Đề và ĐA thi HSG Toán 8 Huyện Yên Lạc-VP

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN :TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút không kể giao đề
Bài 1: ( 3 điểm)
Cho biểu thức
2
3 2 2 3 2
3 3 1 6
:
3 9 27 9 3 3 9 27
x x x
P
x x x x x x x x
 
+
 
= + −
 ÷
 ÷
+ + + + − − + −
 
 
a, Rút gọn biểu thức P.
b, Với
0x
>
thì P không nhận những giá trị nào?
c, Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố.
Bài 2: ( 2,5 điểm)
a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử

( ) ( ) ( )
xy x y yz y z zx z x+ − + − −
b, Tính giá trị của biểu thức
1
n
n
A x
x
= +
( Với n là số tự nhiên ), biết rằng
2
1 0x x+ + =
Bài 3: ( 1 điểm)
Chứng minh rằng trong 15 số tự nhiên lớn hơn 1 không vượt quá 2004 và đôi một
nguyên tố cùng nhau tìm được một số là số nguyên tố.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ một
đường thẳng song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
Chứng minh rằng :
a, OM=ON
b,
1 1 2
AB CD MN
+ =
Bài 5: (1 điểm)
Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
3 3 3 4Q a b c abc= + + +
.

………………………Hết…………………………
PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN :TOÁN
Bài Nội dung Điểm
1
(3 đ)
a, ĐKXĐ x
3≠ ±
0,25
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
3 9
3 9 6 3 3
: .
9 9 3
3 9
3
x x
x x x x x
P
x x x

x x
x
− +
+ + − + +
= = =
+ + −
− +
−
1,0
b,
( )
( )
3 1
3
3 3
3 1
P
x
P P x x x
x P
+
+
= ⇒ − = + ⇒ =
− −
0,5
1 0
1 0
1
1
0 0

1
1
1 0
1 0
P
P
P
P
x
P
P
P
P
 + >



− >
>

+


> ⇔ > ⇔ ⇔


< −
−
+ <





− <



0,25
Vậy P không lấy các giá trị từ 1 đến -1, tức là
[ ]
1;1P ∉ −
0,25
c.
3 6
1
3 3
x
P
x x
+
= = +
− −
0,25
P là số nguyên khi
( )
3 6x U− ∈ ⇔
{ }
3;0;1;2;4;5;6;9x ∈ −
0,25
Mà P là sốnguyên tố nên chỉ có các giá trị sau thoả mãn

x
{ }
4;6;9∈
0,25
Bài 2
2,5 đ
a,
( ) ( ) ( ) ( )
xy x y yz y z zx x y y z+ − + + + − + 
 
0,5
=
( ) ( ) ( ) ( )
xy x y zx x y yz y z zx y z+ + + − + − +
0,25
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x y y z z y z y x x y y z x z+ + − + + = + + −
0,25
b, Vì
2
1 0x x+ + =
nên
( )
( )
2 3 3
1 1 0 1 0 1x x x x x+ + + = ⇒ − = ⇒ =
0,25
Nếu
1

3 1 2
x n
n
n x A x
x
⇒ = ⇒ = + =M
0,5
Nếu n=3k+1 Và
2
3 1
3 1
1 1 1 1
1
n k
n k
x x
k N A x x x
x x x x x
+
+
+ −
∈ ⇒ = + = + = + = = = −
0,25
Nếu n=3k+2, k là số tự nhiên thì
4
3 2 2
3 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
n k

n k
x x
A x x x
x x x x x
+
+
+ +
= + = + = + = = = −
0,25
Vậy A=2( với n chia hết cho 3) hoặc A=-1 ( Vói n không chia
hết cho 3)
0,25
Bài 3
1 đ
Giả sử n
1
,n
2
,…,n
15
là các số thoả mãn ĐKĐB
G/sử tất cả chúng là hợp số .Gọi p
i
là ước nguyên tố nhỏ nhất
của n
i
( i=1;2;3 ;15). Gọi p là số lớn nhất trong các số p
1
,p
2

,
…,p
15
. Do các số n
1
,n
2
,…,n
15
đôi một nguyên tố cùng nhau nên
các số p
1
,p
2
,…,p
15
khác nhau tất cả.
0.25
Số nguyên tố thứ 15 là số 47, ta có
47p ≥
.
Đối với số n có ước nguyên tố nhỏ nhất là p thì
p n≤
0,25
Suy ra
2 2
47 2004n p≥ ≥ >
, vô lý
0,25
Vậy trong 15 số n

1
,n
2
,…,n
15
tìm được một số nguyên tố. 0,25
Bài
4(2,5)
A B
M O N
D C
a,
// ; // ; //
OM OA ON BN OA BN
OM CD ON CD ON AB
CD AC CD BC AC BC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
0,5
Suy ra
OM ON
OM ON
CD CD
= ⇒ =
0,5
b, OM//AB
; //
OM DM OM AM
OM CD
AB DA CD AD
⇒ = ⇒ =

0,5
1
OM OM DM AM
AB CD DA
+
⇒ + = =
0,5
Chia cả hai vế cho OM ta đựoc
1 1 2
AB CD MN
+ =
0,5
Bài 5 Ta có 3-2a=a+b+c-2a=b+c-a>0 và 3-2b>0,3-2c>0 0,25
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
( ) ( ) ( )
3
3 2 3 2 3 2
3 2 3 2 3 2 1
3
a b c
a b c
− + − + −
 
− − − ≤ =
 ÷
 
0,25
( )
4 6 14abc ab bc ca⇒ ≥ + + −
( cộng hai vế với

( )
2 2 2
3 a b c+ +
)
0,25
( )
( )
2
2 2 2
3 4 3 14 13a b c abc a b c⇔ + + + ≥ + + − =
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hay tam giác ABC đều.
0,25