Bài giảng phương pháp tích phân môn toán (luyện thi đại học)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (231.47 KB, 14 trang )
Phương pháp tích phân từng phần
A. Tóm tắt lý thuyết
Cơng thức tích phân từng phần:
u x d v x u x v x v x d u x ;
b
b
b
u x d v x u x v x v x d u x .
a
a
a
Vài tình huống gợi ý việc sử dụng cơng thức tích phân từng phần:
v x d u x dễ tính hơn tích phân u x d v x ;
Tích phân
Biểu thức dưới dấu tích phân có chứa u ' x dx ;
Biểu thức v ' x đơn giản.
B. Các dạng tốn hay gặp
Dạng 1. Tích phân từng phần có quy tắc
Nội dung phương pháp
Quy tắc khử đa thức
Xét các tích phân I1 P x eax dx , I 2 P x sin axdx , I3 P x cos axdx , trong đó
P x là một hàm đa thức, a là hằng số khác 0 . Ba tích phân nói trên có cách tính tương tự,
sau đây ta nêu cách tính I1 .
I1
1
1
1
ax
ax
ax
ax
ax
P x d e a P x e e d P x a P x e e P ' x dx .
a
Việc tính I1 được quy về tính tích phân J e ax P ' x dx . Đa thức dưới dấu tích phân J là
P ' x có bậc thấp hơn đa thức dưới dấu tích phân I1 một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho
đến khi đa thức dưới dấu tích phân bị khử hồn tồn.
Cách tích phân I 2 , I3 cũng được tính một cách tương tự.
Quy tắc khử Lơ-ga
Xét tích phân I P x ln k xdx . Ta có I ln k xdF x , trong đó F x là một nguyên hàm
của P x . Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có
I ln k xF x F x ln k x ' dx ln k xF x k
F x k 1
ln xdx .
x
Ta ln có thể chọn F x sao cho F x có nhân tử là x , do đó biểu thức
là một đa thức đồng bậc với P x . Như vậy, so với I thì J
F x
thực chất
x
F x k 1
ln xdx có lũy thừa
x
của Lơ-ga nhỏ hơn một đơn vị. Ta lặp lại quá trình trên cho đến khi biểu thức Lơ-ga bị khử
hồn tồn.
Xét hai tích phân I1 eax sin bxdx và I 2 eax cos bxdx . Hai tích phân nói trên có
phương pháp tính tương tự. Dưới đây, ta chỉ xét I1 .
I1
1
1
1
ax
ax
ax
ax
ax
sin bxd e a sin bxe e d sin bx a sin bxe b e cos bxdx
a
1
b
1
b
sin bxe ax e ax cos bxdx sin bxe ax 2 cos bxd eax
a
a
a
a
1
b
1
b
b2
sin bxe ax 2 cos bxeax e ax d cos bx sin bxe ax 2 cos bxeax 2 e ax sin bxdx
a
a
a
a
a
1
b
b2
sin bxe ax 2 cos bxe ax 2 I1 .
a
a
a
Từ đó, ta tính được I1 .
Một số ví dụ
Ví dụ 1. Tính tích phân sau:
1
1) [ĐHD06] I x 2 e2 x dx .
0
ln3
2) J
x
2
2 x e x dx .
1
Giải
1) I
1
1
1
2x
2x
x 2 d e 2 x 2 e
20
1
1
1
e2 x d x 2 e2 2 e2 x dx
0
0
2
0
1
1
1
1 2
1
1
3
5
e 2 e2 x e2 2 e2 1 e2 .
2
2
2
2
4
4
0
2) Ta có
ln3
J
x
1
2
2 x de x x 2 2 x e x
ln 3
ln3
1
1
ln 3
e x d x 2 2 x 3 ln 2 3 2ln 3 e 2
x
x 1 e dx .
1
K
Lại có
2
ln 3
ln 3
ln 3
x
x
x 1 de x 1 e
K
1
1
ln 3
e x d x 1 3 ln 3 1 e x
3ln 3 6 e .
1
1
Do đó
I 3 ln 2 3 2 ln 3 e 2 3ln 3 6 e 3ln 2 3 12 ln 3 12 e .
Ví dụ 2. Tính tích phân sau:
4
1) I x 2 4 x 3 sin 2 xdx ;
0
2
2) J 2 x 1 cos 2 xdx .
0
Giải
1) Ta có
4
1
1 2
2
I x 4 x 3 d cos 2 x x 4 x 3 cos 2 x
20
2
4
0
4
cos 2 xd x 4 x 3
0
2
3 4
3 14
x 2 cos 2 xdx x 2 d sin 2 x
2 0
2 20
3 1
x 2 sin 2 x
2 2
4
0
sin 2 xd x 2
0
3 1
1
2 cos 2 x
2 24
2
b. Vì : cos 2 x
2
4
4
0
3 1 2 1 1 .
2 24
2 8 4
1 cos2x
. Cho nên :
2
2
2
2
1
1
1 cos2x
I 2 x 1 cos 2 xdx 2 x 1
dx x dx 2 x 1 cos2xdx
2
2
20
0
0
0
2
2
2
1
1
1 2 1
x x 2 2 x 1 d sin 2 x
2 x 1 sin 2 x 2 sin 2 x.2 dx
2
20
8 4 2
2
0
0 0
=
2 1
2
0 cos2x 2
1
8 4
8 4 2
0
* Chú ý :
3
Qua ví dụ trên ta có các nhận xét sau :
- Bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng lớn : Nếu bậc của P(x) cao
nhất là 2 thì ta phải láy hai lần tích phân từng phần thì mới ra kết quả .
- Tổng qt : Nếu gặp phải các tích phân có dạng :
P( x) sin
n
axdx P x cos naxdx . Ta
phải sử dụng các công thức hạ bậc :
Như : sin 2 x
1 cos2x
1 cos2x
3sin x sin 3 x
3cos x cos3x
; cos 2 x
;sin 3 x
; cos3 x
2
2
4
4
Sau đó tách tích phân đã cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta có thể tìm dược nhờ các gợi
ý đã biết .
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau
1
a.
x
3
2 x 2 3 x 1
e
0
2
c.
x2ex
x 2
2
2x
1
dx
b.
3 x2
x e
dx .
0
dx . ( Cao đẳng GTVT-2004 )
0
Giải
1
a.
x
3
2 x 2 3 x 1
e2 x
0
dx
- Đặt : u x 3 2 x 2 3 x 1 du 3 x 2 4 x 3 dx ; dv
-
dx
2
v 2 x . Thay vào (*)
2x
e
e
2
1 1
2 3
x 2 x2 3x 1 0 2 3x 24xx 3 dx 2 e62 2 J 1 . Tương tự : Ta tính J .
e2 x
e
0
- Đặt : u1 3 x 2 4 x 3 du1 6 x 4 dx ; dv1
J
dx
2
v1 2 x . Do đó :
2x
e
e
1
1
2
3x 2 4 x 3 0 2 6 x 2x 4 dx 6 e42 2 K 2 .
e2 x
e
0
1
6x 4
dx .
e2 x
0
- Ta tính K
+/ Đặt : u2 6 x 4 du2 6dx ; dv2
dx
2
v2 2 x
2x
e
e
1 1 6dx 6
2
1 1 6
1
+/ Do đó : K 2 x x 4 2 2 x 2 8 6 2 x 2 8 6 2 1 2 3
0 0 e
e
e
e 0 e
e
- Thay (3) vào (2) : J 6
4
4
2(2) 2 2 . Lại thay vào (1) ta có :
2
e
e
4
I 2
6
4
14
2 2 2 6 2
2
e
e
e
1
b.
1
dt 2 xdx; x 0 t 0, x 1 t 1
2
2
x3 e x dx x 2e x .xdx . Đặt : t x 2
t
f ( x)dx te dt
0
0
1
Do đó : I t.et dt
0
2
c.
x2ex
x 2
2
1
1
1
1
t
t
t 1
t.d e 2 t.e e 0 2
20
dx . Ta giải bằng hai cách :
0
Cách 1.
- Đặt : u x 2e x du 2 x.e x x 2e x dx xe x 2 x dx ; dv
2
- Vậy : I
0
x 2e x
x 2
2
dx
x 2
2
v
1
x2
2
2
x 2e x 2
dx
xe x dx e2 xe x e x 1
0
x2 0 0
Cách 2. ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân từng phần sau )
dt dx, x 0 t 2; x 2 t 4
2
- Đặt t x 2
t 2 et 2 .dt t 2 4 et 2 dt
f ( x)dx
t
t
4
4
4
et 2
dt 4 et 2 dt J K 4 L 1 .
t
2
2
- Suy ra : I tet 2 dt
2
- Các tích phân J,K,L các em đều có thể tính được .
* Chú ý : Qua ví dụ 3 ta có một số nhân xét quan trọng sau
- Đối với tích phân có dạng : I
eax
dx , ta vẫn có thể áp dụng cách giải của dạng tích
P( x)
phân I P ( x)e ax dx được .
- Ta có thể kết hợp cả hai phương pháp : đổi biến số và tích phân từng phần . Nghĩa là trước
khi lấy tích phân từng phần , ta đổi biến số .
Ví dụ 4. Tính các tích phân sau
4
a.
x
2
4 x 3 sin 2 xdx
2
b.
x.sin
0
xdx
0
4
2
2
x
c.
dx
cos 2 x
0
d.
2
x cosxdx
0
Giải
5
4
a.
x
2
4 x 3 sin 2 xdx
0
1
- Đặt : u x 2 4 x 3 du 2 x 4 dx , dv sin 2 xdx v cos2x . Thay vào (*)
2
1
14
3 1
2
- I cos2x x 4 x 3 4 2 x 4 cos2xdx J 1
2
20
2 2
0
4
4
4
1
1
- Tính : J 2 x 4 cos2xdx 2 x 4 d sin 2 x sin 2 x 2 x 4 4 2sin 2 xdx
20
2
0
0 0
1
5
3 1 5 4
.
4 cos2x 4 . Thay vào (1) . I
8 2
2 2 8 2
16
2 4
0
2
2
2
2
1
1 cos2x
2
b. x.sin xdx x
dx xdx x.cos2xdx
2
2 0
0
0
0
11 2
12
x 2 x.d sin 2 x
2 2
20
0
2
1 2 1
1
2 8
1 2 1
x.sin 2 x 2 sin 2 xdx
0 cos2x 2
.
2 8 2
2 8 2
2
16
0
0
0
4
4
4
x
1
c.
dx x.d t anx x.t anx 4 t anxdx ln cosx 4 ln 2
2
cos x
4
4 2
0
0
0 0
0
2
d.
2
x cosxdx .
0
- Đặt : u x 2 du 2 xdx , dv cosxdx v=sinx .
2
2
2 2
2
2
Do đó : I x .sinx 2 2 x.sinxdx
x.d cosx
x.cosx 2 cosxdx
4 0
4
0 0
0 0
2
2 4
0 sinx 2
4
4
0
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau
e
a.
3
2
x ln xdx . ( KD-2007)
1
2
b. ln x 2 x dx . ( KD-2004 )
3
6
e
e
c. ln 3 xdx
d.
1
x
2
ln xdx . ( Tham khảo 2005 )
1
Giải
e
a.
x
3
ln 2 xdx .
1
- Đặt : u ln 2 x du 2 ln x
- Do đó : I
dx
1
, dv x 3dx v x 4
x
4
e
e
1 4 2 e 1
x4
e4 1
e4 1
x .ln x 2 ln x. dx x3 ln xdx J 1 .
1 41
4
x
4 21
4 2
e
- Tính J x3 ln xdx .
1
+/ Đặt : u1 ln x du1
dx
1
, dv x3dx v x 4
x
4
e 1e 3
e 3e 4 1
1 4
e4 1
+/ Do đó : J x ln x x dx x 4
. Thay vào (1) ta có :
1 41
4
4 16 1
16
I
e4 1 3e 4 1 5e4 1
.
4 2 16
32
2
b. ln x 2 x dx .
3
- Đặt : u ln x 2 x du
2x 1
dx, dv dx v x .
x2 x
3
3 3 x 2 x 1
2x 2 1
- Do đó : I x.ln x 2 x
dx 3ln 6 2 ln 2
dx
2 2 x x 1
x 1
2
3
3
ln 54 2 dx
2
2
3
d x 1
ln 54 2 ln x 1 3ln 3 2 .
2
x 1
e
c. ln 3 xdx .
1
- Đặt : u ln 3 x du 3ln 2 x
dx
, dv dx v x
x
e
e e
- Do đó : I x ln 3 x 3 ln 2 xdx e 3 J 1 .Tính : J ln 2 xdx
1 1
1
+/ Đặt : u1 ln 2 x du1
2 ln x
dx, dv1 dx v1 x
x
e e
e e
e
+/ Do vậy : J x ln 2 x 2 ln xdx e 2 x ln x dx e 2 x ln x x e 2 .
1 1
1 1
1
7
+/ Thay vào (1) : I e 3 e 2 6 2e
e
d.
x
2
ln xdx ..
1
dx
1
, dv x 2dx v x 3
x
3
- Đặt : u ln x du
e 1e 2
1 3
e3 1 e 2 e3 1
- Do đó : I x ln x x dx x 3
1 31
3
3 9 1
9
* Chú ý :
Lũy thừa kcủa lnx bằng số lần lấy tích phân từng phần , như vậy số lần lấy tích phân từng
phần không phụ thuộc vào bậc của đa thức P(x).
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau :
3
a.
3 ln x
x 1
2
2
dx . ( KB-2009 )
b.
1
2
c.
1
1
ln x
dx . ( KD-2008 )
x3
ln x 1
dx . ( CĐ cơ khí luyện kim-2006 )
x2
Giải
3
a.
3 ln x
x 1
2
3
dx
1
3
- Với :
1
3
x 1
2
3
3
x 1
dx
1
2
dx
1
ln x
x 1
2
dx 1 .
3 3 3
x 1 1 4
-
Với
:
27
3
3
ln
ln x 3
1
ln 3 1
1
ln 3
x 3
16
x 12 dx x 1 1 x x 1 dx 4 x x 1 dx 4 ln x 1 1 4
1
1
1
3
ln x
3
Thay vào (1) : I
4
2
b.
1
ln
27
27
3 ln
16
16
4
4
ln x
dx .
x3
2
- Đặt : u ln x du
dx
dx
1
, dv 3 v 2
x
x
2x
1
2 1 2 dx
1
ln 2 1 2 3 2 ln 2
- Do vậy : I 2 ln x 3
2
1 21 x
2x
8
4x 1
16
8
2
c.
2
ln x 1
ln x 1 2
1
ln 3
1
1
dx
dx ln 2
dx .
x2
x
x x 1
2 1 x x 1
1
1
ln 2
ln 3
ln 3
ln 2 3ln 3
x 2
ln
ln 3
1 ln 2
2
2
2
x 1
* Chú ý : Qua ví dụ 2 ta thấy tích phân dạng :
ln x
P( x) dx , vẫn có thể áp dụng cách giải cho
tích phân dạng : I P( x ) ln xdx
Ví dụ 3. Tính các tích phân sau .
1
a.
x ln 1 x dx . ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )
2
0
3
3
b.
x ln x
2
5 dx . CĐTCKT-2006 )
c.
4
0
ln t anx
dx . (CĐTCHải quan -2006 )
sin 2 x
Giải
1
a.
2
x ln 1 x dx
0
1
1 1
1
1
ln 1 x 2 d 1 x 2 1 x 2 ln 1 x 2 d 1 x 2 .
0 0
20
2
2 ln 2 1
1
2 1
2 ln 2 1 x
0
2
2
3
b.
x ln x
2
5 dx .
0
dt 2 xdx; x 0 t 5, x 3 t 14
- Đặt : t x 5
1
2
f ( x)dx x ln 5 x dx 2 ln tdt
2
14
- Do đó : I
14 14 ln14 5ln 5 11
1
1
ln tdt 2 t ln t t 5
25
2
ln t anx
1
1
1
3 1
c.
dx ln t anx d ln t anx ln 2 t anx ln 2 3 0 ln 2 3 .
4
4
sin 2 x
2
16
4
4
4
3
3
Cách khác :
dx
dt
2
dt= cos 2 x 1 t dx dx 1 t 2
2t
- Đặt : t t anx
. Với : sin 2 x
1 t2
x t 1; x t 3
4
3
9
3
- Khi đó : I
1
3
+/ J
1
ln t dt
1
2t 1 t 2 2
1 t2
ln t
dt
t
3
1
3
ln t
1
dt J 1
t
2
1
ln t.d ln t 2 ln
1
+/ Thay vào (1) ta có : I
2
t
3
1
1 2
1
ln 3 0 ln 2 3
2
8
1 2
ln 3
16
* Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy có thể đổi biến trước khi lấy tích phân từng phần .
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau :
2
a.
e
2
2x
b. I e3 x sin 5 xdx ( CĐKTKT-2005)
cos3xdx
0
0
1
2x
2
c. e sin xdx
d.
(e
x2
sin x e x x 2 )dx . ( ĐHTN-2000)
1
0
Giải
2
a.
e
0
2x
1
cos3xdx . Đặt : u= e 2 x du 2e 2 x , dv cos3xdx v= sin 3 x
3
1
12
1
2
2
1
2x
- Do đó : I sin 3 x.e 2 e 2 x sin 3 xdx e J I J e 1
3
30
3
3
3
3
0
2
1
- Tính J = e2 x sin 3 xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv sin 3 xdx v cos3x
3
0
1
22
1 2
2
1
2x
- Do vậy : J cos3x.e 2 e 2 x cos3xdx I J I 2
3
30
3 3
3
3
0
3e 2
- Từ (1) và (2) ta có hệ hai phương trình . Giải hệ ta có I=
13
2
1
b. I e3 x sin 5 xdx . Đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv sin 5 xdx v cos5x
5
0
3
1 3x
3 2 3x
e2 3
3
1 3
- Do đó : I e cos5x 2 e cos5xdx
J I J .e 2
5
50
5 5
5
5
0
1
10
1
- Ta lại đặt : u e3 x du 3e3 x dx; dv cos5 xdx v sin 5x
5
3
1 3x
3 2 3x
e2 3
3
1 3
- Do đó : I e sin 5x 2 e sin 5xdx
I J I .e 2
5
50
5 5
5
5
0
2
1
1 32
- Từ (1) và (2) ta tính được : I J .e .
4
20
c. e2 x sin 2 xdx
0
1 2x
1
e 1 cos2x dx e2 x dx e2 x cos2xdx
20
2 0
0
1 2x
1
1
e
e 2 x cos2xdx e 2 1 J 1
0 0
4
4
2
1
- Tính J= e2 x cos2xdx . Đặt : u e2 x du 2e2 x dx; dv cos2xdx v= sin 2 x
2
0
1
1
1
- Do đó : J e 2 x sin 2 x e2 x sin 2 xdx K 2 . Ta tính K
0 20
2
2
1
- Lại đặt : u e2 x du 2e 2 x dx; dv sin 2xdx v= cos2 x
2
1
1
1
- Do đó : K e 2 x cos2 x e 2 x cos2 xdx e2 1 J K J e 2 1 3
0 0
2
2
2
Từ (2) và (3) ta tính được : J
1
d.
1
1 e2 , sau đó lại thay vào (1) I 1 e 1
2
2
0
1
2
2
2
x
x 2
x
x 2
x
x 2
(e sin x e x )dx (e sin x e x )dx (e sin x e x )dx J K 1
1
1
0
- Tính J: Đặt t=-x suy ra dt=-dx . Khi x=0 thì t=0;x=-1 thì t=1 . Khi đó :
0
1
2
1
2
2
- J et sin t dt et sin tdt e x s inxdx J 2 J 0 J 0 .
1
0
0
+/ Tính K : Đặt u x 2 du 2 xdx; dv e x dx v e x .
+/ Do vậy : K x 2 .e x
1
1 1 x
1 1
2 x.e dx e 2 x.d e x e 2 x.e x e x dx
0 0
0 0
0
1
e 2 e e x e 2 e 1 e 2 .
0
- Vậy : I=K= e-2.
11
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau
/2
1
a. e x sin 2 ( x)dx
b.
0
e
cos x
sin 2 xdx ( DB-2004)
0
/4
c.
tgx e
sin x
cos x dx . (DB-2005)
0
Giải
1
1
1
1
1
1 cos2 x
a. e x sin 2 ( x )dx e x
dx e x dx e x cos2 xdx
2
2 0
0
0
0
e 1 1
1 x 1
J 1 . Tính J :
e J
2 0
2
2
1
- Đặt : u e x du e x dx; dv cos2 xdx v= sin 2 x .
2
Do
-
đó
:
1
1 11
1 x
1
1
1
e sin 2 x e x sin 2 xdx
e.sin 2 sin 0 e x sin 2 xdx K 1
0 20
2
2
2 0
2
J
+/ Tính K : Đặt u e x du e x dx; dv sin 2 xdx v
+/ Do vậy : K
1
cos2 x
2
1 1 1 x
1 x
1
1
e cos2 x
e cos2 xdx 2 e 1 2 I 2
0 2 0
2
Từ (1) và (2) ta có :
I
e 1 1 1 e 1 1
2
2 2 2 2
2
/2
b.
e
1
e 1 e 1
I I
I
2
4
2
8
cos x
sin 2 xdx 2 e
0
0
cosx
2
e 1
4 1 e 1
I
I
2
8
2 4 1
4
1
t
.cosx. sinxdx 2 e t dt 2 et dt .
0
1
0
1
2 et t 2 e 1 1 2 e 2
0
Vì : t cosx dt=-sinxdx . Khi x=0 thì t 1, x
4
c.
tgx e
sin x
4
0
/4
t 0
2
0
cos x dx t anxdx esinx cosxdx .
0
4
2
1
ln 2
sinx
sinx
ln cosx 4 e d s inx ln
e
e 2 1
4
2
2
0 0
0
12
C. Bài tập
Bài 1. Tính các tích phân sau
2
a.
x
e cosx cosxdx
4
b.
c.
2
x cosxdx
0
3
x.tan
2
e.
xdx
4
0
e
0
d.
2
x.sin 2 xdx
0
f.
x.ln xdx
x e
2x
3 x 1 dx
1
1
Bài 2. Tính các tích phân sau
6
a.
2
x.s inxcos xdx
b.
0
e
d.
x.s inx
1+cosx dx
0
c. e2 x sin 2 xdx
0
3
ln x
x 1
2
2
e. s inx.ln cosx dx
dx
1
e
f.
0
e
sin 2 x
s inxcos3 xdx
0
Bài 3. Tính các tích phân sau
3
4
a.
e
3x
sin 4 xdx
b.
6
0
2
4
d.
ln s inx
2
cos x
2
dx .
c.
e.
2
0
1
xcos x dx
x sin x cosxdx
e
2x
x 2 e dx
f.
x
0
1
2
ln 2 xdx
0
2
0
3
Bài 4. Tính các tích phân sau
1
a.
2 x
xe
x 2
0
2
b.
dx
x
2
1
1
ln 1 dx
x
c.
x ln xdx
f.
1 x
x.ln 1 x dx
0
e2
d.
2
2
cos ln x dx
e.
x
2
2
1
1
1
ln x
dx
x5
Bài 5. Tính các tích phân sau
ln x 1
a. 2
dx
x 1
0
1
x.sin
b. s inxln 1+cosx dx
1
c.
1 x
3
4
x cos xdx
0
0
2
e2 x dx
0
2
d.
2
4
1 sinx x
e.
e dx
1+cosx
0
f.
x 1
2
ln xdx
1
Bài 5. Tính các tích phân sau
13
4
3
a.
2
x ln x 1 dx
0
b.
ln t anx dx
0
14
