Đề thi học sinh giỏi cực hay

đề chọn I TUYN học sinh gii
NM HC 2010-2011
Cõu 1: Tỡm cỏc s x, y, z bit.
a/ (x 1)
3
= - 8 b/
9 7 5 3x x =

c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z v x + y + z = 48
Cõu 2:
a/ Tỡm s d khi chia 2
2011
cho 31
b/ Vi a, b l cỏc s nguyờn dng sao cho a + 1 v b + 2007 chia ht cho 6.
Chng minh rng: 4
a
+ a + b chia ht cho 6
c/ Tỡm cỏc s nguyờn x, y tha món: 6x
2
+ 5y
2
= 74
Cõu 3:
a/ Cho t l thc
a b
b c
=

. Chng minh rng ta cú t l thc:
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=
+
b/ Trờn bng cú ghi cỏc s t nhiờn t 1 n 2008, ngi ta lm nh sau: ly ra
hai s bt kỡ v thay vo bng hiu ca chỳng, c lm nh vy n khi cũn mt s trờn
bng thỡ dng li. Hi cú th lm trờn bng ch cũn li s 1 c khụng? Gii thớch?
Câu 4: Tính :
a) B = 1+
)20 321(
20
1
)4321(
4
1
)321(
3
1
)21(
2
1
++++++++++++++

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
12001 + xx
c) Cho đa thức: f(x) = 5x

3
+ 2x
4
x
2
+ 3x
2
x
3
x
4
+ 1 4x
3
. Chứng tỏ rằng
đa thức trên không có nghiệm
Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc
ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK
v FN vi ng thng HA.
a/ Chng minh rng: EK = FN.
b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc
ABC EF = 2AI.
Cõu 6:
a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr
tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr
ln nht bng bao nhiờu.
b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi
ã
BAC
= 60
0

. Chng minh rng BC
2
= AB
2
+ AC
2
AB.
AC.
HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu
MÔN: TOÁN 7
========================================
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1
(2đ)
a 0,5đ (x – 1)
3
= - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5
b
0,5đ

9 7 5 3x x− = −
Điều kiện: x
≥

3
5
=>
9 7 5 3
9 7 3 5
x x

x x
− = −


− = −

=>
12 12 1
2 6 3
x x
x x
= =
 
⇒
 
= =
 
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3.
0,5
c
0,5đ
x - 3
x
= 0 Điều kiện x
≥
0
=>
( )
3x x −

= 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 0 hoặc x = 9
0,5
d
0,5đ
12x = 15y = 20z =>
5 4 3
x y z
= =
=>
48
4
5 4 3 12 12
x y z x y z+ +
= = = = =
=> x = 20; y = 16; z = 12
0,5
2
(2,5đ)
a, 1đ
Ta có 2
5
= 32
≡
1 (mod31) => (2
5
)
402

≡

1 (mod31)
=> 2
2011

≡
2 (mod31). Vậy số dư khi chia 2
2011
cho 31 là 2. 1
b
0,75đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4
a

≡
1 (mod3) => 4
a
+ 2
≡
0
(mod3)
Mà 4
a
+ 2
≡
0 (mod2) => 4
a
+ 2
M
6
Khi đó ta có 4

a
+ a + b = 4
a
+ 2 + a +1 + b + 2007 – 2010
M
6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007
chia hết cho 6 thì 4
a
+ a + b chia hết cho 6
0,25
0,25
0,25
c
0,75đ
Từ 6x
2
+ 5y
2
= 74 => 6x
2

≤
74 => x
2

≤

74
6

mà x nguyên => x
2

∈

{ }
0;1;4;9

Mặt khác ta có x
2
+ 1 = 75 – 5x
2
– 5y
2

M
5 => x
2
= 4 hoặc x
2
= 9
Nếu x
2
= 4 => y
2
= 10 (loại vì y nguyên)
Nếu x
2
= 9 => y

2
= 4 => (x, y)
∈

{ }
(3,2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)− − − −
0,25
0,25
0,25
3
1,75 đ
a
1đ
Ta có
a
c
=
.
a b
b c
=>
a
c
=
2 2
a b
b c
   
=
 ÷  ÷

   
=
2
2
a
b
=
2
2
b
c
=
2 2
2 2
a b
b c
+
+
.
Vậy nếu có tỉ lệ thức
a b
b c
=
ta có tỉ lệ thức:
2 2
2 2
a b a
b c c
+
=

+
0,75
0,25
b
0,75đ
Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng
Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 =
2008.2009
2
= 1004.2009 là
một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai
số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn.
Nên tổng mới phải là một số chẵn.
Vậy trên bảng không thể còn lại số 1
0,25
0,25
0,25
4
(2,5đ)
Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25
a
1,5
Chứng minh
∆
KAF =
∆
HBA ( ch – gn) => EK = AH
Chứng minh
∆
NFI =

∆
HCA ( ch – gn) => FN = AH
Suy ra EK = FN
0,5
0,5
0,5
b
0,75đ
Chứng minh
∆
KEI =
∆
NFI ( c.g.c) => EI = FI =
EF
2
Mà AI =
EF
2
(gt) => AI = EI = FI =>
·
·
IEA IAE=
và
·
¶
IAF IFA=
=>
·
EAF
= 90

0
=>
·
BAC
= 90
0

Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,25
0,25
0,25
5
(1,25đ)
a
0,75đ
Giả sử
0a b c d
≥ ≥ ≥ ≥
Ta có S =
a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + −
=> S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d
=> S = 3a + b – (c + 3d)
Mà c + 3d
≥
0 => S
≤
3a + b
Mặt khác a + b + c + d = 1 => a
≤
1.

Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b
≤
2.1 + 1 = 3
Dấu bằng xảy ra khi
c 3d 0
1
1
a b c d
a
+ =


+ + + =


=

<=>
1
0
a
b c d
=


= = =

Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng
1 còn ba số bằng 0
0,25

0,25
0,25
b
0,5đ
Kẻ BH
⊥
AC
Vì
·
BAC
60
0
=>
·
ABH
= 30
0
=> AH =
2
AB
(1)
Áp dụng dịnh lí Pytago ta có
AB
2
= AH
2
+ BH
2
và BC
2

= BH
2
+ HC
2
=> BC
2
= AB
2
– AH
2
+ CH
2
=> BC
2
= AB
2
– AH
2
+ (AC – AH)
2
=> BC
2
= AB
2
– AH
2
+ AC
2
– 2AH.AC + AH
2

=> BC
2
= AB
2
+ AC
2
– 2AH.AC (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
0,25
0,25
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng
bằng cách khác cho điểm tối đa
K
I
H
N
F
E
C
B
A
H
C
B
A