Đề Luyện thi ĐH môn Toán 2015 Có đáp án Đề số 2

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 1


MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
y
x



(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm hệ số góc
k
của đường thẳng d đi qua điểm
 
1;2M 
, sao cho
d
cắt
 
C
tại hai điểm phân biệt
,AB
. Gọi

,
AB
kk
là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị
 
C
tại
A
và
B
. Tìm các giá trị của
k
để
1
A
B
k
k

đạt
giá trị nhỏ nhất.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
  
1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x
x
   



.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
 
 
2
1
0
21
ln 1
1
x
I x dx
x




.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm tất cả các số phức
z
thỏa mãn
2 3 1z z i   
và
 
 
12z i z i  
là số thực.
b) Trong một hộp gồm có 8 viên bi xanh và 6 viên bi trắng, chọn ngẫu nhiên 5 viên bi. Tính xác suất để 5

viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 7 0x y z    
và đường
thẳng
1
22
:
1 2 2
y
xz
d




. Viết phương trình mặt phẳng
 

chứa
d
và tạo với
 

một góc

sao cho
4

cos
9

.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác
ABC
vuông tại
A
,
,2AB a BC a
, góc giữa
hai mặt phẳng
 
SAC
và mặt phẳng đáy bằng
0
60
, tam giác
SAB
cân tại
S
thuộc mặt phẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC

.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
nhọn nội tiếp đường tròn
 
C
có
phương trình
22
25xy
,
AC
đi qua
 
2;1K
, hai đường cao
BM
và
CN
. Tìm tọa độ các đỉnh
,,A B C
biết
A
có hoành độ âm và đường thẳng
MN
có phương trình
4 3 10 0xy  
.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
2
1
11
21
2 4 8
x
x
xx


    
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho
,xy
là các số thực dương thỏa mãn
2xy
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
3
34
27 10
98
y
x
P
yx




.

HẾT



ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 2

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác định:
 
/1DR
.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
 
2
1
'
1
y
x


.
   

' 0, ; 1 1;yx      
, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
 
;1 
và
 
1; 
.
+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.
+ Giới hạn:
lim 2; lim 2
xx
yy
 

đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2y 
.
11
lim ; lim
xx
yy

 
   
đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
1x 
.
+ Bảng biến thiên
x




1



'y







y



2








2

- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Ox
tại điểm
1
;0
2




.
+ Đồ thị hàm số cắt trục
Oy
tại điểm
 
0;1
.
+ Đồ thị hàm số giao điểm
 
1;2I 
của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số đi qua các điểm
 
3 1 3
2; 3 , ;4 , ;0 , 1;
2 2 2

     
  
     
     
.
- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Phương trình đường thẳng
d
là
 
12y k x  
.
Để
d
cắt
 
C
tại 2 điểm phân biệt khi phương trình
21
2
1
x
kx k
x

  

có 2 nghiệm phân biệt
Tức phương trình

2
2 1 0kx kx k   
có 2 nghiệm khác
1
.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 3

 
2
0, 2 1 0
0
' 1 0
k k k k
k
k k k

    

  

    


.
Ta có
 
2
1
'

1
y
x


. Suy ra
   
22
11
;
11
AB
AB
kk
xx


trong đó
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
2
2 1 0kx kx k   
.
Nên
 
 
2
2

11
1
1
AB
B
A
kx
k
x
   

và
,
AB
xx
thỏa mãn
 
2
11kx  
.
Suy ra
   
1 1 1
22
AB
k k k k k
k k k
   
            
   

   
, đẳng thức xảy ra khi
1k 
.
Vậy
1
A
B
k
k

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi
1k 
.
Nhận xét: Phương trình đường thẳng đi qua một điểm nào đó và cắt đồ thị hàm số cho trước tại
n
điểm thỏa
mãn tính chất của tiếp tuyến tại các hoàng độ giao điểm. Ta lập phương trình đường thẳng rồi tìm giao điểm
của nó với hàm số , sau đó biện luận các yêu cầu của bài toán.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Phương trình đường thẳng đi qua điểm
 
,
QQ
Q x y
hệ số góc
k
có phương trình:
 
QQ

y k x x y  
.
-Bất đẳng thức
AM GM
:
, 0 2a b a b ab   
. Dấu bằng xảy ra
ab
.
Áp dụng cho bài toán:
- Phương trình đường thẳng đi qua M hệ số góc
k
là
 
12y k x  
.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm.
d
cắt
 
C
tại hai điểm phân biệt
 
2
, 2 1 0A B f x kx kx k     

có hai nghiệm phân biệt
1x 
.
- Hệ số góc tiếp tuyến tại

,AB
lần lượt là
,
AB
kk
(
,
AB
xx
là nghiệm của phương trình
 
0fx
). Khi đó tìm
được
1
A
B
k
k

với
 
1
1 1 2
AB
k x k k k
k
        
( theo
AM GM

).
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho hàm số
21
1
x
y
x



. Lập phương trình tiếp tuyến của độ thị biết tiếp tuyến cắt các trục tọa độ
,Ox Oy
lần lượt tại A,B thỏa mãn
4
OA
OB 
. Đáp số:
1 5 1 13
;
4 4 4 4
y x y x     
.
b. Cho hàm số
2
2
x
y
x



. Viết phương trìn tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo hai trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng
1
18
. Đáp số:
91
42
yx
.
Câu 2. Điều kiện
2
2;
3
x k k

    
.
Phương trình tương đương
  
1 sin 4sin cos 6cos 2sin 3
2
2cos 1
x x x x x
x
   



   
  
2
sin 1
1 sin 2sin 3 2cos 1
2 1 sin 2sin 3 2 2sin sin 1 0
1
2cos 1
sin
2
x
x x x
x x x x
x
x


  

          







Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 4

2

2
2
6
5
2
5
xk
xk
xk


   




   




  


.
Phương trình có nghiệm:
5
2 ; 2 ; 2 ;
2 6 5
x k x k x k k

  
          Z
.
Nhận xét: Phương pháp sử dụng phân tích nhân tử, giải phương trình cơ bản. Để giải phương trình ta sử
dụng công thức cơ bản nhân đôi, đặt nhân tử chung. Lưu ý kiểm tra điều kiện để kết hợp nghiệm.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Sử dụng công thức góc nhân đôi
sin2 =2sin cos  
.
-Nhóm nhân tử chung , thu được phương trình bậc 2 cơ bản.
-Giải phương trình bậc 2 ẩn duy nhất
sinx
tìm đươc
x
với công thức nghiệm:
+
2
sin ;
2
xk
x k Z
xk

   
   

     

.
+

cos cos 2 ;x x k k Z      
.
-Kiểm tra điều kiện ta thu được nghiệm của phương trình.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
sin2 cos2
cot tan
cos sin
xx
xx
xx
   
. Đáp số:
2
3
xk

   
.
b. Giải phương trình
3
tan 3 cos sin .tan
2
x x x x


  


. Đáp số:

7
,2
6
x k x k

    
.
Câu 3.
 
 
11
00
ln 1
4 ln 1
1
x
I x x dx dx
x

  


.
 
1
0
4 ln 1A x x dx

.
Đặt

 
2
ln 1
1
1
2
dx
du
ux
x
x
dv xdx
v


















.
   
1
1
22
1
0
0
0
1 1 1
4 ln 1 1 4 1
2 2 2 2
xx
A x x dx x





       








.
 

   
 
 
1
2
11
2
00
0
ln 1 ln 1
1
ln 1 ln 1 ln 2
1 2 2
xx
B dx x d x
x

     


.
Vậy
2
1
1 ln 2
2
I 
.
Nhận xét: Đặc điểm biểu thức dưới dấu tích phân khó có thể đổi biến số và sử dụng tích phân từng phần. Ta
tách tích phân ban đầu thành 2 tích phân nhỏ.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính tích phân từng phần :
.'
b
b
a
a
I u v u vdu

.
-Công thức tính
1
1
b
b
n
n
a
a
x
x dx
n




.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 5

-Nhận thấy
   
2
2 1 4 1 1
11
x x x
xx
  


, nên ta có
I A B
.
- Tính
A
: Sử dụng công thức tính tích phân từng phần với
 
2
ln 1
1
2
ux
x
v









.
- Tính
B
:
 
1
0
ln 1
1
x
B dx
x




. Nhận thấy
 
 
1
ln 1 '
1
x
x


nên ngầm đặt ẩn phụ
 

ln 1tx
chuyển về công
thức
'.
n
u u du

.
Bài tập tương tự:
a. Tính tích phân
 
 
1
0
2 ln
1 ln
x x x
I dx
xx




. Đáp số:
3 2ln2Ie  
.
b. Tính tích phân
 
3
2

22
2 ln ln 3
1 ln
e
e
x x x x
I dx
xx




. Đáp số:
32
3ln2 4 2I e e   
.
Câu 4.a. Giả sử số phức
z
có dạng:
 
;,z a bi a b  

 
 
         
1 2 1 1 2 1 1 2z i z i a a b b a b a b i

             


    
1 1 2 0 1a b a b a b        

     
2 2 2
2
2 3 1 2 3 4 1 1z z i a b a b          

2
21
3 11 6 0 3, 2; ,
33
a a a b a b         
.
Vậy
21
3 2 ;
33
z i z i   
.
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm số phức
z
thỏa mãn điều kiện nào đó. Ta chỉ cần đặt số phức có dạng chung
 
,z a bi a b R  
rồi thay vào các điều kiện để giải ra
z
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Đặt

z a bi
 
,a b R
. Số phức
z
là số thực khi và chỉ khi phần ảo của nó bằng 0.
- Thay vào đẳng thức
2 3 1 1zz   
. Sử dụng tính chất modul của số phức.
- Mặt khác ,
 
 
12z i z i  
là số thực nên phần ảo bằng 0.
- Giải hệ cơ bản
     
2 2 2
2
2 3 4 1 1
1
a b a b
ab

     





tìm được

,ab
thu được số phức
z
cần tìm.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Tìm số phức
z
thỏa mãn
 
2
1 11z i z i  
. Đáp số:
3 2 , 2 3z i z i    
.
b. Tìm số phức
z
thỏa mãn
 
1 2 3i z z i  
. Đáp số:
11
44
zi  
.
Câu 4.b. Số cách chọn ra 5 viên bi từ 14 viên bi là
5
14
2002C 
(cách), suy ra, không gian mẫu là

2002
.
Gọi
A
là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả bi xanh và bi trắng.
Ta có
1 4 2 3 3 2 4 1
8 6 8 6 8 6 8 6
1940
A
C C C C C C C C     
.
Vậy
 
194 0 970
200 2 1 00 1
A
PA

  

.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 6

Nhận xét: Bài toán tính xác suất ta chỉ cần sử dụng công thức tính xác suất cho biến cố
A
bất kì.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Công thức tính xác suất của biến cố A bất kì:

 
 
A
PA



với
 
A
là số trường hợp thuận lợi cho A ,

là tổng các trường hợp có thể xảy ra.
Áp dụng cho bài toán:
- Tìm số cách chọn 5 viên bi từ 14 viên cho trước.
- Gọi A là biến cố trong 5 viên bi được chọn có cả màu xanh và trắng , ta tính được
 
A
theo các cách
chọn.
-Sử dụng công thức tính xác suất ta thu được đáp án.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Trong mặt phẳng
Oxy
, ở góc phần thư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt, cứ thế ở các góc phần tư thứ
hai , ba , bốn lấy 3,3,5 điểm phân biệt(các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Tính xác suất để
đường thẳng nối 2 điểm đó cắt hai trục tạo độ. Đáp số:
23
91

.
b. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ , 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 màu. Đáp số: 645.
Câu 5.
 

có vectơ pháp tuyến là
 
1;2; 2n


;
 

có vectơ pháp tuyến là
 
;;n A B C


.
d
đi qua
 
2; –1; 2A
và có vectơ chỉ phương là
 
1; 2; 2
d
a 
.

+
 
2 2 0 2 2
d
d a n A B C A B C

          
.
+ Lại có
2 2 2
.
22
4 4 4
cos
9 9 9
.
3
nn
A B C
nn
A B C



     


 
2
2 2 2 2

2
3 4 4 4 2 2 4 10 4
2
BC
B C B C B C B BC C
CB


         



.
+ Với
2BC
; chọn
1; 2 2C B A   
       
: 2 – 2 2 1 1 – 2 0 2 2 – 4 0x y z x y z         
.
+ Với
2CB
; chọn
1; 2 –2B C A   
       
: –2 – 2 1 1 2 – 2 0 –2 2 1 0x y z x y z         
.
Nhận xét: Bài toán cơ bản viết phương trình mặt phẳng
 


: Ta tìm một điểm thuộc
 

và một vector pháp
tuyến của
 

. Sử dụng dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng để tìm một vector pháp tuyến của
 

.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến.
-Mặt phẳng
 
P
đi qua
 
;;A a b c
nhận
 
;;n m n p
là một vector pháp tuyến:
     
0m x a n y b p z c     
.
-Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng
   
,
:

 
.
cos cos ;
.
nn
nn


    
với
,nn

lần lượt là vector
pháp tuyến của
   
,
.
Áp dụng cho bài toán:
- Tham số vector pháp tuyến của
   
: ; ;n A B C


,
d
đi qua điểm
A
và có vector chỉ phương là
d
a

,
 
.0
d
d a n

   
.
- Sử dụng công thức góc giữa hai mặt phẳng
 
;    

.
44
cos
99
nn
nn


   
.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 7

- Tìm được mối quan hệ giữa
,,A B C
tương ứng viết được mặt phẳng
 


.
Bài tập tương tự:
a. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho điểm
   
1;0;1 , 2;1;2AB
và mặ phẳng
 
: 2 3 3 0Q x y z   
. Lập
phương trình mặt phẳng
 
P
đi qua
,AB
và vuông góc với
 
Q
.
Đáp số:
 
: 2 2 0P x y z   
.
b. Trong hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho đường thẳng
1
:1
2

y
d x z

  
và điểm
 
1;2;3A 
. Viết phương
trình mặt phẳng
 
P
chứa đường thẳng
d
và khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng
 
P
bằng 3. Đáp
số:
 
: 2 2 1 0P x y z   
.
Câu 6.
ABC
vuông tại
B
, nên đường tròn ngoại tiếp
ABC
có tâm
K
là trung điểm

AC
và bán kính
1
2
r AC
. Gọi
H
là trung điểm của
 
AB S H ABC
.
Kẻ
00
60 .tan60HM AC SM AC SMH SH HM      
.
Ta có
.2
2
BC AH a
ABC AMH HM
AC
    
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua
K
và song song với
SH
. Khi đó tâm

O
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC

là giao điểm của đường trung trực đoạn
SH
và
d
trong mặt phẳng
 
SHK
và
bán kính mặt cầu ngoại tiếp là
2 2 2 2
3 3 14
4 4 4
a
R OC OK CK SH AC     
.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là
3
3
4 7 14
3 24
a
VR

  
(đvtt).
Dựng hình chữ nhật

ABCD
, khi đó
 
//AB SCD
, suy ra khoảng
cách giữa
AB
và
SC
bằng khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
 
SCD
.
Gọi giao điểm của
HK
với
CD
là
E
, ta có
 
CD SHE
.
Kẻ
HF SE
thì
HF
là khoảng cách từ

H
đến mặt phẳng
 
SCD
.
Trong tam giác vuông
SHE
có
HF
là đường cao nên
2 2 2
1 1 1 10
5
a
HF
HF HS HE
   
.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
bằng
10
5
a
.
Nhận xét: Dạng toán liên quan tới thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và góc giữa hai mặt phẳng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Công thức tính thể tích khối cầu ngọa tiếp:

3
4
3
VR
.
-Dựng góc giữa hai mặt phẳng
   
,SAC ABC
.
- Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp:
K
là trung điểm của
AC
thì
K
chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác
ABC
.
Kẻ đường thẳng
d
đi qua điểm
K
và song song
SH
, suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp
.S ABC
là
O
giao của

đường trung trực
SH
và
d
trong mặt phẳng
 
SAK
.
- Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SC
: Dựng hình chữ nhật
ABCD
   
,,d AB SC d H SCD
.
Dựng
 
,HF SE HF d H SCD  
.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 8

Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Cho tam giác
ABC
vuông cân, cạnh huyền
2AB a

. Trên đường thẳng
d
đi qua
A
và vuông góc
với mặt phẳng
 
ABC
lấy điểm
S
sao cho mặt phẳng
 
SBC
tạo với
 
ABC
một góc bằng
0
60
. Tính
diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
.S ABC
. Đáp số:
2
10Sa
.
b. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD

là hình thoi cạnh
a
, hình chiếu vuông góc của
S
lên
 
ABCD
trùng với trung điểm
H
của
AB
. Đường trung tuyến
AM
của tam giác
ACD
có độ dài là
3
2
a
, góc giữa mặt phẳng
 
SCD
và
 
ABCD
bằng
0
30
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD

và diện
tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
. Đáp số:
3
.
3
,
12
S ABCD
a
V 
Diện tích mặt cầu
2
.
4
3
S ABC
Sa
.
Câu 7. Chứng minh được
MN OA
, suy ra
OA
có vectơ pháp tuyến là
 
: 4 03;4 3OAn xy  
.
Tọa độ
A

thỏa hệ
2
22
16
3 4 0
4
3
3
25
4
x
xy
x
y
xy
yx








  









(do
0
A
x 
). Vậy
 
4;3A 
.
AC
nhận
 
6; 2AK 
làm vecto chỉ phương
1
2
: 3 5 0
31
y
x
AC x y


     

.
Tọa độ
C

thỏa hệ
 
22
53
03
5;0
54
25
xy
yy
C
xx
xy





  
  
  




.
Tọa độ
M
thỏa hệ
 

3 5 0 1
2; 2
4 3 10 0 2
x y x
M
x y y

    
  

   

.
BM
qua
M
và vuông góc
   
: 3 1 1 2 0 3 5 0AC BM x y x y        
.
Tọa độ
B
thỏa
2 2 2
3 5 3 5
03
54
25 10 30 0
y x y x
xx

yy
x y x x

   

  

  
   
  
   



.
Với
 
0;5B
thì
 
–4;–2BA 
và
 
.; 4092 0BC BA BC    
, suy ra góc
B
tù.
Với
 
–3; –4B

thì
 
–1;7BA 
và
 
.4 20 08;BC BA BC   
, suy ra góc
B
nhọn.
Vậy
   
–4;3 , –3;–4AB
và
 
5;0C
.
Nhận xét: Hướng giải cho bài toán : Viết phương trình các cạnh tam giác , lấy giao phương trình các cạnh
viết được với đường tròn
 
C
suy ra tọa độ
,,A B C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Một đường thẳng có vô số vector pháp tuyến. Để viết được đường thẳng
 
d
ta cần tìm điểm
 
;M a b

, một
vector pháp tuyến
 
 
22
;0
d
n      
. Dạng tổng quát
     
:0d x a y b    

-Đường tròn tâm
O
ngoại tiếp tam giác
ABC OA OB OC  
.
Áp dụng cho bài toán:
- Viết phương trình
OA
A
là nghiệm của hệ
 
A OA
AC








(
0
A
x 
).
- Đường thẳng
AC
nhận
AK
làm một vecto chỉ phương nên viết được phương trình
AC
. Hoàn toàn tương
tự
C
là nghiệm của hệ
 
C AC
CC







.

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 9

- Tính tọa độ điểm
B
:
M BM AC M
.
BM
đi qua
M
và vuông góc
AC
nên có phương trình
MB
.
Tọa độ
B
là nghiệm của hệ
 
B MB
BC







.
Lưu ý: Để loại trường hợp ta sử dụng tích vô hướng của 2 vector
.BA BC

, nếu
.0BA BC B
tù và
.0BA BC B
nhọn.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
Trong hệ trục tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có hình chiếu vuông góc của
C
lên đường thẳng
AB
là điểm
 
1; 1H 
. Phân
Nhận xét: Bài toán giải phương trình với phương pháp sử dụng hai ẩn phụ. Tìm mối quan hệ giữa các ẩn
phụ giải được nghiệm của phương trình.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Nhận thấy biểu thức trong căn về phải có thể viết lại được như sau
   
22
11
1
2 1 2 2.
8 2 16
xx

xx


    


,
với điểm tương đồng vế trái có
1
2
1
4
x
x









. Đặt 2 ẩn phụ
1
;0
2
1
4
u x u

x
v

  








, ta có phương trình
 
22
2u v u v  

uv
.
-Giải phương trình vô tỉ cơ bản dạng
   
   
   
2
,0f x g x
f x g x
f x g x









ta được nghiệm của phương trình đã
cho.
Lưu ý: Ta có thể sử dụng bất đẳng thức cơ bản
 
22
2a b a b  
để đánh giá phương trình.
Bài toán kết thúc.
Bài tập tương tự:
a. Giải phương trình
2 4 2
7 1 4 1x x x x    
. Đáp số:
13 69
10
x


.
b. Giải phương trình
23
2 5 22 5 11 20x x x x    
. Đáp số:
5 21 25 881
,

28
xx


.
Câu 9. Dự đoán dấu bằng xảy ra khi
 
24
;,
33
xy




. Áp dụng bất đẳng thức
–A M GM
ta có

Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi Trang 10

2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y





           









2
3
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
3 . . 2 . 2 . 2 .
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
xy
y x x y
      
3 3 5 21 9 2 3 5 3 5 13
3 ( )
2 2 3 8 8 3 8 2 4 2 4
x y x y x y            

.
Vậy
13
4
MinP 
.
Nhận xét: Bài toán tím giá trị nhỏ nhất của hai biến
,xy
với điều kiện cho trước
2xy
. Ta cố gắng đánh
giá biểu thức
P
theo
xy
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Tách biểu thức
2
3
35
3 2 3 9 1 10 21 9 2
2 3 8 2 8 2 8 9 8 8 3
y y y
x x x
P x y
y x x y





           










.
- Sử dụng bất đẳng thức
AM GM
cho 3 bộ số và 2 bộ số
3
3
2
a b c abc
a b ab

  





.
Ta có:

 
3 5 13
8 2 4
P x y   
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng trong
AM GM
xảy ra.
Bài tập tương tự:
a. Cho các số thực không âm
,xy
thỏa mãn
1xy
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
  
22
4 3 4 3 25S x y y x xy   
(Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2009).
Đáp số:
 
25 1 1
,;
2 2 2
MaxS x y

  


.
b. Cho

,,xyz
là các số thực dương. Chứng minh rằng :
3 3 2
3 3 3 3 2 2
3 3 3 3 3 3
2
y y y
x z z x x z
yz zx xy
y x z y x z

       



(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên-Hà Nội lần 3).