Phương Pháp Khảo Sát Hàm Số (Bí Kíp Hay)

☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 1









−=
=++
−=++
a
d
xxx
a
c
xxxxxx
a
b
xxx
321
133221
321

I/ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN, ĐIỂM CỰC TRỊ.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số )(xfy
=
có tập xác ñịnh D:
 Tính ñạo hàm y’.
 Xét dấu y’:
- Nếu 0'
≥
y
:Dx
∈
∀
hàm s
ố
luôn
ñồ
ng bi
ế
n trên D.
-

N
ế
u 0'
≤
y :Dx
∈
∀
hàm s
ố

luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên D.
-

N
ế
u 0'
≥
y khi
≥
x

x
1
: hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trong (
x
1
;
∞
+
).

0'
<
y
khi
≤
x

x
2
: hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trong (
∞
−
;
x
2
).

Các bài toán trong ph
ầ
n
ñồ
ng bi
ế
n – ngh

ị
ch bi
ế
n thông th
ườ
ng r
ơ
i vào
hàm số bậc ba
nên tôi s
ẽ
h
ướ
ng
d
ẫ
n các b
ạ
n m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng toán th
ườ
ng g
ặ
p nh
ư

sau:
 Dạng 1: Tìm ñiền kiện ñể hàm số luôn ñồng biến hoặc nghịch biến trên R, ta làm như sau:
-

Tính
cbxaxy
++=
2
' .

-

Hàm s
ố
luôn
ñồ
ng bi
ế
n trên R



≤∆
>
⇔
0
0
a
.

-

Hàm s
ố
luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên R



≤∆
<
⇔
0
0
a
.

 Dạng 2: Tìm m ñể hàm số ñồng biến hoặc nghịch biến trong khoảng nào ñó, ta làm như sau:

-

Tính
cbxaxy
++=
2
' .
-

V
ậ
n d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp sau
ñ
ây:
cbxaxxf
++=
2
)( có hai nghi
ệ
m
x
1
,
x
2
:
+
21
xx <<
α
.0)(.
<
⇔
α

fa

+





<
+
>
⇔<<
α
α
α
2
0)(.
21
21
xx
fa
xx
.
+





>

+
>
⇔<<
α
α
α
2
0)(.
21
21
xx
fa
xx
.
- Kết hợp với trường hợp ñồng biến hoặc nghịch biến trên R.
- Kết luận.

Các bài toán cực trị thông thường nằm trong hàm số trùng phương hoặc hàm số bậc ba, ñể giải ta phải
nhớ ñịnh lí Viét:

 Hàm số bậc hai: cbxaxy ++=
2
, (a 0
≠
) có hai nghiệm phân biệt, ta có:








=
−=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.



 Hàm số bậc ba: dcxbxaxy +++=
23
, (a 0
≠
) có ba nghiệm phân biệt, ta có:



☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 2
Ví dụ: Cho hàm số 2)512()12(3
23
++++−= xmxmxy .
a) Định m ñể hàm số có cực trị.
b) Định m ñể hàm số ñồng biến trên R.

c) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu thuộc (0;2).
d) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (2;
∞
+
).

Giải:
a) TXĐ: D = R.
512)12(63'
2
+++−= mxmxy .
.0512)12(630'
2
=+++−⇔= mxmxy (1)
Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt.







−<
>
⇔>⇔>−⇔>+−+⇔>∆⇔
6
1
6
1
6

1
02120)512(3)12(90'
222
m
m
mmmm
.
b)

Hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên R
6
1
6
1
6
1
0212
0'
0
22
≤≤−⇔≤⇔≤−⇔




≤∆
>
⇔ mmm
a
.
c)

Hàm s
ố

ñ
ã cho có c
ự
c
ñạ
i, c
ự
c ti
ể
u thu
ộ
c (0;2)
⇔
(1) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t sao cho 2,0
21
<< xx

6
1
12
5
2
1
2
1
12
5
12
5
6
1
;
6
1
2120
12
5
12
5
6
1
;
6
1
2
2.3

)12(6
0
0512
0512
6
1
2
2
0
0)2(.3
0)0(.3
0'
2
21
−<<−⇔











<<−
<
−>
>−<

⇔











<+<
<
−>
>−<
⇔









<
+
<
>+−

>+
>
⇔









<
+
<
>
>
>∆
⇔
m
m
m
m
mm
m
m
m
mm
m
m

m
m
xx
f
f

d)

Hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên R nên s
ẽ

ñồ
ng bi
ế
n trên (2;
∞
+
)
6
1
6
1
≤≤−⇒ m th
ỏ

a.
Để
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên (2;
∞
+
) khi (1) có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t 2,
21
<xx (v
ẽ
b
ả
ng xét d
ấ
u y’ s
ẽ

th
ấ
y).







<<
−<
⇔









<
<
>−<
⇔







<
+

>
>∆
⇔
12
5
6
1
6
1
2
1
12
5
6
1
;
6
1
2
2
0)2(.3
0'
21
m
m
m
m
mm
xx
f .

Vậy hàm số ñồng biến trên (2;
∞
+
)
⇔
12
5
<m .



BÀI TẬP I:
1.

Cho hàm s
ố
:

)mm()xmm()x(mxy 1222321
223
−++−−+−= .
Đị
nh m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế

n trên
(2;
∞
+
). (
Đ
S:
2
3
2 ≤≤− m ).

2.

Cho hàm s
ố
: mmxxy −+−=
23
.
Đị
nh m
ñể
hàm s
ố

ñồ
ng bi
ế
n trên (1;2). (
Đ
S:

3
≥
m ).
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 3
3. Cho hàm số: mx
xx
y ++=
2
3
23
. Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại, cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ lơn
hơn m. (ĐS:
2
−
<
m ).
4.

Cho hàm s
ố
: 2)2(
3
+−−= mxxmy . V
ớ
i giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
ñồ

th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
không có c
ự
c tr
ị
.
(
Đ
S: 20
≤
≤
m ).
5.

Cho hàm s
ố

424
22 mmmxxy ++−= .
Đị
nh m
ñể
hàm s
ố
có các

ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác
ñề
u. (
Đ
S:
3
3=m )


II/ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ.

Sự tương giao giữa hai ñồ thị:
Cho (C
1
) là
ñồ
th
ị
hàm s

ố

)(
1
xfy =
và (C
2
) là
ñồ
th
ị
hàm s
ố

)(
2
xfy =
.
S
ố

ñ
i
ể
m chung c
ủ
a (C
1
) và (C
2

) b
ằ
ng s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:
)(
1
xf
=
)(
2
xf
mà ta g
ọ
i
ñ
ó là ph
ươ
ng
trình hoành
ñộ
giao
ñ
i

ể
m c
ủ
a (C
1
) và (C
2
).

Ví dụ:
Cho hàm s
ố

(
)
32
24
−−== xxxfy có
ñồ
th
ị
(C).
a) Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị

hàm s
ố
.
b)
Đị
nh k
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng (d):
ky
=
cắt (C) tại 4 ñiểm phân biệt có hoành ñộ tạo thành cấp số
cộng.

Giải:
a) Các bạn tự giải.
Đồ thị:

b)
Ph
ươ
ng trình hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m gi
ữ
a (C) và (d):
kxx =−− 32
24
(1). Số giao ñiểm giữa (C) và
(d) bằng với số nghiệm của phương trình (1). Dựa vào ñồ thị ta có:
Để (d) cắt (C) tại 4 ñiểm phân biệt khi và chỉ khi 34
−
<
<
−
k .
Đặt
2
xt = )0(
≥
t 032)(
2

=−−−=⇒ ktttf .









++=
+−=
+−−=
++−=
⇒




+−=
++=
⇒+=∆
41
41
41
41
41
41
4'
4

3
2
1
kx
kx
kx
kx
kt
kt
k

Để x
1
, x
2,
x
3,
x
4
lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:






+−=++++−−
+−−=+−+++−
⇔




=+
=+
4124141
4124141
2
2
342
231
kkk
kkk
xxx
xxx


☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 4

(
)

25
84
5
4
44141941413 −=⇔=+⇔++=+−⇔++=+−⇔ kkkkkk (th
ỏ
a
ñ
k)

V
ậ
y khi
25
84
−=k s
ẽ
tho
ả
yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán.



BÀI TẬP II:
1.

Cho hàm s
ố
: 33)12()3(
23
−−−−−+=
mxmxmxy có
ñồ
th
ị
(C

m
). Xác
ñị
nh m
ọ
i giá tr
ị
m
ñể

ñồ
th
ị

(C
m
) c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ
d
ươ

ng. (
Đ
S:
2221 −<<− m
)
2.

Cho hàm s
ố
: ).1(4)14(2)1(3
223
+−++++−=
mmxmmxmxy V
ớ
i nh
ữ
ng giá tr
ị
nào c
ủ
a m thì
ñồ
th
ị

hàm sô c
ắ
t tr
ụ
c hoành t

ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
ñộ
l
ớ
n h
ơ
n 1. (
Đ
S: 2,
2
1
≠>
mm )
3.

Cho hàm s
ố
: axxxy
+−−=
93
23
.
Đị

nh a
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t tr
ụ
c hoành tai 3
ñ
i
ể
m sao cho
BCAB
=
.
4.

Xác
ñị
nh
m

ñể

ñườ

ng th
ẳ
ng (d):
0
=
−
+
myx cắt ñồ thị (C):
1
1
−
+
=
x
x
y tại hai ñiểm phân biệt.

(ĐS:
222222 +>∨−< mm
)
5. Cho hàm số:
1
1
−
+
=
x
x
y . Chứng minh rằng ñường thẳng (d): mxy
+

=
2 luôn cắt ñồ thị hàm số tại 2
ñiểm phân biệt A và B thuộc 2 nhánh của ñồ thị.
6. Cho hàm số:
1
1
2
−
−+
=
x
mxx
y . Xác ñịnh m ñể ñường thẳng
m
y
=
cắt ñồ thị hàm số tại hai ñiểm phân
biệt A và B sao cho
OBOA
⊥
. (ĐS:
2
51±−
=m ).


III/ HÀM SỐ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
1. Hàm số
(
)

xfy =

Theo
ñị
nh ngh
ĩ
a, ta có:



−
==
)(
)(
)(
xf
xf
xfy n
ế
u
0)(
0)(
<
≥
xf
xf
.
Do
ñ
ó ta có cách v

ẽ
nh
ư
sau:
-

V
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
)(xfy
=
và l
ấ
y ph
ầ
n
ñồ
th
ị
n
ằ
m trên Ox, sau
ñ
ó l
ấ

y
ñố
i x
ứ
ng qua tr
ụ
c Ox ph
ầ
n
ñồ

th
ị
n
ằ
m d
ướ
i Ox, ta
ñượ
c
ñồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
xfy =
.

Ví dụ:
V
ẽ

ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố

1
2
−
+
=
x
x
y
, ta làm nh
ư
sau:




- V
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
2
−
+
=
x
x
y .








☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 5


- Giữ phần ñồ thị trên Ox,
lấy ñối xứng qua Ox phần
ñồ thị dưới trục Ox.

- Cuối cùng ta ñược ñồ thị
1
2
−
+
=
x
x
y




2. Hàm số
(
)
.xfy =

Đ
ây là hàm s

ố
ch
ẵ
n trên mi
ề
n xác
ñị
nh c
ủ
a nó. Do
ñ
ó ta có cách v
ẽ
nh
ư
sau:
-

V
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

)(xfy
=
và lấy phần ñồ thị nằm bên phải trục Oy, sau ñó lấy ñối xứng qua trục Oy,

ta ñược ñồ thị hàm số
(
)
.xfy =

Ví dụ: Vẽ ñồ thị của hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y
, ta làm như sau:





- Vẽ ñồ thị hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y .

- Gi
ữ
nguyên ph
ầ
n
ñồ
th
ị
bên ph
ả
i
tr
ụ
c Oy, sau
ñ
ó l
ấ
y
ñố
i x

ứ
ng ph
ầ
n
ñồ
th
ị

ñ
ó qua Oy.





☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 6






- Cuối cùng ta ñược ñồ thị hàm số
1
2
−
+
=
x
x

y
.







• Chú ý: Hiểu và làm tốt phần này, các bạn sẽ giải tốt các bài toán bi
ện luận số nghiệm của
phương trình bằng ñồ thị.

 BÀI TẬPIII:
1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
056
3
=−+− mxx .
2.

Tìm m
ñể
ph
ươ
ng trình: 02)1(2 =+++− mxmx có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t. (
Đ

S:
1;2
>
−
<
mm ).
3. Định tất cả các giá trị của tham số a sao cho phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

(
)
022
2
=+++− axax
(ĐS: a > 2).


IV/ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN.
Điều kiện tiếp xúc giữa hai ñường cong: Cho (C
1
) là ñồ thị hàm số
)(
1
xfy =
và (C
2
) là ñồ thị hàm số
)(
2
xfy =
. (C

1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:



=
=
)(')('
)()(
21
21
xfxf
xfxf

Tiếp tuyến của ñồ thị:
 Tiếp tuyến tại một ñiểm: Cho hàm số )(xfy
=
có ñồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại ñiểm
);(
00
yxM có phương trình:
000
)).((' yxxxfy +−= .
 Tiếp tuyến ñi qua một ñiểm: Cho hàm số )(xfy
=
có ñồ thị (C) và ñiểm );(
00
yxA . Viết phương

trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A.


Cách giải:
- Phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua ñiểm A có dạng:
00
)( yxxky +−= (1) (k là hệ số góc
của tiếp tuyến).
- Sử dụng ñiều kiện tiếp xúc giữa ñồ thị và tiếp tuyến ta ñược hệ phương trình:



=
+−=
kxf
yxxkxf
)('
)()(
00

- Giải hệ trên ta tìm ñược k, thế k vào (1) ta ñược phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Lưu ý: Số tiếp tuyến kẻ ñược từ ñiểm A chính bằng với số hệ số góc k. Vì thế khi gặp những bài
toán biện luận số tiếp tuyến của ñồ thị (C) từ ñiểm A, ta cần biện luận số nghiệm k mới ñáp ứng yêu
cầu bài toán.

☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 7
Ví dụ 1: Cho hàm số: 183
23
+−+= xxxy có ñồ thị (C).

a) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1;2).
b) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ N(-1;9).
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với ñường phân giác thứ nhất.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với
1
8
1
: +=∆ xy .
Giải:
a)

TX
Đ
: D=R.

863'
2
−+= xxy
.

⇒
=
1)1('y Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(1;2): 12)1.(1
+
=
+
−
=
xxy .
b) Phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua N(-1;1) có dạng: 9)1(

+
+
=
xky .
Tiếp tuyến tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:






=−+
++=+−+
(2) 863
(1) 9)1(183
2
23
kxx
xkxxx


0




(VN) 0662
0

0)662.(

0662
9)1)(863(183 :có ta(2), vào(1)Thay
2
2
23
223
=
⇔



=++
=
⇔
=++⇔
=++⇔
++−+=+−+
x
xx
x
xxx
xxx
xxxxxx


⇒
−
=
⇒
=

80 kx Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm: .189)1(8
+
−
=
+
+
−
=
xxy
c)

G
ọ
i M(
0
x ;
0
y ) là ti
ế
p
ñ
i

ể
m.Vì ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
ñườ
ng phân giác th
ứ
nh
ấ
t nên .1
=
k




−=
=
⇒



−=
=
⇔=−+⇔=⇒
3

1
3
1
18631'
0
0
2
x
x
x
x
xxy

Thay
0
x vào (C) ta tìm
ñượ
c
0
y .
-
⇒
−=
⇒
= 31
00
yx Ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n: .431
−
=
−
−
=
xxy
-
⇒
=
⇒
−= 253
00
yx Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n: .28253
+
=
+
+
=
xxy
d) Ph
ươ

ng trình ti
ế
p tuy
ế
n có d
ạ
ng: .8 bxy
+
−
=

Ti
ế
p tuy
ế
n ti
ế
p xúc v
ớ
i (C) khi và ch
ỉ
khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m:





==
−==
⇔





−=−+
+−=+−+
5,1
2,0
8863
8183
2
23
bb
xx
xx
bxxxx


⇒
Ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n: 18

+
−
=
xy , 58
+
−
=
xy .

Ví dụ 2:
Cho (C): .1
24
+−= xxy Tìm m
ọ
i
ñ
i
ể
m thu
ộ
c Oy sao cho qua m
ỗ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ó có th
ể

k
ẻ

ñượ
c 3 ti
ế
p
tuy
ế
n v
ớ
i (C).

Giải:
G
ọ
i m)M(0; là
ñ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng (d)

ñ
i qua M có d
ạ
ng: mkxy
+
=
.
(d) ti
ế
p xúc (C) khi và ch
ỉ
khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m:


(2) 24
(1) 1
3
24





=−
+=+−
kxx

mkxxx

Thay (2) vào (1), ta có: 013)24(1
24324
=−+−⇔+−=+− mxxmxxxxx (3).
Đặ
t 013)( ).0(
22
=−+−=
⇒
≥= mtttftxt (4).
Để
có 3 ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) k
ẻ
t
ừ
M thì c
ầ
n có 3 h
ệ
s
ố
góc k
⇔

(3) có 3 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

⇔
(4) có m
ộ
t nghi
ệ
m 0
=
t và nghi
ệ
m còn l
ạ
i 0
>
t
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 8
101
0
3
1
01
0
0)0(
=⇔=−⇔






>
=−
⇔



>
=
⇔ mm
m
S
f
.
M(0;1).
⇒

Vậy trên trục tung có một ñiểm M(0;1) duy nhất có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến với ñồ thị (C).

 BÀI TẬP IV:
1. Cho hàm số: 1)1(
3
+++= xmxy có ñồ thị (C
m
). Định m ñể ñồ thị hàm số tiếp xúc với ñường thẳng
(d): 1
+

=
my . (ĐS:
4
1
2 =∨−= mm )
2.

Cho hàm s
ố
: 1
24
−−+= mmxxy .
Đị
nh m
ñể

ñồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng 22

−
=
xy t
ạ
i
ñ
i
ể
m có hoành
ñộ

1
=
x . (
Đ
S: 1
−
=
m )
3.

Cho (C): 23
23
+−= xxy . Tìm trên
ñườ
ng th
ẳ
ng 2
−
=

y , các
ñ
i
ể
m mà t
ừ

ñ
ó có th
ể
k
ẻ

ñế
n (C) hai
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc nhau. (
Đ
S:






−2;
27

55
M
)
4.

Cho hàm s
ố
:
2
23
+
+
=
x
x
y có
ñồ
th
ị
(C). Tìm nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m trên (C) mà ti
ế
p tuy
ế
n t

ạ
i
ñ
ó có h
ệ
s
ố
góc
b
ằ
ng 4. Vi
ế
t nh
ữ
ng ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó. (
Đ
S:
(
)
(
)
3;7-M ; 1;1M −−

)
5.

Cho (C
m
) là
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
: 0,
)13(
2
≠
+
+−+
= m
m
x
mmxm
y .
Đị
nh m
ñể
t
ạ
i giao

ñ
i
ể
m c
ủ
a (C
m
) và
Ox, ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C
m
) song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng (d): xy
=
+
10 . Vi
ế
t ph
ươ
ng trình các ti

ế
p tuy
ế
n
ñ
ó. (
Đ
S:
5
1
,1 −=−= mm )
6.
Đị
nh m
ñể
qua I(2; -1) có th
ể
d
ự
ng hai ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc nhau v
ớ
i
ñồ
th
ị
(C

m
) c
ủ
a hàm s
ố
:
0,
2
≠
+−
= m
x
mmxx
y . (
Đ
S: )5,1
=
=
mm


V/ TÂM VÀ TRỤC ĐỐI XỨNG
Đối xứng qua trục tung: Đồ
th
ị
(C) c
ủ
a hàm s
ố
f(x)y

=
ñố
i x
ứ
ng qua tr
ụ
c tung khi và ch
ỉ
khi trên mi
ề
n
xác
ñị
nh c
ủ
a nó hàm f(x) là m
ộ
t hàm ch
ẵ
n: f(x)f(-x)
=
.

Đối xứng qua một ñiểm

I(x
0
; y
0
):

Gi
ả
s
ử
ta ph
ả
i ch
ứ
ng minh
ñồ
th
ị
(C): y = f(x)
ñố
i x
ứ
ng qua I(x
0
;y
0
).

•

Ch
ọ
n
ñ
i
ể

m I(x
0
; y
0
) làm m
ố
c m
ớ
i.

•

Tr
ụ
c hoành m
ớ
i: IX // Ox.

•

Tr
ụ
c tung m
ớ
i: IY // Oy.

•

V
ậ

n d
ụ
ng công th
ứ
c
ñổ
i tr
ụ
c b
ằ
ng phép t
ị
nh ti
ế
n theo



+=
+=
→
Yyy
Xxx
0
0
:OI thay vào hàm s
ố

F(X)Y f(x)y
=

⇒
=
. Ch
ứ
ng t
ỏ
F(X) là m
ộ
t hàm l
ẽ
: F(-X) = -F(X).

Đối xứng qua gốc toạ ñộ O:
G
ọ
i M(a; b), M’(a’; b’). M
ñố
i x
ứ
ng v
ớ
i M’ qua O



=
=
⇔
-bb'
-aa'

.


Ví dụ 1:
Cho (C):

1332
23
+−+= mmxxy
. Đị
nh m
ñể
(C) có 2
ñ
i
ể
m
ñố
i x
ứ
ng nhau qua g
ố
c to
ạ

ñộ
O.

Giải:

G
ọ
i M(x; y) và M’(-x; -y)
ñố
i x
ứ
ng nhau qua O.
M, M’
∈
(C)
01330266
1332
1332
22
23
23
=+−⇔=+−⇒





+−+−=−
+−+=
⇔ mmxmmx
mmxxy
mmxxy
.
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 9
Để phương trình có nghiệm thì

13 và3
+
−
mm ph
ả
i trái d
ấ
u
3
1
00)13(3 >∨<⇔<+−⇔ mmmm .
V
ậ
y giá tr
ị
m ph
ả
i tìm là:
3
1
0 >∨< mm .

Đối xứng qua ñường phân giác thứ nhất (
∆
) y = x:
G
ọ
i M(a; b), M’(a’; b’). M
ñố
i x

ứ
ng v
ớ
i M’ qua
ñườ
ng phân giác th
ứ
nh
ấ
t





=
=
∆⊥
⇔
ab'
ba'
)( MM'
.


Ví dụ 2:
Cho hàm s
ố
(C):
1

13
2
−
+−
=
x
xx
y và (d):
m
x
y
+
−
=
.
Đị
nh m
ñể
(C) và (d) có 2 giao
ñ
i
ể
m
ñố
i x
ứ
ng
qua
ñườ
ng th

ẳ
ng
xy
=
∆
: .

Giải:
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm giữa (C) và (d):



=+++−
≠
⇔+−=
−
+−
)1( 01)4(2
1

1
13
2
2
mxmx
x
mx
x
xx

⇒∀>+=+−+=∆ mmmm ,08)12(8)4(
22
(1) luôn có 2 nghiệm
21
, xx
. Mặt khác ta thấy
21
, xx
≠
1, m
∀
. Do ñó (C) và (d) có 2 giao ñiểm
);N( và);(M
2211
yxyx
.
Nhận xét rằng (d)
∆
⊥
. Để M và N ñối xứng qua xy
=
∆
: thì phải có:

.4
2
4
21
12
21

12
21
=⇔=
+
⇔=+
⇒



+−=
+−=
⇔



=
=
mm
m
mxx
mxx
mxx
yx
yx

Vậy giá trị m phải tìm là: m = 4.

Đối xứng qua ñường thẳng (D) y = ax + b, a 0
≠
:

Nếu A và B ñối xứng nhau qua (D) thì:
( ) ( )



=
⊥
(D)B,d(D)A,d
(D)AB
.
Gọi H là giao ñiểm giữa AB và (D), ta có:
AH
AB
2
=
(H là trung ñiểm của AB).
Ví dụ 3: Định m ñể ñồ thị (H):
1
2
−
+
−
=
x
x
y và ñường thẳng (d): mxy
+
−
=
2 có 2 giao ñiểm A và B ñối

xứng nhau qua ñường thẳng 3
2
1
: +=∆ xy .

Giải:
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm giữa (H) và (d):



=+++−
≠
⇔+−=
−
+−
(1) 02)3(2
1
2
1
2
2
mxmx
x
mx
x
x

72)2(8)3(
22
−−=+−+=∆ mmmm . Để cho (H) và (d) có 2 giao ñiểm A và B thì (1) phải có 2 nghiệm

phân biệt
21
, xx
≠
1




+>
−<
⇔



≠
>−−
⇔



≠
>∆
⇔
221
221
01
072
1
0

2
m
m
mm
x
(*)
Nhận xét rằng (d)
∆
⊥
. Giao ñiểm I giữa (d) và
∆
là nghiệm của hệ:








−
=
−
=
⇔






+=
+−=
5
12
5
62
3
2
1
2
m
y
m
x
xy
mxy

I là trung
ñiểm của ñoạn AB. Ta có: 13
5
124
2
3
2
21
=⇔
−
=
+
⇔=+ m

mm
xxx
I
thỏa (*).

☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 10
 BÀI TẬP V:
1. Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị hàm số: 33
23
+−−= xxy (ĐS: I(-1; 1))
2. Cho hàm số (C):
1
12
−
−
=
x
x
y . Ch
ứ
ng t
ỏ
giao
ñ
i
ể
m I c
ủ
a hai
ñườ

ng ti
ệ
m c
ậ
n là tâm
ñố
i x
ứ
ng c
ủ
a (C).
3.

Cho (C): .43
323
aaxxy +−= Xác
ñị
nh a
ñể
các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a

ñồ
th
ị
(C)
ñố
i x
ứ
ng nhau qua
ñườ
ng
th
ẳ
ng (d):
x
y
=
. (
Đ
S:
2
2
±=a )
4.

Cho (C):
1
2
−
=
x

x
y . Tìm 2
ñ
i
ể
m A và B n
ằ
m trên (C) và
ñố
i x
ứ
ng nhau qua
ñườ
ng th
ẳ
ng (d):
1
−
=
xy . (ĐS:








+−
−









−−
2
22
;
2
2
;
2
22
;
2
2
BA
)
5.
Đị
nh m
ñể

ñồ
th
ị

(H):
1
22
2
−
+−
=
x
xx
y và
ñườ
ng th
ẳ
ng (d):
m
x
y
+
−
=
có 2 giao
ñ
i
ể
m A và B
ñố
i
x
ứ
ng nhau qua

ñườ
ng th
ẳ
ng 3:
+
=
∆
xy
(
Đ
S:
m =
9)


VI/ KHOẢNG CÁCH
Phương pháp giải:

Tìm t
ọ
a
ñộ
các
ñ
i
ể
m liên quan.
Áp d
ụ
ng các công th

ứ
c:

Kho
ả
ng cách t
ừ
);(
00
yxA

ñế
n tr
ụ
c
0
yOx = ,
ñế
n tr
ụ
c
0
xOy =

Kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
ñ

i
ể
m
( ) ( )
2
12
2
122211
:);( và);( yyxxAByxByxA −+−=


Kho
ả
ng cách t
ừ

ñ
i
ể
m );(
00
yxA
ñế
n
ñườ
ng th
ẳ
ng 0:)(
=
+

+
∆
CByAx


( )
22
00
)(,
BA
CByAx
Ad
+
++
=∆


Ví dụ:
Cho hàm s
ố

1
52
−
+
−
=
x
x
y

có
ñồ
th
ị
(C). Tìm
ñ
i
ể
m M trên (C) sao cho t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
ñế
n
hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a (C) là nh
ỏ
nh
ấ
t.
Giải:

G
ọ
i (C)
1
52
;
0
0
∈






−
+−
x
x
xM
hay








−

+−
1
3
2;
0
0
x
xM
)1(
0
≠x
.
Ti
ệ
m c
ậ
n
ñứ
ng: )(d 01
1
=−x ; Ti
ệ
m c
ậ
n ngang: ).(d 02
2
=+y
Ta có:
1
3

121))(,())(,(
0
00021
−
+−=++−=+=
x
xyxdMddMdT
Áp d
ụ
ng b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c cô-si, ta có: 32min32
1
3
.12
0
0
=
⇒
=
−
−≥
T
x
xT
.

D
ấ
u “=” x
ả
y ra
( )
3131
1
3
1
0
2
0
0
0
±=⇔=−⇔
−
=−⇔ xx
x
x
)32;31( );32;31( −−−+−+⇒ MM .
Vậy có hai ñiểm M cần tìm: )32;31( );32;31( −−−+−+ MM .



☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 11
 BÀI TẬP VI:
1. Cho hàm số
1
52

−
+
−
=
x
x
y có
ñồ
th
ị
(C). Tìm
ñ
i
ể
m trên (C) cách
ñề
u hai tr
ụ
c t
ọ
a
ñộ
.
(
Đ
S:









−−−−








+−+−
2
211
;
2
211
;
2
211
;
2
211
NN

2.

Cho hàm s

ố

1
62
−
−
=
x
x
y có
ñồ
th
ị
(C). Tìm
ñ
i
ể
m M trên (C) sao cho t
ổ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
M
ñế
n hai
ti
ệ
m c
ậ

n c
ủ
a (C) là nh
ỏ
nh
ấ
t. (
Đ
S:
)4;1();0;3(
−
MM )
3. Cho hàm số
1
23
2
+
−+
=
x
xx
y có ñồ thị (C). Định m ñể ñường thẳng (d): mxy
+
=
2 cắt (C) tại hai
ñiểm M và N sao cho MN = 5. (ĐS:
213±=m
)

VII/ ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA MỘT HỌ ĐƯỜNG.
Định nghĩa: Những ñiểm ñứng yên khi m thay ñổi gọi là những ñiểm cố ñịnh của họ ñường (C
m
). Đó là
những ñiểm mà mọi ñường (C
m
) ñều ñi qua với mọi giá trị m.
Phương pháp giải:
Nếu );(
00
yxA là một ñiểm cố ñịnh của ñồ thị (C
m
): ),( mxfy
=
thì mmxfy ∀= ),(
00
(1)
Điều này có nghĩa là (1) là một phương trình vô ñịnh theo tham số m.
 Trường hợp (1) là một phương trình bậc nhất theo m:



=
=
⇔∀=+
0
0
,0
β
α

βα
mm (*)
 Trường hợp (1) là một phương trình bậc hai theo m:





=
=
=
⇔∀=++
0
0
0
,0
2
γ
β
α
γβα
mmm
(*)
Giải (*) ta tìm ñược ñiểm cố ñịnh của ñồ thị (C
m
).

Ví dụ 1: Tìm ñiểm cố ñịnh của ñồ thị: 13232
2223
+−++− mmmxxmx .

Giải:
Hàm số ñã cho có thể viết dưới dạng: 01)1(3)1(2
322
=−++−−− yxmxmx .
Nếu ñồ thị hàm số ñã cho có ñiểm cố ñịnh thì tọa ñộ (x; y) của ñiểm cố ñịnh phải là nghiệm của hệ:




=
=
⇔





+=
=
±=
⇔





=−+
=−
=−
2

1
1
1
1
01
01
01
33
2
y
x
xy
x
x
yx
x
x
)2;1(A
⇒
là ñiểm cố ñịnh cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm ñiểm cố ñịnh của ñồ thị:
)(44)(
23
mmxxmmxy +−−++=
.
Giải:
Đặt
mnmmn ∀≥⇒+= ,0

04)40(0 ,44

3223
=−−+−⇔≥−−+=⇒ yxxnxnnxnxxy
Nếu ñồ thị hàm số ñã cho có ñiểm cố ñịnh thì tọa ñộ (x; y) của ñiểm cố ñịnh phải là nghiệm của hệ:




=
−=
∨



=
=
⇔





−=
=
⇔





=−−

=−
0
2
0
2
4
4
04
04
3
2
3
2
y
x
y
x
xxy
x
yxx
x

Vậy ñồ thị có 2 ñiểm cố ñịnh là (2; 0) và (-2; 0).

 BÀI TẬP VII:
1. Tìm ñiểm cố ñịnh của hàm số: )32)(1(2)772(
223
−−++−−−= mmxmmmxxy . (ĐS: A(2;0))
2. Cho hàm số 122
24

+−+−= mmxxy . Chứng minh ñồ thị hàm số luôn ñi qua hai ñiểm cố ñịnh A, B.
(ĐS: A(-1; 0), B(1; 0))
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 12
3. Xác ñịnh hằng số a và b ñể ñồ thị của hàm số:
1
−+
+
=
m
bx
amx
y luôn
ñ
i qua 2
ñ
i
ể
m A(-1; 1) và B(2; 2)
v
ớ
i m
ọ
i m. (
Đ
S: a = 2, b =1)


VIII/ QUỸ TÍCH
Định nghĩa:
Qu

ỹ
tích c
ủ
a
ñ
i
ể
m M có tính ch
ấ
t p là t
ậ
p h
ợ
p (C), g
ồ
m nh
ữ
ng
ñ
i
ể
m M có tính ch
ấ
t p và
ch
ỉ
nh
ữ
ng
ñ

i
ể
m
ấ
y mà thôi.
Phương pháp giải:


Tìm t
ọ
a
ñộ
M
ñề
u ph
ụ
thu
ộ
c tham s
ố
:



=
=
(2) )(
(1) )(
tgy
thx


T
ừ

)()( xtthx
α
=
⇔
=
.
 Thay )(xt
α
=
vào (2), ta có:
[
]
)()( xfxgy ==
α

 Tùy theo miền giá trị của hàm số )(thx
=
mà giới hạn quỹ tích.
 Quỹ tích là toàn bộ hoặc là một phần ñồ thị (C) của hàm số )(xfy
=
.
Chú ý: Có ñôi khi ta thay (2) vào (1) và làm các bước tiếp theo tương tư như trên.

Ví dụ: Tìm quỹ tích tâm ñối xứng của ñồ thị các hàm số:
m

x
mx
y
+
++
=
1
22
.
Giải:
Phương trình các tiệm cận: - Tiệm cận ñứng:
m
x
−
=
.
- Tiệm cận xiên: mmxy −+=
2
.
Tâm ñối xứng của ñồ thị là giao ñiểm giữa hai tiệm cận nên tọa ñộ tâm ñối xứng là nghiệm của hệ:




−+=
−=
(2)
(1)
2
mmxy

mx

Thay (1) vào (2), ta có: xxxxxy 2
22
+=++= .
Vậy quỹ tích tâm ñối xứng của ñồ thị là parapol: xxy 2
2
+= .


BÀI TẬP VIII:
1. Cho hàm số 13
23
+=+= mxxxy (C
m
). Chứng minh rằng với mọi m, ñồ thị (C
m
) ñã cho luôn cắt ñồ
thị 72:)(
23
++= xxy
γ
tại 2 ñiểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung ñiểm I của AB.
(ĐS: 191844
23
+++= xxxy )
2. Cho hàm số
1
42
+

−
−
=
x
x
y và ñường thẳng (d): mxy
+
=
2 . Khi (d) cắt (C) tại 2 ñiểm phân biệt M, N;
hãy tìm quỹ tích trung ñiểm I của ñoạn MN. (ĐS: 02 ,42
>
∨
−
−
−
=
xxxy )
3. Cho hàm số
2
42
2
+
−−+
=
x
mmxx
y . Định m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu. Tìm quỹ tích ñiểm cực ñại
của ñồ thị hàm số trên. (ĐS: 2 ,1
4
1

2
−<−+−= xxxy )
4. Cho hàm số
1
1)12(
2
−
++++
=
x
mxmx
y . Định m ñể hàm số có cực trị. Tìm quỹ tích ñiểm cực tiểu của
ñồ thị hàm số trên. (ĐS:
1 ,
)1(3
132
3
>
−
+−
= x
x
xx
y
)




☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 13

1. Cho hàm số
23223
)1(33 mmxmmxxy −+−++−= (1) (m là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k ñể phương trình: 023
2323
=−++− kkxx có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1).
(Đề thi ĐH Khối A – 2002)
2. Cho hàm số
(
)
109
224
+−+= xmmxy (1) (m là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m ñể hàm số (1) có 3 ñiểm cực trị.
(Đề thi ĐH Khối B – 2002)
3. Cho hàm số
(
)
1
12
2
−
−−
=

x
mxm
y (1) (m là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = -1.
b. Tìm m ñể ñồ thị hàm số (1) tiếp xúc với ñường thẳng
x
y
=
.

(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i D – 2002)
4. Cho hàm số
1
2
−
++
=
x
mxmx
y
(1) (
m
là tham số).

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m
= -1.
b. Tìm
m
ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương.


(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2003)

5. Cho hàm số
mxxy +−=
23
3 (1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m
= 2.
b. Tìm
m
ñể hàm số (1) có hai ñiểm phân biệt ñối xứng nhau qua gốc tọa dộ.

(

Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i B – 2003)
6. Cho hàm số
2
42
2
−
+−
=
x
xx
y
.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số.
b. Tìm
m
ñể ñường thẳng
mmxyd
22:)(
−
+
=
cắt ñồ thị hàm số trên tại 2 ñiểm phân biệt.
(
Đề
thi

Đ
H Kh
ố
i D – 2003)
7. Cho hàm số
)1(2
33
2
−
−+−
=
x
xx
y
(1).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1).
b. Tìm
m
ñể ñường thẳng
m
y
=
cắt ñồ thị hàm số (1) tại 2 ñiểm A và B sao cho AB = 1.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2004)

8. Cho hàm số 193
23
++−= xmxxy
(1) (
m
là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi
m
= 2.
b. Tìm
m
ñể ñiểm uốn của ñồ thị hàm số (1) thuộc ñường thẳng 1
+
=
xy
.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i D – 2004)
9. Gọi (C
m
) là ñồ thị của hàm số
x
mxy
1

+= (1) (m là tham s
ố
).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1) khi m =
4
1
.
b.

Tìm m
ñể
hàm s
ố
(1) có c
ự
c tr
ị
và kho

ả
ng cách t
ừ

ñ
i
ể
m c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a (C
m
)
ñế
n ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a
(C
m
) b
ằ
ng
2

1
.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2005)
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 14
10. Gọi (C
m
) là ñồ thị của hàm số
1
1)1(
2
+
++++
=
x
mxmx
y (1) (m là tham số).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1) khi m = 1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, ñồ thị (C
m
) luôn luôn có 2 ñiểm cực trị và khoảng cách giữa hai
ñiểm ñó bằng 20 .
(Đề thi ĐH Khối B – 2005)
11. Gọi (C
m

) là ñồ thị của hàm số
3
1
2
3
1
23
+−= x
m
xy (1) (m là tham s
ố
).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1) khi m = 2.
b.

G
ọ
i M là

ñ
i
ể
m thu
ộ
c (C
m
) có hoành
ñộ
b
ằ
ng -1. Tìm m
ñể
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C
m
) t
ạ
i M song song v
ớ
i
ñườ
ng th
ẳ
ng

05
=
−
yx
(Đề thi ĐH Khối D – 2005)
12. a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số .41292
23
−+−= xxxy
b. Tìm m ñể phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
mxxx =+− 1292
2
3
.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2006)
13.

Cho hàm s
ố

2
1
2
+
−+

=
x
xx
y .
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C) hàm s
ố

ñ
ã cho.
b.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c

ủ
a (C). Bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó vuông góc v
ớ
i ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ
a (C).
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i B – 2006)
14.

Cho hàm s
ố
23

3
+−= xxy .
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C) hàm s
ố

ñ
ã cho.
b.

G
ọ
i (d) là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua A(3; 20) và có h
ệ
s

ố
góc là m. Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng (d) c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i D – 2006)
15.

Cho hàm s
ố

2
4)1(2
22
+
++++
=
x
mmxmx
y (1) (m là tham s
ố
).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1) khi m = -1.
b.

Tìm m
ñể
hàm s
ố

(1) có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u,
ñồ
ng th
ờ
i các
ñ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
ñ
ò th
ị
cùng v
ớ
i g
ố

c to
ạ

ñộ
O t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác vuông t
ạ
i O.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2007)
16.

Cho hàm s
ố
: 13)1(33
2223
−−−++−= mxmxxy (1) (m là tham s
ố
).
a.

Kh

ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1) khi m = 1.
b.

Tìm m
ñể
hàm s
ố
(1) có c
ự
c
ñạ
i và c
ự
c ti
ể
u,
ñồ
ng th
ờ
i các
ñ

i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ
a
ñ
ò th
ị
cách
ñề
u g
ố
c to
ạ

ñộ
O.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i B – 2007)
17.

Cho hàm s
ố

1
2
+
=
x
x
y .
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
(C) hàm s
ố

ñ
ã cho.
b.

Tìm to
ạ

ñộ

ñ
i
ể
m M thu
ộ
c (C), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M c
ắ
t hai tr
ụ
c Ox, Oy t
ạ
i A, B và tam giác
OAB có di
ệ
n tích b
ằ
ng .
4

1

(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i D – 2007)



18.

Cho hàm s
ố

m
x
xmmx
y
3
2)23(
22
+
−−+
= (1) (m là tham s
ố
).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1) khi m = 1.
b.

Tìm các giá tr
ị
c
ủ
a m
ñể
góc gi
ữ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
ñồ

th
ị
hàm s
ố
(1) b
ằ
ng 45
0
.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2008)
☺ Bí Kíp Khảo Sát Hàm Số ☺ 15
19. Cho hàm số 164
23
+−= xxy (1).
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua ñiểm
(
)
9;1M −−
.
(Đề thi ĐH Khối B – 2008)
20. Cho hàm số 43
23
+−= xxy (1).

a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > -3) ñều cắt ñồ thị hàm
số (1) tại 3 ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của AB.
(Đề thi ĐH Khối D – 2008)
21. Cho hàm số
3
2
2
+
+
=
x
x
y (1).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1).
b.

Vi

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1), bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
ñ
ó c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l

ầ
n
l
ượ
t t
ạ
i hai
ñ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B và tam giác OAB cân t
ạ
i g
ố
c to
ạ

ñộ
O.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i A – 2009)
22.

Cho hàm s
ố

24
42 xxy −= (1).
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố
(1).
b.

V
ớ
i các giá tr
ị
nào c
ủ
a m, ph
ươ
ng trình
mxx =− 2

22
có
ñ
úng 6 nghi
ệ
m th
ự
c phân bi
ệ
t.
(
Đề
thi
Đ
H Kh
ố
i B – 2009)
23.

Cho hàm s
ố
mxmxy 3)23(
24
++−= có
ñồ
th
ị
(C
m
), m là tham s

ố
.
a.

Kh
ả
o sát và v
ẽ

ñồ
th
ị
hàm s
ố

ñ
ã cho khi m = 0.
b.

Tìm m
ñể

ñườ
ng th
ẳ
ng
1
−
=
y cắt ñồ thị (C

m
) tại 4 ñiểm phân biệt ñều có hoành ñộ nhỏ hơn 2.
(Đề thi ĐH Khối D – 2009)
24. Cho hàm số mxmxxy +−+−= )1(2
23
(1), m là tham số.
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho khi m = 1.
b. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ
321
,, xxx thoả mãn
ñiều kiện: 4
2
3
2
2
2
1
<++ xxx .
(Đề thi ĐH Khối A – 2010)
25. Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho.
b. Tìm m ñể ñường thẳng mxy

+
−
=
2 cắt ñồ thị (C) tại 2 ñiểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 3 (O là gốc toạ ñộ).
(Đề thi ĐH Khối B – 2010)
26. Cho hàm số 6
24
+−−= xxy .
a. Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng 1
6
1
−= xy .
(Đề thi ĐH Khối D – 2010)






Chúc các bạn thành công