Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên Hưng Yên năm 2015 - 2016

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: TOÁN
(Dành cho các lớp chuyên văn, sử, địa, anh)
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (1điểm). Rút gọn biểu thức
( ) ( )
P 3 2 20 5 9 90= + − +

Câu 2 (2 điểm). Cho hàm số
2
y x=
và hàm số
y 2x m 1= − +

a) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số trên khi m = - 2.
b) Tìm m để hai đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm có hoành độ trái
dấu.
Câu 3 (2 điểm).
a) Giải phương trình
( )
2 2
x x 1 6
− =

b) Giải hệ phương trình
1
x 2
y

1
2x 1
y

+ =




− =



Câu 4 (1 điểm). Trong một hội nghị có 150 đại biểu được sắp xếp ngồi vừa đủ trên
các dãy ghế, các dãy ghế có số ghế bằng nhau. Nếu bớt đi 5 dãy ghế thì mỗi dãy ghế
còn lại phải xếp thêm 1 người nữa mới đủ chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu.
Câu 5 (3 điểm). Cho nửa đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung
AB , M là điểm thuộc cung AC (M khác A và C). Đường thẳng AM cắt OC tại D ,
lấy điểm N thuộc đoạn thẳng BM sao cho AM = BN.
a) Chứng minh tứ giác BOMD nội tiếp
b) Chứng minh MC là tia phân giác của góc DMB.
c) Qua N dựng đường vuông góc với BM cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở E. Chứng
minh 3 điểm A, C, E thẳng hàng.
Câu 6 (1điểm). Cho số dương a. Chứng minh
2
36
a 16
a 1
+ ≥
+

Hết
Thí sinh không sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 5.
c) Ta có góc MBA = góc NEB (phụ với góc MBE).
Ta lại chứng minh được tam giác AMC = tam giác BNC (c.g.c) suy ra góc MCA =
góc NCB do góc MCA = góc MBA nên góc NCB = góc NEB do đó tứ giác BNCE
nội tiếp suy ra góc BCE = góc BNE = 90
0
. Mà góc ACB = 90
0
suy ra ba điểm A, C, E
thẳng hàng.
Câu 6.
Ta có
2
a 4a 4 0− + ≥
;
( ) ( )
36 36
4 a 1 2 .4 a 1 24
a 1 a 1
+ + ≥ + =
+ +

Suy ra
( )
( )

2
36
a 4a 4 4 a 1 24
a 1
 
− + + + + ≥
 
+
 
Do đó
2
36
a 24 8 16
a 1
+ ≥ − =
+
. Dấu “=” xảy ra khi a = 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HƯNG YÊN Môn: TOÁN
(Dành cho thí dự thi các lớp chuyên : Toán,Tin Lí, Hóa, Sinh)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức
2 9 4 5 29 12 5A
= + − −
Câu 2 (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol:
2
1
2

y x
−
=
(P) và y = x+ m - 2
a) Xác định tọa độ các điểm của hai đồ thị hai hàm số trên khi m = -2
b) Tìm để hai đồ thị hai hàm số trên cắt nhau tại hai điểm có hoành độ là x
1
, x
2

sao cho
2 2 2 2
1 2 1 2
20x x x x
+ + =
Câu 3 (2,0 điểm)
a)
Giải phương trình:
2
6 9 1x x x
− + = +

b)
Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 4 8
3 3 2 3
x y x y
x y x y


+ + − =


− + + =


Câu 4 (1,0 điểm).Trong hội nghị có 150 người xếp đủ chỗ trên các dãy ghế, mỗi dãy
có số ghế như nhau. Nếu bớt đi 5 dãy thì mỗi dãy còn lại phải xếp thêm 1 ghế mới đủ
chỗ. Tính số dãy ghế lúc đầu.
Câu 5 (3điêm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), có AB < AC, đường cao AD và
trực tâm H. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên CH và BH.
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh EF vuông góc với OA
c) Gọi I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các đường phân giác trong
và phân giác ngoài góc A của tam giác ABC . Chứng minh IK đi qua trung
điểm M của BC.
Câu 6 (1 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
2 2 2
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2
+ + ≥
+ + +
Hết
Hướng dẫn giải
Câu 5
a) Ta có tứ giác DEHF nội tiếp suy ra góc HDE = góc HFE mà góc HDE = góc HCD(
cùng phụ với góc EDC) do đó góc HFE = góc HCD do đó tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Gọi R và L lần lượt là giao điểm của BH và CH với AC và AB suy ra BR và CL là
các đường cao của tam giác ABC suy ra tứ giác BLRC là tứ giác nội tiếp, tứ giác

ALHR nội tiếp suy ra góc LRB = góc LAH = góc LCB = góc HFE do đó LR // FJ .
Mặt khác ta có góc ABC = góc ARL = góc AQC suy ra AQ vuông góc với LR do đó
AQ vuông góc với FJ hay OA vuông góc với EF.
c) ta có tứ giác AKHI là hình chữ nhật gọi P là giao điểm của AH và KI suy ra AP =
PH = ½ AH. Do M là trung điểm của BC mà tứ giác HCQB là hình bình hành suy ra
M là trung điểm của HQ suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHQ nên
OM//AH; OM = ½ AH suy ra OM //AP; OM = AP suy ra tứ giác AOMP là hình bình
hành suy ra MP//AQ.
Mà AI là phân giác góc BAC suy ra góc IAB = góc IAC. Lại có góc DAB = góc
QAC ( phụ với hai góc bằng nhau) suy ra góc DAI = góc QAI, góc DAI = góc PIA
nên góc PIA = góc QAI suy ra KI // AP do đó qua điểm P có hai đường thẳng MO và
IK cùng song song với AQ do đó K, I, M thẳng hàng nên KI đi qua M.
Câu 6 (1 điểm). Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
2 2 2
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2
+ + ≥
+ + +

Ta có
2 2
2 2
a a.9b a.9b 3ab
a a a
1 9b 1 9b 6b 2
= − ≥ − = −
+ +

Tương tự
2

b 3bc
b
1 9c 2
≥ −
+
;
2
c 3ac
c
1 9a 2
≥ −
+
Do đó
( ) ( )
2 2 2
3 ab bc ac 3 ab bc ac
a b c
a b c 1
1 9b 1 9c 1 9a 2 2
+ + + +
+ + ≥ + + − = −
+ + +
Dễ c/m được
( )
2
a b c
1
ab bc ac
3 3
+ +

+ + ≤ =
(biến đổi tương đương)
Suy ra
2 2 2
a b c 3 1 1
1 .
1 9b 1 9c 1 9a 2 3 2
+ + ≥ − =
+ + +
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
HƯNG YÊN Môn: TOÁN
(Dành cho thí dự thi các lớp chuyên : Toán,Tin)
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm).Cho biểu thức:
1 1 1 1
:
1
2 1 2
x x
A
x
x x x x
 
+ +
= − +
 ÷
 ÷
−

+ − − +
 
với x ≥ 0; x ≠ 1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị của x để
1
A
là một số tự nhiên
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol: y =x
2
(P). Xác định tọa độ các
điểm A và B trên (P) để tam giác OAB đều
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình:(x+2)
2
(y−2)+xy
2
+26=0
Câu 3 (2,0 điểm)
a)
Giải phương trình:
3
2
2
8
9
9
x
x
x

+ =
−

b)
Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3
2 1
x y y x
x y

+ = +


+ =


Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC có góc A nhọn,nội tiếp đường
tròn (O) và AB>AC. Tia phân giác của góc BAC cắt đường tròn (O) tại D (D khác A)
và cắt tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) tại E. Gọi F là giao điểm của BD và AC
a) Chứng minh EF song song với BC
b) Gọi M là giao điểm của AD và BC. Các tiếp tuyến tại B, D của đường
tròn (O) cắt nhau tại N. Chứng minh rằng:
1 1 1
BN BE BM
= +
Câu 5 (1,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O),đường cao AH.
Gọi M là giao điểm của AO và BC. Chứng minh
2 .

HB MB AB
HC MC AC
+ ≥
Dấu đẳng thức
xảy ra khi nào?
Câu 6 (1,0 điểm) Trong hình vuông cạnh 5 cm, đặt 2015 đường tròn có đường
kính
1
20
cm. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng cắt ít nhất 20 đường tròn
trong 2015 đường tròn trên.
…………………Hết……………………
Thí sinh không sử dụng tài liệu; cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……… ………………………… Số báo danh: …………… Phòng thi số:……….
Chữ ký của giám thị:……………………………………