toam tat CT luong giac 2

1. Phương trình lượng giác cơ bản :
 Cos u = Cos v  u =  v + k2 k  Z
 Sin u = Sin v 





2
2
kvu
kvu
k  Z
 tan u = tan v  u = v + k k  Z
 Cot u = Cot v  u = v + k k  Z
Các phương trình lượng giác đặc biệt:
Cos u = 0  u =
2

+ k
Cos u = 1  u = k2
Cos u = 1  u =  + k2
Sin u = 0  u = k
Sin u = 1  u =
2

+ k2
Sin u = 1  u = 
2

+ k2

Chú ý : Sin u = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm
Cosu = b ; b> 1 => phương trình vô nghiệm
2. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác : a 0
 a.Cos
2
u + b. Cos u + c = 0 Đặt : t = Cos u ; đk: 1 t  1
 a.Sin
2
u + b. Sin u + c = 0 Đặt : t = Sin u ; đk: 1 t  1
 a.tan
2
u + b.tan u + c = 0 Đặt : t = tan u
3. Phương trình bậc nhất theo Sin và Cos
Dạng : a Sin u + b Cos u = c ( a,b,c khác không )
 Điều kiện để pt có nghiệm :
22
ba
c

 1  a
2
+ b
2
 c
2

Giải: Chia hai vế pt cho
22
ba 
ta có :

22
ba
a

Sin u +
22
ba
b

Cos u =
22
ba
c

( *)
Đặt :
22
ba
a

= Cos ;
22
ba
b

= Sin ;
22
ba
c


= Sin 
Pt (*) trở thành : Cos.Sin u + Sin.Cos u = Sin 
 Sin(u +  ) = Sin 
Đặc biệt : b = c b = c
Pt : a.Sin u + b.(Cos u  1) = 0 Pt : a.Sin u + b.(Cos u + 1) = 0
 2a.Sin
2
u
Cos
2
u
 2b.sin
2
2
u
= 0

2a.Sin
2
u
Cos
2
u
+ 2b.Cos
2
2
u
= 0

 2 Sin
2
u
[a.Cos
2
u
b.Sin
2
u
]= 0

2 cos
2
u
[a.sin
2
u
+b.cos
2
u
]= 0


u
Sin 0
2
u a
tan
2 b
















 


u
cos 0
2
u b
tan
2 a


4. Pt dạng: a Sin
2
x + b.Sinx.Cosx + c.Cos
2

x = 0 (*) ( a,b,c  0 )
Cách 1:
Nếu : a= 0 pt trở thành: Cosx( b.Sin x + c.Cosx) = 0 ( giải được )
Nếu a  0 => Cos x= 0 không phải là nghiệm của pt , chia hai vế
pt cho Cos
2
x  0 . Ta có : a.tan
2
x + b.tanx + c = 0 .
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc :
Sin
2
x =
2
21 xCos
; Cos
2
x =
2
21 xCos
; Sinx. Cos x =
2
1
Sin2x
Phương trình (*) : a.
2
21 xCos
+
2
1

b.Sin2x + c.
2
21 xCos
= 0
Đây là pt bậc nhất theo Sin và Cos đã học cách giải
Chú ý : Pt : a Sin
2
x + b.Sinx.Cosx + c.Cos
2
x = d
chuyển về dạng (*) bằng cách thay d = d( Sin
2
x + Cos
2
x )

5. Phương trình đối xứng :
a.(Sin x + Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0
Đặt: t = Sin x + Cosx =
2
.Sin(x+
4

) ; đk t
2

Sin x.Cosx =
2
1
2

t
; sin2x= t
2
1
Pt trở thành : a.t + b.
2
1
2
t
+ c = 0
6. Phương trình phản đối xứng :
a.(Sin x  Cosx ) + b.Sin x.Cosx + c = 0
Đặt: t = Sin x  Cosx =
2
.Sin(x
4

) ; đk t
2

Sin x.Cosx =
2
1
2
t
; sin2x = 1t
2

Pt trở thành : a.t + b.
2

1
2
t
+ c = 0
Chú ý :  Sin2x = 2.Sin x.Cos x
 Cosx Sin x =
2
.Cos(x +
4

) = 
2
.Sin( x
4

)
 Cosx + Sin x =
2
.Cos(x 
4

) =
2
Sin(x +
4

)
7. Phương trình lượng giác đặc biệt:
 Dạng tổng bình phương : A
2

+ k.B
2
= 0 , k > 0 





0
0
B
A

Dạng phương pháp đối lập :








BA
A







MB
MA

 Dạng phương pháp phản chứng :










11
BABA
A






1
1
BB
AA


7. Mối liên hệ hình học và lượng giác

Đònh lý h/s Sin:
2R =
SinA
a
=
SinB
b
=
SinC
c
=
2
.
2
.
2
.2
C
Cos
B
Cos
A
Cos
p

Đònh lý h/s Cos
a
2
= b
2

+ c
2
 2b.c.Cos A
b
2
= a
2
+ c
2

2a.c.Cos B
c
2
= b
2
+ a
2
 2b.a.Cos C
Cos A =
cb
acb
.2
222


Suy ra: CotA =
cba
acbR
2
)(

222

; CotB =
cba
bcaR
2
)(
222

;
Diện tíùch tam giác :* S =
2
1
a.h
a
=
2
1
b.h
b
=
2
1
c.h
c
=> h
a
=2S/a
* S =
2

1
a.b.SinC=
2
1
b.c.SinA=
2
1
a.c.SinB => SinA =
bc
S2

* S=
R
cba
.4

= p.r =
))()(( cpbpapp 

* Đònh lý đường trung tuyến :
m
a
2
=
2
1
(b
2
+ c
2

) 
4
1
a
2
; m
b
2
=
2
1
(a
2
+ c
2
) 
4
1
b
2

m
c
2
=
2
1
(b
2
+ a

2
) 
4
1
c
2