BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3

GIỚI THIỆU MÔN HỌC
GIỚI THIỆU MÔN HỌC
N
N
Ộ
Ộ
I DUNG
I DUNG
LỊCH SỬ TOÁN HỌC
LỊCH SỬ TOÁN HỌC
Giảng viên : Th.S ĐỖ HOÀI VŨ
Giảng viên : Th.S ĐỖ HOÀI VŨ
YÊU CẦU MÔN HỌC
YÊU CẦU MÔN HỌC




1
1
.
.
Đi học đủ số tiết quy đònh ( >2/3)
Đi học đủ số tiết quy đònh ( >2/3)


2. Mỗi nhóm thực hiện tiểu luận gồm 10 sv .
2. Mỗi nhóm thực hiện tiểu luận gồm 10 sv .


3. Chấm điểm tiểu luận theo hình thức : Gọi ngẫu nhiên

3. Chấm điểm tiểu luận theo hình thức : Gọi ngẫu nhiên
mỗi nhóm 4 sv trình bày chấm điểm trực tiếp . Điểm
mỗi nhóm 4 sv trình bày chấm điểm trực tiếp . Điểm
các sv còn lại trong nhóm sẽ bằng điểm trung bình
các sv còn lại trong nhóm sẽ bằng điểm trung bình
của 4 sv viên vừa gọi .
của 4 sv viên vừa gọi .
4. Thi giữa kỳ và cuối kỳ theo hình thức trắc nghiệm
4. Thi giữa kỳ và cuối kỳ theo hình thức trắc nghiệm
khách quan .Điểm tb môn được tính theo quy đònh
khách quan .Điểm tb môn được tính theo quy đònh
5. Sv phải chuẩn bò giáo trình đầy đủ . Tài liệu tham
5. Sv phải chuẩn bò giáo trình đầy đủ . Tài liệu tham
khảo để làm tiểu luận gồm các cuốn sách sau :
khảo để làm tiểu luận gồm các cuốn sách sau :


Toán cao cấp , tâp 3 , tác giả : Nguyễn Đình Trí .
Toán cao cấp , tâp 3 , tác giả : Nguyễn Đình Trí .
MÔN HỌC
Đ
THI LẠI
K
XÉT VỚT
THI KẾT THÚC MÔN
LÀM TIỂU LUẬN (1)
THI GM
KĐ
THI LẠI
ĐẠT

LÀM TIỂU LUẬN (2)
Đ
K1
K2
Đ
K
Đ
K
Đ
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV
I. Các khái niệm mở đầu hàm nhiều biến
1. Tập hợp trong R
n
2. Định nghĩa Hàm nhiều biến
3. Giới hạn - Liên tục
II. Đạo hàm vi phân
1. Đạo hàm riêng - Đạo hàm hợp - Đạo hàm ẩn
2 .Vi phân toàn phần
3. Đạo hàm vi phân cấp cao
4. Công thức Taylor
III. Cực trị hàm nhiều biến
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV
I. TÍCH PHÂN KÉP
1. Định nghĩa
2. Phương pháp tính
3. Ứng dụng cơ học và hình học

II. TÍCH PHÂN KÉP BỘI 3

1. Định nghĩa
2. Phương pháp tính
3. Trọng tâm vật thể

CHƯƠNG I
CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV
I . TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
Định nghĩa –Cách tính -Trọng tâm cung
II. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II
Định nghĩa- Cách tính - Công thức Green
III. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I
Định nghĩa –Cách tính - Trọng tâm mặt
IV. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II
Định nghĩa –Cách tính - Công thức Stoke-Ostrogradsky
CHƯƠNG I
CHƯƠNG II CHƯƠNG III CHƯƠNG IV
I . PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
Đại cương về ptvp cấp 1– Các phương trình cơ bản
II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Đại cương về ptvp cấp 2– Các phương trình cơ bản
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Đại cương – Cách giải
Hệ phương trình vi phân thuần nhất hệ số hằng
2. HÀM NHIỀU BIẾN
2.1 Định nghĩa
2.2 Cách cho một hàm nhiều biến
3.1. Giới hạn hàm nhiều biến
3.2. Sự liên tục của hàm nhiều biến

2.3. Một số mặt bậc hai cơ bản

1. TẬP HỢP TRONG R
n
3 .GIỚI HẠN- LIÊN TỤC .
1. Đạo Hàm
1.1 Đạo hàm riêng:
1.2 Đo hàm hỗn hợp
2.1. Vi phân cấp 1
2.2. Vi phân cấp n

1.3. Đạo hàm ẩn
II. ĐẠO HÀM –VI PHÂN
2 . Vi Phân:
1. ẹũnh nghúa:
II. CệẽC TRề
2 . Cửùc trũ tửù do
3 . Cửùc trũ coự ủieu kieọn
f g
,
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
I. CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1.Tập hợp trong R
n
1.1. Khoảng cách giữa hai điểm
Xét hai điểm M( x
1
, x
2
, …, x
n
), N ( y

1
, y
2
, …, y
n
) trong
không gian R
n
. Khoảng cách giữa M và N cho bởi công
thức:
Tính chất : Ba điểm A , B , C
tùy ý trong R
n
ta có :
Ví dụ
( , ) 0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
d A B A B
d A B d B A
d A B d A C d C B
= ⇔ ≡


=


≤ +

( )

( )
( )
( )
1
2
2 2
2
1 1
1
,
n
i i n n
i
d M N x y x y x y
=
 
 ÷
= − = − + + −
 ÷
 
∑
K
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.Tập hợp trong R
n
1.2. Lân cận
Tập hợp B (M
0
, r) = gọi là hình
cầu mở tâm M

0
bán kính r . Lân cận của M
0
là tất cả
các tập hợp chứa một B(M
0
, ) nào đó .
Ví dụ
Chú ý :

Trong R hình dạng của B(x
0
, r) là khoảng (x
0
-r,x
0
+ r)

Trong R
2
hình dạng của B(x
0
, r) là miền tròn
không lấy những điểm nằm trên biên

Trong R
3
hình dạng của B(x
0
, r) là quả cầu

không lấy những điểm nằm trên biên (mặt cầu)

x
0
x
0
x
0
ε
{ }
0
: ( , )
n
M R d M M r
∈ <
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.3. Điểm trong - Tập Mở .
Điểm M
0
gọi là điểm trong của tập A nếu :
. Tập hợp tất cả các điểm trong gọi
là miền trong của tập A và kí hiệu là int A . Tập A gọi là
tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong
1.4. Điểm biên - Tập đóng
Điểm M
0
gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi lân cận
của M

0
đều chứa những điểm thuộc A và những điểm
không thuộc A trừ M
0
. Tập hợp tất cả các điểm biên gọi
là biên của tập A và kí hiệu là .Tập A gọi là đóng nếu
nó chứa mọi điểm biên của nó .
A∂
0
0 : ( , )B M A
ε ε
∃ > ⊂
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.5. Điểm Tụ - Điểm cô lập
Đểm M
0
gọi là điểm tụ

của tập A nếu :

. Ngược lại ta nói điểm M
0
là điểm cô lập của A
Chú ý :

Điểm tụ có thể là điểm trong hoặc điểm biên

Tập đóng chứa được mọi điểm tụ của nó

{ }
0 0
0 : ( , ) ( \ )B M A M
ε ε
∀ > ∩ ≠ ∅
1.6. Tâp bị chặn
Tập E được gọi là một tập bị chặn
nếu nó nằm trong một quả cầu nào đó
B(x
o
,r)
A
CHƯƠNG I : HÀM SỐ NHIỀU BIẾN :
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Ví dụ
1.8. -Tập liên thông : Tập A gọi là một tập liên thông nếu
có thể nối hai điểm bất kỳ M , N bằng một đường liên tục
nằm trong A Tập A gọi là đơn liên nếu nó được bao bởi
một đường kín trong R
2
( hoặc một mặt kín trong R
3
) .
Ngược lại nếu nó được bao bởi nhiều đường , mặt khác
nhau đôi một thì ta nói A là đa liên .
M
N
Tập Liên Thông –Đơn Liên
A
Tập LT –Đa Liên

1.7. Tâp Compact
Tập A được gọi là tập Compact nếu nó đóng và bị chặn
II. HÀM NHIỀU BIẾN
1.Định nghĩa
Xét không gian Euclide n chiều R
n
. Một phần tử M R
n
là một bộ gồm n thành phần .Hàm số n biến thực trên
D R
n
là một ánh xạ từ D vào R . Khi đó ta thường viết
z = f(x
1
, x
2
, … , x
n
) hay z = f(M) .
∈
Ì
Chú ý

D gọi là miền xác định của hàm số .

Miền giá trị của hàm f là tập hợp các giá trị của z
khi M chạy khắp miền D .

Trong giáo trình chỉ xét các hàm hai hoặc ba biến .
II. HÀM NHIỀU BIẾN

2. Cách cho một hàm nhiều biến
Người ta có thể biểu diễn hàm nhiều biến bằng một hay
nhiều biểu thức . Trong trường hợp này ta có thể hiểu D là
tập các điểm M sao cho biểu thức của f có nghĩa .
Ví dụ
Trong các bài toán ứng dụng ta còn có thể dùng bảng
để biểu diễn hàm nhiều biến
Ví dụ
CÁC VÍ DỤ
CÁC VÍ DỤ
-MX
-MX
Đ
Đ


Ví dụ 1
Tìm miền xác định của z= f(x,y)=
2 2
4 x y- -
( )
{ }
, :
2 2
D x y x y 4= + £
GIẢI
o
x
y
Ví duï 2 :

2 2
2 2 4
( , ) (0,0)
( )
0 ( , ) (0,0)
x y
khi x y
z
x y x y
khi x y

≠

=

+ −

=

V
í
d
u
ï
3

:
lnz x y
=
BÀI GIẢI

D = R
2
Ví dụ 2:
z xaùc ñònh khi x.lny ≥ 0
⇔
Ví dụ 3 :
0
1
0
0 1

≥



≥



≤



< ≤



x
y
x

y
1
o
x
y
CÁC VÍ DỤ
CÁC VÍ DỤ
-MX
-MX
Đ
Đ


Ví dụ 1
Tìm miền xác định, miền giá trị của z= f(x,y) cho bằng
bảng
GIẢI
(x,y) (1,2) (3,4) ( 5,6) (7,9) ( 12,14)
f(x,y) 5 6 9 2 1
MXĐ: D={(1,2), (3,4),( 5,6), (7,9),( 12,14)}
MGT : f(D)={ 5,6,9,2,1}
Định nghĩa 1 (ngôn ngữ )
Cho hàm f(M) xác định trên D . Xét M
0
là điểm tụ của
D . Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần
về M
0
nếu :
n

⊂ ¡
2.Giới hạn hàm nhiều biến
0 0
0 , 0, , : ( , )
( )
M D M M d M M
f M a
ε δ δ
ε
∀ > ∃ > ∀ ∈ ≠ <
⇒ − <
ε δ
−
II. HÀM NHIỀU BIẾN
a. Ñònh Nghóa
Định nghĩa 2 (ngôn ngữ dãy )
Cho hàm f(M) xác định trên D . Xét M
0
là điểm tụ của
D . Số a được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M tiến dần
về M
0
nếu với mọi dãy điểm M
n
: M
n
R
n
, M
n

M
0
,

n
⊂ ¡
Khi đó ta viết :
0
lim ( )
M M
f M a
→
=
II. HÀM NHIỀU BIẾN
∈
≠
0
lim ( , ) 0 lim ( )
n n
n n
d M M f M a
→∞ →∞
= ⇒ =
Chú ý :

i) Giới hạn lặp : nếu xét thứ tự lấy của giới hạn thì
tổng quát ta có :
ii) Nếu có giới hạn thì giới hạn đó không phụ thuộc
vào hướng tiến của điểm M(x,y) đến điểm M
0

(x
0
,y
0
).
3i) z(x,y) có giới hạn tại (x
0
,y
0
) thì giới hạn này là
duy nhất và có :
b. Tính chất gi iớ hạn hàm nhiều biến
II. HÀM NHIỀU BIẾN
0 0 0 0
0 0
(x,y) (x ,y ) y y x x
x x y y
lim z(x, y) lim ( lim z(x, y))
lim( lim z(x, y))
→ → →
→ →
=⇒
=
0 0 0 0
y y x x x x y y
lim( lim z(x, y)) lim ( lim z(x, y))
→ → → →
≠
:
4i) Khái niệm giới hạn vô hạn cùng với các đònh lý

về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương của hàm một
biến cũng đúng với hàm hai biến .
c) Các ví dụ
II. HÀM NHIỀU BIẾN
( , ) (1,2)
1) lim (2 3 ) 8
x y
x y
→
+ =
( , ) (0,0)
2) lim 0
x y
y
x arctg
x
→
=
0 .
.
2

y y
x arctg x arctg
x x
x
π
≤ ≤ ≤
≤
CÁC VÍ DỤ - GIỚI HẠN

CÁC VÍ DỤ - GIỚI HẠN
(x,y) (0;0)
xy
3) lim
x y
→
+
2
2 2
(x,y) (0;0)
x y
1) lim
x y
→
+
2 2
2 2
(x,y) (0;0)
x y
4) lim
x y
→
−
+
( )
2
2
x xy
(x,y) (0;2)
5) lim 1 xy

+
→
+
2 2
2
(x,y) (0;0)
1 x y
2) lim (1 cos y)
y
→
+ +
−
CÁC VÍ DỤ TỰ GIẢI ( giới hạn )