
+  hợp với trục Ox một góc   k

=  tan().
+  hợp với tia Ox một góc   k

= tan().
3. Tiếp tuyến đi qua một điểm A(x
1
; y
1
).
Cách 1: Gọi x

0
là hoành độ tiếp điểm.
PTTT tại A(x
0
, f(x
0
)) là: y = f’(x
0
)(x - x
0
) + f(x
0
).
Vì A TT nên y
A
= f’(x
0
)(x
A
- x
0
) + f(x
0
).
Giải phương trình tìm x
o
từ đó ta được phương trình tiếp tuyến.
Cách 2: Đường thẳng  đi qua A có hệ số góc k có phương trình:
A A
y = k(x - x ) + y .

 là tiếp tuyến của (C)  hệ PT sau có nghiệm:


 
 
A A
f x = (x - x ) + y
*
f' x
k
k







giải hệ phương trình bằng phương pháp thế để tìm k.
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 9
Chú ý: - Nghiệm của (*) chính là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến.
- Số nghiệm của (*) chính là số tiếp tuyến của ( C ) qua A . Do đó muốn có n tiếp
tuyến ta tìm điều kiện tham số sao cho hệ (*) có n nghiệm.

E. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I. Các định nghĩa:
a.
n

n thua so
a a.a a



(n Z ,n 1,a R)

  

d.
n
n
1
a
a




(n Z ,n 1,a R/ 0 )

  

b.
1
a a


a


e.
m
n
m
n
a a

(
a 0;m,n N
 
)
c.
0
a 1


a 0
 

f.
m
n
m
n
m
n
1 1
a

a
a

 
II. Các tính chất :
m n m n
a .a a



m n n m m.n
(a ) (a ) a 

n n n
(a.b) a .b


m
m n
n
a
a
a



n
n
n
a a

b
b
 

 
 


III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số
a. Phương pháp :
Cho phương trình f(x) = g(x) (1) (Trong đó f(x) và g(x) là các biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).
Biến đổi phương trình (1)
   
 
 
 
 
 
 
* ;0 1
**
h x p x
h x p x
a a a
x x
 

  




   


   

khi đó ta có
- PT (*)




h x p x
  .
- PT (**)


     
0
1 . 0
x
x h x p x








   
  

   



2. Phương pháp đặt ẩn phụ:
2.1. Nếu phương trình có dạng :
   
     
2
3 2
. . 0
. . . 0
f x f x
f x f x f x
a b c
a b c d
 
  

  


   


a. Phương pháp.
Đặt t =



f x

ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
3 2
. . 0
. . . 0
a t b t c
a t b t c t d

  

   


Giải phương trình tìm t suy ra x.
2.2. Nếu phương trình có dạng :
 
 


 
2 2
. . . . 0
f x
f x f x
a b c
   

  

a. Phương pháp.
Chia hai vế của phương trình cho
 
 
2
2
f x
f x






khi đó phương trình




2
0
f x f x
a b c
 
 
   
   
   

   
.
Đặt t =


f x


 
 
 
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0
a t b t c
  
Giải phương trình tìm t
suy ra x.
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 10
2.3. Nếu phương trình có dạng :




. . 0
f x f x
a b c
 
  

trong đó
1


.
Phương pháp : Đặt
   
1
f x f x
t
t
 
  
ĐK t > 0 khi đó phương trình trở thành
2
. . 0
a t c t b
  
Giải phương trình tìm t suy ra x.
3. Phương pháp lôgarít hóa.
Phương pháp
:

Cho phương trình f(x) = 0 (1) (Trong đó f(x) là biểu thức chứa ẩn ở luỹ thừa).Nếu phương trình
sau khi biến đổi có dạng







*
h x g x
a b với
0 , 1
a b
 
ta lấy logarit cơ số a hoặc cơ số b hai vế
của phương trình (*) khi đó phương trình (*) trở thành:






    
.log 1
.log 2
a
b
f x g x b
f x a g x







4. Phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm là duy nhất

Phương pháp : * Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sử dụng công cụ đạo hàm)
* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = C
có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0


(a;b) sao cho f(x
0
) = C thì
đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) (do đó nếu
tồn tại x
0


(a;b) sao cho f(x
0
) = g(x
0
) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x) )
- Nếu pt cần giải có dạng
   
 
 
   

1
2
f x g x
f x
a b
a g x






và ta có thể đoán ra được một nghiệm
0
x



- Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ


f x
y a

với đồ
thị (C
/
) của hàm số mủ



g x
y b


- Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số mũ


f x
y a
 với đồ
thị (C
/
) của hàm số


y g x

.
- Từ tính chất
Nếu hàm số


y f x
 là một hàm số đồng biến và hàm số


y g x
 là hàm số nghịch biến hoặc
ngược lại thì (C) và (C
/

) cắt nhau tại duy nhất một điểm. Nên phương trình (1) hay (2) có duy nhất
nghiệm
0
x


.
- Chú ý:
Nếu là bài toán tìm giá trị của tham số để phương trình có có nghiệm khi đó dựa vào tính chất
phương trình có nghiệm khi và chỉ khi đồ thị của hàm số y = f(x) và đường thẳng d: y = g(m) cắt
nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:
+ B
1
: Lập bảng biến thiên của hàm số .
+ B
2
: Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng d: y = g(m) cắt đồ thị hs y = f(x) .
F. TÍCH PHÂN
I. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C

Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số) ax + C

x


1
1
x

C






( )
ax b



a
1
1
( )
1
ax b
C







Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 11
1
x

ln
x C


1
ax b


1
ln
ax b C
a
 

x
a


ln
x
a
C
a



x
e

x

e C


ax b
e


1
ax b
e C
a



sinx -cosx + C
sin(ax+b)

1
cos( )
ax b C
a
  

cosx Sinx + C
cos(ax+b)

1
sin( )
ax b C
a

 

2
1
cos
x

tanx + C
2
1
cos ( )
ax b


1
( )
tg ax b C
a
 

2
1
sin
x

-cotx + C
2
1
sin ( )
ax b



1
cot ( )
g ax b C
a
  

'
( )
( )
u x
u x

ln ( )
u x C


2 2
1
x a


1
ln
2
x a
C
a x a





tanx
ln cos
x C
 

2 2
1
x a


2 2
ln
x x a C
  

cotx
ln sin
x C



II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Phương pháp đổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích phân. Tuy nhiên cái khó
của phương pháp này là cách chọn hàm x = (t) hay t = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán
cụ thể.
1.1. DẠNG 1: Tính I =

b
'
a
f[u(x)].u (x)dx

bằng cách đặt t = u(x)
Bước 1: Đặt
dxxudtxut )()(
'


Bước 2: Đổi cận :
( )
( )
x b t u b
x a t u a
 

 

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 




)(
)(
)()('.)(

bu
au
b
a
dttfdxxuxufI
(tiếp tục tính tích phân mới)
Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu Cách chọn
1.

xdxxf cos)(sin
t = sinx
2.

xdxxf sin).(cos

t = cosx
3.

dxeef
xx
)(
t = e
x

4.

dx
x
xf

1
).(ln
t = lnx
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 12
Hàm 5. f(x,
)(xf
)

( )
t f x


Hàm 6. f(x) =
  
bxax 
1


t x a x b
   

1.2. DẠNG 2: Tính I =
b
a
f(x)dx

bằng cách đặt x =
(t)


Bước 1: Đặt dttdxtx )()(
'


Bước 2: Đổi cận :


x b t
x a t


 

 

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 







dtttfdxxfI
b
a
)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu Cách chọn
22
xa 

 
sin , v cos , 0
2 2
x a t t x a t t
 


 
     
 
 

22
ax 

 
, , , 0 v , 0, ,
sin 2 2 cos 2
a a
x t t x t t
t t
  



 
     
 
 

22
xa 


tan
x a t

với
2/2/





t

xa
xa
xa
xa




,

tax 2cos






xbax 

x= a + (b
– a)sin
2
t
2. Phương pháp tích phân từng phần
Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rất thông dụng trong quá trình xác định nguyên
hàm của hàm số. Phương pháp này cụ thể như sau:
Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục thì: udv = uv - vdu.
Còn đối với tích phân xác định, ta có:
 

b
a
b
a
b
a
vduuvudv

Dựa vào công thức tính tích phân từng phần,để tính tích phân I=f(x)dx ta tiến hành theo các

bước sau:

Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I = f(x)dx = f
1
(x).f
2
(x)dx.

Bước 2: Đặt: u = f
1
(x), dv= f
2
(x)dx  du,v.

Bước 3: I = uv - vdu.
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính nguyên
hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 13
- Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
Dấu hiệu Cách đặt

b
a
xdxxP sin).(
hoặc

b

a
xdxxP cos).(

( ).
b
x
a
P x a dx

hoặc

b
a
x
dxexP ).(

b
a
xdxxP ln).(
hoặc
( ).log
b
a
a
P x xdx



b
a

x
xdxe sin.
hoặc

b
a
x
xdxe cos.

.sin
b
ax
a
e bxdx

hoặc
. os
b
ax
a
e c bxdx



Đặt u = P(x)


Đặt u = P(x)

Đặt u = lnx hoặc u = log
a
x


Đặt u = sinx hoặc u = cosx

Nên dùng tích phân từng phần hai lần để tính với
cách đặt: u = e
ax
.
3. Tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.

Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác.

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản.

Phương pháp đổi biến.
Đối với các dạng tích phân: I = R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong
các hướng sau:
- Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = cosx.
- Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = sinx.
- Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép đổi biến t = tanx.
* Chú ý : Các tp hàm lượng giác có thể đưa về tp các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tan
2
x
.

Phương pháp tích phân từng phần.

Sử dụng nguyên hàm phụ.
III. Diện tích hình phẳng.

1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( ): ( )
C y f x

, trục Ox và hai đường thẳng x=a; x=b
Phương pháp:
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
)(.)( badxxfS
b
a



Chú ý :
Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:


0
f x


Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 14
 Nếu phương trình f(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc (a;b) thì

( ) . ( ).
b b
a a
S f x dx f x dx
 
 

 Nếu f(x) = 0 có nghiệm


;
   

thuộc (a;b) thì

( ) . ( ). ( ). ( ).
b b
a a
S f x dx f x dx f x dx f x dx


 
   
   

2. Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi 2 đường (C
1
): y=f(x) và (C
2

): y=g(x) và 2 đường x=a;
x=b
Phương pháp:
 Diện tích hình phẳng cần tìm là:


b
a
dxxgxfS )()(
Chú ý :
Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình: f(x) – g(x) = 0
 Nếu phương trình f(x) – g(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm không thuộc (a;b) thì
 
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx
   
 

 Nếu f(x) = 0 có nghiệm


;
   

thuộc (a;b) thì
   
 
 

 
 
 
( ) . ( ) . ( ) . ( ) .
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx


 
       
   

V. Thể tích vật thể
1. Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục Ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục Ox tạo ra vật thể có thể tích:

 


b
a
dxxfV
2
)(


2. Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục Oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục Oy tạo ra vật thể có thể tích:
 



b
a
dyygV
2
)(


IV. Thể tích vật thể
1. Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục Ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục Ox tạo ra vật thể có thể tích:

 


b
a
dxxfV
2
)(


2. Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục Oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục Oy tạo ra vật thể có thể tích:
 


b
a

dyygV
2
)(



G. SỐ PHỨC

1. Tập hợp số phức: C
2. Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b
R

, i là đơn vị ảo, i
2
= -1); a là phần thực, b là phần
ảo của z

z là số thực

phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là phần ảo

phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3. Hai số phức bằng nhau:
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 15
a + bi = a’ + b’I )',',,(
'
'

Rbaba
bb
aa







4. Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b )R

được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
);( bau 

trong mp(Oxy) (mp phức)

5. Cộng và trừ số phức :
. (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
. (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ )R



Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b )R



z biểu diễn

u , z’ biểu diễn


'u thì z + z’ biểu diễn bởi

 'uu và z – z’ biểu diễn bởi

 'uu
6. Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ )R

.
7. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là
biaz 



'.'.;''; zzzzzzzzzz 

z là số thực zz  ; z là số ảo zz 
8. Môđun của số phức : z = a + bi

OMzzbaz 
22


00,0  zzCzz

Czzzzzzzzzz  ','',''.
9. Chia hai số phức :

Số phức nghịch đảo của z (z )0


: z
z
z
2
1
1




Thương của z’ chia cho z (z )0

:
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1




Với z .'
'

,0 wzzw
z
z
 ,
z
z
z
z
z
z
z
z
'
'
,
''








10. Phương trình bậc hai với hệ số thực : ax
2
+ bx + c = 0 (a,b,c là số thực cho trước, a
0

).

2
4
b ac
  



0
 
: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
x
a
  



0


: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
2
b
x x
a
  

0
 
: Phương trình có hai nghiệm phức
1,2
2
b i
x
a
  

11. Căn bậc hai của số phức :

z là căn bậc hai của số phức
2
w w
z
 


z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi



















x
b
y
baa
x
bxy
ayx
2
2
2
22
2
22
(a, b, x, y )R


a. w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b. w 0

có đúng hai căn bậc hai đối nhau

Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 16
* Hai căn bậc hai của a > 0 là
a

* Hai căn bậc hai của a < 0 là ia.
12. Phương trình bậc hai với hệ số phức : Az
2
+Bz +C=0 (A,B,C là số phức cho trước, A
0

).
ACB 4
2



0


: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
B
z
A

 
 , (


là 1 căn bậc hai của )



0


: Phương trình có 1 nghiệm kép là
1 2
2
B
z z
A
  
13. Dạng lượng giác của số phức :

(cos sin )
z r i
 
 
(r > 0) là dạng lương giác
của z = a + bi (a, b )0,


zR

2 2
;cos ;sin
a b
r a b

r r
 
    

+

là một acgumen của z.
+ ),( OMOx



14. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cos )'sin'(cos'',)sin




irzi



thì :

)'sin()'[cos('.'.









irrzz ]

)]'sin()'[cos(
'
'

 i
r
r
z
z

15. Công thức Moa-vrơ :
*
Nn thì )sin(cos)]sin(cos[

ninrir
nn

16. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos )sin


i

(r > 0) là :
.(cos sin )
2 2

r i
 
 và
.(cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
   
 
     

H. TỔ HỢP

1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương
án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc
được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện
bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m
cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định
trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k



mà
1 k n
 
. Khi lấy ra k phần tử trong
số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp
chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A
là:
   
 
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
    

.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k


mà
1 k n
 

. Một tập hợp con của A có k
O

x
y


M z



a
b
r
Công thức toán phổ thông Trường THPT số 2 An Nhơn
GV : Khổng Văn Cảnh Trang 17
phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
 




k
n
n n 1 n k 1

n!
C
k! n k ! k!
  
 


c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
 
 
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n




  
   



I. NHỊ THỨC NIU-TƠN
1 . Công thức nhị thức Niu-tơn:
Với mọi cặp số a, b và mọi số nguyên dương n ta có:

(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n – 1
b + c
2
n
c
1
n – 2
b
2
+ … + c
n
n-1
ab
n – 1
+ c
n
n
b
n

(*)
kkn
n
nk
k
n
baC




2 . Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Số các số hạng của khai triển bằng n + 1.
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lượt là:
0 1 2 n-1 n
n n n n n
C ; C ; C ; C ; C ;

Với chú ý:
k n k
n n
C C

 và
1
1
k k
n n
n k

C C
k

 
 0 < k < n.
3 . Một số trường hợp đặc biệt:
+ TH1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta được
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ …+ C
n-1
n
x
n-1
+ C
n
n
x
n

(2)

+ TH2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta được
(1 - x)
n
= C
0
n
- C
2
n
x+ C
2
n
x
2
+ …(-1)
k
C
k
n
x
k
+ …+ (-1)
n
C
n
n
x
n

(3)
4 . Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta được
C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
+ …+ C
n
n
= 2
n

+ Thay x = 1 vào (3) ta được:
C
0
n
- C
1
n
x + C
2
n
- …+ (-1)
n

C
n
n
= 0