BÀI TẬP CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

BÀI TẬP CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp 3 bước:
1/





=+−−
=−+−
=−−
398,104,112,011,0
849,005,003,111,0
795,01,005,002,1
zyx
zyx
zyx
(*)
Giải:
(*)
⇔









+++=

+++=
+++=
04,1
398,1
0
04,1
12,0
04,1
11,0
03,1
849,0
03,1
05,0
0
03,1
11,0
02,1
795,0
02,1
1,0
02,1
05,0
0
z
yx
z
z
y
x
y

zy
xx
Gọi α=
















0
04,1
12,0
04,1
11,0
03,1
05,0
0
03,1
11,0
02,1

1,0
02,1
05,0
0
và β =
















04,1
398,1
03,1
849,0
02,1
795,0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α

<1,
Vì
∞
α
= max (0,147, 0,155, 0,221) = 0,221 <1
Nên thỏa điều kiện .
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
X
0
= β =
















04,1

398,1
03,1
849,0
02,1
795,0
Khi đó ta có :
X
1
=
X
α
0
+ β =










521777,1
972764,0
951605,0
, tương tự ta có
X
2
=











557123,1
999772,0
976290,0
X
3
=










562951,1
004124,1
981079,0
Vậy nghiệm của hpt:

x= 0,981079
y= 1,004124
z= 1,562851
2/





=+−
=−+
=++
8,162,75,12,1
55,105,15,52,2
55,162,12,21,6
zyx
zyx
zyx
(*) với
X
0
=











5,2
2
5,1

Giải:
(*)
⇔









+++
−
=
+++
−
=
+−−=
2,7
8,16
0
2,7
5,1

2,7
2,1
5,5
55,10
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
55,16
1,6
2,1
1,6
2,2
0
z
yx
z
z
y
x
y
zy
xx
Gọi α=

















−
−
−−
0
2,7
5,1
2,7
2,1
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
2,1
1,6
2,2
0

và β =
















2,7
8,16
5,5
55,10
1,6
55,16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α

= max ( 0,557;0,672;0,375) = 0,672 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
với
X
0
=










5,2
2
5,1

X
1
=
X
α
0
+ β =











5,2
2
5,1
X
2
=










5,2
2
5,1
và hiển nhiên
X

3
=










5,2
2
5,1

Vậy nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5
Bài 2: giải hệ phương trình sau bằng phương pháp seidel qua 3 bước:
1/





=++
=++
=++
2,11,01,0
2,11,01,0
2,11,01,0

zyx
zyx
zyx
(*) với
X
0
=










0
0
0

(*)
⇔





++−−=
+−+−=

+−−=
2,101,01,0
2,11,001,0
2,11,01,00
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi










−−
−−
−−
=
01,01,0
1,001,0
1,01,00
α
và











=
2,1
2,1
2,1
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max( 0,2 ,0,2 ,0,2) = 0,2 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β với
X
0
=











0
0
0






=++−−=
=+−+−=
=+−−=
972,02,101,01,0
08,12,11,001,0
2,12,11,01,00
011
1
0011
0001
zyx
zyxy
zyxx
z
hay

X
1
=










972,0
08,1
2,1






=++−−=
=+−+−=
=+−−=
00018,12,101,01,0
00332,12,11,001,0
9948,02,11,01,00
122
2

1122
1112
zyx
zyxy
zyxx
z
hay
X
2
=










00018,1
00332,1
9948,0






=++−−=

=+−+−=
=+−−=
000033,12,101,01,0
000016,12,11,001,0
9996492,02,11,01,00
233
3
2233
2223
zyx
zyxy
zyxx
z
hay
X
3
=










000033,1
000016,1
9996492,0

Vậy nghiệm của hpt là :





=
=
=
000033,1
000016,1
9996492,0
z
y
x
2/





=+−
=−+
=++
8,162,75,12,1
55,105,15,52,2
55,112,12,21,6
zyx
zyx

zyx
(*) với
X
0
=










5,2
2
5,1

(*)
⇔










+++
−
=
+++
−
=
+−−=
2,7
8,16
0
2,7
5,1
2,7
2,1
5,5
55,10
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
55,16
1,6
2,1
1,6
2,2
0
z
yx

z
z
y
x
y
zy
xx
Gọi α=
















−
−
−−
0
2,7
5,1

2,7
2,1
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
2,1
1,6
2,2
0
và β =
















2,7

8,16
5,5
55,10
1,6
55,16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max ( 0,557,0,672,0,357) = 0,672 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β









=+++−=
=+++−=
=+−−=
5,2
2,7

8,16
0
2,7
5,1
2,7
2,1
2
5,5
55,10
5,5
5,1
0
5,5
2,2
5,1
1,6
55,16
1,6
2,1
1,6
2,2
0
011
1
0011
0001
zyx
zyxy
zyxx
z

hay
X
1
=










5,2
2
5,1
Tương tự ta có
X
2
=











5,2
2
5,1
và hiển nhiên
X
3
=










5,2
2
5,1

Nên nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5
Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với
51
10
−+
<−
nn
xx

và đánh giá sai số .
1/





=+−−
=−+−
=−−
398,104,112,011,0
849,005,003,111,0
795,01,005,002,1
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔









+++=
+++=

+++=
04,1
398,1
0
04,1
12,0
04,1
11,0
03,1
849,0
03,1
05,0
0
03,1
11,0
02,1
795,0
02,1
1,0
02,1
5,0
0
z
yx
z
z
y
x
y
zy

xx
Gọi α=
















0
04,1
12,0
04,1
11,0
03,1
05,0
0
03,1
11,0
02,1
1,0

02,1
5,0
0
và β =
















04,1
398,1
03,1
849,0
02,1
795,0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1

Vì
∞
α
= max ( 0,147059; 0,155340; 0,221154) = 0,221154 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X
= β=
















04,1
398,1
03,1

849,0
02,1
795,0
1
X
=
0
X
α
+ β =










521777,1
972764,0
951605,0
tương tự ta có
2
X
=











557123,1
999772,0
976290,0
3
X
=










562951,1
004124,1
981079,0

6
X
=











564062,1
005069,1
982015,0
,
7
X
=










564067,1
005073,1
982019,0

Khi đó
[ ]
76
XX −
=










−
−
−
6
6
6
10.5
10.4
10.4
vì
∞
−
76
XX
< 10

5−
Nên nghiệm gần đúng của phương trình là
564067,1
005073,1
982019,0
=
=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*7
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
∞
−
76
XX
=
221154,01
10.5.221154,0

6
−
−
= 1,419754. 10
6−
2/





=+−
=−+
=++
8,162,75,12,1
55,105,15,52,2
55,162,12,21,6
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔










+++
−
=
+++
−
=
+−−=
2,7
8,16
0
2,7
5,1
2,7
2,1
5,5
55,10
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
55,16
1,6
2,1
1,6
2,2
0

z
yx
z
z
y
x
y
zy
xx
Gọi α=
















−
−
−−
0

2,7
5,1
2,7
2,1
5,5
5,1
0
5,5
2,2
1,6
2,1
1,6
2,2
0
và β =

















2,7
8,16
5,5
55,10
1,6
55,16
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max ( 0,557377; 0,672727; 0,375) = 0,672727 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X
= β=

















2,7
8,16
5,5
55,10
1,6
55,16
1
X
=
0
X
α
+ β =











280769,2
469299,1
562295,1
tương tự ta có
2
X
=










379055,2
915292,1
734528,1
3
X
=











443264,2
873204,1
554343,1
,
4
X
=










464527,2
962789,1
556891,1

17
X
=











499988,2
999982,1
500016,1
,
18
X
=










499993,2
999990,1
500009,1
Khi đó
1718

XX −
=










−
−
−
−
6
6
6
10.5
10.8
10.7
vì
∞
−
1718
XX
= 8.10
6−
< 10

5−
Nên nghiệm gần đúng của hệ phương trình là
x= 1,500009 ;y= 1,999990; z= 2,499993
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*18
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
∞
−
1718
XX
= 1,644442.10
5−
3/





=+−−
=−+−
=−−

78,221,114,025,0
555,115,013,141,0
515,03,025,002,1
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔









+++=
+++=
+++=
21,1
78,2
0
21,1
14,0
21,1
25,0
13,1
555,1

13,1
15,0
0
13,1
41,0
02,1
515,0
02,1
3,0
02,1
25,0
0
z
yx
z
z
y
x
y
zy
xx
Gọi α=

















0
21,1
14,0
21,1
25,0
13,1
15,0
0
13,1
41,0
02,1
3,0
02,1
25,0
0
và β =

















21,1
78,2
13,1
555,1
02,1
515,0
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max (0,539215; 0,495575; 0,322314) = 0,539215 < 1
Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X

= β=
















21,1
78,2
13,1
555,1
02,1
515,0
khi đó
1
X
=
0
X
α

+ β =










561058,2
864281,1
517924,1

tương tự ta có
2
X
=










826843,2

266821,2
715086,1
3
X
=










914154,2
373639,2
891920,1
,
4
X
=











963049,2
449389,2
943780,1

15
X
=










999993,2
499991,2
999991,1
,
16
X
=











999997,2
499996,2
999996,1
Ta có :
1516
XX −
=










−
−
−
6
6
6
10.4

10.5
10.5
vì
∞
−
1516
XX
= 5.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999997,2
499996,2
999996,1
=
=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*16
XX
=
∞
∞
−

α
α
1
∞
−
1516
XX
= 5,851048.10
6−
4/





=++
=++
=+−
1142
3252
84
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔






++−−=
+−+−=
+−+=
75,205,025,0
6,04,004,0
225,025,00
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi










−−
−−
−
=
05,025,0
4,004,0
25,025,00
α

và










=
75,2
6,0
2
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max( 0,5 ;0,8 ;0,75) = 0,8 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X

=










=
75,2
6,0
2
β
khi đó
1
X
=
0
X
α
+ β =











−
95,1
3,1
4625,1

tương tự ta có
2
X
=










−
034375,3
765,0
1875,1
3
X
=











−
835625,2
08875,1
050156,1
,
4
X
=










−
031836,3

954313,0
018906,1

16
X
=










−
000005,3
999995,0
0000002,1
,
17
X
=











−
999998,2
000002,1
999999,0
Ta có :
1617
XX −
=










−
−
−
−
−
−
6
6

6
10.7
10.7
10.3
vì
∞
−
1617
XX
= 7.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999998,2
000002,1
999999,0
=
−=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*17
XX
=
∞

∞
−
α
α
1
∞
−
1617
XX
=
8,01
10.7.8,0
6
−
−
= 2,8. 10
5−
5/





−=−+
−=−+
=++
93
542
924
zyx

zyx
zyx
(*)
(*)
⇔







+++=
−++−=
+−−=
30
3
1
3
1
25,125,005,0
25,25,025,00
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi













−
−
−−
=
0
3
1
3
1
25,005,0
5,025,00
α
và











−=
3
25,1
25,2
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max( 0,75 ;0,75 ;
3
2
) = 0,75 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X
=











−=
3
25,1
25,2
β
khi đó
1
X
=
0
X
α
+ β =












−

3
10
625,1
0625,1

tương tự ta có
2
X
=










−
8125,2
947917,0
989583,0

13
X
=











−
999999,2
000010,1
000004,1
,
14
X
=










−
999998,2
000002,1
000003,1
Ta có :

1314
XX −
=










−
−
−
−
−
6
6
6
10
10.8
10
vì
∞
−
1314
XX
= 8.10

6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
999998,2
000002,1
000003,1
=
−=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*14
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
∞
−
1314
XX
=

75,01
10.8.75,0
6
−
−
= 2,4. 10
5−
Vậy
∞
−
*14
XX
=2,4. 10
5−
6/





=++
=++
=+−
4733
0263
13
zyx
zyx
zyx
(*)

(*)
⇔









++−
−
=
+−+−=
+−+=
7
4
0
7
3
7
3
0
3
1
05,0
3
1
3

1
3
1
0
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi
















−−
−
−
=
0
7

3
7
3
3
1
05,0
3
1
3
1
0
α
và














=
7
4

0
3
1
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max(
3
2
;
6
5
;
7
6
) =
7
6
< 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X

=














=
7
4
0
3
1
β
khi đó
1
X
=
0
X
α
+ β =

















−
7
3
14
5
7
1

tương tự ta có
2
X
=

















−
98
65
14
3
14
1
,
3
X
=











−
632653,0
256803,0
040816,0

13
X
=










−
657892,0
236845,0
035087,0
,
14
X

=










−
657896,0
236841,0
053088,0
Ta có :
1314
XX −
=










−

−
−
−
6
6
6
10.4
10.4
10
vì
∞
−
1314
XX
= 4.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
657896,0
236841,0
035088,0
=
−=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞

−
*14
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
.
∞
−
1314
XX
=
7
6
1
10.4.
7
6
6
−
−
= 2,4. 10
5−
Vậy
∞
−

*14
XX
=2,4. 10
5−
7/





=+−
=−+−
=−
6103
7210
910
zy
zyx
yx
(*)
(*)
⇔





+++=
+++=
+++=

6,002,00
7,02,001,0
9,001,00
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi










=
02,00
2,001,0
01,00
α
và











=
6,0
7,0
9,0
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max(0,1;0,3 ;0,2) = 0,3 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X
=











=
6,0
7,0
9,0
β
khi đó
1
X
=
0
X
α
+ β =










74,0
91,0
97,0

tương tự ta có
2
X
=










782,0
945,0
991,0


7
X
=











791573,0
957889,0
995786,0
,
8
X
=










791578,0
957893,0
995789,0
Ta có :
78
XX −
=











−
−
−
6
6
6
10.5
10.4
10.3
vì
∞
−
78
XX
= 5.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
791578,0
957893,0
995789,0
=
=

=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*8
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
.
∞
−
78
XX
=
3,01
10.5.3,0
6
−
−
= 2,142857. 10
6−
Vậy

∞
−
*8
XX
= 2,142857. 10
6−
8/





−=+−
=−+
=++
244
3043
24034
zy
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔





−++=

+++−=
++−=
6025,00
5,725,0075,0
6075,00
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi










−
−
=
025,00
25,0075,0
075,00
α
và











=
6
5,7
6
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max(0,75;1 ;0,25) = 1 nên không thỏa điều kiện hội tụ
Vậy (*) không hội tụ theo phương pháp này
9/





=+−−
=−+
=−−

395,109,212,011,0
743,005,002,15,12
215,011,005,542,0
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔









+++=
−−+=
+−−=
09,2
395,1
0
09,2
12,0
09,2
11,0
05,5
215,0

05,5
11,0
0
05,5
42,0
5,12
743,0
5,12
05,0
5,12
02,1
0
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi

















−
−
=
0
09,2
12,0
09,2
11,0
05,5
11,0
0
05,5
42,0
5,12
05,0
5,12
02,1
0
α
và

















−
=
09,2
395,1
05,5
215,0
5,12
743,0
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞
α
<1
Vì
∞
α
= max(0,0856;0,10495 ;0,110047) = 0,110047 < 1 nên thỏa điều kiện hội
tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn

0
X
=
















−
=
09,2
395,1
05,5
215,0
5,12
743,0
β
khi đó
1

X
=
0
X
α
+ β =










−
667921,0
052169,0
065584,0

tương tự ta có
2
X
=











−
667921,0
051603,0
066328,0
,
3
X
=










−
667990,0
051603,0
066328,0
,
4
X

=










−
667992,0
051608,0
066323,0
Ta có :
34
XX −
=










−

−
−
−
−
6
6
6
10.2
10.5
10.5
vì
∞
−
34
XX
= 5.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
667992,0
051608,0
066323,0
=
−=
=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :

∞
−
*4
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
.
∞
−
34
XX
=
110047,01
10.5.110047,0
6
−
−
= 6,18. 10
7−
Vậy
∞
−
*4
XX
=6,18. 10

7−
.
10/





−=+−
=−+
=++
18,62,15,46,1
15,205,15,05,2
65,145,72,21,2
zyx
zyx
zyx
(*)
(*)
⇔









++−−=

+++=
++−=
5,7
65,14
0
5,7
2,2
5,7
1,2
5,4
18,6
5,4
2,1
0
5,4
6,1
2,5
15,20
2,5
5,1
2,5
5,0
0
zyxz
zyxy
zyxx
Gọi

















−
−
−
=
0
5,7
2,2
5,7
1,2
5,4
2,1
0
5,4
6,1
2,5
5,1
2,5

5,0
0
α
và
















=
5,7
65,14
5,4
18,6
2,5
15,20
β
Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là
∞

α
<1
Vì
∞
α
= max(0,386415;0,622222 ;0,573333) = 0,622222 < 1 nên thỏa điều kiện
hội tụ
Vậy (*) có thể viết là X =
α
X + β
Chọn
0
X
=

















=
5,7
65,14
5,4
18,6
2,5
15,20
β
khi đó
1
X
=
0
X
α
+ β =










465489,0
272,3
306410,4

tương tự ta có
2
X
=










− 212248,0
028632,3
694660,3


16
X
=











− 212248,0
028632,3
653711,3
,
17
X
=










135762,0
7086324,2
653715,3
Ta có :
1617
XX −
=











−
−
−
6
7
6
10.6
10.4
10.4
vì
∞
−
1617
XX
= 6.10
6−
< 10
5−
Nên nghiệm gần đúng của hpt là :
135762,0
7086324,2
653715,3
=
=

=
z
y
x
(*) Đánh giá sai số :
∞
−
*17
XX
=
∞
∞
−
α
α
1
∞
−
1617
XX
=
622222,01
10.6.622222,0
6
−
−
= 9,88. 10
6−