Tài liệu Đê+đáp án môn toán (HSG9)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ UÔNG BÍ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9
NĂM HỌC 2010- 2011
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 12/01/2011
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 01 trang)
Bài 1. (5,0 điểm).
a) Cho hàm số
( )
( )
2011
3
f x x 6x 7= + -
.
Tính
( )
f a
với
3 3
a 3 17 3 17= + + -
.
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn:
xy yz zx 1+ + =
.
Tính giá trị của biểu thức
( ) ( ) ( )
y
x z

P 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z
æ ö
÷
ç
÷
ç
= + + + + +
÷
ç
÷
÷
+ + +
ç
è ø
Bài 2. (5,0 điểm).
a) Cho
x 1>
. Chứng minh bất đẳng thức
x
2
x 1
³
-
.
b) Với những giá trị của x thỏa mãn
1
x
2
-³

, hãy tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
( )
2
f x 2x 5x 2 2 x 3 2x= + + + + - .
Bài 3. (3,0 điểm).
Giải phương trình:
2 2
4x 1 x 2x x 2x 1- + = - + +
Bài 4. (4,0 điểm).
Cho hình thang ABCD có: AB // CD,
µ
µ
0
A D 90= =
, AB + CD = BC.
Chứng minh rằng đường tròn đường kính AD tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài 5. (3,0 điểm).
Chứng minh rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi các chiều cao
a b c
h ;h ;h
của nó thỏa mãn điều kiện
2 2
a a
b c
h h
1
h h
æ ö æ ö
÷ ÷

ç ç
÷ ÷
+ =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

-------------------- Hết -----------------------
Chữ kí giám thị 1
……………...
Chữ kí giám thị 2
……………..
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Họ và tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: ……………….
HNG DN CHN THI CHN HC SINH GII CP TH X
LP 9 NM HC 2009-2010
MễN TON.
BI LI GII S LC IM
Bi 1
5 im
a)
3 3
a 3 17 3 17= + + -
( ) ( )
( ) ( )
( )
3 3

3 3 3 3 3
3
a 3 17 3 17 3. 3 17 3 17 3 17 3 17= + + - + + - + + -

=
6 6a-
3
a 6a 7 1+ - = -
Vy
( )
( )
( )
2011
2011
3
f a a 6a 7 1 1= + - = - = -
1,5
1
b) T
xy yz zx 1+ + =
( )
2
1 x xy yz zx x+ = + + +ị
( ) ( )
x x y z x y= + + +
( ) ( )
x z x y= + +
.
Tng t ta cú :
( ) ( )

1 y y x y z+ = + +
;
( ) ( )
1 z z x z y+ = + +
Thay vo P ta c:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
P x y y z z x .
y
x z
x y x z y x y z z x z y
= + + +
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
+ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
+ + + + + +
ữ
ỗ
ố ứ

=
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x y z y x z z x y
x y y z z x .
x y y z z x
+ + + + +
ộ ự
+ + +
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
+ + +
( )
2 xy yz zx 2= + + =
1
1,5
Bi 2
5 im
a)
( )
2
x 1 1
x 1
x 1
x 1 x 1 x 1
1
2 x 1. 2

x 1
- +
= = - +
- - -
- =
-
1,5
1
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2
f x 2x 5x 2 2 x 3 2x 2x 1 x 2 4 x 3 2x= + + + + - = + + + + -
ta cú
( ) ( )
( ) ( )
2x 1 x 2
3x 3
2x 1 x 2
2 2
+ + +
+
+ + =Ê
du bng khi
2x 1 x 2 x 1+ = + =
( )
( )
4 x 3
7 x
4 x 3
2 2

+ +
+
+ =Ê
du bng khi
4 x 3 x 1= + =

ị
( )
3x 3 7 x
f x 2x 5
2 2
+ +
+ - =Ê
du bng khi
x 1=
.
Vy giỏ tr ln nht ca
( )
f x
l 5 khi x = 1.
0,5
1
0,5
0,5
Bi 3
3 im
K:
1
x
2

2 2
4x 1 x 2x x 2x 1- + = - + +
2x 1. 2x 1 x x. 2x 1 2x 1 0- + + - - - + =
( ) ( )
2x 1. 2x 1 x 2x 1 x 0- + - - + - =
0,5
1
( ) ( )
2x 1 x 2x 1 1 0+ - - - =
2x 1 x 0 2x 1 x
2x 1 1 0 2x 1 1
ộ ộ
+ - = + =
ờ ờ

ờ ờ
- - = - =
ờ ờ
ở ở
Vi
2x 1 x 2x 1 x x 1+ = + = = -ị ị
(Loi)
Vi
2x 1 1 2x 1 1 x 1- = - = =
(tha món K)
Vy phng trỡnh cú nghim x = 1.
1
0,5
Bi 4

4 im
I
C
B
O
A
D
H
Gi O l trung im ca AD, I l trung im ca BC => OI l ng trung bỡnh ca hỡnh thang
ABCD =>
( )
1
OI AB CD
2
= +
, m AB + CD = BC
1
OI BC
2
=ị

OBCị D
vuụng ti O
ị
IO = IB =>
IOBD
cõn
ã
ã
IBO IOB=ị

; m OI // AB
ã
ã ã ã
IOB ABO OBH OBA= =ị ị
.
=>
OBA OBH=D D
=> OH = OA =
1
AD AHD
2
ị D
vuụng ti H
Hị ẻ
ng trũn ng
kớnh AD
m
OH BC^
ti H => ng trũn ng kớnh AD tip xỳc vi BC.
2
1,5
0,5
Bi 5
3 im
Gi ba cnh tng ng ca tam giỏc ln lt l a, b, c
a b c
a.h b.h c.h 2S= = =ị

a a
b c

h h
b c
;
h a h a
= =

2 2
2 2
a a
b c
h h
b c
1 1
h h a a
ổ ử ổ ử
ổử ổử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
+ = + =
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ỗ ỗ
ữ ữ

ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
ố ứ ố ứ

2 2
2 2 2
2
b c
1 a b c
a
+
= = +
<=> tam giỏc ABC vuụng (L o Talet).
1
1,5
0,5
Cỏc chỳ ý khi chm.
1. Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii. Bi lm ca
hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c cho im
ti a.
2. Vi cỏc cỏch gii ỳng nhng khỏc ỏp ỏn, t chm trao i v thng
nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho cõu hoc phn
ú. Mi vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i trong t chm
v ch cho im theo s thng nht ca c t.
3. im ton bi l tng s im ca cỏc phn ó chm, khụng lm trũn
im.