Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ôn thi ĐH 2015

Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
u 0≠
r
r
đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét:– Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku
r
(k
≠
0) cũng là một VTCP của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ
n 0≠
r
r
đgl vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.
Nhận xét: – Nếu
n

r
là một VTPT của
∆
thì
kn
r
(k
≠
0) cũng là một VTPT của
∆
.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.
– Nếu
u
r
là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP

u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2

= +

= +

(1) ( t là tham số).
Nhận xét: – M(x; y)
∈

∆

⇔

∃
t
∈
R:
x x tu
y y tu
0 1

0 2

= +

= +

.
– Gọi k là hệ số góc của
∆
thì: k =
u
u
2
1
, với
u
1
0≠
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.

Phương trình chính tắc của ∆:
x x y y
u u
0 0
1 2
− −
=
(2) (u
1

≠
0, u
2

≠
0).
Chú ý: Trong trường hợp u
1
= 0 hoặc u
2
= 0 thì đường thẳng không có phương trình
chính tắc.
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
PT
ax by c 0+ + =
với
a b
2 2
0+ ≠
đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0+ + =
thì
∆
có:
VTPT là
n a b( ; )=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r
.
– Nếu
∆
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆
là:
a x x b y y

0 0
( ) ( ) 0
− + − =
•

∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
•

∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:
y y k x x
0 0
( )− = −
(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

6. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
.
Toạ độ giao điểm của ∆
1
và ∆
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0

+ + =

+ + =


(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 1 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
• ∆
1
// ∆
2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠
(nếu
a b c

2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
≡ ∆
2
⇔ hệ (1) có vô số nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= =
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
7. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
(có VTPT
n a b
1 1 1
( ; )=
r

)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆

≤

=


− >


r r r r
r r r r
·
·
n n a b a b
n n
n n
a b a b
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 2 2
.
cos( , ) cos( , )
.
.
∆ ∆
+
= = =
+ +
r r
r r
r r
Chú ý:
•

∆
1

⊥

∆
2

⇔

a a b b
1 2 1 2
0+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +
,
∆
2
:
y k x m
2 2
= +
thì:

+
∆
1
//
∆
2

⇔
k
1
= k
2
+
∆
1
⊥

∆
2

⇔
k
1
. k
2
= –1.
8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
•
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:

ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
.
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
.
– M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔

M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + <
.
•
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆
1
:
a x b y c
1 1 1
0+ + =
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
cắt nhau.
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng ∆
1
và ∆
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±

+ +
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
x a y b R
2 2 2
( ) ( )
− + − =
.
Nhận xét: Phương trình
x y ax by c
2 2
2 2 0+ + + + =
, với
a b c
2 2
0+ − >
, là phương trình đường tròn
tâm I(–a; –b), bán kính R =
a b c
2 2
+ −
.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng ∆.
∆ tiếp xúc với (C) ⇔
d I R( , )
∆
=
III. PHƯƠNG TRÌNH ELIP

1. Định nghĩa
Cho F
1
, F
2
cố định với
F F c
1 2
2=
(c > 0).
M E MF MF a
1 2
( ) 2
∈ ⇔ + =
(a > c)
F
1
, F
2
: các tiêu điểm,
F F c
1 2
2=
: tiêu cự.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 2 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
2. Phương trình chính tắc của elip
x y
a b
2 2

2 2
1
+ =
a b b a c
2 2 2
( 0, )> > = −
• Toạ độ các tiêu điểm:
F c F c
1 2
( ;0), ( ;0)−
.
• Với M(x; y) ∈ (E),
MF MF
1 2
,
đgl các bán kính qua tiêu điểm của M.
c c
MF a x MF a x
a a
1 2
,
= + = −
3. Hình dạng của elip
• (E) nhận các trục toạ độ làm các trục đối xứng và gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
• Toạ độ các đỉnh:
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )− −
• Độ dài các trục: trục lớn:
A A a

1 2
2=
, trục nhỏ:
B B b
1 2
2=
• Tâm sai của (E):
c
e
a
=
(0 < e < 1)
• Hình chữ nhật cơ sở: tạo bởi các đường thẳng
x a y b,= ± = ±
(ngoại tiếp elip).
4. Đường chuẩn của elip (chương trình nâng cao)
• Phương trình các đường chuẩn ∆
i
ứng với các tiêu điểm F
i
là:
a
x
e
0± =
• Với M ∈ (E) ta có:
MF MF
e
d M d M
1 2

1 2
( , ) ( , )
∆ ∆
= =
(e < 1)
B. BÀI TẬP
I. VỀ TAM GIÁC
Cần nắm:
1. Về diện tích : Chủ yếu sử dụng hai công thức chính :
1 1 1
2 2 2
1 1 1
.sin .sin .sin
2 2 2
a b c
S ah bh ch
S ab C bc A ca B
= = =
= = =
2. Các khái niệm .
Trực tâm là giao ba đường cao . Trọng tâm là giao ba đường trung tuyến . Tâm đường tròn ngoại tiếp là
giao ba đường trung trực . Tâm đường tròn nội tiếp là giao ba đường phân giác.
3. Tính chất trọng tâm :
Trọng tâm của tam giác chia các đường trung tuyến thành ba
phần , cách đỉnh hai phần và cách đáy 1 phần.

2
3
AG AM=
4. Tính chất đường phân giác :

Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỷ lệ
với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy .
DB AB
DC AC
=

.
AB
DB DC
AC
⇒ = −
uuur uuur
5. Bài toán tam giác :Một số lưu ý:
Khi giả thiết bài toán cho đường cao, nghĩ đến khai thác quan hệ vuông góc.
Khi giả thiết bài toán cho trung tuyến, nghĩ đến khai thác quan hệ trung điểm.
Khi giả thiết bài toán cho đường phân giác, nghĩ đến khai thác quan hệ đối xứng.
Bài 1.(KB-2011- CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
: 4 0x y∆ − − =
và d: 2x-y-2=0 . Tìm tọa độ điểm N
thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆
tại M thỏa mãn : OM.ON=8
Giải
+/ Vì
M ∈∆
nên
( )
; 4M a a −
. Vì N thuộc d nên

( )
;2 2N b b −
.
+/ Đường thẳng ON cắt
∆
tại M thì O,M,N thẳng hàng :
( )
0OM kON k= ≠
uuuur uuur
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 3 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
( ) ( )
2 4
2 4
4 2 2 4 2 2
a k
a kb a kb
k
a k b kb k b
b
k
= −

= =
 
  
⇔ ⇔ ⇔
−
  
− = − − = −

=
 
 


(1)
+/ Theo giả thiết :
2 2
. 8 64OM ON OM ON= ⇔ =
( ) ( )
2 2
2 2
4 2 2 64a a b b
   
⇔ + − + − =
   
(2)
Thay (1) vào (2) ta được:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 4 2 8
2 4 2 8 64
k k
k k
k
 
− + −

 
− + − =
 
 
 
 
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2
2 2
2 2
8 48 80 64
6 10 0
5
7 10 5 10 0
2
k k k
k k k
k
k k k k
k
⇔ − + =
⇔ − + − =
=

⇔ − + − + = ⇔


=

Với
( )
2 0 0; 2k b N= ⇒ = ⇒ −
. Với
6 6 2
5 ;
5 5 5
k b N
 
= ⇒ = ⇒ =
 ÷
 
.
Vậy,
( )
0; 2N −
hoặc
6 2
;
5 5
N
 
=
 ÷
 
.
Bài 2.(KB-2011-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh

1
( ;1)
2
B
. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp
xúc với các cạnh BC,CA,AB tương ứng tại các diểm D,E,F . Cho D(3;1) và đường thẳng EF có phương
trình
3 0y − =
. Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương.
Giải
Phương trình đường thẳng BD là:
1 0y − =
.
Do đó, BD//EF. Suy ra
AF AE
AB AC
=
mà
AE AF=
(theo tính chất
tiếp tuyến từ một điểm nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường
tròn) nên ta có
AB AC=
. Vậy, tam giác ABC cân tại A.
Suy ra D là trung điểm BC.
Đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với EF có phương trình
3 0x
− =
.
Vì F thuộc đường thẳng

3 0y − =
suy ra tọa độ có dạng :
( )
;3F a
. Theo tính chất tiếp tuyến từ một điểm
nằm ngoài đường tròn kẻ đến đường tròn ta có :
BD=BF
2 2
2 2
1 5
2 2 0
2 2
a a a
   
⇔ − + = ⇔ − − =
 ÷  ÷
   

1
2
a
a
= −

⇒

=

.
+) Với

1a
= −
( )
1;3F⇒ = −
. Suy ra đường thẳng BF có phương trình
4 3 5 0x y+ − =
.
Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3
3 0
7
4 3 5 0
3
x
x
x y
y
=

− =


⇔
 
+ − =
= −



. Suy ra

7
3;
3
A
 
−
 ÷
 
.
+) Với
2a
=
( )
2;3F⇒ =
. Suy ra đường thẳng BF có phương trình
4 3 1 0x y− + =
.
Ta có A là giao điểm của AD và BF nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
3
3
13
4 3 1 0
3
x
x
x y
y
=

=



⇔
 
− + =
=



. Suy ra
13
3;
3
A
 
 ÷
 
. Vậy,
7
3;
3
A
 
−
 ÷
 
hoặc
13
3;
3

A
 
 ÷
 
.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 4 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
y
O d:x-y-4=0
: 2 2 0x y∆ − − =
N
M x
-4
4
1
-2
A
B()
C
D(3;1)
F E
y=1
y=3
d
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Bài 3 (KD-2011-CB)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4;1) , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa
đường phân giác trong góc A có phương trình
1 0x y− − =
. Tìm tọa độ đỉnh A và C
Giải

Đặt
: 1 0d x y− − =
Gọi
( ; )M x y
là trung điểm của AC.
Với G là trọng tâm tam giác ABC
2BG GM⇒ =
uuur uuuur
(1)
Ta có : M(x;y)
( ) ( )
1; 1 . 5;0GM x y BG⇒ = − − =
uuuur uuur
nên:
( )
( )
7
5 2 1
7
(1) ;1
2
2
0 2 1
1
x
x
M
y
y


= −
=
 
 
⇔ ⇔ ⇒
 
 ÷
= −
 



=

Gọi D là điểm đối xứng với B qua đường phân giác d. Ta có
D AC
∈
.
Đường thẳng BD đi qua B và vuông góc với d nên có phương trình :
3 0x y+ + =
.
Gọi I là trung điểm của BD, tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình :
3 0 1
1 0 2
x y x
x y y
+ + = = −
 
⇔
 

− − = = −
 
. Suy ra,
( )
1; 2I − −
. Do đó,
( )
2; 5D −
.
Đường thẳng AC đi qua D và M nên có phương trình
4 13 0x y− − =
.
Vì A là giao điểm của d và AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình:
4 13 0 4
1 0 3
x y x
x y y
− − = =
 
⇔
 
− − = =
 
.
Suy ra
( )
4;3A
.
Vì M là trung điểm của AC nên
( )

7
2. 4 3
3; 1
2
2.1 3 1
C
C
x
C
y

= − =

⇒ −


= − = −

.
Vậy,
( )
4;3A
,
( )
3; 1C −
.
Bài 4.(KA-2010-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =

và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp
xúc với
1
d
tại A và cắt
2
d
tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của (T) , biết
tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
Giải
Ta có hai đường thẳng
1 2
,d d
cắt nhau tại
( )
0;0O
.
Đường thẳng
1
d
có vectơ pháp tuyến
( )
1
3;1n =

ur
.
Đường thẳng
2
d
có vectơ pháp tuyến
( )
2
3; 1n = −
uur
.
Ta có:
( )
1 2
3 3 1
1
os d ;
2.2 2
c d
−
= =
.
⇒
Góc tạo bởi hai đường thẳng
1 2
,d d
bằng
0
60
.

Do đó ta có
·
0
60BOA =
. Ta có tam giác ABC vuông tại B suy ra AC
là đường kính. Mặt khác đường tròn (T) tiếp xúc với
1
d
tại A, do vậy
AC
1
d⊥
tại A .
Xét tam giác vuông OAB:
0
3
.sin 60
2
OA
AB OA= =
và tam giác vuông OAC:
0
.tan 60 . 3AC OA OA= =
.
Từ giả thiết :
0
1 3 1 3 3
. sin 60 3
2 2 2 2 2
ABC

S AB AC OA OA= ⇔ =
. Hay :
2
4 2
3
3
OA OA= ⇒ =
(1)
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 5 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Do A thuộc
( )
2 2 2 2
1
; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + =
. Từ (1), suy ra:
2
4 1
4
3
3
t t= ⇒ = ±
.
Vì A có hoành độ dương nên
1
3
t =
.
1
; 1

3
A
 
⇒ −
 ÷
 
.
Đường thẳng AC đi qua A vuông góc với
1
d
nên có phương trình
3 3 4 0x y− − =
.
Vì C là giao điểm của AC và
2
d
nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
2
3 3 4 0
2
; 2
3
3
3 0
2
x
x y
C
x y
y



= −
− − =
 
 
⇔ ⇒ = − −
 
 ÷
 
− =



= −

.
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (T). Ta có I là trung điểm của AC
1 3
;
2
2 3
I
 
⇒ − −
 ÷
 

và
1 1

.2 1
2 2
R AC= = =
.
Vậy, phương trình đường tròn (T) là :
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 
.
Bài 5 . (KA-2010-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6;6) ; đường thẳng đi qua trung điểm
các cạnh AB và AC có phương trình :
4 0x y+ − =
. Tìm tọa độ đỉnh B và C biết điểm
( )
1; 3E −
nằm trên
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho .
Giải

Đặt
: 4 0d x y+ − =
.
Gọi D là trung điểm của BC, H là trung điểm của AD.
Ta có:
AD BC⊥
(Vì tam giác ABC cân) và
H d∈
.
Đường thẳng AD qua A(6;6) và vuông góc với d nên có phương trình:
0x y− =
.
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

( ) ( )
0 2
2;2 2; 2
4 0 2
x y x
H D
x y y
− = =
 
⇔ ⇒ = ⇒ = − −
 
+ − = =
 
(Vì H là trung
điểm của AD).
Đường thẳng BC qua D(-2;-2) và song song với d nên có phương trình:

4 0x y+ + =
.
Điểm B thuộc BC suy ra
( )
; 4B t t− −
. Vì D là trung điểm của BC nên
( )
4 ;C t t− −
.
Ta có :
( ) ( )
5 ; 3 ; 6; 10CE t t AB t t= + − − = − +
uuur uuur
.
Vì E nằm trên đường cao kẻ từ C cho nên
0CE AB =
uuuruuur
( ) ( ) ( ) ( )
2
0
5 6 3 10 0 2 12 0
6
t
t t t t t t
t
=

⇔ + − + + + = ⇔ + = ⇒

= −


.
Với
( ) ( )
0 0; 4 ; 4;0t B C= ⇒ − −
. Với
( ) ( )
6 6;2 ; 2; 6t B C= − ⇒ − −
.
Vậy,
( ) ( )
0; 4 ; 4;0B C− −
hoặc
( ) ( )
6;2 ; 2; 6B C− −
.
Bài 6.(KD-2010-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) và tâm đường tròn ngoại tiếp
là I(-2;0) . Xác định tạo độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
Giải
* Cách 1.Phương trình đường thẳng AH là
3x
=
.
Gọi D là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp. Suy ra I là trung điểm của AD.
Gọi M là giao điểm của HD và BC.
Vì tứ giác BHCD là hình bình hành nên M là trung điểm của BC.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 6 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A(6;6)
d:x+y-4=0

B CD
H
E(1;-3)
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Xét tam giác ADH có IM là đường trung bình. Suy ra
1
2
IM AH=
uuur uuur
.
Do đó
( )
2;3M −
.
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AH nên có phương trình
3y =
.
Gọi
( )
;3C m BC∈
, do C có hoành độ dương cho nên :
0m
>
.
Vì M là trung điểm của BC nên
( )
4 ;3B m− −
.
Ta có :
( ) ( )

7 ; 4 , 3;10BH m AC m= + − = −
uuur uuur
Do BH là đường cao
( ) ( )
. 0 7 3 40 0BH AC BH AC m m⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ + − − =
uuur uuur
2
2 65( )
4 61 0
2 65( )
m l
m m
m n

= − −
⇔ + − = ⇔

= − +


. Vậy,
( )
2 65;3C = − +
.
* Cách 2.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA :
Với
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2

3 2 7 0 74 : 2 74IA C x y= + + − − = ⇒ + + =
Phương trình AH :
3x
=
và
BC AH
⊥
suy ra (BC) có dạng
( 7)y a a= ≠ −
(vì (BC) không qua A) . Do đó tọa độ B,C thỏa mãn phương trình :
( )
2
2 2 2
2 74 4 74 0x a x x a+ + = ⇔ + + − =
(1).
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất 1 nghiệm đương
khi và chỉ khi:
( )
2
1. 74 0 70a a− < ⇔ <
.
Do C có hoành độ dương cho nên từ (1) ta có:
(
)
(
)
2 2
2 74 ; ; 2 74 ;B a a C a a= − − − = − + −
Vì
(

)
(
)
( ) ( )
2 2
. 0 74 5 74 5 7 1 0AC BH AC BH a a a a⊥ ⇔ = ⇔ − − − + + + − − =
uuur uuur
2
7( )
4 21 0
3( )
a l
a a
a n
= −

⇔ + − = ⇔

=

. Vậy
( )
2 65;3C = − +
.
Bài 7 (KD-2010-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(0;2) và d là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của A trên d . Viết phương trình đường thẳng d , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH
Giải
Gọi
( )

;H a b
là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy.
Ta có:
( ) ( )
;0 , 0;K a E b
.
Xét tam giác AEH vuông tại E ta có:
( )
2
2 2 2 2
2AH AE EH b a= + = − +

Mặt khác, ta có:
2 2 2
AH HK b= =
(gt)
Do đó:
( )
2
2 2 2
2 4 4 0b a b a b− + = ⇔ − + =
(1)
Vì tam giác OAH vuông tại H nên H nằm trên đường tròn (C) có đường kính OA , có tâm I (0;1) là trung
điểm của OA và bán kính bằng
2
OA
=1. cho nên (C) có phương trình :
( )
2

2
1 1x y+ − =
từ đó suy ra :
( )
2
2 2 2
1 1 2 0a b a b b+ − = ⇔ + − =
(2).
Từ (1) và (2) ta có hệ :
2 2
2 2 2 2
4 4 0 2 4 0
2 0 2 0
a b b b
a b b a b b
 
− + = + − =
 
⇔
 
+ − = + − =
 
 
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 7 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
y
x
O
H
K
d

A(0;2)
E
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Suy ra
(
)
2 5 2; 5 1H − −
hoặc
(
)
2 5 2; 5 1H − − −
.
Vậy có hai đường thẳng d:
( )
5 1 2 5 2 0x y− − − =
hoặc :
( )
5 1 2 5 2 0x y− + − =
Chú ý : Ta còn có cách giải khác :
Gọi
( )
;H a b
là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Gọi K,E lần lượt là hình chiếu của H lên trục Ox, Oy.
Xét tam giác vuông OAH ta có :

( )
2 2 2 2 2 2 2 2
4 2OA OH AH a b b a b= + ⇔ = + + = +
(1) ( do AH=HK )

Xét tam giác vuông AEH :
( )
2
2 2 2 2 2
2AH AE EH b b a= + ⇔ = − +
(2)
Từ (1) và (2), ta có:
( )
( )
2 2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 4
2 4 0
2 4 2
2 4
2
2 4
a b
b b
b b b
a b
b b a
a b
 
+ =


+ − =
= − + −
  
⇔ ⇔
  
+ =
= − +

+ =
 

 
Từ
2
1 5
2 4 0
1 5
b
b b
b

= − +
+ − = ⇒

= − −


* Với :
5 1b = −

thay vào
( ) ( )
2
2 2
4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − − = − + = −
Suy ra :
2 5 2a = ± −
. Do đó:
(
)
2 5 2; 5 1H − −
hoặc
(
)
2 5 2; 5 1H − − −
* Với :
1 5b = − −
thay vào
( ) ( )
2
2 2
4 2 4 2 5 1 4 12 4 5 4 5 2a b= − = − + = − − = − −
(vô nghiệm )
+/ Ta cũng có kết quả trên
Bài 8. (KB-2010-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh C(-4;1) , phân giác trong góc A có phương
trình
5 0x y+ − =
. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có
hoành độ dương.

Giải
Đặt
: 5 0d x y+ − =
Gọi C' là điểm đối xứng của C qua phân giác d thì C' phải nằm
trên AB và tam giác AC'C vuông cân tại A .
Gọi d' là đường thẳng qua C(-4;1) và vuông góc với d.
Phương trình đường thẳng d’ là :
5 0x y− + =
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên d thì tọa độ H là
nghiệm của hệ :
( )
5 0 0
0;5
5 0 5
x y x
H
x y y
− + = =
 
⇔ ⇔ ⇒
 
+ − = =
 
C' đối xứng với C qua H suy ra C'=(4;9).
Vì A nằm trên d suy ra
( )
;5A a a−
. Do hoành độ A dương cho nên
0a

>
.
Ta có :
( ) ( )
2 2
2 2 2
4 4 32; 4 4 2 16CH AC a a a= + = = + + − = +
Xét tam giác AHC vuông cân tại H ta có:
2 2 2
2 2 16 2 32 16 32 16 4AC HC a a a a= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = ⇒ =
( vì
0a
>
)
Với
4a =
suy ra A(4;1).
Đường thẳng AC' đi qua A(4;1) có nhận
( )
' 0;8AC =
uuuur
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số
là
4
1
x
y t
=



= +

.
Vì B thuộc AC' suy ra B(4;1+t)
2 2
0AB t t⇒ = + =
. Và
2 2
8 0 8AC = + =
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 8 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A
B
C(-4;1)d:x+y-5=0C'
0
45
0
45
H
y
x
O
H
K
d
A(0;2)
E
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
+/ Từ giả thiết :
( )
6 (4; 5)

1
24 . 48 8 6
6 4;7
2
ABC
t B
S AB AC t t
t B
= − → −

= = ⇔ = ⇒ = ⇒

= →

Do
, 'AB AC
uuur uuuur
cùng hướng suy ra : với B(4;-5) thì
( ) ( )
0; 6 , ' 0;5AB AC= − =
uuur uuuur
. Hai véc tơ ngược hướng cho
nên B(4;-5) loại . Vậy B(4;7) và đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương
( )
8; 6BC = − −
uuur
nên có
phương trình:
3 4 16 0x y− + =
.

Chú ý . Bài này còn có cách giải khác
Vì C' đối xứng với C qua d: x+y-5=0 suy ra C'(x;y) thỏa mãn :
( ) ( )
( )
4 1 0
' 4;9
4 1
5 0
2 2
x y
C
x y
+ − − =


⇒

− +
+ − =


.
Vì A thuộc đường tròn đường kính CC' nên tọa độ A(x;y) thỏa mãn :
( )
2
2
5 0
5 32
x y
x y

+ − =



+ − =


.
Với x>0 suy ra A(4;1).
Ta có
2
8 6.
ABC
S
AC AB
AC
= ⇒ = =
Vì B thuộc đường thẳng AC' : x=4 .Suy ra tọa độ có dạng B(4;m). Ta có:
( )
2
2
5
6 36 1 36
7
m
AB AB m
m
= −

= ⇒ = ⇒ − = ⇔


=

. Suy ra
( )
4; 5B −
hoặc
( )
4;7B
.
Vì
, 'AB AC
uuur uuuur
cùng hướng suy ra B(4;7) thỏa mãn. Vậy, đường thẳng BC qua B(4;7) có véc tơ chỉ phương
( )
8; 6BC = − −
uuur
nên có phương trình:
3 4 16 0x y− + =
.
Bài 9 (KB-2009-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác cân ABC tại A có đỉnh A(-1;4) và các đỉnh B,C thuộc đường
thẳng
: 4 0d x y− − =
. Xác định tọa độ các đỉnh B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Giải
Gọi H là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên H là hình chiếu của A lên d.
Gọi d' là đường thẳng qua A(-1;4) và vuông góc với d thì d' có phương
trình
3 0x y+ − =

.
Ta có H là giao điểm của d và d’ nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương
trình
7
3 0
7 1
2
;
4 0 1
2 2
2
x
x y
H
x y
y

=

+ − =


 
⇔ ⇒ = −
 
 ÷
− − =
 



= −


.
Khoảng cách từ A đến BC: d(A;BC)=d(A;d)=
1 4 4
9
2 2
AH
− − −
= =
Vì B thuộc d nên B(t;t-4 ), Vì H là trung điểm của BC nên C(7-t;3-t).
Ta có:
2 2
7 7 7
2
2 2 2
BH t t t
   
= − + − = −
 ÷  ÷
   
(1)
Theo giả thiết thì :
1 9
.2 . 18 . 2 2
2
2
S BH AH BH BH⇒ = ⇔ = ⇒ =
(2)

Từ (1) và (2) :
3
7 7
2
2 2 2 2
11
2 2
2
t
t t
t

=

− = ⇔ − = ⇔


=



Với
3 3 5 11 3
; ; ;
2 2 2 2 2
t B C
   
= ⇒ = − =
 ÷  ÷
   

“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 9 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A(-1;4)
B CH
x-y-4=0
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Với
11 11 3 3 5
; ; ;
2 2 2 2 2
t B C
   
= ⇒ = = −
 ÷  ÷
   
.
Bài 10 (KD-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB . Đường trung
tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là :
7 2 3 0x y− − =
và
6 4 0x y− − =
. Viết
phương trình đường thẳng AC.
Giải
Gọi H là chân đường cao hạ từ A. Phương trình đường cao
: 6 4 0AH x y− − =
.
Gọi N là trung điểm của AC. Phương trình trung tuyến
: 7 2 3 0AN x y− − =
.

Tọa độ A thỏa mãn :
( )
7 2 3 0
1;2
6 4 0
x y
A
x y
− − =

⇒ =

− − =

Vì M là trung điểm AB suy ra B(3;-2) .
Đường thẳng BC qua B(3;-2) vuông góc với đường cao AH nên có phương trình:
( ) ( )
3 6 2 0 6 9 0x y x y− + + = ⇔ + + =
.
Vì N là giao điểm của AN và BC nên tọa độ N thỏa mãn hệ phương trình
6 9 0
3
0;
7 2 3 0
2
x y
N
x y
+ + =


 
⇒ −

 ÷
− − =
 

.
Vì C đối xứng với B qua N suy ra C(-3;-1).
Vậy AC qua A(1;2) và nhận
( )
4; 3AC = − −
uuur
làm vec tơ chỉ phương nên có phương trình
4 5 0x y− + =
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình là
3 2 0x y− − =
và hai
điểm phân biệt
( )
1; 3A
và B không thuộc đường thẳng d . Lập phương trình đường thẳng AB . Biết
rằng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm của đường thẳng AB với đường thẳng d bằng hai lần
khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy viết phương trình các cạnh tam giác ABC biết trực tâm
H(1;0) , chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0;-2) và trung điểm cạnh AB là M(3;1).
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có diện tích bằng 2 . Đường thẳng AB có
phương trình x-y=0 . Điểm I(2;1) là trung điểm của cạnh BC . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn

thẳng AC.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết cạnh huyền nằm
trên đường thẳng d: x+7y-31=0 , điểm
5
1;
2
N
 
 ÷
 
thuộc đường thẳng AC , điểm M(2;-3) thuộc đường
thẳng AB . Xác định tọa dộ các đỉnh tam giác .
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao AH , đường trung tuyến CM
và đường phân giác trong BD . Biết H(-4;1), M
17
;12
5
 
 ÷
 
và
: 5 0BD x y+ − =
. Tìm tọa độ đỉnh A .
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân đỉnh A , đỉnh B thuộc đường thẳng
: 4 2 0d x y− − =
. Cạnh AC song song với đường thẳng d . Đường cao kẻ từ A có phương trình:
3 0x y+ + =
. Điểm M(1;1) nằm trên cạnh AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có chu vi bằng 16 . đỉnh A và B
thuộc đường thẳng d có phương trình

2 2 2 2 0x y− − =
. B và C thuộc Ox . Xác định tọa độ trọng
tâm tam giác ABC.
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-3) và đường thẳng BC có
phương trình : x-2y-2=0 . Tìm tọa độ B,C biết tam giác ABC vuông cân tại B.
Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(5;-3), trọng tâm G(3;1) .Đỉnh B
thuộc đường thẳng d có phương trình : 2x+y-4=0 . Tìm tọa độ các dỉnh B,C biết BC bằng
2 2
và B
có tọa độ nguyên.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: 2x+y-1=0 ,
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 10 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A
B CH N
M(2;0)
7x-2y-3=06x-y-4=0
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
phương trình AC: 3x+4y+6=0 và điểm M(1;-3) nằm trên đường thẳng BC thỏa mãn 3MB=2MC . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình cạnh
: 4 0BC x y− + =
, trung điểm cạnh AC là M(0;3) , đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại điểm N(7;-1). Xác định tọa độ các đỉnh A,B,C và viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam
giác HBC.
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3;4) ;B(1;2), đỉnh C thuộc
đường thẳng d có phương trình : x+2y+1=0 , có trọng tâm G . Biết diện tích tam giác GAB bằng 3, tìm
tọa độ đỉnh C .
Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đỉnh A(1;-2), đường cao CH , phân
giác trong BK lần lượt có phương trình
1 0x y− + =

và
2 5 0x y+ + =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc
đường thẳng BC sao cho tam giác AMB cân tại M.
Bài 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có cạnh AC đi qua M(0;-1). Biết
AB=2AM, đường phân giác trong AD có phương trình : x-y=0 và đường cao CH có phương trình là
2x+y+3=0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2) và đường thẳng d: x-2y+3=0 . Tìm trên
đường thẳng d hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại C và AC=3BC .
II. VỀ HÌNH CHỮ NHẬT
Cần nắm:
1. Trong hình chữ nhật : Hai cạnh liên tiếp vuông góc nhau
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường
3. Hai cạch đối diện nhau bằng nhau
3. Theo tính chất hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến :
- Các góc so le bằng nhau.
- Các góc cùng phía bằng nhau.
Bài 1. (KD-2012 )
Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD . Các đường thẳng AC và AD có phương trình
3 0x y+ =
và
4 0x y− + =
, đường thẳng BD đi qua diểm
1
;1
3
M
−
 
 ÷

 
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Giải
Vì AC cắt AD tại A nên tọa độ điểm A thỏa mãn:
( )
3 0 1
3;1
4 0 3
x y y
A
x y x
+ = =
 
⇔ ⇒ = −
 
− + = = −
 
.
Gọi d' là đường thẳng đi qua M song song với AD. Đường thẳng d’ có
phương trình:
4
0
3
x y− + =
Gọi N là giao điểm của d' và AC. Tọa độ điểm N thỏa mãn
3 0 1
1
1;
3
4

3
0
1
3
x y
y
N
x y
x
+ =
 
= −
 
 
⇔ ⇔ = −
 
 ÷
− + =
 
 
=
 
.
Gọi E là trung điểm MN
2 2
;
3 3
E
 
⇒ = −

 ÷
 
.
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua E vuông góc với AD. Đường thẳng
∆
có phương trình
0x y+ =
.
Đường thẳng
∆
cắt AC tại I thì I là tâm hình chữ nhật.
Tọa độ I thỏa mãn
( )
0 0
0;0
3 0 0
x y x
I
x y y
+ = =
 
⇔ ⇒ =
 
+ = =
 
. Vì C đối xứng với A qua I, suy ra
( )
3; 1C = −

.
Đường thẳng
∆
cắt AD tại K thì K là trung điểm của AD.
Tọa độ K thỏa mãn
( )
0 2
2;2
4 0 2
x y x
K
x y y
+ = = −
 
⇔ ⇒ = −
 
− + = =
 
. Vì D đối xứng với A qua K nên
( )
1;3D = −
.
Ta lại có B đối xứng với D qua I nên ta có :
( )
1; 3B = −
.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 11 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A B
CD
I

A B
CD
I
M
N
EK
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Vậy,
( ) ( ) ( )
3; 1 ; 1;3 ; 1; 3C D B= − = − = −
.
Bài 2 .(KA-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6;2) là giao điểm của của hai đường
chéo AC và BD . Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
∆
có phương trình x+y-5=0 . Viết phương trình đường thẳng AB.
Giải
Vì E thuộc d suy ra E(t;5-t) . Gọi F là điểm đối xứng với E qua I thì F thuộc
AB và F(12-t;t-1 ).
Khi đó :
( ) ( )
11 ; 6 ; 6 ; 3MF t t IE t t= − − = − −
uuur uur

Theo tính chất hình chữ nhật :
( ) ( ) ( ) ( )
0 11 6 6 3 0MF IE MF IE t t t t⇒ ⊥ ⇔ = ⇔ − − + − − =
uuuruur
2
7

13 42 0
6
t
t t
t
=

⇔ − + = ⇔

=

Với
7t
=
ta có
( ) ( )
5;6 4;1F MF= ⇒ =
uuur
. Đường thẳng AB qua M(1;5) có
MF
uuur
là chỉ phương nên có
phương trình
4 19 0x y− + =
.
Với
6t
=
ta có
( ) ( )

6;5 5;0F MF= ⇒ =
uuur
. Đường thẳng AB qua M(1;5) có
MF
uuur
là chỉ phương nên có
phương trình
5y =
.
Vậy,
: 4 19 0AB x y− + =
hoặc
: 5AB y =
.
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
: – 2 1 0AB x y + =
, phương trình đường thẳng
: – 7 14 0BD x y + =
, đường thẳng AC đi qua M(2; 1). Tìm
toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết C có tọa độ nguyên.
Giải
Ta có B là giao của BD với AB cho nên tọa độ B là
nghiệm của hệ:
2 1 0
21 13
;
7 14 0
5 5
x y
B

x y
− + =

 
⇒

 ÷
− + =
 

- Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AB cho nên
có véc tơ chỉ phương:
( ) ( )
1; 2 2;1
BC
u n= − ⇒ =
r uuur
.
Nên BC có phương trình:
2 11 0x y+ − =
.
Gọi
( )
;n a b=
r
là vectơ pháp tuyến của AC.
Ta có:
( )
2 7
1

os BD,BC
5.5 2 10
c
−
= =
;
( )
2 2
2
os AC,BC
5
a b
c
a b
+
=
+
Vì
· ·
CBD ACB=
nên
( ) ( )
os BD,BC os AC,BCc c=
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
1
2 2 7 8 0

7
10
5
a b
a b
a b a b a ab b
b a
a b
= −
+

⇔ = ⇔ + = + ⇔ + + = ⇔

= −
+

+ Với
a b
= −
, chọn
1 1b a
= ⇒ = −
. Ta có
( )
1;1n = −
r
. Đường thẳng AC đi qua M và có vectơ pháp tuyến
( )
1;1n = −
r

nên có phương trình là:
( )
2 1 0 1 0x y x y− − + − = ⇔ − + + =
.
Vì C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
( )
2 11 0
4;3
1 0
x y
C
x y
+ − =

⇒

− + + =

Vì A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ điểm A thỏa mãn hệ phương trình:
( )
1 0
1;0
2 1 0
x y
A
x y
− + + =

⇒


− + =

Gọi I là giao điểm của AC và BD, tọa độ I thỏa mãn:
1 0
7 5
;
– 7 14 0
2 2
x y
I
x y
− + + =

 
⇒

 ÷
+ =
 

Vì D đối xứng với B qua I nên
14 12
;
5 5
D
 
 ÷
 
.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 12 Thầy. Nguyễn Xuân Quân

A B
CD
M(1;5)
E
F
d:y+y-5=0
I(6;2)
A
B
C
D
x-7y+14=0
x-2y+1=0
I
M(2;1)
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
+ Với
7b a
= −
, chọn
1 7a b
= ⇒ = −
. Ta có
( )
1; 7n = −
r
. Đường thẳng AC đi qua M và có vectơ pháp
tuyến
( )
1; 7n = −

r
nên có phương trình là:
( ) ( )
2 7 1 0 7 5 0x y x y− − − = ⇔ − + =
.
Vì C là giao điểm của AC và BC nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
2 11 0
24 7
;
7 5 0
5 5
x y
C
x y
+ − =

 
⇒

 ÷
− + =
 

(loại vì tọa độ C nguyên).
Vậy,
( )
1;0A
,
21 13
;

5 5
B
 
 ÷
 
,
( )
4;3C
,
14 12
;
5 5
D
 
 ÷
 
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , giao điểm hai
đường chéo là I(
9 3
;
2 2
), trung điểm cạnh BC là M(3;0) và hoành độ điểm B lớn hơn hoành độ điểm C.
Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB có phương trình:
1 0x y− + =
, tọa độ tâm I(1;1) . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật , biết AB=3BC và A có hoành
độ âm.
Bài 3. Viết phương trình cạnh AB của hình chữ nhật ABCD biết cạnh AB ,BC,CD và DA lần lượt

đi qua các điểm M(4;5) ,N(6;5);P(5;2) và Q(2;1) với diện tích hình chữ nhật bằng 16 .
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1;1). Các đường thẳng
chứa các cạnh AB , AD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;3) . Xác định tọa độ các điểm
A,B,C,D , biết 3AB=2AD và điểm A có hoành độ âm.
III. VỀ HÌNH VUÔNG
Cần nắm:
1. Các cạnh đôi một vuông góc nhau và bằng nhau
2. Hai đường chéo bằng nhau và vuông góc với nhau
3. Bốn tam giác vuông cân : AIB,BIC,CID và AID bằng nhau .
4. Nếu cạnh hình vuông bằng a thì hai đường chéo có đọ dài là
2a
5. Hình vuông nội tiếp trong đường tròn có tâm I bán kính R=
2
2
a
Bài 1 . Một hình vuông có đỉnh
( )
– 4;5A
và một đường chéo có phương trình
7 – 8 0x y + =
. Hãy lập
phương trình đường chéo còn lại và các cạnh của hình vuông ấy.
Giải
Thay tọa độ điểm A và phương trình
7 – 8 0x y + =
không thỏa mãn. Do đó phương
trình đường chéo BD là
7 – 8 0x y + =
.
Đường chéo AC đi qua A và vuông góc với BD nên có phương trình:

7 31 0x y+ − =
.
Gọi I là tâm của hình chữ nhật, ta có I giao điểm của AC và BD. Tọa độ điểm I là
nghiệm của hệ phương trình :
7 8 0
1 9
;
7 31 0
2 2
x y
I
x y
− + =

 
⇒ = −

 ÷
+ − =
 

.
Vì I là trung điểm của AC nên
( )
3;4C
.
Vì
B BD∈
nên tọa độ điểm B có dạng:
( )

;7 8B t t +
. Vì I là trung điểm BD nên suy ra
( )
1 ;1 7D t t− − −
.
Ta có:
2
0
0
1
t
BI AI t t
t
=

= ⇔ + = ⇔

= −

.
Với
( ) ( )
0 0;8 , 1;1t B D= ⇒ −
. Với
( ) ( )
1 1;1 , 0;8t B D= − ⇒ −
.
Vì tọa độ 2 điểm B và D hoán đổi cho nhau nên ta chọn
( ) ( )
0;8 , 1;1B D −

.
Ta có:
( )
4;3AB =
uuur
.
Đường thẳng AB đi qua A và nhận
( )
4;3AB =
uuur
làm vectơ chỉ phương nên có pt:
3 4 32 0x y− + =
.
Đường thẳng AD đi qua A và nhận
( )
4;3AB =
uuur
làm vectơ pháp tuyến nên có pt:
4 3 1 0x y+ + =
.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 13 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A B
CD
I
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Đường thẳng DC đi qua C và nhận
( )
4;3AB =
uuur
làm vectơ chỉ phương nên có pt:

3 4 7 0x y− + =
.
Đường thẳng BC đi qua C và nhận
( )
4;3AB =
uuur
làm vectơ pháp tuyến nên có pt:
4 3 24 0x y+ − =
.
Bài 2. (KA-2012). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD .Gọi M là trung điểm cạnh BC, N
là điểm trên cạnh CD sao cho CN=2ND .Giả sử
11 1
;
2 2
M
 
 ÷
 
và đường thẳng AN có phương trình 2x-y-3=0
Tìm tọa độ đỉnh A.
Giải
Gọi giao của AN với BD là P .Kẻ qua P đường thẳng song song với AB cắt
AD tại E cà cắt BC tại K.
Vì hai tam giác PDN và PBA đồng dạng nên
3
PA AB
PN DN
= =
.
(Vì

3AB DC DN= =
). Ta lại có hai tam giác AEP và AND đồng dạng nên
3
AE AP
ED PN
= =
.
Đặt
ED x
=
, suy ra
3AE x
=
.
Xét tam giác EPD ta có
· ·
0 0
90 ; 45DEP EDP= =
nên EPD là tam giác vuông cân tại E
ED EP x
⇒ = =
. Suy
ra
3AE PK x= =
. Mặt khác ta lại có KC=x cho nên MK=x , cho nên tam giác AEP=PKM. Từ đó suy ra
AP
⊥
PM và AP=PM .
Do đó suy ra
APM∆

vuông cân tại P. Ta có:
( )
3 10
2 2. ,
2
AM PM d M AN= = =
.
Vì A thuộc AN suy ra A(t;2t-3). Ta có:
2 2
3 10 11 7 45
2
2 2 2 2
MA t t
   
= ⇔ − + − =
 ÷  ÷
   
( )
( )
2
1 1; 1
5 4 0
4 4;5
t A
t t
t A
= → −
⇔ − + = ⇒

= →



Chú ý :
Phần chứng minh AP
⊥
PM còn có cách khác .
+/ Gọi cạnh hình vuông là x . Hai tam giác PDN đồng dạng với PAB suy ra
3
3 3 ; 3
PB PA AB DN
PB PD PA PN
PD PN DN DN
= = = = ⇒ = =
+/ Xét tam giác vuông ADN
( )
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 10 10 5
4
3 9 9.16 72
x x x
AN AD DN PN x x PN
 
= + ⇔ = + = ⇒ = =
 ÷
 
Nhưng :
2 2

2 2
5 5
3 9 9
72 8
x x
AP PN AP PN= ⇒ = = =
(1)
+/ Xét tam giác PBM với
¼
0
45PBM =
, ta áp dụng hệ thức cosin trong tam giác ta có :
2 2 2 0
2 . . os45PM PB BM PB PM c= + −
(*)
Ta có:
1
3 3
4
AE AP
AE ED ED x
AD AN
= = ⇒ = ⇒ =
, suy ra PB=3PD=3.ED
3
2 2
4
x=
.
Thay vào (*) ta được :

2
2 2
2
3 3 2 5
2 2 2
4 4 4 2 2 8
x x x
PM x x
   
= + − =
 ÷  ÷
   
(2)
+/ Xét tam giác CMN :
2
2 2
2 2 2
2 25
4 3 36
x x
MN CM CN x
 
= + = + =
 ÷
 
(3)
Từ (1) ,(2),(3) ta có AP=PM và
2 2 2
2 2 2
5 5 25

72 8 36
x x x
AP PM MN+ = + = =
. Tam giác PMN vuông cân tại P
hay
PM AP⊥
. (…) (Làm như trên)
Bài 3. (KA-2014). Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của AB
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 14 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A B
M
CD N
P
E
K
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
và N điểm thuộc đoạn AC sao cho
3AN NC
=
. Viết phương trình đường thẳng CD, biết rằng
( )
1;2M
,
( )
2; 1N −
.
Giải
Ta có
10MN =
.

Gọi
a
là độ dài cạnh của hình vuông ABCD (Điều kiện
0a >
).
Ta có
2AC a=
. Theo giả thiết ta có :
2
a
AM =
và
3 3 2
4 4
AC a
AN = =
.
Xét tam giác AMN, theo định lí côsin ta có:
·
2
2 2 2
5
2. . .cos
8
a
MN AM AN AM AN MAN= + − =
.
Do đó, ta có :
2
5

10 4
8
a
a= ⇒ =
.
Gọi
( )
;I x y
là trung điểm của CD. Ta có :
4IM AD= =
và
1
2
4
IN BD= =
.
Khi đó I là giao điểm của đường tròn tâm M, bán kính bằng 4 và đường tròn tâm N, bán kính bằng
2
.
Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ :
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
1
2
1 2 16
17
2 1 2
5

6
5
x
y
x y
x
x y
y
 =



= −



− + − =



⇔

=



− + + =







= −




( )
1; 2I⇒ −
hoặc
17 6
;
5 5
I
 
−
 ÷
 
+) Với
( )
1; 2I −
( )
0;4IM⇒ =
uuur
. Đường thẳng CD đi qua I và nhận
( )
0;4IM =
uuur
làm vectơ pháp tuyến nên

có phương trình :
2 0y + =
.
+) Với
17 6
;
5 5
I
 
−
 ÷
 
12 16
;
5 5
IM
 
⇒ = −
 ÷
 
uuur
. Đường thẳng CD đi qua I và nhận
12 16
;
5 5
IM
 
= −
 ÷
 

uuur
làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình :
3 4 15 0x y− − =
.
Vậy,
: 2 0CD y + =
hoặc
:3 4 15 0CD x y− − =
.
Chú ý : bài này còn có cách giải khác :
Ta có
10MN =
.
Gọi I là tâm của hình vuông.
Dựng đường thẳng đi qua N và vuông góc với AB cắt AB, CD lần lượt tại K, H .
Vì N là trung điểm của IC nên K là trung điểm của MB.
Ta có
AMK∆
vuông tại K và
·
0
45MAK =
nên
AMK∆
vuông cân nên
AK NK=
.
Đặt
( )

0MK a a= >
. Ta có
3NK AK a= =
.
Xét tam giác MKN vuông tại K, theo định lí Pitago, ta có
( )
2
2 2 2 2
3 10 1MK NK MN a a a+ = ⇔ + = ⇒ =
.
Xét tam giác MAD vuông tại A, ta có :
2 2 2 2 2
2 4 20 2 5MD MA AD MD= + = + = ⇒ =
.
Ta có
1NH HC
= =
. Xét tam giác NHD vuông tại H, ta có :
2 2 2 2 2
1 3 10 10ND MH HD ND= + = + = ⇒ =
.
Do đó, D là giao điểm của đường tròn tâm M, bán kính
2 5
và đường tròn tâm N, bán kính
10
.
Tọa độ điểm D thỏa mãn :
( ) ( )
( ) ( )
2 2

2 2
1
1 2 20
2
5
2 1 10
0
x
x y
y
x
x y
y
 = −




− + − =
= −
 

⇔


=

− + + =





=



( )
1; 2D⇒ − −
hoặc
( )
5;0D
.
Mặt khác, gọi P là giao điểm của MK và CD. Ta có hai tam giác NHP và NKM đồng dạng nên :
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 15 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
1
3
NP NH
NM NK
= =
. Suy ra
( )
( )
1
7
2 1 2
1 7
3
; 2
3

1
3 3
2
1 2 1
3
P
P
P
P
x
x
NP NM P
y
y

− = − −


=
 
 
= − ⇔ ⇔ ⇒ −
 
 ÷
 
 
= −
+ = − +




uuur uuuur
.
+) Với
( )
1; 2D − −
và
7
; 2
3
P
 
−
 ÷
 
. Ta có đường thẳng CD đi qua D và nhận
DP
uuur
làm vectơ chỉ phương nên
có phương trình :
2 0y + =
.
+) Với
( )
5;0D
và
7
; 2
3
P

 
−
 ÷
 
. Ta có đường thẳng CD đi qua D và nhận
DP
uuur
làm vectơ chỉ phương nên có
phương trình :
3 4 15 0x y− − =
.
Vậy,
: 2 0CD y + =
hoặc
:3 4 15 0CD x y− − =
.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết AB,CD,lần lượt đi qua các điểm P(2;1)
và Q(3;5), còn BC và AD qua các điểm R(0;1) và S(-3;-1).
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
( ) ( )
2
2
5
: 1 2
4
C x y
 
− + − =
 ÷

 
. Xác định tọa độ
các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B, C thuộc đường tròn (C), hai đỉnh A,D thuộc trục Ox
và đỉnh B có tung độ dương.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I
3 1
;
2 2
 
 ÷
 
. Các đường thẳng AB
và CD lần lượt đi qua các điểm M(-4;-1),N(-2;-4). Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông, biết B có hoành độ
âm.
IV. VỀ HÌNH THOI
Cần nắm:
1. Có hai cặp cạnh tương ứng song song và bằng nhau
2. Hai đường chéo cắt nhau tại điểm giữa mỗi đường và chúng vuông góc
với nhau
3. Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi
4. Các tam giác cân bằng nhau : ABD=CBD và ABC=ADC .
5. Diện tích hình thoi bằng tích hai đường chéo :
1
.
2
S AC BD=
.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm I(1;1) , điểm M(2;3) thuộc đường thẳng
chứa cạnh AB và N(4;-1) thuộc cạnh CD . Biết độ dài AC=2BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi.
Giải

Gọi E đối xứng với N qua I thì E thuộc cạnh AB và E(-2;3) ,do đó AB
có vectơ chỉ phương
( )
4;0ME = −
uuur
. Suy ra AB có phương trình
3 0y − =
và có vec tơ pháp tuyến là
( )
0;1
AB
n =
uuur
.
Gọi
( )
;
AC
n a b=
r
là vectơ pháp tuyến của AC (với
2 2
0a b+ >
) thì
ta có:
( )
2 2
0.
os AB;AC
a b

c
a b
+
=
+
(1)
Mặt khác, từ AC=2BD suy ra IA=2IB . Xét tam giác vuông AIB có :
2 2 2
2 2 2 2
2
5 4
4 4 5
IA IA IA
AB IA IB IA
AB
= + = + = ⇔ =
( )
2
os AB;AC
5
IA
c
AB
⇒ = =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
( )
2 2 2 2 2
2 2
2

0.
2
4 5 4
2
5
b a
a b
a b b b a
b a
a b
= −
+

= ⇔ + = ⇔ = ⇔

=
+

.
+/ Với
2b a= −
, chọn
1, 2a b= = −
thì AC có vectơ pháp tuyến
( )
1; 2
AC
n = −
r
. Đường thẳng AC đi qua I

“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 16 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A
B
C
D
I
A
B
C
D
M(2;3)
N(4;-1)
I(1;1)
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
và nhận
( )
1; 2
AC
n = −
r
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
2 1 0x y− + =
.
Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên có phương trình:
2 3 0x y+ − =
.
Vì A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ A thỏa mãn:
( )
3 0
5;3

2 1 0
y
A
x y
− =

⇒

− + =

.
Vì B là giao điểm của AB và BD nên tọa độ B thỏa mãn:
( )
3 0
0;3
2 3 0
y
B
x y
− =

⇒

+ − =

.
Ta có:
( ) ( )
7;0 , 2;0AE BE= − = −
uuur uuur

, hai vectơ này cùng hướng . Do đó điểm E không nằm trên cạnh AB.
Suy ra hai điểm A, B này không thỏa mãn.
+/ Với
2b a
=
, chọn
1, 2a b= =
thì AC có vectơ pháp tuyến
( )
1;2
AC
n =
r
. Đường thẳng AC đi qua I và
nhận
( )
1;2
AC
n =
r
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
2 3 0x y+ − =
.
Đường thẳng BD đi qua I và vuông góc với AC nên có phương trình:
2 1 0x y− − =
.
Vì A là giao điểm của AB và AC nên tọa độ A thỏa mãn:
( )
3 0
3;3

2 3 0
y
A
x y
− =

⇒ −

+ − =

.
Vì B là giao điểm của AB và BD nên tọa độ B thỏa mãn:
( )
3 0
2;3
2 1 0
y
B
x y
− =

⇒

− − =

.
Ta có:
( ) ( )
1;0 , 4;0AE BE= = −
uuur uuur

, hai vectơ này ngược hướng . Do đó điểm E nằm trên cạnh AB. Suy ra hai
điểm A, B này thỏa mãn bài toán.
Vì I là trung điểm AC và BD nên suy ra
( ) ( )
5; 1 , 0; 1C D− −
.
Vậy,
( )
3;3A −
,
( )
2;3B
,
( ) ( )
5; 1 , 0; 1C D− −
.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là :
7 31 0x y+ − =
, hai
đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng
1 2
: 8 0; : 2 3 0d x y d x y+ − = − + =
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi
biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm .
Giải
Cách 1.
Vì B thuộc
( )
1 1 1
;8d B t t⇒ −

và D thuộc
( ) ( )
2 2 2 2 1 2 1
2 3; 2 3; 8d D t t BD t t t t⇒ − ⇒ = − − + −
uuur
Dường thẳng AC có vectơ pháp tuyến
( )
1;7n =
r
. Do BD vuông góc
AC nên vec tơ
BD
uuur
cùng phương với
( )
1;7n =
r
.

2 1 2 1
2 1
2 3 3
13 8 13
1 7
t t t t
t t
− − + −
⇒ = ⇔ − =
(1)
Gọi I là trung điểm của BD, ta có:

1 2 1 2
2 3 8
;
2 2
t t t t
I
+ − − +
 
 ÷
 
Vì I thuộc AC nên
1 2 1 2
2 3 8
7 31 0
2 2
t t t t+ − − +
 
+ − =
 ÷
 
2 1 2 1
9 6 9 3 2 3t t t t⇔ − = ⇔ − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
( )
( )
1
2 1
2 1
2

0 0;8
13 8 13
3 2 3
1 1;1
t B
t t
t t
t D
= ⇒
− =


⇔
 
− =
= ⇒ = −



Từ đó suy ra :
( )
1;7 5 2BD BD= ⇒ =
uuur
và đường thẳng BD có phương trình
7 8 0x y− + =
.
Vì I là trung điểm của BD nên
1 9
;
2 2

I
 
= −
 ÷
 
Vì A thuộc AC
( ) ( )
( )
7 31 7 8
5
31 7 ; ; 9 2
5 2 2
t t
A t t d A BD t
− − +
⇒ − ⇒ = = −
+/ Từ giả thiết :
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 17 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
A
B
C
D
x+7y-31=0
x+y-8=0
x-2y+3=0
I
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
( )
1 5
2 2 . A;BD 5 2. 9 2 75 9 2 3

2
2
ABCD ABD
S S BD d t t= = = − = ⇔ − =
9 2 3 6
9 2 3 3
t t
t t
− = − =
 
⇔ ⇔
 
− = =
 
.
Với
( )
6 11;6t A= ⇒ −
. Với
( )
3 10;3t A= ⇒
(loại)
Khi
( )
11;6A −
, vì I là trung điểm của AC nên C(10;3).
Vậy, các đỉnh hình thoi thỏa mãn là A(-11;6),B(0;8),C(10;3) và D(-1;1).
* Chú ý : Ta còn cách giải khác
Đường thẳng BD vuông góc với AC có dạng : 7x-y+m=0 ( với m là tham số )
BD cắt

1
d
tại B thỏa mãn :
8 0
7 0
x y
x y m
+ − =


− + =

, suy ra tọa độ
1 ;7
8 8
m m
B
 
− +
 ÷
 
. Tương tự BD cắt
2
d
tại D
thỏa mãn :
2 3 0
3 2 21
;
7 0

13 13
x y
m m
D
x y m
− + =

− −
 
⇒

 ÷
− + =
 

Trung điểm I của BD theo m; sau đó thay tọa độ I vào phương trình của AC ta được phương trình có chứa
ẩn m . Giải phương trình này ta tìm đựơc m=8.
+/ Từ đó ta tìm được B,D . Các bước tiếp theo như phần sau của cách trên .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng
1
: 4 9 0d x y
+ − =
,
2
: 2 6 0,d x y
− + =
3
: 2 0d x y
− + =

Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD, biết hình thoi ABCD có diện tích bằng
15, các đỉnh A,C thuộc
3
d
, B thuộc
1
d
và D thuộc
2
d
và hoành độ điểm A dương.
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thoi ABCD có A(1;-2),B(-3;3) và giao điểm hai
đường chéo nằm trên đường thẳng d: x-y+2=0 . Tìm tọa độ C và D.
V. VỀ ĐƯỜNG TRÒN
Cần nắm:
1.Đường tròn có tâm I(a;b) có bán kính R có phương trình :
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
2. Phương trình :
2 2
2 2 0x y ax by c+ + + + =
(với
2 2
0a b c+ − >
) là phương trình của đường tròn tâm
( )
;I a b− −
và bán kính là

2 2
R a b c= + −
.
3. Vị trí tương đối của điểm
( )
0 0
;M x y
so với đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R.
+/ Nếu
IM R>
, thì M nằm ngoài đường tròn (C).
+/ Nếu
IM R=
, thì M nằm trên đường tròn (C).
+ Nếu
IM R<
, thì M nằm bên trong đường tròn (C).
4. Vị trí tương đối của đường thẳng d : Ax+By+C=0 , so với đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R.
+/ Nếu
( )
,d I d R>
, thì d không cắt (C).
+/ Nếu
( )
,d I d R=
, thì d tiếp xúc với (C) , khi đó d gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C).
+/ Nếu
( )
,d I d R<
, thì d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N.

5. Đường thẳng qua tâm đường tròn và trung điểm của dây cung AB thì đường thẳng đó vuông góc với
dây cung đó. Ngược lại, một đường thẳng qua tâm đường tròn và vuông góc với dây cung AB thì đường
thẳng đó đi qua trung điểm của AB .
6. Từ một điểm M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) . Gọi I là tâm đường tròn và A, B là hai tiếp điểm của hai tiếp
tuyến thì ta có một số kết quả sau
- MA=MB và
;IA MA IB MB⊥ ⊥
- Tứ giác : MAIB nội tiếp trong một đường tròn có đường kính là MI
- MI là phân giác của hai góc :
·
AMB
và
·
AIB
.
7. Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại một điểm.
8. Đường thẳng d: Ax+By+C=0 là tiếp tuyến của đường tròn (I ;R) khi :
( )
,d I d R=
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 18 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Bài 1.( KB-2012-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 4; : 12 18 0C x y C x y x+ = + − + =
và đường thẳng d:
x-y-4=0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc
( )

2
C
, tiếp xúc với d và cắt
( )
1
C
tại hai điểm phân
biệt AB sao cho AB vuông góc với d.
Giải
Đường tròn
( )
1
C
có tâm là gốc tọa độ
( )
0;0O
, bán kính
1
2R =
.
Đường tròn
( )
2
C
có tâm
( )
2
6;0I
, bán kính
2

2 3R =
.
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn cần lập (C).
Gọi H là trung điểm của AB, ta có
IH AB⊥
. Mặt khác, trong đường
tròn
( )
1
C
ta cũng có
OH AB
⊥
. Do đó, I, O, H thẳng hàng và
OI AB
⊥
. (1)
Theo giả thiết, ta lại có
d AB⊥
(2).
Từ (1) và (2), ta có:
//OI d
. Tức là O nằm trên đường thẳng đi qua O
và song song với d.
Gọi d’ là đường thẳng đi qua O và song song với d. Suy ra d’ có
phương trình:
0x y− =
. Tọa độ điểm I có dạng:
( )
;I t t

Mặt khác theo giả thiết, tâm I thuộc đường tròn
( )
2
C
nên ta có:
2 2
2 12 18 0 6 9 0 3 (3;3)t t t t t I− + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒
Bán kính của đường tròn (C) là:
( )
3 3 4
4
; 2 2
2 2
R d I d
− −
= = = =
.
Vậy
( ) ( ) ( )
2 2
: 3 3 8C x y− + − =
.
Bài 2.(KA-2011-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng
: 2 0d x y+ + =
và đường tròn (C):
2 2
4 2 0x y x y+ − − =
. Gọi I là

tâm đường tròn (C), M là điểm thuộc đường thẳng d. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) ( A,B
là các tiếp điểm ). Tìm tọa độ điểm M , biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 .
Giải
Đường tròn (C) có tâm I(2;1) và bán kính
5R =
.
Nếu A,B là hai tiếp điểm thì IA
,IA MA IB MB⊥ ⊥
và từ giác MAIB nội
tiếp một đường tròn . Theo giả thiết
5IA IB= =
.
Vì
IAM IBM∆ = ∆
nên
1
5
2
IAM MAIB
S S= =
.
Xét tam giác IAM vuông tại A, ta có
1
. 5
2
IAM
S MA IA= =
10 10
2 5
5

MA
IA
⇒ = = =
.
Theo định lý Pi ta go, ta có
( ) ( )
2 2
2 2 2
2 5 5 25IM MA IA= + = + =
.Vì M thuộc d suy ra
( )
; 2M t t− −
.
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2; 4
25 2 3 25 2 2 12 0
3 3;1
t M
IM t t t t
t M
= → −
= ⇔ − + + = ⇔ + − = ⇔

= − → −



Vậy,
( )
2; 4M −
hoặc
( )
3;1M −
.
Bài 3.(KA-2010-CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp
xúc với
1
d
tại A và cắt
2
d
tại B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B . Viết phương trình của (T) , biết
tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 19 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Giải

Đường thẳng
1
d
có vectơ pháp tuyến
( )
1
3;1n =
ur
. Đường thẳng
2
d
có vectơ pháp tuyến
( )
2
3; 1n = −
uur
.
( )
( )
1 2 1 2
3 3 1
1
cos , cos ,
2.2 2
d d n n
−
⇒ = = =
uuruur
. Do đó ta thấy
·

0
60BOA =
.
(T) tiếp xúc với
1
d
tại A và tam giác ABC vuông tại B suy ra AC là đường kính , do vậy AC
1
d⊥
tại A .
Từ kết quả trên suy ra
·
0
60AOC =
. Xét tam giác vuông OAB :
0
3
.sin 60
2
OA
AB OA= =
và tam giác
vuông OAC :
0
.tan 60 . 3AC OA OA= =
.
Từ giả thiết :
0
1 3 1 3 3
. sin 60 3

2 2 2 2 2
ABC
S AB AC OA OA= ⇔ =
2
4
3
OA⇒ =
.
Do A thuộc
( )
2 2 2 2
1
; 3 3 4d A t t OA t t t⇒ − ⇒ = + =
.
Ta có
2
4
3
OA = ⇔
2
4 1
4
3
3
t t= ⇒ = ±
. Vì A có hoành độ dương suy ra
1
3
t =
và

1
; 1
3
A
 
= −
 ÷
 
.
Đường thẳng AC đi qua A vuông góc với
1
d
nên có phương trình
3 3 4 0x y− − =
.
Vì C là giao điểm của AC và
2
d
nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình:
2
3 3 4 0
2
; 2
3
3
3 0
2
x
x y
C

x y
y


= −
− − =
 
 
⇔ ⇒ = − −
 
 ÷
 
− =



= −

.
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (T). Ta có I là trung điểm của AC
1 3
;
2
2 3
I
 
⇒ − −
 ÷
 

và
1 1
.2 1
2 2
R AC= = =
.
Vậy, phương trình đường tròn (T) là :
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 
.
Bài 4.(KA2009-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =
và đường thẳng
∆
có phương
trình

2 3 0x my m+ − + =
(với m là tham số thực ). Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để
∆
cắt (C) tại hai
điểm A,B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
Giải
Đường tròn (C) có tâm
( )
2; 2I −
, bán kính
2R =
.
Khoảng cách từ I đến đường thẳng d là: d(I;d)=
2
1 4
1
m
IH
m
−
=
+
.
Để
∆
cắt (C) thì :
2
1 4
2
1

m
m
−
<
+
( )
( )
2
2
4 52 4 52
1 4 4 1
12 12
m m m
− +
⇔ − < + ⇔ < <
(*)
Diện tích tam giác là
¼ ¼ ¼
2
1 1
. sin sin sin 1
2 2
IAB
S IA IB AIB R AIB AIB= = = ≤
.
Do dó
IAB
S
đạt GTLN bằng 1 khi
¼ ¼

0
sin 1 90AIB AIB IA IB= ⇔ = ⇔ ⊥
.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 20 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
y
x
A
B
C
O
0
60
0
30
I(-2;-2)
A B
d
H
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Vậy tam giác IAB vuông cân tại I và
2
2 2 2 1 1IB IH IH IH IH= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
.
( )
2
2 2
2
0
1 4
1 1 4 1 15 8 0

8
1
15
m
m
m m m m
m
m
=

−

⇔ = ⇔ − = + ⇔ − = ⇔

=
+

Bài 5.(KB-2009)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai đường thẳng
: 0d x y− =
,
': 7 0d x y− =

. Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C') , biết đường tròn (C') tiếp xúc với
d và d' và tâm K thuộc (C).
Giải
Gọi K(a;b). Vì K thuộc (C) nên ta có:
( )
2
2
4
2
5
a b− + =
(1). Nếu (C') tiếp xúc với hai đường thẳng d và d'
thì : d(K;d)=d(K;d')
5 5 7
7
5 7
5 5 7
2 5 2
a b a b
a b a b
a b a b
a b b a
− = −
− −

⇔ = ⇔ − = − ⇔

− = −

4 2 2

6 12 2
a b b a
a b a b
= − = −
 
⇔ ⇔
 
= =
 
.
+/ Với b=2a, Thay vào (1) ta được
( )
2
2 2
4 16
2 4 5 4 0
5 25
a a a a− + = ⇔ − + =
. Phương trình vô nghiệm.
+/ Với a=2b, Thay vào (1) ta được:
( )
2
2 2
4 16 4 8
2 2 5 8 0
5 5 5 5
b b b b b a− + = ⇔ − + = ⇔ = ⇒ =
.
Do đó đường tròn (C’) có tâm K
8 4

;
5 5
 
 ÷
 
và bán kính
8 4
4 2 2
5 5
5
2 2 5 2
a b
R
−
−
= = = =
.
Bài 6. (KD-2009-NC)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) :
( )
2
2
1 1x y− + =
. Gọi I là tâm của (C). Xác định tọa độ
điểm M thuộc (C) sao cho
¼
0
30IMO =
.
Giải

Vì (C) có tâm I(1;0) nằm trên trục Ox với bán kính R=1 thì nó tiếp xúc với
Oy tại O. Suy ra tam giác IMO cân đỉnh I .Theo giả thiết
¼
0
30IMO =
, khi đó
góc ở đỉnh
¼
0
120MIO =
.
Áp dụng hệ thức côsin cho tam giác MIO, ta có:
2 2 2 0 2 2 2
1
2 . . os120 2 . . 3 3
2
OM IM IO IM IO c R R R R R
 
= + − = + − − = =
 ÷
 
Gọi M(a;b) ,vì M thuộc (C) nên ta có:
( )
2
2
1 1a b− + =
và
2
3OM =
2 2

3a b⇔ + =
.
Do đó tọa độ điểm M thỏa mãn :
( )
2
2
2 2
1 1
3
a b
a b

− + =


+ =


( )
2
2
2 2
2
3
2
3
3
1 3 1
2
2

3
3
3
4
2
3
2
a
b
a
a a
a b
b
a
b


=








=
=





− + − =
  

⇔ ⇔ ⇔
 


+ =



=
=









=




Vậy có hai điểm

1
3 3
;
2 2
M
 
−
 ÷
 ÷
 
và
2
3 3
;
2 2
M
 
 ÷
 ÷
 
( Hai điểm này đối xứng nhau qua Ox).
Bài 8 . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp trong đường tròn
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 21 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
x
y
O I(1;0)
M
0
30
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng

( ) ( )
2 2
( ) : 1 2 5C x y− + + =
và điểm A(2;0) . Biết diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ đỉnh C ,B.
Giải
Đường tròn (C ) có tâm
( )
1; 2I −
và bán kính
5R =
.
Vì tam giác vuông ABC tại B và nội tiếp trong đường tròn (C) cho nên
AC là đường kính, tức I là trung điểm của AC. Do đó
( )
0; 4C −
.
Đường thẳng AC qua A(0;-2) nhận
( )
1;2IA =
uur
làm VTCP nên có
phương trình:
2 4 0x y− − =
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AC ta có :
2
1 2.4 4
.
2
2 5 5

ABC
ABC
S
S AC BH BH
AC
= ⇒ = = =
.
Gọi B(a;b) thì
2 4
( , )
5
a b
BH d B AC
− −
= =
Do đó
2 8
2 4
4
2 4 4
2
5 5
b a
a b
a b
b a
= −
− −

= ⇔ − − = ⇔


=

Ta lại có B nằm trên (C) suy ra :
( ) ( )
2 2
1 2 5a b− + + =
(1)
+/ Nếu b=2a-8 thay vào (2)
( ) ( )
2 2
2
1
7
1 2 6 5 2 15 28 0
2
7 6
a b
a a a a
a b

= → = −

⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔

= → =

+/ Nếu b=2a :
( ) ( )
2 2

2
0 0
1 2 2 5 5 7 0
7 14
5 5
a b
a a a a
a b
= → =


⇔ − + + = ⇔ + = ⇔

= − → = −

Kết luận…
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C):
2 2
2 4 20 0x y x y+ − + − =
, và
đường thẳng d có phương trình : 3x+4y-20=0 . Chứng minh d tiếp xúc với (C) , Tam giác ABC có
đỉnh A thuộc (C), các đỉnh B và C thuộc d , trung điểm cạnh AB thuộc (C) . Tìm tọa độ các đỉnh
A,B,C , biết trực tâm của tam giác ABC trùng với tâm của đường tròn (C) và điểm B có hoành độ
dương.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( ') : 4 – 5 0C x y x+ + =

cùng đi qua M(1; 0). Viết phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn
( ), ( ')C C
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Bài 3. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0. Viết phương trình đường tròn (C') tâm M(5,
1) biết (C') cắt (C) tại các điểm A, B sao cho
3AB =
.
Bài 4. Trong (Oxy) cho điểm M(2;-1) và đường tròn (C):
2 2
9x y+ =
. Viết phương trình đường
tròn (C') có bán kính bằng 4 và cắt (C) theo dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất .
Bài 5. (KD-06). Cho đường tròn (C):
2 2
2 2 1 0x y x y+ − − + =
và đường thẳng d: x-y+3=0. Tìm
điểm M trên d sao cho đường tròn có tâm là M có bán kính gấp đôi bán kính của đường tròn (C) và
tiếp xúc ngoài với (C).
Bài 6. Cho đường thẳng
1 2
: 2 4 0, : 1 0d x y d x y+ − = + + =
và hai điểm
( )
( )
1; 5 , 1;3A B −

a/ Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1;1) và tiếp xúc với
1
d
b/ Viết phương trình đường tròn (C') qua A,B và có tâm thuộc
2
d
.
Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh B(1;1) . Đường tròn đường kính AB có phương
trình :
( )
2 2
: 4 2 4 0C x y x y+ − − + =
cắt cạnh BC tại H sao cho BC=4BH .Tìm tọa độ đỉnh C.
Bài 8. Cho đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 3 10C x y− + − =
nội tiếp trong hình vuông ABCD . Tìm tọa độ
các đỉnh hình vuông biết cạnh AB đi qua điểm M(-3;-2) và điểm A có hoành độ dương
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 22 Thầy. Nguyễn Xuân Quân
B
A(2;0)
I(1;-2)
C
H
Giáo án luyện thi đại học Chuyên đề: Giải tích phẳng
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn
( ) ( ) ( )
2 2
: 1 2 5C x y− + + =

,
¼
0
90ABC =
,
điểm A(2;0) và diện tích tam giác ABC bằng 4 . Tìm tọa độ đỉnh B.
“Con đường duy nhất để học toán là làm toán” - EuCilde Trang 23 Thầy. Nguyễn Xuân Quân