đề thi học sinh giỏi (rất hay)

Đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2008-2009
Đề chính thức
Đề ra:
Câu 1 :
a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x
4
-30x
2
+31x-30
b, Giải phơng trình : 27x
3
+(2x+4)
3
-(5x+4)
3
=0
Câu 2 :
Cho x,y,a,b,c là các số dơng chứng minh :
a,
yxyx
+
+
411
b,
bacacbcbaaccbba 22
1
22
1
22
1

32
1
32
1
32
1
++
+
++
+
++

+
+
+
+
+
Câu 3 :
Cho 6a-5b=1.Tìm GTNN của 4a
2
+25b
2
Câu 4 :
Tìm cặp số ( a,b) để A=a
4
+4b
4
là số nguyên tố
Câu 5 :
Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB bằng đờng chéo

AC gọi M là trung điểm của đý nhỏ CD . K là hình chiếu của
M trên AB . Biết CD =
2
BC
a, Chứng minh tam giác CBM đồng dạng với tam giác CDB
b, Tính các góc của hình thang ABCD
Đáp án :
Câu 1 :
a, Phân tích x
4
-30x
2
+31x-30 = =(x-5)(x+6)(x
2
-x)+1
b, 27x
3
+(2x+4)
3
-(5x+4)
3
=0 (1)

(3x)
3
+(2x+4)
3
=(5x+4)
3
Đặt 3x=a ; 2x+4=b ;

5x+4=a+b
(1) trở thành : a
3
+b
3
=(a+b)
3

3ab (a+b)=0

a=0 hoặc b=0 hoặc a+b=0

x=0;-2;
5
4

Câu 2 :
a,
yxyx
+
+
411

0
)(
)(
)(
4)(
4

22

+


+
+

+

+
xyyx
yx
yxxy
xyyx
yxxy
yx
Vì x , y là những số dơng
b, áp dụng câu a ta có :
cbaacbba
++

++
+
+
22
2
22
1
32

1
Tơng tự
cb 32
1
+
+
bac 22
1
++

cba 22
2
++

ac 32
1
+
+
cba 22
1
++

cba 22
2
++
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều trên Ta đợc
điều cần chứng minh
Câu 3 : Đặt x=2a : y=-5b áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpxki ta có :(x
2

+y
2
)(9+1)

(3x+y)
2

x
2
+y
2


(
10
1
10
)56(
10
)3(
22
=

=
+
bayx
Dấu = xảy ra khi
20
3
;

50
113
===
ab
yx

Câu 4 :
Ta có : A=a
4
+4b
4
=(a
2
+2b
2
)
2
-4a
2
b
2
= [(a-b)
2
+b
2
][(a+b)
2
+b
2
]

Do a>0 ; b>o nên (a+b)
2
+b
2
>1
Mà A nguyên tố nên (a-b)
2
+b
2
=1

a=b=1
Vậy A=5 là số nguyên tố ứng với cặp (a,b)=(1;1)