Luyện Đề Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Có đáp án Đề Số 4

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 1


MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu 1 (2,0 điểm). 
4
2
5
3
22
x
yx  
(C).
a) 
 
C
.
b) Gi s
 
MC

a

a
 tip tuyn ca
 
C
ti

M
ct
 
C
t
M
.
Câu 2 (1,0 điểm). 
 
2 s in c o s
1
ta n c o t 2 c o t 1
xx
x x x



.
Câu 3 (1,0 điểm). 
 
4
0
c o s 2
1 s in 2 c o s
4
x
I d x
xx









.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) 
z

12
1
zi
i
z




2
3
w2
4
zz   
.
b) 
 
0 ; 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6A 


A


Câu 5 (1,0 điểm).       
O x y z
    
1
11
:
1 1 1
y
xz
d




2
2
1
:
1 1 1
y
xz
d






1
d

2
d

0
30
.
Câu 6 (1,0 điểm).
.S A B C

A B C

A

 
S A B

 
S A C

 
A B C
, cho
2B C a

 
S B C


 
A B C


0
60

A

 
S B C
.
Câu 7 (1,0 điểm). 
O x y
, cho 
A B C

 
1; 5A


 
2 ; 2I

5
;3
2
K





B

C


Câu 8 (1,0 điểm). 
2
22
3 2 1
1
4 3 3 2
2
y x y y x
y x y y x x

    


    



,xy R
.
Câu 9 (1,0 điểm). Cho 
,,xyz

0 , , 1xyz

. 
     
     
2 2 2
x x y y z z x y z y zx z xy      
.

HẾT

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.a.
- Tập xác đinh:
DR
.
ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 4

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 2

- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
3
' 2 6y x x
;
0
'0
3
x
y
x








.
   
' 0 , 3 ; 0 3 ;yx     

 
3 ; 0

 
3;
.
   
' 0 , ; 3 0 ; 3yx     

 
;3  

 
0 ; 3
.
+ Cực trị: 
5
0,
2
CD

xy

3 , 2
CT
xy   
.
+ Giới hạn:
lim ; lim
xx
yy
     
   
.
+ Bảng biến thiên
x




3


0


3



'y



0


0


0



y







2


5
2

2




- Đồ thị:

Ox

 
   
 
5 ; 0 , 1; 0 , 1; 0 , 5 ; 0


Oy

5
0;
2



.

Oy


33
2 ; , 2 ;

22
   
  
   
   
.
- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. 
 
MC

4
2
5
;3
22
a
M a a




.

M

 
3
' 2 6

a
y a a

M

 
 
4
32
5
2 6 3
22
a
y a a x a a     
.

d

 
C

M

 
C

M


 

 
44
2 3 2
55
3 2 6 3
2 2 2 2
xa
x a a x a a       
 
 
2
22
2 3 6 0x a x ax a     


 
22
2 3 6 0g x x ax a    

a
.
 
 
22
2
' 3 6 0
3
1
6 6 0
aa

a
a
g a a


    





  




.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 3

Kết luận:
3
1
a
a








.
Nhận xét: 
 
MC

M

 
C


Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- 
 
y f x

 
;
AA
A x y y

   
'
A A A
y f x x x y  
.
- 
 

4
2
5
;3
22
a
M a a C

  




M
.
- 
- Do
 
MC

xa
.
- 
22
2 3 6 0x ax a    


 
'0
0

a
xa
ga








.

Bài tập tương tự:
a. 
42
21y x x  

Đáp số:
2y 
.
b.   
   
32
25
1 3 2
33
y x m x m x      
 
m

       
   
1 1 1 2 2 2
; , ;M x y M x y

12
.0xx
          
3 1 0xy  
. Đáp số:
1
3 ; 1
3
mm     
.
Câu 2. 
sin c o s 0
c o t 1
xx
x





.

 
2 s in co s
1

s in c o s 2 c o s sin
c o s sin 2 s in
xx
x x x x
x x x





 
s in 0 l
c o s sin 2 c o s sin 2
2 s in 2 s in sin 2 2 s i n 0
2
s in sin 2 co s c o s 2 c o s
c o s
2
x
x x x x
x x x x
x x x x x
x



         






.

 
3
2l
2
4
c o s
3
2
2
4
xk
x
xk


   

  



  


.


3
2;
4
x k k

    Z
.
Nhận xét: 

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-
sin co s 2 c o s s in
ta n c o t 2 ; c o t 1
c o s sin 2 sin
x x x x
x x x
x x x

    
.
-
 
co s .co s sin . sin co s , sin 2 2 sin co sa b a b a b x x x   
.
-
 
2
sin sin
2
xk

x k Z
xk

   
   

     

;
co s cos 2x x k       
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 4


- 

Bài tập tương tự:
a. 
s in 3 c o s 3
5 s in c o s 2 3
1 2 s in 2
xx
xx
x


  




. Đáp số:
2
3
xk

   
.
b. 
c o s 2 3 c o t 2 sin 4
2
c o t 2 co s 2
x x x
xx



. Đáp số:
7
;
1 2 12
x k x k

      
.
Câu 3.
   
 
 
π

4
22
0
s in c o s c o s sin
2
s in x c o s 2 s in co s s in c o s
x x x x
I d x
x x x x x


  


 
 
 
π
ππ
4
44
22
00
0
s in c o s
c o s sin 2
2 2 2 1
s in c o s
s in c o s s in c o s
d x x

xx
dx
xx
x x x x


     



.
Nhận xét: n dn vi bin
s.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-u thi d dc
   
 
 
2
c o s 2 c o s sin c o s s in
1 s i n 2 s i n c o s
1
c o s c o s s i n
4
2
x x x x x
x x x
x x x



  


  





  




.
-S di bin s
sin cos ' cos sinu x x u x x    

I
ng
2
'1u d u
C
u
u
  

.
Bài tập tương tự:
a. 

 
ln 5
ln 2
3
1
xx
x
ee
I d x
e




. Đáp số:
1 ln 1 6I 
.
b. 
2
4
. ln
e
e
dx
I
xx


. Đáp số:
7

24
I 
.
Câu 4.a. Gi s phc
z
ng
 
,z x yi x y   R
.

 
 
1
1 2 1 2
1
1
x y i
zi
ii
z
x yi


    



       
1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 0x y i x x i yi y y x y i              

2
2 2 3 0
1
1 2 0
2
x
xy
y
y



  








.
Vy
2
1 1 1 5
2 4 2 2
2 4 6
z i z i i       
.


2
3 3 1
w 2 4 4 2 1
4 4 4
z z i i i             
.
Nhận xét:  phc
w
 phc
z
thu ki
z
ri suy ra
w
.
Nhắc lại kến thức và phương pháp:
-Hai s phc b khi phn thn o cng bng nhau:
ac
a b i c d i
bd



   




.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 5

- t
 
,z x yi x y R  
ng thc
12
1
zi
i
z



c s phc
z
.
-T
2
3
w2
4
zz   
thay
wz 
.

Bài tập tương tự:
a. 
z


2
20zz
.
Đáp số:
0 , 2 , 1 3z z z i    
.
b. 
z

   
2
2 1 2z i i  
(Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010).
Đáp số:
52zi
.
Câu 4.b. Gi s t  s 
a b c d e
.
Chn
a

Chn 4 s 
4
6
A

4
6

6.A
s.
  chia h
 ng hp 1:
0e 
: chn 4 s 
4
6
A

 ng hp 2:
5e 
: chn
a
n 3 s 
3
5
A

43
65
5.AA
.
Vt c
43
65
4
6
5.
0 , 3 0 6

6
AA
P
A


.
Nhận xét: t vi s chia hu hiu s chia h
tht.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- Gi s t  s 
a b c d e
. S chia h khi t cc 5.
-  s cu
0e 
.
-  s cu
5e 
.
-
 
 
A
PA



vi
 
A

 ng hp thun li cho bin c
A
,

t c ng hp xy ra.
Bài tập tương tự:
a.   t  s  t cho
15. Đáp số: 222 s.
b.  0,1,2,3,4,5,6. Gi
A
p h gm 2 ch s c t  y
ngng thi hai phn t ca
A
 hai s l chn.
Đáp số:
1
3
.
Câu 5. Gi s mt phng
 
P
ng:
 
2 2 2
00A x B y C z D A B C      
.
Suy ra mt phng
 
P


 
 
;;
P
n A B C
.
ng thng
1
d
lm
   
1; 0 ; 1 , 1; 1; 0MN
.
Do
 
P
qua
,MN

02
0
A C D C A B
A B D D A B

    


     

.


   
: 2 0P A x B y A B z A B     
.
Theo gi thi
 
   
0
22
2 2 2 2
1 . 1 . 1 . 2
1
sin 3 0
2
1 1 1 . 2
A B A B
A B A B
  

     

 
2 2 2 2
2 3 2 3 5 4 2 2 1 3 6 1 0 0A B A A B B A A B B        
.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 6

Chn
1B 

, suy ra
1 8 1 1 4
21
A


.
Vt phng th
1 8 1 1 4 1 5 1 1 4 3 1 1 4
0
2 1 2 1 2 1
x y z

   
.
Nhận xét:  vit phng
 

chng thng
 
1
d
o
 
2
d
m


mn ca

 

 t hng thng , mt phng.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-Mt mt ph n.
-Mt phng
 

bng t
0A x B y C z D   
vi
2 2 2
0A B C  
.
-ng thng
 
d
t phng
 
P
:
.
s in
.
dP
dP
un
un

vi

d
u
 
ca
 
d
,
P
n
n ca
 
P
.

- Gi s mt phng
 
P
c
0A x B y C z D   
. Suy ra
 
; ; C
P
n A B
t vector
n ca
 
P
. Thay t
,MN

t phc mi quan h gia
,,A B C
.
- ng thng
   
2
,dP
hp vi nhau mng
2
2
00
.
3 0 s i n 3 0
.
dP
dP
un
un

.
- Chn
,B A C
ta vic hai mt phng c

Bài tập tương tự:
a. Trong h trc t
O x y z
, cho hai mt phng
   
: 2 3 0 ; : 2 3 4 0P x z Q x y z      

. Vi
t phng
 
R
i hai mt phng
   
,PQ
p vt phng t mt t
ding
4
15
.
Đáp số:
 
: 2 5 4 4 0R x y z   
.
b. Trong h trc t
O x y z
, vit phng
 
P
m
   
2 ; 1; 3 ; 1; 2 ; 1AB

song song vng thng
3
1
22
y

z
x

  

.
Đáp số:
 
: 10 4 19 0P x y z   
.
Câu 6. 
M

BC
. 
A B C

A

 
c â n
B C A M
B C S M do S A B S A C S B C




     



.

   
   
   
 
S A B S A C S A
S A B A B C SA A B C
S A C A B C




  





.

   
 
 
   
0
, 6 0
S B C A B C B C
B C A M A B C S B C A B C S M A
B C S M S B C





    





.

00
26
. t a n 60 . t a n 6 0 . 3
2 2 2
B C a a
S A A M   
.
S
A
C
B

M

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 7


2 2 2 3

.
1 1 1 1 6 6
. . . . . . .
2 2 2 2 3 3 2 2 1 2
A B C S A B C A B C
B C a a a a
S A M B C V S S A

      


 
 
 
 
.

3
1
. . ; ;
3
S A B C
S A B C A S B C S B C
S B C
V
V V S d A S B C d A S B C
S


   

.

 
 
2
2 2 2 2
1 1 1 6
. . . . ;
2 2 2 2 4
S B C
B C a
S S M B C S A A M B C S A B C a d A S B C


       


.
Nhận xét: 

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
- 
   
,S A C S B C

 
A B C


     

S A C S A B SA A B C  
.
-
M

BC


 
,S B C A B C S M A
.
- 

.
1

3
S A B C A B C
V S A S

   
.

3
1
. . d ; ;
3
S A B C
S A B C A S B C S B C
S B C

V
V V S A S B C d A S B C
S
   
.

Bài tập tương tự:
a. 
.S A B C D

A B C D

0
9 0 , , 2A B C B A D B A B C a A D a    


2S A a

SC

 
S A D

0
30

G


S A B


G

 
S C D
. Đáp số:
 
,
2
a
d G S C D 
.
b. 
.S A B C D
 
0
9 0 , , 2A B C B A D A B B C a A D a    

SA

2S A a

H

A

SB

S C D


H

 
S C D
. Đáp số:
 
,
3
a
d H S C D 
.
Câu 7. i tip
A B C

5
;3
2
K




5
2
R A K

 
2
2
5 25

3
24
xy

   


.

AI

5
1
3 8 0
2 1 2 5
y
x
xy


    

.
Gi t ca
D
m ca h
 
2
2
3 8 0

5 2 5
3
24
xy
xy

  



   




.
Gic hai nghim
1
5
x
y





m
A

5

51
2
;
1
22
2
x
D
y













.
L 
22
CA
IC D IC B B C D IC A IA C C ID IC D        
 i
D D C D I


,D C D B B C

nghim ca h
 
22
2
2
2
5 1 5
1
2 2 2
1
4
5 2 5
3
24
x y D I
x
y
x
xy

   

    
   



   

  






   




.

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 8

Vy
,BC
 
   
1; 1 , 4 ; 1 .

Nhận xét:  
A B C
bi tip
 
C

y giao ca h nhng thng chm
,,A B C

vi
 
C
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
-i ting trung trc 3 ci ti
giao c
- m
       
22
; , ;M a b N c d M N a c b d    
.
ng 
- T m
,AK
ta li ti
A B C

 
C
.
-Vi
AI
m ca h
 
D A I
DC








.
-S d
22
CA
IC D IB C B C D IC A IA C C ID IC D       
i
D
D C DI
. L
D C D B

,BC
m ca h
 
,:
,
B C C D C D C B
B C C







.


Bài tập tương tự:
a. Trong h trc t
O x y

A B C
i
A
ng thng
: 3 3 0B C x y  
. Bit
m
,AB
ni ti 

A B C
.
Đáp số:
   
   
 
2 3 3 ; 0 , 2 3 3 ; 6 2 3
, 1; 0
2 3 1; 0 , 2 3 1 ; 6 2 3
AC
B
AC

  



     


.
b. Trong h trc t
O x y
u
A B C
i ti
   
22
4 2 5xy   
ng thng
BC
m
3
;2
2
M



 m
A
.
Đáp số:
   
8 ; 0 , 8 ; 4AA
.

Câu 8.  
2
22
3 2 1
2 8 6 6 4 1
y x y y x
y x y y x x

    


    


.

     
22
1
3 1 2 2 0 1 2 0
2
yx
y x y x x x y x y
yx


          




.
 
1yx

30

 
2yx

2
22
22
2
2 4 1 0
22
22
2
xy
xx
xy


   


   


   



.

2 2 2 2
; 2 2 , ; 2 2
2
( ; )
2
xy
   

  
   
   
   
.
Nhận xét: 
 trong hai
,xy

Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 9


,xy
.
- 
2
22

3 2 1
2 8 6 6 4 1
y x y y x
y x y y x x

    


    


.
- 
y

1
2
yx
yx





.
- 

Bài tập tương tự:
a. 
 

3
2
33
3 2 1 2 1x x x x     
. Đáp số:
3
2
x 
.
b. 
 
3 3 2
32
6 3 5 1 4
3 4 5
x y y x y
x y x y

    


     


. Đáp số:
     
; 1; 3 , 2; 0xy   
.
c. 
33

22
8 6 3
2 2 9
xy
y x y x




   


. Đáp số:
   
1
; 2 ; 1 , ; 4
2
xy




.
Câu 9. 
 
, , 0 ; 1xyz

     
2 2 2
0 ; 0; 0 0x x y y z z x yz y zx z xy          

(*).
ng hp:
 Hai trong ba s
;;x yz y zx z x y  
  ng thc (*) mang du
ng th
 Mt trong ba s         gi s
0 ; 0x yz y zx   
  
     
0 1 0 1x y x y z x y z z         

 Ba s
;;x yz y zx z x y  
 ng thi.
Vy ba s
;;x yz y zx z x y  
 
Ta chng minh
     
1x y z x y z y zx   
(1).
Tht vy,
   
 
2
2 2 2 2
(1) 1 2 0x y z z xy x y z xy z x y z         
ng thc xy ra khi
xy

.
 
     
1y z x y zx z x y   
(2);

     
1x z y x y z z xy   
(3).
ng v cc
     
     
2 2 2
x x y y z z x y z y zx z xy      
ng thc xy ra khi
 khi
xyz
u phi chng minh).
Nhận xét: ng minh bng thc d ng hp xy ra vn s. D
y ra vi xng
xyz
.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
Th t thc hin chng minh bng thc.
-
 
     
2 2 2 2 2 2
, , 0 ; 1 , , 0 0x y z x x y y z z x x y y z z          
.

-ng hp nh n:
;;x yz y zx z x y  

+Nu v phng thc chng minh.
+Nu hai trong 3 s 
1z


Tuyệt Đỉnh Luyện Thi Toán Học THPT Quốc Gia 2015 Trang 10

-Chng minh
     
1xy z x y z y zx   
b 
v 3 bng thc
               
1 ; 1 ;x y z x y z y z x yz x y z x z x y xz x yz z x y         
.


Bài tập tương tự:
a.  thc
 
, , 0 ; 1 : 1x y z x y yz zx   
. Chng minh rng :
2 2 2
33
2
1 1 1
y

xz
xyz
  
  
.
b. Cho
,,a b c
nh ca mng minh rng :
     
a b bc c a a b c
c a a b b c
c c a a a b b b c
    
  
  
.