Đề thi và đáp án HK2 khối 12 năm 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II Năm học 2010-2011
Môn thi: TOÁN 12
Thời gian: 120 phút (không kể phát đề)
Ngày thi: 15/04/2011
(Đề thi gồm có 1 trang)
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
1) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
2
x
(1 - x ) biết rằng F(1) = 0.
2) Tính các tích phân sau
a) A =
1
0
x 1 xdx-
ò
b) B =
0
x
1
(2x 1)e dx
-
-
+
ò
.
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i).
Câu 3 (3,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1),
C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2).

1. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D.
2. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
3. Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E
trên đường thẳng AB.
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương
trình chuẩn 4a, 5a, 6a; phần cho chương trình nâng cao 4b, 5b, 6b) .
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (1.0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của hàm số y = cos
3
x sin2x, các đường thẳng
x = 0, x =
2
π
và y = 0.
Câu 5.a (1.0 điểm) Giải phương trình 4z
2
- 2z + 1 = 0 trên tập số phức.
Câu 6.a (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P(1; 2; -3), Q(3; 3; 0),
R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng PQ và điểm N trên đường
thẳng RS, sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (1.0 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =
2x
2x 1+
, x = 0, x = 1 và
y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành.
Câu 5.b (1.0 điểm) Tìm mô đun của số phức z, biết z
2
= 1- 4

3
i.
Câu 6.b (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; -1), B(0; 1; -1) và
mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng AB và
điểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
Hết
1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC KỲ II NĂM 2011
ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN 12- trung học phổ thơng
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn gồm 05 trang
I. Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng
phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn tổ chấm thi của trường.
3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5, lẻ 0,75 làm tròn
thành 1,0 điểm).
II. Đáp án và thang điểm
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 Mục Đáp án Điểm
Câu 1 1
Tìm một ngun hàm F(x) của hàm số f(x) =
2
x
(1 - x ) biết rằng
F(1) = 0.
1.0đ
• Phân tích f(x) = - x

4
+ x
2
• Ngun hàm F(x) = -
4
4
x
+
3
3
x
+ C .
• F(1) =
1
3
-
1
4
+C = 0 suy ra C = -
1
12
• Vậy F(x) = -
4
4
x
+
3
3
x
-

1
12
.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 1 2
a) Tính tích phân a) A =
1
0
x 1 xdx-
ò
1.0đ
* Đặt u =
1 x−
⇔
u
2
= 1- x hay x = 1 - u
2
⇔
dx=-2udu.
* Đổi cận x 0 1
u 1 0
* Đổi biến A =
0
2
1
(1 u )u( 2udu)- -

ò
= 2
1
2 4
0
(u u )du-
ò
.
* Vậy A = 2(
3
3
u
-
5
5
u
)]
1
0
=
4
15
.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 1 2
b) Tính tích phân B =
0

x
1
(2x 1)e dx
-
-
+
ò
.
1.0đ
• Đặt u = 2x+1
⇒
du = 2dx.
dv= e
x−

⇒
v= -e
x−
.
0.25
2
• Tích phân từng phần B=-(2x+1)e
x−
]
0
1−
+2
0
x
1

e dx
-
-
ò
.
• Vậy B= -1-e-2 e
x−
]
0
1−
= e-3.
0.25
0.25
0.25
Câu Mục Đáp án Điểm
Câu 2
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i). 1.0đ
• Biến đổi z = 2+4i-i-2i
2
-3+3i
• Số phức z = 1+6i.
• Phần thực bằng 1
• Phần ảo bằng 6
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu Mục Đáp án Điểm
Câu 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1; 1; 2),

B(1; 0; 1), C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2).
3.0 đ
Câu 3 1
Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D. 1.0đ
• Cặp véc tơ
BC
uuur
=(-2 ;1 ; -1)

BD
uuur
=(1; -1; -3)
• Véc tơ pháp tuyến
n
r
=[
BC
uuur
;
BD
uuur
]= (-4; -7; 1)=-(4 ;7 ;-1).
• Phương trình mặt phẳng (P): 4(x-1)+7(y-0)-1(z-1) = 0.
• Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x+7y-z-3= 0.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3 2
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) 1.0đ

• Phương trình mặt cầu (S) tâm A : (x+1)
2
+(y-1)
2
+(z-2)
2
=
2
R
.
• Bán kính R = d(A;(P))=
2 2 2
4( 1) 7(1) 1(2) 3
4 7 ( 1)
− + − −
+ + −
=
2
66
.
• Phương trình mặt cầu (S) : (x+1)
2
+(y-1)
2
+(z-2)
2
=
2
33
0.25

0.5
0.25
Câu 3 3
Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng CD sao cho B là hình
chiếu vuông góc của E trên đường thẳng AB.
1.0đ
• Gọi E(x;y;z)
∈
CD:
CD
uuur
= (3 ;-2 ;-2)
⇒
E(-1+3t ;1-2t ;-2t).
• Điều kiện
BE
uuur
⊥
BA
uuur
hay
BE
uuur
.
BA
uuur
= 0, với
BA
uuur
=( -2 ;1 ;1) và

BE
uuur
=(-2+3t ;1-2t ;-1-2t).
• Suy ra phương trình -2(-2+3t)+1(1-2t)+1(-1-2t)= 0 hay t=
2
5
.
• Vậy E(
1
5
;
1
5
;
4
5
−
).
0.25
0.25
0.25
0.25
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
3
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu Đáp án Điểm
Câu 4a
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của
hàm số y = cos
3

x sin2x, các đường thẳng x = 0, x =
2
π
và y = 0.
1.0đ
• Diện tích S =
2
3
0
cos xsin2xdx
p
ò
=
2
3
0
cos xsin2x
p
ò
.
• Biến đổi S= 2
2
4
0
cos xsinxdx
p
ò
.
• Đặt u= cosx
⇒

-du= sinxdx. Đổi cận x 0
2
π
u 1 0
S = - 2
0
4
1
u du
ò
.
• Vậy S= 2
5
5
u
]
1
0
=
2
5
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5a
Giải phương trình 4z
2
- 2z + 1 = 0 trên tập số phức. 1.0đ
•

∆
’= (-1)
2
-4(1)= -3.
• Căn bậc hai của
∆
’ là
±
i
3
.
• Phương trình hai nghiệm là z
1,2
=
1 3
4
i±
0.25
0.25
0.5
Câu 6a
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P(1; 2; -3),
Q(3; 3; 0), R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4). Tìm tọa độ điểm M nằm trên
đường thẳng PQ và điểm N trên đường thẳng RS, sao cho khoảng
cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
1.0đ
• Gọi M(x;y;z)
∈
PQ:
PQ

uuur
=(2;1;3)
⇒
M(1+2t; 2+t;-3+3t) .
N(x;y;z)
∈
RS:
RS
uuur
=(1;2;3)
⇒
N(2+t’; -3+2t’;1+3t’)
⇒
MN
uuuur
=(1+t’-2t; -5+2t’-t;4+3t’-3t).
• Điều kiện
MN PQ
MN RS

⊥


⊥


uuuur uuur
uuuur uuur
hay
. 0

. 0
MN PQ
MN RS

=


=


uuuur uuur
uuuur uuur
• Suy ra hệ phương trình
13 ' 14 9
14 ' 13 3
t t
t t
− = −


− = −

hay
25
'
9
29
9
t
t


=




=


• Vậy M(
67
9
;
47
9
;
20
3
) và N(
43
9
;
23
9
;
84
9
).
0.25
0.25

0.25
0.25
1. Theo chương trình Nâng cao
4
Câu Đáp án Điểm
Câu 4b
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y =
2x
2x 1+
, x = 0, x = 1
và y = 0. Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng
(H ) xung quanh trục hoành.
1.0đ
• Thể tích V =
p
1
2
0
2x
( ) dx
2x 1+
ò
.
• Biến đổi V =
p
1
2
0
1
(1 ) dx

2x 1
-
+
ò
=
p
1
2
0
2 1
[1 ]dx
2x 1
(2x 1)
- +
+
+
ò
• Nguyên hàm V=
p
[x-ln
2 1x +
-
1
2
1
2 1x +
]
1
0
• Vậy V=

p
(
4
3
-2ln3) ( đvtt)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 5b
Tìm mô đun của số phức z, biết z
2
= 1- 4
3
i.
1.0đ
• Gọi z= x+yi, x,y
∈
¡
: 1- 4
3
i= (x+yi)
2
= x
2
-y
2
+2xyi.
• Hệ phương trình
2 2

1
2 4 3
x y
xy

− =


= −



Û

2
3
x
y
=



= −


hoặc
2
3
x
y

= −



=


• Do đó z = 2-
3
i hay z = -2+
3
i.
• Vậy
z
=
7
.
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 6b
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; -1),
B(0; 1; -1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1. Tìm tọa
độ điểm M nằm trên đường thẳng AB và điểm N trên mặt cầu ( S ),
sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
1.0đ
• Gọi M(x;y;z)
∈
AB:

AB
uuur
=(-1;1;0)
⇒
M(1-t; t;-1)
⇒
IM
uuur
=(-t; t-2; 0). Điều kiện
IM
uuur
⊥
AB
uuur
⇒
IM
uuur
AB
uuur
=0
⇒
-1(-t)+1(t-2)=0
⇒
t= 1
⇒
M(0; 1; -1).
• N(x;y;z)
∈
IM
∩

(S). Ta có N
∈
IM:
IM
uuur
=(-1;-1; 0)
⇒
N(1-t;2-t;-1).
N(1-t;2-t;-1)
∈
(S): (x-1)
2
+(y-2)
2
+(z+1)
2
= 1
⇒
(-t)
2
+(-t)
2
=1

⇒
t=
±
2
2
⇒

N(1-
2
2
;2-
2
2
;-1) hoặc N(1+
2
2
;2+
2
2
;-1).
• Với N(1-
2
2
;2-
2
2
;-1)
⇒
MN=
2
-1.
Với N(1+
2
2
;2+
2
2

;-1)
⇒
MN=
2
+1.
• Vậy M(0; 1; -1) và N(1-
2
2
;2-
2
2
;-1) thì MN=
2
-1 nhỏ nhất
0.25
0.25
0.25
0.25
5