Tài liệu đạt 7 điểm môn toán

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 1
TÀI LIỆU


MỤC LỤC:
1-Khảo Sát Hàm Số và Các Bài Toán Liên Quan
2-Giá Trị Lớn Nhất Giá Trị Nhỏ Nhất
3- Lƣợng Giác
4-Phƣơng trình bất phƣơng trình Mũ và Logarit
5-Tích Phân và Ứng Dụng
6-Số phức
7-Phƣơng Pháp Tọa Độ Trong Không Gian Oxyz
8-Hình Học Không Gian Thuần Túy
9-Tổ Hợp và Xác Suất



Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 2


Tài liệu đã đƣợc tinh giảm chỉ còn những phần cơ bản và cần thiết, vừa
đủ để các em có thể học nhanh và nắm bắt đƣợc phù hợp với kiến thức THPT
cũng nhƣ kì thi Quốc Gia 2015 sắp tới.
Chỉ cần nắm bắt đƣợc các vấn đề cơ bản của tài liệu này thì điểm 6,5-7 là
điều không hề khó khăn.

Chú ý tập tài liệu chỉ đề cập đến các kiến thức cơ bản sẽ xuất hiện trong
kì thi Quốc Gia 2015 môn Toán nên sẽ không có các phần nâng cao. Các em
học sinh ôn thi vào các trƣờng lớn hay các trƣờng có tổ chức thi xét tuyển lần
2 thì các kiến thức trong tài liệu là không đầy đủ.
Do tài liệu đƣợc biên soạn bởi tác giả nên không tránh đƣợc sự thiếu xót.
Nếu có thì mong các em thông cảm.
Chúc các em học tốt và vƣợt qua kì thi năm nay một cách dễ dàng.
Thân!















Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 3
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
A. Lý thuyết:
I. Các bƣớc khảo sát hàm số:

 Tập xác định.
 Giới hạn, Tiệm cận (Nếu có)
 Đạo hàm
 Bảng biến thiên: Các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị (Nếu có)
 Đồ thị: Điểm đặc biệt, Vẽ đồ thị.
II. Tổng kết các dạng đồ thị:
1. Hàm bậc 3:
32
,0y ax bx cx d a    

 Đồ thị hàm số đối xứng qua điểm uốn.
 Dạng đồ thị được căn cứ vào: Số nghiệm của
'0y 
và dấu của hệ số a.
 Có 3 trường hợp:
 TH1:
'0y 
có 2 nghiệm phân biệt

có 2 cực trị.







0a 

0a 

 TH2:
'0y 
có nghiệm kép

không có cực trị.







0a 








0a 

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 4
 TH3:
'0y 
vô nghiệm

không có cực trị.







0a 








0a 

2. Hàm trùng phƣơng:
42

,0y ax bx c a   

 Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy.
 Đồ thị có 2 dạng căn cứ vào : Số nghiệm của
'0y 
và dấu của hệ số a.
 TH1:
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt

có 3 cực trị.







0a 








0a 

 TH2:

'0y 
có 1 nghiệm

có 1 cực trị.








0a 









0a 

3. Hàm phân thức:
22
,0
ax b
y a c
cx d


  


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 5
 Đồ thị có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
 Đồ thị là hai đường hypebol đối xứng qua giao điểm của hai đường tiệm cận.
 Đồ thị có hai dạng: Dựa vào dấu của y‟.



TCN



TCĐ
-
' 0,y x D  


hàm số đồng biến.



TCN

TCĐ
-
' 0,y x D  


hàm số nghịch biến.

B. Các dạng toán liên quan:
I. Đồng biên nghịch biến:
 Lý thuyết: Liên quan đên phương trình bậc 2
Cho phương trình:
2
y ax bx c  

 
0a 

 Hệ thức Vi-et:
1 2 1 1
;
bc
S x x P x x
aa
     

 Để phương trình có hai nghiệm trái dấu
0P

 Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

0
0P







 Để phương trình có hai nghiệm dương
0
0
0
P
S









 Để phương trình có hai nghiệm âm
0
0
0
P
S










 So sánh nghiệm
12
,xx
của phương trình với các số
,
cho trước:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 6
Để phương trình có nghiệm
12
,xx
thõa mãn:

12
0
. ( ) 0
xx
af



   




12
0
. ( ) 0
xx
af


   





12
0
. ( ) 0
2
x x a f
S




     







12
0
. ( ) 0
2
x x a f
S




     







12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af

xx
af
S






     








12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af
xx
af
S







     










12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
2
af
xx
af
S






     





   



12
0
. ( ) 0
. ( ) 0
x x a f
af



       





Chú ý: Nếu đề có dấu “=” thì ta sẽ thêm dấu ”=” tương ứng đối với các điều kiện.
 Bài toán: Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên TXD hay trong một
khoảng nào đó sau đây:
 
 
 


   

, , , , , , , , , , ,a b a b a a b b   

 Phƣơng pháp chung:
 Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số suy luận.
 Quy về bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với các số cho trước ở
đây là các số a, b trong các khoảng đó.
Ví dụ 1: Cho hàm số
 
32
1
32
3
y x mx m x   
. Xác định m để hàm số đồng biến trên
R.
Giải:
Do
1
0
3
a 
nên để hàm số đồng biến trên R thì đồ thị hàm số không có cực trị
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 7
'0y
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm

Ta có
2
' 2 3 2y x mx m   

Để hàm số đồng biến trên R
'2
'
3 2 0 1 2
y
m m m        

Vậy
12m

Ví dụ 2: Cho hàm số
   
32
1
1 3 2
3
y m x mx m x    
. Xác định m để hàm số nghịch
biến trên R.
Giải:
Để hàm số nghịch biến trên R thì
0a 
và
'0y 
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
Ta có:

 
2
' 1 2 3 2y m x mx m    

Để hàm số nghịch biến trên R
  
'
2
2
'
1
0
10
1
1
0
1 3 2 0
2
2 5 2 0
2
1
2
y
m
a
m
m
m m m
mm
mm

m








  
   
   

   
  
   









Vậy
1
2
m 

Ví dụ 3: Cho hàm số
32
2 3 6( 1)y x x m x   
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
khoảng
 
2,0

Giải:
Ta có:
2
' 6 6 6( 1)y x x m   

Từ tính chất của đồ thị, do
0a 
để hàm số có khoảng nghịch biến thì đồ thị hàm số
phải có cực đại và cực tiểu. Gọi các điểm cực trị là
12
,xx

Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng
 
12
,xx

Vậy để hàm số nghịch biến trên
 
2,0
thì
12

20xx   

0 4 3 0
. ( 2) 0 6( 3) 0 3
. (0) 0 6(m 1) 0
m
a f m m
af
    


        


  


Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 8
Ví dụ 4: Cho hàm số
32
26y x x mx  

Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,

Giải:

Ta có:
2
' 6 2 6y x x m  

Từ tính chất của đồ thị, do
0a 
để hàm số có khoảng đồng biến ta có hai trường hợp:
+ TH1: Hàm số không có cực trị
1
0 1 36 0
36
mm       
suy ra hàm số đồng
biến trên R nên hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,

+ TH2: Hàm số có cực trị
0  
. Gọi các điểm cực trị là
12
,xx
thì hàm số đồng biến
trên các khoảng
   
12
, , ,xx 

Để hàm số đồng biến trên
 

2,
thì
12
2xx

 
1
0
36
14 1
. ( 2) 0 6 28 6 0
3 36
1
2
2
2
6
m
a f m m
S








         









Vậy khi
14
3
m 
thì hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,

Ví dụ 5: Cho hàm số
4
xm
y
xm



.
a) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
b) Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
 
1, 

Giải:

Ta có TXD:
   
; 4 4 ;D m m     
và
 
2
3
'
4
m
y
xm



a) Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó thì
'0y 
với mọi
xD

Có nghĩa là
 
2
3
' 0 0
4
m
ym
xm
   



Vậy
0m 
thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 9
b) Ta có khi
0m 
thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó là:
 
m
và
 
4m, 

Để hàm số nghịch biến trên
 
1, 
thì
   
1, 4 ,m   

Có nghĩa là
1
41
4
mm    

.
Kết hợp với điều kiện để nghịch biến
1
0
4
m   

Bài tập vận dụng:
1/Cho hàm số
32
34y x x mx   
.
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên R.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng
 


2/Cho hàm số
   
32
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x     
.
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.
c) Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng
 
2,
.
3/Cho hàm số

4mx
y
xm



.
a) Xác định m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.
b) Xác định m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định.
c) Xác định m để hàm số nghịch biến trên khoảng
 


4/Cho hàm số
1x
y
xm



. Xác định m để:
a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng
 
0,

5/Cho hàm số
42
2 3 1y x mx m   
. Xác định m để

a) Hàm số đồng biến trên
 
0,

b) Hàm số đồng biến trên
 
2,

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 10
c) Xác định giá trị của m để hàm số đồng biến trên
 
1,2

6/Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m   
. Xác định m để:
a) Hàm số nghịch biến trên khoảng
 
1, 

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng
 
1,0

7/Cho hàm số
32

3 3 3 4y x mx x m    
. Xác định giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
đoạn có độ dài đúng bằng 1.
8/Cho hàm số
32
1
( 1) 3( 2) 1
3
y mx m x m x     
. Xác định các giá trị của m để hàm số nghịch
biến trên
 
2,
.
9/Cho hàm số
22
3(2m 1)x (12 5) 2y x m x     
. Xác định m để hàm số đồng biến đồng thời
trên cả 2 khoảng
 

và
 
2,

10/Cho hàm số
32
3 ( 1) 4y x x m x m    
. Xác định m để hàm số nghịch biến trên
 

1,1

11/Cho hàm số
32
1
2( 1) ( 1)
3
y mx m x m x m     
. Xác định m để:
a/Hàm số đồng biến trên


,0

b/Hàm số nghịch biến trên


2,

c/Hàm số đồng biến trên các khoảng
 


, 1 2;   

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 11
II. Cực trị:
 Bài toán 1: Xác định m để hàm số đạt cực trị.
 Phƣơng pháp: Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số để suy luận.
 Tìm m để đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d   

 
0a 

 Có cực trị
'
0
y
  

 Không có cực trị
'
0
y

  

 Tìm m để đồ thị hàm số
42
y ax bx c  

 
0a 

 Có 3 cực trị:
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt
 Có 1 cực trị:
'0y 
có 1 nghiệm
 Chỉ có cực đại:
'0y 
có 1 nghiệm và
0a 

 Chỉ có cực tiểu: :
'0y 
có 1 nghiệm và
0a 

 Xác định m để hàm số:
-Đạt cực đại tại
o
xx

0
'( ) 0
"( ) 0
o
o
a
yx
yx








-Đạt cực tiểu tại
o
xx

0
'( ) 0
"( ) 0
o
o
a
yx
yx










Ví dụ 1: Tìm m để hàm số
32
3y mx x x  
có cực đại, cực tiểu.
Giải:
Ta có:
2
' 3 6 1y mx x  
( 0)m 

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
2
'
' 0 3 3 0 3
y
mm       

Vậy để hàm số có cực đại, cực tiểu thì
3, 0mm
.
Ví dụ 2: Cho hàm số
42
21y x mx  

, tìm m để:
a) Có 3 cực trị
b) Có 1 cực trị
c) Chỉ có cực tiểu, không có cực đại.
Giải:
Ta có:
 
32
' 4 4 4y x mx x x m   
Suy ra:
2
0
'0
x
y
xm







Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 12
a) Để hàm số có 3 cực trị thì
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt

2
xm
có 2 nghiệm phân
biệt
0m

b) Để hàm số có 1 cực trị thì
'0y 
có 1 nghiệm
2
xm
vô nghiệm hoặc có nghiệm
bằng 0
m  

c) Để hàm số chỉ có cực tiểu, không có cực đại thì
0a 
và hàm số có 1 cực trị
0
0
0
a
m
m


  




Ví dụ 3: Cho hàm số
42
1y mx x  
, tìm m để hàm số đạt cực đại tại
1x 

Giải:
Ta có:
3
' 4 2y mx x
và
2
" 12 2y mx

Để hàm số đặt cực đại tại
1x 
thì :
0
'(1) 0
"(1) 0
a
y
y









3
2
0
0
1
4 .1 2.1 0 1/ 2
2
1/ 6
12 .1 2 0
m
m
m m m
m
m






        







Vậy
1
2
m 

 Bài toán 2: Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức hay
một yêu cầu về hình học phẳng của đề bài ( nhƣ tam giác, khoảng cách…)
 Phƣơng pháp:
 Bƣớc 1: Tìm điều kiện m để hàm số có cực đại, cực tiểu.(như bài toán 1)
 Bƣớc 2: Dựa vào yêu cầu đề bài suy ra phương trình theo m. Giải tìm m.
 Bƣớc 3: So sánh m tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi kết luận.
 Đối với hàm số bậc 3:
32
y ax bx cx d   

Ta thấy:
D
,
C CT
xx
chính là nghiệm của
'0y 
nên ta sẽ sử dụng hệ thức Viet để
giải dạng toán này.
 Đối với trùng phƣơng :
42
y ax bx c  

Ta thấy:
D

,
C CT
xx
chính là nghiệm của
'0y 
, ngoài nghiệm
0x 
thì hai nghiệm
còn lại ta có thể tính được.
Nên dạng này ta sẽ làm thủ công: rút thế trực tiếp.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 13
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số
3
2
3
x
y mx x  
có cực đại, cực tiểu tại
12
,xx
và các
điểm cực đại cực tiểu thõa mãn:
22
12
6xx

Giải:

Ta có:
2
' 2 1y x mx  

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì
'0y 
có 2 nghiệm phân biệt:

'2
'
0 1 0 1 1
y
m m m          
(*)
Áp dụng Viet cho
'0y 
:
12
12
2
1
x x m
xx
  





Theo đề:

2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
6 ( ) 2 6 ( 2 ) 2(1) 6 2 2x x x x x x m m m              

So sánh với (*) ta nhận cả 2 giá trị của m
Vậy
2m 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Xác định m để hàm số
42
2y x mx m  
có cực đại cực tiểu và 3 điểm cực đại
cực tiểu lập thành một tam giác vuông.
Giải:
Ta có:
 
32
' 4 4 4y x mx x x m   


2
2
0
' 0 4 ( ) 0
x
y x x m
xm


    





Để hàm số có cực đại cực tiểu thì
'0y 
có 3 nghiệm phân biệt
2
xm
có hai nghiệm phân biệt khác 0
0m

Với
0m 
thì
2
0
0
'0
x
x
y
xm
xm




  








Gọi A, B, C là ba điểm cực trị với
(0, )Am
;
2
( , )B m m m
;
2
( , )C m m m  
.
Do đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung nên tam giác ABC cân tại A. Nên ABC là một
tam giác vuông thì vuông tại A.
Ta có:
   
22
, ; ,AB m m AC m m    

Do tam giác ABC vuông tại A:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 14
22
. 0 ( ) ( )( ) 0AB AC AB AC m m m m         

43
0( )
0 ( 1) 0
1( )
ml
m m m m
mn


       




Vậy
1m 
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài tập vận dụng:
1/ Cho hàm số
 
32
21y x x m x m    
. Xác định m để hàm số:
a) Không có cực trị.
b) Có cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn hệ thức
1 2 1 2
4x x x x

c) Có cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn hệ thức
12
12
11
3xx
xx


d) Có cực trị tại
12
,xx
thỏa mãn hệ thức
 
2
1 2 1 2
3 1 5 3 3x x x x   

1/ Cho hàm số:
3 2 2 2
1
( 2) (3 1) 5
3
y x m m x m x m       

a) Xác định m để hàm số có cực trị.
b) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại

2x 
.
2/Cho hàm số:
42
(1 ) 2 1y m x mx m    
(
1m 
)
a) Xác định m để hàm số có 3 cực trị.
b) Xác định m để hàm số có 1 cực trị.
c) Xác định m để đồ thị hàm số chỉ có cực tiểu và không có cực đại.
3/Cho hàm số:
32
1
( 6) (2 1)
3
y x mx m x m     
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu
và hoành độ của hai điểm cực trị trái dấu.
4/ Cho hàm số:
4 2 2
21y x m x  
. Xác định m để:
a) Hàm số có 3 cực trị
1 2 3
,,x x x
thỏa mãn hệ thức
222
1 2 3
1xxx  

b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và ba điểm đó lập thành một tam giác đều.
5/ Cho hàm số:
32
1
1
3
y x mx x m    

a) Chứng minh hàm số luôn có cực trị.
b) Xác định m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị nhỏ nhất.

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 15
III. Tiếp tuyến:
 Lý thuyết:
 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số:
Cho hàm số
()y f x
có đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm
 
; ( )
oo
M x y C
có dạng:

'( )( )
o o o

y f x x x y  
với:
()
oo
y f x

 Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị:
Cho hàm số:
()y f x
có đồ thị (C)
()y g x
có đồ thị (C‟)
Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau là hệ sau có nghiệm:

( ) ( )
(*)
'( ) '( )
f x g x
f x g x






 Số nghiệm của hệ (*) là số tiếp điểm của hai đồ thị.
 Hệ vô nghiệm thì hai đồ thị không tiếp xúc nhau.
 Bài toán 1: Liên quan đến tiếp tuyến tại điểm
 
; ( )

oo
M x y C
:
 Phƣơng pháp chung:
 Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến tại M có dạng :
'( )( )
o o o
y f x x x y  

 Bƣớc 2: Dựa vào giả thuyết bài toán ta đi tìm
o
x

 Bƣớc 3: Kết luận theo yêu cầu của đề bài.
 Các kiến thức liên quan:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng
y ax b
thì
 
'
o
f x a

 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y ax b
thì
 
. ' 1
o
a f x 

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
4 6 1y x x  

a) Tại điểm có hoành độ bằng
1
.
b) Tại điểm có tung độ bằng 1.
c) Biết tiếp tuyến song song đường thẳng
3yx

d) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
1
1
9
yx  

Giải:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 16
a) Với
1 ( 1) 9
oo
x y f      

Ta có:
2

' '( ) 12 12y f x x x  
. Suy ra:
'( 1) 24f 

Vậy tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng
1
có phương trình:
'( 1)( ( 1)) ( 9)
24( 1) 9
24 15
y f x
yx
yx
     
  


b) Với
32
0
1 4 6 1 1
3
2
o
o o o
o
x
y x x
x




     




Khi
 
0, 1 ' 0
o o o
x y f x   
. Phương trình tiếp tuyến là:
 
0 0 1 1y x y    

Khi
 
3
, 1 ' 9
2
o o o
x y f x   
. Phương trình tiếp tuyến là:
3 25
9 1 9
22
y x y x

     




c) Gọi phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng
'( )( )
o o o
y f x x x y  

Do tiếp tuyến song song đường thẳng
3yx
nên
 
2
1
' 3 12 12 3
2
o o o o
f x x x x       

Với
1
0
2
oo
xy  
. Phương trình tiếp tuyến là:
13
3 0 3
22
y x y x


       



d) Tương tự, Do tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
1
1
9
yx  
nên:
 
2
1 1 3
. ' 1 12 12 9
9 2 2
o o o o o
f x x x x x          

Với
1
1
2
oo
xy    
. Phương trình tiếp tuyến là:
17
99
22
y x y x


    



Với
3
1
2
oo
xy  
. Phương trình tiếp tuyến là:
3 25
9 1 9
22
y x y x

     



Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 17
Ví dụ 2: Cho hàm số :
21
()
1
x

yC
x



. Tìm điểm
()MC
để tiếp tuyến của
()C
tại M
cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A, B thỏa mãn OA=OB.
Giải:
Gọi tiếp tuyến tại
( ; )
oo
M x y
là đường thẳng d có dạng:
'( )( )
o o o
y f x x x y  
(1)
Ta có:
2
1
' '( )
( 1)
y f x
x




2
1
'( )
( 1)
o
o
fx
x




Ta có phương trình tiếp tuyến :
 
2
21
1
()
1
1
o
o
o
o
x
y x x
x
x


   



Gọi
 
22
( ) 2 2 1;0 2 2 1
o o o o
A d Ox A x x OA x x         


   
22
22
2 2 1 2 2 1
( ) 0;
11
o o o o
oo
x x x x
B d Oy B OB
xx

   
     





Theo đề thì:
 
2
2
2
2 2 1
2 2 1
1
oo
oo
o
xx
OA OB x x
x

    

Do
2
, 2 2 1 0
oo
A B O x x    


 
2
0
1
2

1
o
o
o
x
x
x


  





Vậy các điểm M cần tìm là:
(0;1)
và
(2;3)


 Bài toán 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm
số
()y f x
biết tiếp tuyến đi qua điểm
( ; )
AA
A x y
.
Phƣơng pháp:

 Bƣớc 1: Gọi tiếp tuyến qua
( ; )
AA
A x y
là đường thẳng (d) có dạng:
()
AA
y k x x y  
.
 Bƣớc 2: Sử dụng điều kiện tiếp xúc:
(d) tiếp xúc (C)
( ) ( )
'( )
AA
f x k x x y
f x k
  






 Bƣớc 3: Giải tìm k suy ra tiếp tuyến cần tìm
Nhận thấy được sự khác biệt giữa tiếp tuyến tại điểm
 
;
oo
M x y
và tiếp tuyến qua điểm

M

Tiếp tuyến tại M thì có duy nhất 1 đường thẳng còn tiếp tuyến qua M thì có thể có nhiều đường.
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 18
Ví dụ 1: Cho hàm số:
3
3y x x
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến
đi qua điểm
 
1, 2A 
.
Giải:
Gọi tiếp tuyến qua
 
1, 2A 
có phương trình
 
: ( 1) 2d y k x  

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:
 
3
2
1 2 3
33
k x x x

kx

   







 
 
23
32
2
2
2
1
3 3 1 2 3
1
2 3 1 0
2
33
33
33
x x x x
xx
xx
kx
kx

kx


    

   
  
  
  
  









Với
10xk  
Phương trình tiếp tuyến là:
0( 1) 2 2y x y     

Với
19
24
xk    
Phương trình tiếp tuyến là:
9 9 1

( 1) 2 y
4 4 4
y x x       

Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x



(C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp
tuyến đi qua giao điểm của đồ thị và trục hoành.
Giải:
Giao điểm của (C) và trục hoành có tọa độ
 
2,0

Gọi tiếp tuyến qua
 
2,0
có phương trình
 
: ( 2)d y k x

Để (d) tiếp xúc (C) thì hệ sau có nghiệm:
 
 

2
2
2
1
3
1
x
kx
x
k
x














 
 
 
 
 

 
2
23
2
2
32
2
2
1
3 3 1 2 3
1
1
3
33
3
1
x
x
x
x
x x x x
x
k
kx
k
x










    

  
  
  


  







Phương trình tiếp tuyến cần tìm:
 
1 1 2
2
3 3 3
y x y x    



Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng

2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 19
Bài tập vận dụng:
1/Cho hàm số:
3
31y x x   

a) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng -1.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song đường thẳng:
9yx
.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
1
3
3
yx  

2/Cho hàm số:
21
1
x
y
x




a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
36yx
.
3/Cho hàm số:
32
32y x x  

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
(0 ,3 )A
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến (d) tại những điểm cách đều hai trục tọa độ.
4/Cho hàm số:
32
32y x x m   
(C) m: tham số
M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 1. Xác định m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi
qua điểm
(3,2 )A
.
5/Cho hàm số
2
1
x
y
x


(C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của © và trục Oy.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox tại A, Oy tại B sao

cho tam giác OAB cân tại O.
6/Cho hàm số:
32
4y x mx  
. Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
7/Cho hàm số:
2
2
x
y
x



(C)
a/Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b/Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến cắt hai tiệm cận tại A
và B sao cho MA=MB.

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 20
IV. Giao điểm của hai đồ thị:
 Lý thuyết: Cho hàm số
()y f x
và
()y g x

Số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

( ) ( )f x g x

 Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

( ) ( )f x g m

 Phƣơng pháp chung:
 Vẽ đồ thị hàm số
()y f x

 Số nghiệm của phương trình
( ) ( )f x g m
là số giao điểm của hai đồ thị:
()
()
y f x
y g m





Với
()y g m
là đường thẳng song song Ox.
 Đặc biệt:
 Đồ thị hàm số
()y f x
: Từ đồ thị hàm số

()y f x
ta bỏ phần đồ thị nằm dưới Ox,
lấy đối xứng phần đó qua Ox.
 Đồ thị thàm số
 
y f x
: Từ đồ thị hàm số
()y f x
ta bỏ phần đồ thị nằm bên trái
Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy.
Ví dụ 1: Cho hàm số
32
32y x x  

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
32
30x x m  

Giải:
a) Khảo sát ta được đồ thị:
3
2
1
-1
-2
-2
2
4

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 21
b) Ta có
3 2 3 2
3 0 3 2 2x x m x x m       

Số nghiệm của phương trình
32
30x x m  
là số giao điểm của hai đồ thị:
32
32
2
y x x
ym

  



Với
2ym
là đường thẳng song song Ox.
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Nếu
2 2 0mm   
thì
2ym

cắt (C) tại 1 điểm
+ Nếu
2 2 4mm    
thì
2ym
cắt (C) tại 1 điểm
+ Nếu
2 2 0mm   
thì
2ym
cắt (C) tại 2 điểm
+ Nếu
2 2 4mm    
thì
2ym
cắt (C) tại 2 điểm
+ Nếu
2 2 2 0 4mm      
thì
2ym
cắt (C) tại 3 điểm.
Kết luận:
+ Nếu
0m
hoặc
4m 
phương trình (1) có 1 nghiệm.
+ Nếu
0m 
hoặc

4m 
phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Nếu
04m
phương trình (1) có 3 nghiệm.
Ví dụ 2: Cho hàm số
3
3y x x
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Xác định m để phương trình sau có đúng 6 nghiệm phân biệt:
3
3x x m

c) Xác định m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt:
3
30x x m  

Giải:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
4
3
2
1
-1
-2
-3
-2
2

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 22
b) Ta có
3
3x x m

Số nghiệm của phương trình
3
3x x m
là số giao điểm của hai đồ thị:
3
3y x x
ym







Với
ym
là đường thẳng song song Ox
Ta có đồ thị hàm số
3
3y x x
Từ đồ thị hàm số
3

3y x x
ta bỏ phần đồ thị nằm
dưới Ox, lấy đối xứng phần đó qua Ox. Ta được:

3
2
1
-1
-2
-2
2

Dựa vào đồ thị để phương trình
3
3x x m
có đúng 6 nghiệm phân biệt thì đường thẳng
ym
cắt đồ thị
3
3y x x
tại 6 điểm phân biệt
02m  

Vậy
02m  
thì phương trình
3
3x x m
có 6 nghiệm phân biệt.
c) Ta có

33
3 0 3x x m x x m      

Số nghiệm của phương trình
3
30x x m  
là số giao điểm của hai đồ thị:
3
3y x x
ym







Với
ym
là đường thẳng song song Ox
Ta có đồ thị hàm số
3
3y x x
Từ đồ thị hàm số
3
3y x x
ta bỏ phần đồ thị nằm
bên trái Oy, lấy đối xứng phần còn lại qua Oy. Ta được:
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 23

3
2
1
-1
-2
-2
2

Dựa vào đồ thị để phương trình
3
30x x m  
có đúng 3 nghiệm phân biệt thì đường
thẳng
ym
cắt đồ thị
3
3y x x m  
tại 3 điểm phân biệt
0mm     

Vậy
m 
thì phương trình
3
30x x m  
có 3 nghiệm phân biệt.
 Bài toán 2: Bài toán giao điểm của đồ thị và đƣờng thẳng.

 Giao điểm của đồ thị hàm số
32
y ax bx cx d   
và đƣờng thẳng
y k x m

Phƣơng pháp chung:
 Bƣớc 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm.
 Bƣớc 2: Sử dụng sơ đồ Hoocne để phân tích:
 
2
( ) 0x ax Bx C

   
(1)
 Bƣớc 3: Khi đó hoành độ các giao điểm là nghiệm của
(1)
2
0
0, ( )
x
ax Bx C g x





  


 Bƣớc 4: Dựa vào đề bài mà ta suy ra các điều kiện tương ứng
Chú ý: Sử dụng Viet cho phương trình
2
0ax Bx C  
đối với bài toán này.
Ví dụ 1: Xác định m để hàm số
32
28y mx x x m   
cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt.
Giải:
Ta có PTHDGD:
32
2 8 0mx x x m   
(*)
Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 24

 
 
2
2
( 2) ( 2 1) 4 0
2
( 2 1) 4 0 ( )
x mx m x m
x
mx m x m g x

     




    


Để đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
2
( ) (2 1) 4 0g x mx m x m     
có 2 nghiệm phân biệt khác
2

2
11
0
12 4 1 0
62
( 2) 0 1
2 12 0
6
m
mm
g
m
m

  




   


  
  

  







Vậy
1 1 1
6 2 6
mm    

 Giao điểm của đồ thị hàm số
ax b
y
cx d



và đƣờng thẳng
y kx m

Phƣơng pháp chung:
 Lập phương trình hoành độ giao điểm.
 Dựa vào yêu cầu đề bài và tính chất của đồ thị hàm số để suy ra bài toán bậc 2.
 Sử dụng Viet.
Ví dụ: Cho hàm số
1
1
x
y
x



(C)
Tìm m để đường thẳng
1y mx
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thị.
Giải:
Ta có PTHDGD:
1
1
1
x
mx
x




2
20mx mx   
(1)
 
1x 

Ta thấy hai nhánh của đồ thị (C) được phân chia bởi tiệm cận đứng
1x 
nên đường
thẳng
1y mx
cắt (C) tại 2 điểm thuộc 2 nhánh có hoành độ
12
,xx
thì
12
1xx
.
2
0 8 0
80
. (1) 0 ( 2) 0 0
0
00
mm
mm
a f m m
m
am


   

   



       
  







Vậy
0m 
thõa mãn yêu cầu bài toán.

Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng
2015

Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dương Sđt: 0932589246 25
Bài tập vận dụng:
1/Cho hàm số
32
( 3) 4y x m x mx    
 
m
C

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi
0m 

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
32
34x x m  

c) Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
32
14
33
x x m  

d) Xác định m để phương trình sau có 1 nghiệm
3
2
1
3
x x m

e) Xác định m để
 
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
f) Xác định m để
 
m
C

cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
2/Cho hàm số
1
1
x
y
x



(C).
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Xác định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
1
1
x
m
x




c) Xác định m để phương trình sau vô nghiệm
 
11x m x  

3/Cho hàm số
42
23y x x  
.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
42
20x x m  

c) Xác định m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
42
23x x m  

2/Cho hàm số
32
y x mx m  
. Xác định m để đường thẳng
yx
cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm
phân biệt:
a) Có hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
b) Có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
3/Cho hàm số
32
32y x x  
. Gọi (d) là đường thẳng qua
 
3,20A
có hệ số góc là m. Tìm m
để (d) cắt đồ thị tai 3 điểm phân biệt.
4/Cho hàm số
42
(3m 2) 3y x x m   

a) Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm phân biệt.