Chương IV- Bài 6:Hệ thức Viet và các ứng dụng

1
Mùa xuân
Mùa xuân
Chào mừng các thầy, cô giáo về dự
Chào mừng các thầy, cô giáo về dự
hội giảng
hội giảng
ngời thực hiện: nguyễn tiến dũng
Trờng THcs thụy Liên
Trờng THcs thụy Liên
Tiết 57. Hệ thức Vi - ét và ứng
Tiết 57. Hệ thức Vi - ét và ứng
dụng
dụng
2
Kiểm tra bài cũ
1. Viết công thức nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn.
2. Cho phơng trình: 2x
2
5x + 3 = 0
a. Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c
b. Chứng tỏ rằng x
1
= 1 là một nghiệm của phơng trình.
3. Cho phơng trình: 3x
2
+ 7x + 4 = 0
a. Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a b + c
b. Chứng tỏ rằng x
1
= -1 là một nghiệm của phơng trình.

3
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
- b
a

x
1
. x
2
=
c
a
Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+
bx+ c = 0 có nghiệm thì dù đó là
hai nghiệm phân biệt hay nghiệm
kép ta đều có thể viết các nghiệm
đó dới dạng:
-b+
2a
x
1

=
-b -
2a
x
2
=
Hãy tính x
1
+ x
2
, x
1
. x
2
.
x
1
+ x
2
=
x
1
. x
2
=
-b+
2a
-b -
2a
+

-b
=
a
-b+
2a
.
-b -
2a
=
(-b)
2
( )
2
4 a
2
=
b
2

4 a
2
b
2
b
2
+ 4 ac

=
4 a
2

=
4ac
4 a
2
c
=
a
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
4
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
-b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
Bài tập 25 ( SGK/ T 52)
Đối với mỗi phơng trình sau, kí
hiệu x
1
và x
2
là hai nghiệm (nếu
có). Không giải phơng trình hãy
điền vào những chỗ trống ( )
a. 2 x
2
17 x +1 = 0
=

x
1
+ x
2
= ,

x
1

.x
2
= ,
b. 8x
2
x +1 = 0
=

x
1
+ x
2
= ,

x
1
. x
2
= ,
281
17
2
1
2
- 31
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph

ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
5
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
- b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
áp dụng:
Tính nhẩm nghịêm cuả các phơng trình
a. 5x
2

+ 3x + 2 = 0

b. 2008 x
2
+ 2009x +1 = 0
c. x
2
+( m 1) x m = 0
a = - 5; b = 3; c = 2
a+ b + c = - 5 + 3+ 2 = 0

Nên phơng trình có 2 nghiệm
x
1
= 1; x
2
=
c
a
-2
5
=
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì

a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là x
2
=
- c
a
a

0
6
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
- b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phơng trình:
x
2
S x + P =
0
Điều kiện để có hai số đó là :S

2
4 P > 0
* Tìm hai số biết tổng của
chúng bằng S và tích bằng P?
Gọi một số là x thì số kia là S - x
Theo giả thiết ta có phơng trình:
x(S x) = P
hay x
2
Sx + P = 0 (1)
Thì phơng trình (1) có nghiệm. Các
nghiệm này chính là 2 số cần tìm.
Nếu = S
2
4P> 0
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là

x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là
x
2
=
- c
a
a

0
7
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
- b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phơng trình
x
2
S x + P =
0
Điều kiện để có hai số đó là :S
2
4 P > 0
áp dụng
1. Tìm hai số biết tổng của chúng
bằng 1, tích của chúng bằng 5.
2. Tính nhẩm nghiệm của phơng

trình x
2
- 6 x + 8 = 0
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax

2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là
x
2
=
- c
a
a

0
8
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
-b
a

x
1
. x
2

=
c
a
* ứng dụng:
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phơng trình
x
2
S x + P =
0
Điều kiện để có hai số đó là :S
2
4 P > 0
Nếu phơng trình bậc hai a
x
2
+ bx + c = 0
( a

0) có nghiệm
x
1
, x
2
thì
S =
x
1
+

x
2
=
- b
a
; P =
x
1
.
x
2
=
c
a
Điều kịên để một phơng trình bậc hai một ẩn
+ Có 2 nghiệm cùng dấu là:

0 , P> 0
- Có 2 nghiệm dơng là:

0 , P> 0, S > 0
- Có 2 nghiệm âm là :

0 , P> 0, S < 0
+ Có 2 nghiệm trái dấu là : P < 0
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph

ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là
x
2

=
- c
a
a

0
9
LuyÖn tËp
2. 2x
2
+ 3 x + 5 = 0 cã
nghiÖm lµ x
1
= - 1, x
2
=
- 5
2
4. 2 x
2
- 3 x + 1 = 0 cã nghiÖm
lµ x
1
= 1, x
2
=
- 1
2
Chän ®¸p ¸n ®óng; sai:
1 2

43
V
I E
T
A.
2
x
2
- (
2
+1) x+ 1 = 0
cã nghiÖm x
1
= 1,
x
2
=
2
2
1.
§
S
3 . x
2
- 3 x - 4 = 0 cã nghiÖm lµ
x
1
= - 1, x
2
= 4

S
§
10
Vi - ét ( 1540 1603)
Phrăng- xoa Vi ét sinh năm 1540 tại Pháp.
Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông
là ngời đầu tiên dùng chữ để kí hiệu các ẩn
và cả các hệ số của phơng trình, đồng thời
dùng chúng trong việc biến đổi và giải phơng
trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số
đã phát triển mạnh mẽ.
Ông đã phát hiện mối liên hệ giữa các nghiệm
và các hệ số của phơng trình mà ta vừa học.
Ông còn nổi tiếng trong việc giải mật mã.
Trong cuộc chiến tranh giữa Pháp và Tây Ban
Nha hồi cuối thế kỷ XVI, vua Hen ri IV đã
mời ông giải những mật mã lấy đợc của quân
Tây Ban Nha . Nhờ đó mà quân Pháp đã phá
đợc nhiều âm mu của đối phơng. Vua Tây
Ban Nha Phi Lip đã tuyên án thiêu sống ông
trên dàn lửa. Tuy nhiên, họ không bắt đợc
ông.
Ngoài việc làm toán, ông còn là một luật s và
là một chính trị gia nổi tiếng. Ông mất năm
1603.
Có thể bạn
cha biết
11
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
-b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phơng trình
x
2
S x + P =
0
Điều kiện để có hai số đó là :S
2
4 P > 0
Luyện tập
Không giải phơng trình, tính tổng
và tích các nghiệm của phơng

trình sau:
x
2
+ 2 x 5 = 0
Tính x
1

2
+ x
2
2

Tính x
1

3
+ x
2
3

Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2
+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là
x
2
=
- c
a
a

0
12
1. Hệ thức Vi - ét
* Định lý Vi ét:

x
1
+ x
2
=
- b
a

x
1
. x
2
=
c
a
* ứng dụng:
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì
hai số đó là hai nghiệm của phơng trình
x
2
S x + P =
0
Điều kiện để có hai số đó là :S
2

4 P > 0
1. Học lý thuyết bài hệ thức Vi et
2. Bài tập: 28 31, 33 SGK.T 53, 54

* Cho phơng trình với tham số m:
mx
2
2.( m + 1) x +( m 4) = 0 (1)
a. Tìm m để PT (1) có nghiệm
b. Tìm m để PT (1) có 2 nghiệm trái
dấu, khi đó trong 2 nghiệm,
nghiệm nào có giá trị tuyệt đối
lớn hơn.
c. Xác định m để các nghiệm x
1
, x
2

của (1) thoả mãn: x
1
+ 4 x
2
= 3
Nếu x
1
, x
2
là hai nghiệm của ph
ơng trình ax
2

+ bx+ c = 0 ( ) thì
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a+ b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= 1, còn nghiệm kia là
x
2
=
c
a
a

0
+ Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( ) có
a- b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm là
x
1
= -1, còn nghiệm kia là
x
2
=
- c

a
a

0