CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ - BÀI GIẢNG TOÁN A2

CHƯƠNG 3
CHƯƠNG 3
1. Không gian vectơ hình học ν
3
:
Trong hình học giải tích, ta đã làm quen với
vectơ tự do trong không gian (tức là vectơ có thể
chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không
thay đổi độ dài và hướng) và đã đònh nghóa các
phép toán tuyến tính đối với chúng (cộng các vectơ
và nhân vectơ với số thực).
KHÔNG GIAN VECTƠ


Tập hợp các vectơ tự do trong không gian xét
cùng với các phép toán tuyến tính được gọi là
không gian vectơ 3 chiều ν
3
và các phần tử của
không gian đó gọi là các vectơ (hình học).
Nếu trong không gian ν
3
ta đưa vào hệ tọa độ
thẳng trực giao với cơ sở B
0
= {i,j,k} thì thu được sự
tương ứng đơn trò tương hỗ giữa các vectơ trong
không gian ν
3
với bộ ba số thực sắp thứ tự (các tọa

độ của chúng). Ta sẽ viết các tọa độ của vectơ trong
không gian ν
3
dưới dạng ma trận cột gồm ba số. Khi
đó các ma trận cột gồm các tọa độ của vectơ sẽ
được gọi là vectơ 3 chiều. Tập hợp các vectơ 3
chiều được gọi là không gian vectơ 3 chiều.

Thí duï :




;
3
2
1
321










=⇔++=
a

a
a
Ukajaiau
;
3
2
1
321










=⇔++=
b
b
b
Ukbjbibv
;)()()(
33
22
11
332211











+
+
+
=+⇔+++++=+
ba
ba
ba
VUkbajbaibavu

;
3
2
1
321











=⇔++=
a
a
a
Ukajaiau
λ
λ
λ
λλλλλ
Bằng cách lý luận tương tự, ta
xây dựng được không gian vectơ 2
chiều ν
2
và không gian vectơ 1 chiều
ν
1
.
2. Không gian vectơ. Không gian con của
vectơ :

Đònh nghóa :
ν là tập hợp rỗng, trong đó xác đònh
hai phép toán :
1. Luật hợp thành trong, gọi là phép
tính cộng, u, v
∈

ν

; u + v
∈

ν
.

2. Luật hợp thành ngoài, gọi là phép nhân vô
hướng, u
∈

ν
; k
∈
R; ku
∈

ν
.
ν được gọi là không gian vectơ trên trường số
thực R nếu đối với 2 luật hợp thành đó thỏa mãn
các tiên đề sau :
[A1] ∀u,v
∈

ν
; u + v = v + u.
[A2] ∀u,v,w
∈

ν

; (u + v) + w = u + (v + w).
[A3] ∃0
∈

ν
, u + 0 = 0 + u = u,
∀
u
∈

ν
.
[A4] ∀u
∈

ν
, tồn tại vectơ đối –u, u + (– u) = 0
[M1] ∀k
∈
R, ∀u,v
∈

ν
, k (u + v) = ku + kv.
[M2] ∀h,k
∈
R, ∀u
∈

ν

, (h + k) u = hu + ku.

[M3] ∀h,k
∈
R, ∀u
∈

ν
, h (ku) = (hk) u.
[M4] ∃1
∈
R, 1u = u, ∀u
∈

ν
.
Hiệu của 2 vectơ u và v là vectơ w ∈ ν : v + w = u.
Ta ký hiệu các vectơ u và v là u – v, nghóa là u – v
= w. Rõ ràng là u – v = u + (– v).
Đònh lý 1 :
a. Vectơ 0 tồn tại duy nhất.
b. Với mỗi vectơ bất kỳ, vectơ đối tồn tại duy nhất.
c. ∀u
∈

ν
, đẳng thức 0u = 0 được thỏa mãn.
d. ∀k
∈
R và 0

∈

ν
, đẳng thức k0 = 0 được thỏa mãn.
e. Từ đẳng thức ku = 0 suy ra một trong hai đẳng
thức k = 0 hoặc u = 0.


Các thí dụ về không gian vectơ :
f. Vectơ (-1) u là vectơ đối của vectơ u.
1. Không gian vectơ R
n
.
n là số nguyên dương, ta xét các dãy sắp thứ tự gồm
n phần tử của R : [a
1
,a
2
,…, a
n
]. Tập hợp các dãy đó là
tập tích R
n
.
Giả sử u = [a
1
,a
2
,…, a
n

], v = [β
1
, β
2
,…, β
n
], là hai phần
tử thuộc R
n
và k
∈
R. Ta đặt :
u + v = [a
1
+ β
1
, a
2
+ β
2
,…, a
n
+ β
n
]
(3.1)
ku = [ka
1
+ ka
2

,…, ka
n
]
(3.2)

Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên
thỏa mãn tất cả 8 tiên đề trong đònh nghóa không
gian vectơ, vì vậy R
n
là không gian vectơ trên trường
số thực R.
Vectơ 0, phần tử trung hoà của phép tính cộng
là vectơ [0, 0, …, 0] và phần tử đối của vectơ u =
[a
1
,a
2
,…, a
n
] là vectơ – u = [- a
1
, - a
2
,…, - a
n
]. Các số
thực a
1
,a
2

,…, a
n
được gọi là các thành phần của vectơ
u = [a
1
,a
2
,…, a
n
].
2. Gọi X là tập hợp không rỗng và F là tập hợp tất
cả các hàm số từ X vào R. Tổng hai hàm f, g
∈
F là
hàm f + g
∈
F được xác đònh bằng đẳng thức :
(f + g) (t) = f (t) + g (t),
∀
t
∈
X.

Tích vô hướng của hàm f
∈
F với K
∈
R là hàm k f
∈

F. Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên
thỏa mãn tất cả 8 tiên đề của đònh nghóa không gian
vectơ. Vậy F là một không gian vectơ trên R.
3. P
n
là tập hợp tất cả các đa thức cấp ≤ n – 1, p (t) =
a
n-1
t
n-1
+ … + a
1
t + a
0
với phép toán cộng và nhân đa
thức với số thực. P
n
là một không gian vectơ trên R.
4. Trường số thực R là không gian vectơ trên chính
nó.
5. Tập hợp M
mxn
là tập hợp tất cả các ma trận cấp
mxn, với hai phép toán cộng và nhân vô hướng
(nhân ma trận với số thực) là không gian vectơ trên
R.


Không gian con của không gian vectơ.


Đònh nghóa :
Ta gọi không gian vectơ con của không gian vectơ
ν
trên trường R (gọi tắt là không gian con) là một tập
hợp con νν các vectơ của ν thỏa mã 2 tính chất :
i. Nếu u
∈
νν và v
∈
νν thì u + v
∈
νν.
ii. Nếu u
∈
νν và k
∈
R thì ku
∈
νν.
Thí dụ : Tập hợp {0} gồm một vectơ 0 là không gian
con của
ν
và đồng thời được chứa trong mỗi không
gian con khác của
ν
. Chính không gian vectơ
ν
là
không gian con của vectơ
ν

, đồng thời nó chứa mỗi
không gian con khác của
ν
.

Đònh lý 2 : Phần giao của một số bất kỳ các không
gian con của không gian vectơ
ν
là không gian con
của không gian vectơ
ν
.
Đònh lý 3 : Tập hợp nghiệm của hệ phương trình
thuần nhất trên R AX = 0
trong đó A = [a
ij
], ma trận cấp m x n, X = [x
1
, x
2
, …,
x
n
]
T
là không gian con
νν
của không gian vectơ R
n
.

3. Phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của
các hệ vectơ :

Đònh nghóa tổ hợp tuyến tính

ν
là không gian vectơ trên R. Cho v
1
, v
2
, …, v
n
∈
ν.
Vectơ bất kỳ u trong ν có dạng :

u = a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ … + a
n
v
n
.
Trong đó a

1
∈
R được gọi là tổ hợp tuyến tính của các
vectơ v
1
, v
2
, …, v
n.


Đònh nghóa phụ thuộc tuyến tính và độc lập
tuyến tính.

ν
là không gian vectơ trên R. Hệ các vectơ v
1
, v
2
,
…, v
n
∈
ν được gọi là phu thuộc tuyến tính nếu tồn tại
các vô hướng a
1
, a
2
, …, a
n

∈

R không bằng không tất
cả, sao cho :
a
1
v
1
+ a
2
v
2
+ … + a
m
v
m
= 0
(3.3)
Ngược lại thì v
1
, v
2
, …, v
n.
được gọi là độc lập tuyến
tính.

Có thể phát biểu cách khác : a
1
v

1
+ a
2
v
2
+ … +
a
m
v
m
= 0 chỉ thỏa mãn khi a
1
= a
2
= … = a
m
= 0 thì các
vectơ v
1
, v
2
, …, v
n
được gọi là độc lập tuyến tính.
Ngược lại, nếu (3.3) thỏa mãn khi có dù chỉ một
trong các a
1
khác không, thì v
1
, v

2
, …, v
n
được gọi là
phụ thuộc tuyến tính.
Đònh lý 4 : Điều kiện cần và đủ để các vectơ v
1
, v
2
,
…, v
n.
phụ thuộc tuyến tính là một trong các vectơ đó
là tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác.
Hệ quả 1 : Trong các vectơ v
1
, v
2
, …, v
m
có một vectơ
0 thì các vectơ này phụ thuộc tuyến tính.

Hệ quả 2 : Nếu 1 phần của các vectơ v
1
, v
2
, …, v
m
phụ

thuộc tuyến tính thì tất cả các vectơ đó phụ thuộc
tuyến tính.
Đònh lý 5 : Nếu các vectơ v
1
, v
2
, …, v
n.
là các tổ hợp
tuyến tính của các vectơ u
1
, u
2
, …, u
n.
và nếu k > n thì
chúng phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả : Hệ bất kỳ các vectơ n thành phần có số
vectơ lớn hơn n thì phụ thuộc tuyến tính.
Thí dụ :
1. Cho 3 vectơ u
1
= [1,-2,1], u
2
= [2,1,-1], u
3
= [7,-4,1],
∈ R
3
. Xác đònh u

1
, u
2
, u
3
là độc lập hay phụ thuộc
tuyến tính.

a [1,-2,1] + b [2,1,-1] + c [7,-4,1] = [0,0,0]
Hay :





=+−
=−+−
=++
0
042
072
cba
cba
cba





















−−










−−











−
−−=
000
210
721
~
630
210
721
~
630
1050
721
~
111
412
721
A
R (A) = 2 < 3 (số ẩn số). Hệ phương trình thuần nhất
có nghiệm không tầm thường (a,b,c có những giá trò
khác không). Vậy u
1
, u
2

, u
3
phụ thuộc tuyến tính.

2. Cho :






=






=






=
00
11
,
10

01
,
11
11
CBA
A,B,C ∈ ν là không gian các ma trận vuông cấp 2
trên R. Xác đònh A, B, C độc lập hay phụ thuộc
tuyến tính.






=






+






+







⇔
=++
00
00
00
11
10
01
11
11
0
cba
cCbBaA






=







+
+++
⇔
00
00
baa
cacba








=+
=
=+
=++
⇔
0
0
0
0
ba
a
ca
cba
Hệ phương trình thuần nhất chỉ có một nghiệm tầm

thường a = b = c = 0. Vậy các ma trận vuông cấp 2
A, B, C độc lập tuyến tính.
Ta nói rằng hệ n vectơ B = {f
1
, f
2
, …, f
n
}

của không
gian vectơ R
n
lập thành một hệ các phần tử sinh của
R
n
nếu mọi vectơ v ∈ R
n
là một tổ hợp tuyến tính
của
4. Cơ sở và tọa độ của không gian vectơ :

của các vectơ f
1
, f
2
, …, f
n
tức là có thể biểu diễn v dưới
dạng :

v = a
1
f
1
, a
2
f
2
, …, a
n
f
n
(3.4)
trong đó a
1
, a
2
, …, a
n
là là các vô hướng.

Đònh nghóa về cơ sở của không gian vectơ.
Cơ sở của không gian vectơ R
n
là một hệ các
phần tử sinh độc lập tuyến tính. Theo đònh nghóa này,
cơ sở B = {f
1
, f
2

, …, f
n
}

của không gian vectơ R
n
có hai
tính chất đặc trưng sau đây :
i. Mọi vectơ u ∈ R
n
được biểu diễn dưới dạng (3.4)
u = a
1
f
1
, a
2
f
2
, …, a
n
f
n
(3.5)

ii. Phương trình λ
1
f
1
, λ

2
f
2
, …, λ
n
f
n
= 0 chỉ thỏa mãn khi
λ
1
= λ
2
= … = λ
n
= 0
Phương trình (3.5) được gọi là công thức khai
triển vectơ u thành các thành phần.
Các số thực a
1
, a
2
, …, a
n
được gọi là các tọa độ
của vectơ u trong cơ sở B = {f
1
, f
2
, …, f
n

}. Mỗi
.
vectơ
u ∈ R
n
được phân tích thành các thàh phần một cách
duy nhất.
Thật vậy, giả sử ngoài (3.5) ta có :
nn
fafafau
'
2
'
21
'
1

+++=
(3.6)
Lấy hiệu của (3.5) và (3.6) theo từng vế, ta có :
0)( )()(
'
2
'
221
'
11
=−++−+−
nnn
faafaafaa

(3.7)

Do sự độc lập tuyến tính của cơ sở B = {f
1
, f
2
, …, f
n
}

từ (3.7) ta thu được :
0
''
22
'
11
=−+=−=−
nn
aaaaaa
hoặc
., ,;
''
22
'
11 nn
aaaaaa
===
Như vậy, các tọa độ a
1
, a

2
, …, a
n
của vectơ n
được khai triển trong cơ sở B = {f
1
, f
2
, …, f
n
] một cách
đơn trò. Trong các cơ sở khác nhau một vectơ không
thể có các tọa độ từng đôi một bằng nhau (trừ vectơ
0, tất cả các tọa độ của vectơ 0 trong cơ sở bất kỳ =
0.
Trong không gian R
n
, cơ sở B
0
= {e
1
, e
2
, …, e
n
}.

[ ]
[ ]
[ ]

[ ]
1, ,0,0,0

0, ,1,0,0
0, ,0,1,0
0, ,0,0,1
3
2
1
=
=
=
=
n
e
e
e
e
(3.8)
được gọi là cơ sở chính tắc.
Cần phân biệt các thành phần của vectơ và
các tọa độ của nó trong cơ sở nào đó. Ta dùng ký
hiệu giống nhau để biểu thò các thành phần và các
tọa độ nhưng cần nhớ rằng các tọa độ của vectơ chỉ
trùng với các thành phần của nó trong cơ sở chính
tắc.


Đònh nghóa về chiều của không gian vectơ.
Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho không

gian vectơ ν có một cơ sở gồm n vectơ, số nguyên
này là duy nhất và được gọi là chiều của không gian
vectơ ν. Ký hiệu n = dim ν.
Vậy theo đònh nghóa, chiều là số các vectơ của
mọi cơ sở của ν và cũng là số tối đại các phần tử của
mỗi hệ các vectơ độc lập tuyến tính của ν. Không
gian νν mà trong đó có thể tìm được số tuỳ ý các
vectơ độc lập tuyến tính được gọi là không gian vô
hạn chiều, ký hiệu dim νν = ∞.

Bây giờ ta chỉ đònh một cơ sở bất kỳ B = {f
1
, f
2
,
…, f
n
} trong không gian R
n
. Khi đó ta có thể đặt
tương ứng đơn trò vectơ bất kỳ u với vectơ cột các tọa
độ trong cơ sở đó, tức là :
.

][
2
1
2211













==⇔+++=
n
Bnn
a
a
a
Uufafafau
Các phép toán tuyến tính (3.1), (3.2) đối với
vectơ tương ứng với các phép toán tuyến tính đối với
vectơ cột các tọa độ.
(3.9)














+
+
+
=












+













=
nnnn
a
a
a
a
a
a
β
β
β
β
β
β

22
11
2
1
2
1
(3.10)
w = u + v ⇔ [w]
β
= W = U + V
.

][
2
1












===⇔=
n
B
a
a
a
UZzuz
λ
λ
λ
λλ
(3.11)

Đònh lý 6 : Trong không gian R
n

hệ bất kỳ gồm n
vectơ độc lập tuyến tính thì tạo thành cơ sở.
Chứng minh : Giả sử p
1
, p
2
, …, p
n
là hệ n vectơ n
chiều độc lập tuyến tính. Hợp nhất với hệ này vectơ
n chiều bất kỳ u, ta thu được hệ gồm n + 1 vectơ n
chiều. Theo hệ quả của đònh lý 5, hệ này phụ thuộc
tuyến tính tức là tồn tại các số λ
1
, λ
2
, …, λ
n
không
bằng 0, tất cả sao cho
λ
0
u + λ
1
p
1
+ λ
2
p
2

+ … + λ
n
p
n
= 0
Rõ ràng λ
0
≠ 0, nếu ngược lại λ
0
= 0 thì các vectơ p
1
,
p
2
, …, p
n
phụ thuộc tuyến tính, mâu thuẫn với điều
kiện đònh lý. Do đó :