Đề cương và đáp án Ôn tập học kì II năm 2010 - 2011

Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II
Phần: ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11

I/ Chương IV:Giới hạn:
1/ Giới hạn dãy số:
Bài 1:Tìm các giới hạn:
a/
( )
2
lim 4 7 13n n+ +
b/
( )
3 2
lim 5 7 1n n− + +
c/
5
3
5
lim 2 2n
n
 
+ +
 ÷
 
d/
( )
3 2
lim 2 3n n n− + −
e/
2 3

lim
3 7
n
n
+
−
f/
2
2
3 7 1
lim
4 7
n n
n
+ +
− +
g/
5
4 3
7 3 1
lim
8 10 17
n n
n n
+ +
− −
k/
4 2
2 9
lim

3 5 3
n
n n
+
− +
l/
4 2
2
4 3 1
lim
2 7
n n
n
+ +
−
m/
6 2
2
3 1
lim
7 3
n n
n n
+ +
+ +
n/
2
3 1
lim
10 3

n n n
n
+ + −
+
o/
4
5 3
10 11
lim
6 20
n n
n n
+ +
+ −
Hướng dẫn:
a/b/c/d:Đặt n có số mũ cao nhất ra làm thừa số đưa về dạng tích
e/f/k/l/n/o:Chia cả tử và mẫu cho n có số mũ cao nhất.
g/m: có thể đưa về dạng tích
Ví dụ: a/
4 3
3 2
3 4 1
lim
5 2
n n
n n
+ −
− −
=
4

4
3
3
4 1
3
lim
1 2
5
n
n n
n
n n
 
+ −
 ÷
 
 
− −
 ÷
 
=
4
3
4 1
3
lim .
1 2
5
n n
n

n n
+ −
− −
=
+∞
vì
lim n = +∞
,
4
3
4 1
3
3
lim
1 2
5
5
n n
n n
+ −
=
− −
b/
4
lim
3 1
n n
n
+
+

2
3
1
1
lim
1
3
n
n
n
n
+
=
 
+
 ÷
 
=
3
1
1
lim .
1
3
n
n
n
+
+
= +∞

vì
limn = +∞
,
3
1
1
1
lim
1
3
3
n
n
+
=
+
Bài 2:Tìm các giới hạn:
a/
(
)
2
lim 2 3 1 7 3n n n+ + − +
b/
(
)
2
lim 10 4 4 3 4n n n− + + − +
c/
(
)

2 2
lim 4 10n n n n+ − + +
d/
(
)
2 2
lim 9 1 5 7n n n+ − + −
e/
(
)
2
lim 1n n n+ + −
f/
(
)
2
lim 9 4 2 3n n n+ − −
g/
(
)
2
lim 4 1 16 2 3n n n+ − + −
h/
(
)
2 2
lim 2 3 2 1n n n+ − +
k/
(
)

4 2 2
lim 3 1 1n n n+ + − +
Hướng dẫn:
a/b/c/d:Đặt thừa số đưa về dạng tích.Đáp số theo thứ tự:
; ; ;
−∞ −∞ +∞ +∞
e/f/g/h/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.
Đáp số theo thứ tự là:
1
2
;
2
3
;
3
4
;
3 2
4
;
5
2
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp biến đổi đưa về các giớí hạn đặc biệt
Hệ số không phải là hai số đối nhau ta đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ: a/
(
)
2
lim 5 11 2 3n n n+ + − +

Nhận xét:
2n
−
có hệ số là -2 và
2
5 5n n=
có hệ số là
5
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
Giải: a/
(
)
2
lim 5 11 2 3n n n+ + − +
=
2
1 11 3
lim 5 2n
n n n
 
+ + − + = +∞
 ÷
 ÷
 

vì
limn
= +∞
và
2

1 11 3
lim 5 2 5 2 0
n n n
 
+ + − + = − 〉
 ÷
 ÷
 
b/
(
)
2
lim 10 1 1n n n+ + − −
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 1 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
Nhận xét:
n−
có hệ số là -1;
2
n n=
có hệ số là 1.
Hệ số là hai số đối nhau→Nhân lượng liên hợp.
Giải:
b/
(
)
2
lim 10 1 1n n n+ + − −
=
(

)
(
)
2 2
2
10 1 1 10 1 1
lim
10 1 1
n n n n n n
n n n
+ + − − + + + +
+ + + +
=
2
8
lim
10 1 1
n
n n n+ + + +
=
2
8
lim 4
10 1 1
1 1
n n n
=
+ + + +
Bài 3:Tìm các giới hạn
a/

2.3 5.4
lim
3.4 2
n n
n n
+
+
b/
3.2 7
lim
10.7 5.4
n n
n n
+
+
c/
( ) ( )
( )
1
2
2 7. 4
lim
3 6 4
n n
n
n
+
+
− + −
+ −

d/
( )
1 2
1
6.3 6
lim
6 2
n n
n
n
+ +
+
−
+ −
Hướng dẫn:Biến đổi đưa về cùng số mũ.Trong công thức có chứa
, ,
n n n
a b c
chọn
{ }
ax , ,m a b c
Giả sử là
a
ta chia cả tử và mẫu cho
n
a
biến đổi đưa về các giớí hạn đặt biệt.
Đáp số theo thứ tự là:
5
3

;
1
10
;
7
24
−
;-6.
Bài 4: Tìm các giới hạn
a/
( )
2 9
lim
3 2
n
n
n
+
+
b/
( )
2
2
1
lim
2
3 5
3
n
n

n n
− +
 
+ +
 ÷
 
c/
( ) ( )
2
2 1 3 3
lim
1
n
n n
n
+ +
+
d/
( )
( )
( )
2
3
1 1
lim
4
2 5
3
n
n n

n
+ +
 
+
 ÷
 
Hướng dẫn:Biến đổi đưa về dạng tích
Đáp số theo thứ tự là:0;
−∞
;
+∞
;0
Ví dụ:
( )
3
3
5 1
lim
2
4 5
3
n
n n
n n
+ +
 
− +
 ÷
 
=

2 3
2 3
5 1
1
3
lim
1 5
2
4
n
n n
n n
+ +
 
= +∞
 ÷
 
− +
vì
2 3
2 3
5 1
1
1
lim
1 5
4
4
n n
n n

+ +
=
− +
và
3
lim
2
n
 
= +∞
 ÷
 
2/Giới hạn hàm số:
Bài toán 1:Tìm giới hạn hàm số khi
0
x x→
(tương tự cho trường hợp
0 0
;x x x x
+ −
→ →
).
* Dạng 1: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
thì
( ) ( )

0
0
lim
x x
f x f x
→
=
.
Áp dụng:
a/
( )
2
1
lim 2 15 7
x
x x
→
+ +
b/
2
2
4 3
lim
1
x
x
x
→
+
−

c/
(
)
2
3
lim 3 7 2
x
x x
→
+ + −
d/
2
3
2 3 1
lim
3 5
x
x x
x
→−
+ −
+
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x

→
với
( ) ( )
0 0
0f x g x= =
Cách giải:
☺Nếu
( ) ( )
,f x g x
là những đa thức thì phân tích
( ) ( ) ( )
0 1
f x x x f x= −
,
( ) ( ) ( )
0 1
g x x x g x= −
khi đó:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
=
( )
( )
0

1
1
lim
x x
f x
g x
→
.
☺Nếu
( )
f x
hoặc
( )
g x
có chứa căn bậc hai ta nhân lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt
Ví dụ:
a
3
2
2
8
lim
4
x
x
x
→
−
−
=

( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 4
lim
2 2
x
x x x
x x
→
− + +
− +
=
2
2
2 4
lim 3
2
x
x x
x
→
+ +
=
+
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 2 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
b/

2
6
4 1 5
lim
7 6
x
x
x x
→
+ −
− +
=
( ) ( )
( )
( )
2
4 1 5 4 1 5
lim
7 6 4 1 5
x
x x
x x x
→∞
+ − + +
− + + +
=
( )
( ) ( )
( )
6

4 6
lim
1 6 4 1 5
x
x
x x x
→
−
− − + +
=
( )
( )
6
4 2
lim
25
1 4 1 5
x
x x
→
=
− + +
Áp dụng:
Bài 1:
a/
( ) ( )
2
5
25
lim

5 1
x
x
x x
→
−
− +
b/
3
2
1
11 10
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
c/
2
2
3
5 6
lim
9
x
x x
x

→
− +
−
d/
5
1
1
lim
1
x
x
x
→−
+
+
e/
2
2
4
2 13 20
lim
16
x
x x
x
→
− +
−
f/
3

2
1
3 2
lim
10 9
x
x x
x x
→
− +
− +
g/
3
2
2
5 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
h/
3
2
3
10 3
lim

7 12
x
x x
x x
→
− +
− +
k/
3
2
3
3 3
lim
3
x
x
x x
→
−
−
m/
10
1
1
lim
1
x
x
x
→

−
−
Đáp số theo thứ tự là:
5
3
−
; -4;
1
6
; 5;
3
8
−
; 0; 7; -17;
3 3
; 10.
Bài 2:
a/
2
0
2 1 1
lim
3
x
x
x x
→
+ −
+
b/

2
1
4 5 3
lim
1
x
x
x
→
+ −
−
c/
3
2 3
lim
3
x
x x
x
→
+ −
−
d/
2
8
1 3
lim
2 15 8
x
x

x x
→
+ −
− −
e/
4
3 4 4
lim
4 9 5
x
x
x
→
+ −
+ −
f/
3
2
8
lim
6 4 4
x
x
x
→
−
+ −
g/
2
2

3 12 1
lim
6
x
x x
x x
→
+ − +
+ −
h/
2
4
6 1 2 3
lim
16
x
x x
x
→
+ − +
−
k/
2
3
9 2
lim
3 7 6
x
x x
x x

→
− −
− −
. l/
2 3
0
1 2 1
lim
3
x
x x
x x
→
+ − +
+
Đáp số theo thứ tự là:
1
3
;
1
3
−
;
2
3
−
;
1
102
;

15
16
; -16;
1
25
−
;
7
40
;
3
22
−
;
1
6
* Dạng 2:
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
với
( ) ( )
0 0
0; 0f x g x≠ =
Cách giải:Sử dụng quy tắc b trang 131.

Ví dụ:
3
5 8
lim
3
x
x
x
+
→
−
−
.Ta có:
( )
3
lim 5 8 7 0
x
x
+
→
− = 〉
;
( )
3
lim 3 0
x
x
+
→
− =

và
3 0x − 〉
3x∀ 〉
do đó
3
5 8
lim
3
x
x
x
+
→
−
= +∞
−
Áp dụng:
a/
2
2 11
lim
2 4
x
x
x
+
→
−
−
b/

2
5
10
lim
5
x
x x
x
−
→
+ −
−
c/
( )
2
2
2 5
lim
2
x
x
x
→
−
−
d/
2
4
2 1 7
lim

16
x
x
x
+
→
+ −
−
e/
3
2
2 7
lim
2 3
x
x
x
−
 
→ −
 ÷
 
−
+
Bài toán 2:Tìm giới hạn hàm số khi
x → +∞
(
x → −∞
)
* Dạng 1:

( )
lim
x
f x
→+∞
Với
( )
f x
là một đa thức.
Cách giải:Đặt x có số mũ cao nhất ra làm thừa số, đưa về dạng tích ( khi
x → −∞
giải tương tự)
Ví dụ:
( )
3
lim 2 1
x
x x
→−∞
+ −
=
3
2 3
1 1
lim 2
x
x
x x
→−∞
 

+ − = −∞
 ÷
 
vì
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
và
2 3
1 1
lim 2 2 0
x
x x
→−∞
 
+ − = 〉
 ÷
 
Áp dụng:
a/
( )
3 2
lim 20 3 4
x
x x
→−∞
− +

b/
3
3
lim 6 7
x
x
x
→+∞
 
+ +
 ÷
 
c/
4
2
lim 2 3 5
4
x
x
x x
→−∞
 
− + − +
 ÷
 
d/
( )
7 5
lim 2 1
x

x x
→+∞
− + −

* Dạng 2:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→+∞
Với
( )
f x
,
( )
g x
là một đa thức.
Cách giải:
Chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất,biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(tương tự cho
trường hợp
x → −∞
)
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 3 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
Ví dụ:a/
2
2
3 7 1

lim
4 7
x
x x
x
→+∞
+ +
− +
=
2
2
7 1
3
3
lim
7
4
4
x
x x
x
→+∞
+ +
= −
− +
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
2
x
)
b/

5
2 1
lim
4 3
x
x
x x
→+∞
+
+ +
=
4 5
4 5
3 1
lim 0
4 3
1
x
x x
x x
→∞
+
=
+
;(Đã chia cả tử và mẫu cho
5
x
)
Tuy nhiên nếu
( )

f x
là đa thức bậc cao hơn
( )
g x
thì ta có thể đưa về dạng tích
Ví dụ:
6 2
3
10 3
lim
4 2 1
x
x x
x x
→−∞
+ +
+ +
=
6
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x
x x

x
x x
→−∞
 
+ +
 ÷
 
 
+ +
 ÷
 
=
4 6
3
2 3
1 3
10
lim
2 1
4
x
x x
x
x x
→−∞
+ +
= −∞
+ +
Vì:
3

lim
x
x
→−∞
= −∞
,
4 6
2 3
1 3
10
5
lim 0
2 1
2
4
x
x x
x x
→−∞
+ +
= 〉
+ +
Áp dụng:
a/
5 3
5 2
4 5 4
lim
2 3 7
x

x x
x x
→−∞
+ +
− +
b/
3 2
3
6 7
lim
2 3 5
x
x x
x x
→+∞
− + +
+ −
c/
2
4 3
2 3
lim
4 6 9
x
x
x x
→−∞
+
+ +
d/

4 3
2
7 6 13
lim
2 4
x
x x
x x
→−∞
+ −
− +
e/
6 4
3
3 3
lim
4 10 7
x
x x
x x
→+∞
− + +
− +
f/
10 3
6
10 5 3
lim
3 2 1
x

x x
x x
→+∞
− +
− + +
* Dạng 3:
( )
lim
x
f x
→+∞
với
( )
f x
có chứa căn bậc hai thì tùy mỗi bài ta có thể đưa về dạng tích hoặc nhân
lượng liên hợp để biến đổi đưa về các giới hạn đặc biệt.(Tương tự cho trường hợp
x → −∞
)
Đặc điểm nhận biết:
Hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Hệ số không phải là hai số đối nhau→Đặt thừa số đưa về dạng tích.
Ví dụ:a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −

Nhận xét:
x−
có hệ số là-1;vì
x → +∞
nên
2
x x x= =
có hệ số là 1
Hai hệ số đối nhau→Nhân lượng liên hợp
Giải: a/
(
)
2
lim 1
x
x x x
→+∞
+ + −
=
( ) ( )
2 2
2
1 1
lim
1
x
x x x x x x
x x x
→+∞
+ + − + + +

+ + +
=
2
1
lim
1
x
x
x x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
lim
1 1
1
x
x
x x
x x
→+∞
+
+ + +
=
2
1
1
lim

1 1
1 1
x
x
x x
→+∞
+
+ + +
=
1
2
b/
(
)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
Nhận xét:
3x
có hệ số là 3;vì
x → −∞
nên
2
4 2 2x x x= = −
có hệ số là -2 hệ số không là hai số đối nhau→Đưa về dạng tích
Giải: b/
(

)
2
lim 4 3 1
x
x x x
→−∞
+ + +
=
1
lim 4 3 1
x
x x
x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
1 1
lim 4 3
x
x
x x
→−∞
 
− + + +
 ÷
 ÷

 
=
−∞
Vì:
lim
x
x
→−∞
= −∞
;
1 1
lim 4 3 1 0
x
x x
→−∞
 
− + + + = 〉
 ÷
 ÷
 
c/
(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
Nhận xét:

3
3x
bậc ba; vì
x → −∞
nên
2
9 3 3= = −x x x
bậc nhất
→Không cùng bậc→Đưa về dạng tích.
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 4 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
Giải:
(
)
3 2
lim 3 2 9 1
x
x x
→−∞
+ + +
3 6
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
 

= + + +
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
3 3
4 6
9 1
lim 3 2
x
x x
x x
→−∞
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
=
3
3 4 6
2 9 1
lim 3
x
x
x x x
→−∞
 

+ − + = −∞
 ÷
 ÷
 

vì:
3
lim
x
x
→−∞
= −∞
,
3 4 6
2 9 1
lim 3 3 0
x
x x x
→−∞
 
+ − + = >
 ÷
 ÷
 
Áp dụng:
a/
(
)
2
lim 2 3 5 2

x
x x x
→+∞
+ + −
b/
(
)
2
lim 1 10 3
x
x x x
→−∞
+ + − +
c/
(
)
4 2 4
lim 4 10 3 4 1
x
x x x
→+∞
+ + − +
d/
( )
lim 2 3 2 1
x
x x
→+∞
+ − +
e/

(
)
2 2
lim 1 2 3
x
x x x
→−∞
+ + − +
f/
(
)
2
lim 9 3 7 5 3
x
x x x
→+∞
+ + − +
g/
(
)
4 2
lim 3 9
x
x x x
→−∞
+ + + +
h/
(
)
2 2

lim 3 7 16 4 3
x
x x x x
→+∞
+ − − +
k/
(
)
2
lim 9 3 1
x
x x x
→−∞
+ + −
.
Hướng dẫn:
a/b/c/d/k:Nhân lượng liên hợp biến đổi.Đáp số theo thứ tự là:
3 2
4
; 6;
5
2
; 0;
7
6
−
e/f/g/h:Đặt thừa số đưa về dạng tích. Đáp số theo thứ tự là:
+∞
;
−∞

;
+∞
;
−∞
* Các dạng khác:
a)
(
)
( ) ( )
( )
3
2
1 1 1 1
1
1 1
lim lim lim lim 1 3
1 1 1
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x
x x x
→ → → →
−
− + +
−
= = = + + =
− − −

( )
(
)
( )
(
)
3 3
3 2 3 2
2 2 2
1 1
3 3 2
2
1 1 1
2 3 3
5 7 5 2 7 2
) lim lim (1)
1 1 1
5 2 1 ( 1 3
lim lim lim (2)
8
1
1 5 2 1 5 2
x x
x x x
x x x x
b
x x x
x x x x
x
x x x x

→ →
→ → →
 
− − + − − + −
 ÷
= −
 ÷
− − −
 
 
− − − − + +
 ÷
= = = −
 ÷
−
− − + + − +
 
( ) ( )
3
2 2
2
1 1
2
3
2 2 2
3
7 2 1
lim lim
1
1 7 2 7 4

x x
x x
x
x x x
→ →
+ − −
=
 
−
− + + + +
 ÷
 
=
( )
1
2
3
2 2
3
1 1
lim (3)
12
7 2 7 4
x
x x
→
=
+ + + +
Thay ( 2) , ( 3 ) vào ( 1 ) có : A =
3 1 11

8 12 24
− − =
3.Hàm số liên tục:
* Dạng 1:Xét tính liên tục của hàm số
( )
f x
tại
0
x
.
Cách giải:
Dùng định nghĩa: Nếu
( )
f x
xác định tại
0
x
và
( ) ( )
0
0
lim
x x
f x f x
→
=
thì
( )
f x
liên tục tại

0
x
Ví dụ:Cho hàm số
( )
2
17 16
16
16
15 16

− +
≠

=
 −

=

x x
neáu x
f x
x
neáu x
.Xét tính liên tục của h/số
( )
f x
tại
0
x
=16

Giải:Ta có
( )
f x
xác định tại
0
x
=16 và
( )
16 15f =
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 5 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
( )
2
16 16
17 16
lim lim
16
x x
x x
f x
x
→ →
− +
=
−
=
( ) ( )
16
lim 1 15 16
x

x f
→
− = =
.Vậy
( )
f x
liên tục tại
0
x
=16
Áp dụng:
Xét tính liên tục của ham số
( )
f x
tại
0
x
trong các trường hợp sau:
a/
( )
2
0
2 5 3
3
3
3
5 3

− −
≠


= =
 −

=

x x
neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
; b/
( )
2
0
2 3 20
4
4
4
13 4

− −
≠

= =
 −

=

x x

neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
c/
( )
0
5 6 6
6
6
6
5
6
12

+ −
≠


−
= =


=


x
neáu x
x
f x Taïi x

neáu x
; d/
( )
0
9 4 0
0
8
0
2

+ ≥

= =

−
<


x neáu x
f x Taïi x
x
neáu x
e/
( )
2
0
3 2
1
1
1

1
2

− +
>


−
= =


− ≤


x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
; f/
( )
0
1 1
0
0
6 1
0
1


− − +
<


= =

+

− ≥

+

x x
neáu x
x
f x Taïi x
x
neáu x
x
Hướng dẫn:d/e/f để tính được
( )
0
lim
x x
f x
→
cần tính
( )
0
lim

x x
f x
+
→
và
( )
0
lim
x x
f x
−
→
* Dạng 2:Định tham số để hàm số liên tục tại
0
x
Cách giải:Tính
( )
0
f x
,
( )
0
lim
x x
f x
→
,lập phương trình
( ) ( )
0
0

lim
x x
f x f x
→
=
giải tìm tham số.
Ví dụ: Cho hàm số
( )
2
2
7 6
6
6
2 7 10 6

− +
≠

=
−


− + =

x x
neáu x
f x
x
m m neáu x
.Tìm m để h/số

( )
f x
liên tục tại
0
x
=6
Giải:Ta có hàm số
( )
f x
xác định tại
0
x
=6 và
( )
2
6 2 7 10f m m= − +
( )
2
6 6
7 6
lim lim
6
x x
x x
f x
x
→ →
− +
=
−

( )
6
lim 1 5
x
x
→
= − =
. Hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
= 6 khi chỉ khi:
( ) ( )
6
lim 6
x
f x f
→
=
2
2 7 10 5m m⇔ − + =
2
2 7 5 0m m⇔ − + =
1
5
2
m
m

=


⇔

=

Áp dụng:
Tìm m để hàm số
( )
f x
liên tục tại
0
x
trong các trường hợp sau:
a/
( )
2
0
2
4 3
3
3
3
7 8 3

− +
≠

= =

−


− + =

x x
neáu x
f x Taïi x
x
m m neáu x
; b/
( )
2
0
2 6
2
2
2
3 1 2

− −
≠

= =
 −

+ =

x x
neáu x

f x Taïi x
x
m neáu x
c/
( )
3
0
1
1
1
1
2 1

−
<

= =
 −

− ≥

x
neáu x
f x Taïi x
x
mx neáu x
; d/
( )
3
0

2
27 1 1
1
3 1 3
3
1
4 6
3

−
≠


−
= =


− + =


x
neáu x
x
f x Taïi x
m m neáu x
* Dạng 3:Chứng minh rằng phương trình
( )
0f x =
có ít nhất một nghiệm thuộc
( )

;a b
Cách giải:
Xét hàm số
( )
y f x=
,chứng minh
( )
y f x=
liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( )
0f a f b 〈
( ) ( )
0 0
; : 0x a b f x⇒ ∃ ∈ =
Kết luận :
( )
0f x =
có ít nhất một nghiệm thuộc
( )
;a b

Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 6 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
Ví dụ:Cmr phương trình
3
4 5 3 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm thuộc

( )
0;2
.
Giải: Xét hàm số
( )
3
4 5 3f x x x= − −
liên tục trên R nên liên tục trên
[ ]
0;2
Ta có:
( )
0 3f = −
,
( )
2 19f =
suy ra
( ) ( )
0 2 57 0f f = − 〈

( ) ( )
0 0
0;2 : 0x f x⇒ ∃ ∈ =
.Vậy
3
4 5 3 0x x− − =
có ít nhất một nghiệm thuộc
( )
0;2
.

Áp dụng:
1/Chứng minh rằng phương trình:
7 5
3 2 0x x+ − =
có ít nhất một nghiệm .
2/ Chứng minh rằng phương trình:
2
sin 1 0x x xcox+ + =
thuộc
( )
0;
π
.
3/ Chứng minh rằng phương trình:
3
3 1 0x x− + =
có 3 nghiệm phân biệt.
4/ Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm với mọi m:
a/
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x− − + − =
b/
4 2
2 2 0x mx mx+ − − =
5/ Phương trình sau có nghiệm hay không trong khoảng (– 4 ; 0 ) ?
3 2
3 4 7 0+ − − =x x x
( HD : Xét nghiệm trong (– 2 ; 0 )
⊂

(– 4 ; 0 ) Suy ra pt có nghiệm trong (– 4 ; 0 )
II/Chương V: ĐẠO HÀM
Bài 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a/
3 2
5 3 1y x x x= + − +
b/
4 3 2
5 3
10
4 3 2
x x x
y = + − +
c/
( ) ( )
2 3 7y x x= + −
d/
( )
10
3 7y x= −

e/
( )
20
5 3 7y x= + −
f/
( ) ( )
12
4 1 5 3y x x= + −
g/

2
7 3 5y x x= + −
h/
2
7 5y x= −

k/
5 7
4 3
x
y
x
+
=
−
l/
7 4
2 10
x
y
x
−
=
+
m/
2
3 1
5 3 2
x
y

x x
+
=
− +
n/
2
3
x
y
x
+
=
−
o/ Cho
3
( ) 3 1. '(5)= − +f x x x Tính f
p/ Cho
5
( ) . '(2)
3 2
−
=
+
x
f x Tính f
x
(HD:
17
'(5) 72; '(2)
64

= =f f
)
q/ Cho h/s
( ) . '(7)=f x x Tính f
r/ Cho
3
( ) . '( 2)= −f x Tính f
x
s/ Cho h/s
2
8
( ) . '(1)
3
=
+
f x Tính f
x x
( HD:
1 3 5
'(7) ; '( 2) ; '(1)
4 2
2 7
= − = − = −f f f
)
t/ Cho
3
3 2. : ) ' 0 ) ' 3= − + > <y x x Tìm x ñeå a y b y
Giải
Ta có: a)
2

' 0 3 3 0 0 2> ⇔ − > ⇔ < >y x x x hoaëc x
b)
2 2
' 3 3 6 3 2 1 0 1 2 1 2< ⇔ − < ⇔ − − < ⇔ − < < +y x x x x x
Bài 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/
sin 2 3cos 1y x x= + +
b/
2
3sin5 2cos(3 8)y x x= − + +
c/
( )
( )
sin 7 3 3cos 2 1 4y x x= − + + +
d/
( )
tan 4 3y x= −
e/
( )
2
tan 4 2 5y x x= + −
f/
2
cot 2 7y x= +
g/
( )
20
1 tan5y x= +
h/ Cho h/s
sin

( ) . '( ) , '(0 ) '
1 cos 4
 
=
 ÷
+
 
π
x
f x Tính f x f vaø f
x
. Đsố:
1 2
'(0) ; '
2 4
2 1
 
= =
 ÷
+
 
π
f f
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
a/
1 cotx
cot x
x
y
+

=
(HD: Chia tử cho mẫu được y = tanx + x sau đó đạo hàm y’ = 2 + tan
2
x )
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 7 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
b)
2
2
tan
2
1 tan
2
x
y
x
 
 ÷
=
 ÷
 ÷
−
 ÷
 
(HD dùng ct nhân đôi ta được
2
2
1 1
tanx tan
2 4

y x
 
= =
 ÷
 
sau đó đạo hàm)
c)
1 1 1 1 1 1
osx (0; )
2 2 2 2 2 2
y c Vôùi x
π
= + + + ∈

2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 8
x x x x
y = + + = + + = + =

1
' sin
8 8
x
y⇒ = −
Bài 4:Tìm vi phân của các hàm số sau:
a/
2
2 10 3y x x= − +

b/
2 3y x= +
c/
( )
7
5 2y x= −
d/
3
sin
2
x
y =
e/
2
os 5 6y c x= +
f/
( )
2
cot 5 2y x x= + −
g/
( )
4
2
1 siny x= +
h/
2
1
2 7 3
y
x x

=
− +
k/
2
1
3cos
y
x
=
Bài 5: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :
a/
10
1
10
x
y x= + +
b/
3 2
4 1
x
y
x
−
=
+
c/
( )
6
2 5y x= −
d/

cos 2=y x x
e/
2
siny x x=
Bài 6:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a/
3 2
3 2y x x= − +
tại điểm
( )
0
1; 2M − −
b/
2
2 1y x x= − +
tại điểm có hoành độ
0
1x =
c/
2
4 5
2
x x
y
x
+ +
=
+
tại điểm có hoành độ
0

0x =
d/
2 1y x= +
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
7
3
x
y = +
e/
2
2 8 1y x x= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
4 16 0x y− + =
f/
2
3 1
1
x x
y
x
− +
=
−
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2
Hướng dẫn:
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại tiếp điểm
( )

;
o o o
M x y
có phương trình
( ) ( )
'
o o o
y y f x x x− = −
.(1)
*Nếu tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng
( )
, 0y ax b a= + ≠
thì
( )
'
o
f x a=
o o
x y⇒ ⇒
áp
dụng công thức (1) viết được phương trình.
*Nếu tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng
( )
, 0y ax b a= + ≠
thì
( )
'
1
o
f x

a
= −
o o
x y⇒ ⇒
áp
dụng công thức (1) viết được phương trình.
*Nếu biết tiếp tuyến có hệ số góc k thì :
( )
'
o
f x k=
o o
x y⇒ ⇒
áp dụng công thức (1) viết được phương
trình
*Bài tập tương tự:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số sau:
a/
2
5 6y x x= + +
tại điểm
( )
0
1; 2M − −
b/
3 2
3 5 1y x x x= − + +
tại điểm có hoành độ
0
2x =

c/
2
4 3 5y x x= − −
tại điểm có tung độ
0
2y =
d/
2 1y x= − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:
2 1y x= −
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 8 10/04/2011
Trường THPT Phước Long Lê Văn Quang – Lưu Quí Hiền
e/
5 1
2 1
x
y
x
+
=
+
biết tiếp tuyến đó song song với đương thẳng d:
3 6 0x y− − =
f/
1
y
x
=
biết tiếp tuyến a) song song với đường thẳng d:
4

x
y = −
ĐS :
1
4
1
4
x
y
x
y

= − +




= − −


b) Vuông góc với đ/th d: y = 9x ĐS :
2
9 3
x
y = − +
và
2
9 3
x
y = − −

g/
3
2
3 2
3
x
y x x= − + −
a) Tại điểm có hoành độ x = 3 ĐS: y = 6x – 11
b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 ĐS:
5
2x
3
y = −
Đề cương ôn tập Đại số & Giải tích 11- HK II Trang 9 10/04/2011