Chuyên đề ôn thi học sinh giỏi hình học lớp 10

Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 1 Nguyễn Xuân Quân
Phần hình học 10
Chuyên đ
ề 1: Vectơ
Bài 1. Cho tam giác ABC. M, N l
ần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
2 4
3 3
AB CM BN  
  
b)
4 2
3 3
AC CM BN  
  
c)
1 1
3 3
MN BN CM 
  
Bài 2. Cho tam giác ABC. Hai đi
ểm M, N được xác địn
h b
ởi các hệ thức:
; 3BC MA O AB NA AC O    
      
. Ch

ứng minh MN // AC.
Bài 3. Cho 4 đi
ểm
A, B, C, D th
ỏa mãn
2 3 5AB AC AD 
  
. CMR : B, C, D th
ẳng hàng.
Bài 4. Cho tam giác ABC, M là m
ột điểm tr
ên cạnh BC. Chứng minh rằng:
MC MB
AM AB AC
BC BC
 
  
Bài 5. Cho tam giác ABC. Đ
ặt
, ,BC a AC b AB c  
. G
ọi I l
à tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Ch
ứng minh rằng:
. . . 0a IA b IB c IC  
   
.
(hd: S
ử dụng kết quả của b

ài tập 4
.
N
ếu g
ọi D l
à giao điểm của AI
v
ới BC thì ta có:
AI c b b c
ID BD CD BC

  
)
Bài 6. Cho đư
ờng tr
òn (
I) n
ội tiếp tam giác ABC. (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần l
ượt tại M, N
, P. Ch
ứng minh rằng:
. . . 0a IM b IN c IP  
   
.
(hd: Sử dụng kết quả của bài tập 4.
Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác ABC thì ta có:
AP AN p a
BM BP p b
CN CM p c
  



  


  

)
Bài 7. Cho t
ứ giác
ABCD. Các đi
ểm M, N lần l
ượt thuộc các đoạn AD, BC sao cho
MA NB m
MD NC n
 
Chứng minh rằng:
nAB mDC
MN
m n



 

.
Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao AH. Hãy biểu diễn vectơ
AH

theo các vectơ

AB

và
AC

.
( hd:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
a c b a b c a c b
AH AB BC AB AC
a a a
     
   
    
)
Bài 9. Cho đư
ờng tròn (O) và hai điểm A, B trên (O). Giả sử các tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau
tại M và thỏa mãn điều kiện góc AMB bằng

(

là góc cho trước). Chứng minh rằng:
a)
2
2cos .
2
MO MA MB


 
  
b)
2
2sin .
2
OM OA OB

 
  
Bài 10. Cho tam giác ABC n
ội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của A
qua O.
a) Ch
ứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Ch
ứng minh :
2
2
HA HD HO
HA HB HC HO
OA OB OC OH
 
  
  
  
   
   
c) G
ọi G l

à trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
3OH OG
 
. T
ừ đó kết luận g
ì về ba điểm
G, H, O.
Bài 11.Cho hình ch
ữ nhật ABCD tâm
O , Đi
ểm
M là 1 đi
ểm bất kỳ
:
a) Tính
MS

=
MA

+
MB

+
MC

+
MD

theo

MO

T
ừ đó suy ra đường thẳng MS quay quanh 1 điểm cố định
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 2 Nguyễn Xuân Quân
b) Tìm t
ập hợp các điểm M thỏa

MA

+
MB

+
MC

+
MD

= a ( a > 0 cho trư
ớc )
c) Tìm t
ập hợp các điểm N thỏa

NA

+

NB

 = 
NC

+
ND


Bài 12. Cho tam giác ABC.
BI
=
3
1
BC
;
CJ
=
3
1
CA
;
AK
=
3
1
AB
a) Ch
ứng minh rằng:
IC

+
JA
+
KB
=
0
,
AI
+
BJ
+
CK
=
0
.
Suy ra hai tam giác ABC và IJK cùng tr
ọng tâm.
b) Tìm t
ập hợp
M th
ỏa
: 
MA
+
MB
+
MC
=
2
3


MB
+
MC

2
MB
+
MC
=2
MA
+
MB

d) Tính
IK
;
IJ
theo
AB
và
AC
.
Bài 13.Cho tam giác ABC. Tìm t
ập hợp điểm M sao cho
a)
2 3 8 81MA MB MC  
  
. b)
2 (2 1) 1MA mMB m MC   

  
Bài 14.Cho tam giác ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm của BC , CA , AB . G là trọng tâm tam giác
ABC
a) Ch
ứng minh rằng
AI
+
BJ
+
CK
=
0
.Suy ra tam giác ABC và IJK cùng tr
ọng tâm.
b) Tìm t
ập hợp điểm M thỏa mãn :
a) 
MA
+
MB
+
MC
=
2
3

MB
+
MC


b) 
MB
+
MC
 = 
MB
-
MC

c) D, E xác đinh b
ởi :
AD
= 2
AB
và
AE
=
5
2
AC
. Tính
DE
và
DG
theo
AB
và
AC
.
Suy ra 3 đi

ểm D,G,E thẳng h
àng.
Bài 15. Cho tam giác ABC , v
ới mỗi số thực k ta
xác đ
ịnh các điểm A’ , B’ sao cho
' , 'AA kBC BB kCA 
   
. Tìm tìm quỹ tích trọng tâm G’ của tam giác A’B’C.
Bài 16. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ
nhất
a)
MA MB MC 
  
b)
2MA MB MC 
  
c)
3MA MB MC 
  
d)
3MA MB
 
Bài 17. Cho hai đi
ểm A, B phân biệt và hai số
, 
không đ
ồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
a) N
ếu

0  
thì không t
ồn tại điểm M sao cho:
0MA MB  
  
b) N
ếu
0  
thì t
ồn tại duy nhất điểm M sao cho:
0MA MB  
  
Bài 18. Cho tam giác ABC, g
ọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng
v
ới A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.
a) Chứng minh rằng:
1
IG AB DM
3
 
  
.
b) Lấy J thỏa
2CJ 2AB JM 
  
. Chứng minh rằng IJ song song với AB.
c) Giả sử
AB a, BC 2a 
và


0
ABC 60
. Tính độ dài của
u AB 2AC 
  
.
d) Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn:
2EA 3EB 5EC 2 ED EG   
    
.
(hd: a).
 
1
IG AG AI AB AC AC AD AM
3
      
       
 
1 1
AB 2DM DM AB DM
3 3
    
    
b).
2CJ JM 2AB 2AJ 2AC AM AJ 2AB      
       
5
3AJ 2AB 2AC AM 5AM AJ AM
3

      
      
Mà M là trung đi
ểmcủa AD nên
MJ
2
JD

.
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 3 Nguyễn Xuân Quân
G
ọi K l
à trung điểm của CD, ta có
MI
2
IK

. V
ậy ta có:
MJ MI
IJ // CD // AB
JD IK
 
.
c). K
ẻ AH vuông góc với BC. Ta có:
0

a
BH AB.cos60
2
 
,
0
a 3
AH AB.sin60
2
 
.
T
ừ đó ta có
2 2
3a
CH BC BH AC AH CH a 3
2
      
2 2 2
BC AB AC  
V
ậy tam giác ABC vuông tại A.
D
ựng
BF 2AC
 
AB 2AC AB BF AF    
    
và
BF 2AC 2a 3 

.
2 2
u AB 2AC AF AB BF a 13      
  
.
d). L
ấy điểm S sao cho
2SA 3SB 5SC 0  
   
5 3
AS AC AB
4 4
  
  

S là đi
ểm cố định.
G
ọi R là trung điể
m c
ủa DG. Khi đó, ta có:
2EA 3EB 5EC 2 ED EG
4ES 2 2ER ES ER
   
   
    
 
V
ậy ta suy ra tập hợp điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng SR.
)

Bài 19. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét M là điểm tùy ý. Gọi P, Q, R, S là các điểm sao cho:
4MB MC MD MP  
   
;
4MC MD MA MQ  
   
;
4MD MA MB MR  
   
;
4MA MB MC MS  
   
.
Tìm vị trí của điểm M sao cho PA = QB = RC = SD.
Bài 20. Cho tam giác ABC. Trên c
ạnh
AB, BC, CA l
ấy lần lượt các điểm
M, N, P th
ỏa mãn
2AM AB BC 
  
,
3BN BC AC 
  
,
2CP CA
 
. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP có cùng
tr

ọng tâm.
Bài 21. Cho tam giác ABC. M là trung đi
ểm BC.
Ch
ứng minh rằng:
a)
 
2 2 2
1
.
2
AB AC AB AC BC  

b)
2 2 2
2
2( )
4
AB AC BC
AM
 

Bài 22. Chứng minh với 4 điểm bất kỳ A, B, C, D ta luôn có:
. . . 0AB CD AC DB AD BC  
     
( H
ệ thức Ơ
-le).
T
ừ đó, chứng minh ba đường cao trong tam giác đồng quy.

Bài 23. Cho tam giác ABC v
ới trọng tâm G. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
1
( )
3
GA GB GC a b c    
(H
ệ thức Lep
-nit).
Bài 24. Cho tam giác ABC. Tìm
đi
ểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách
t
ừ đó đến các đỉnh
c
ủa tam giác là nhỏ nhất.
Bài 25. Cho các vectơ
a

và
b

l
ập với nhau góc
120
o
. Tìm x
đ
ể

2b a
 
và vectơ
a xb
 
vuông góc v
ới
vectơ
a b
 
.
Bài 26. G
ọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng:
2 2 2
. . .a IA b IB c IC abc  
(HD: S
ử dụng kết quả bài tập 5)
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 4 Nguyễn Xuân Quân
Bài 27. Cho tam giác ABC cân t
ại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm
tam giác ADC. Ch
ứng minh rằng OE

CD.
(HD: S
ử dụng tích vô h
ướng bằng cách phân tích vectơ và kết hợp OA


BC)
Bài 28. Cho đo
ạn thẳng AB cố định v
à số thực k. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:
a)
2 2
AM BM k 
. b)
2 2
MA MB k 
(HD: a) S
ử dụng trung điểm AB
b) G
ọi I, H lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB và hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
Ta có:
   
 
2 2
2
2 .
2
MA MB k MA MB MA MB k MI BA k
k
MH HI BA k AB IH k IH
AB
       
      
    
  

Đ
ẳng thức đó chứng tỏ H là điểm cố định và tập hợp điểm M là
đư
ờng thẳng vuông góc với AB tại H
Bài 29. Cho tam giác ABC. Tìm t
ập hợp điểm M sao cho:
a)
2 2 2
0MB MC MA  
b)
2 2 2
2 0MB MC MA  
(HD: a) S
ử dụng đỉnh E của hình bình hành ABEC.
b) S
ử dụng trung điểm BC
, tương t
ự 28b
b) G
ọi I là trung
đi
ểm BC thì tập hợp điểm M là đường v
uông góc v
ới IA tại H sao cho
2 2
4
8
BC IA
IH
IA



)
Bài 30. Cho tam giác ABC có tr
ọng tâm G. Gọi
A
1
, B
1
, C
1
l
ần l
ượt là hình chiếu vuông góc của G
xu
ống cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC  
   
. (với a=BC, b=AC, c=AB).
Bài 31. Cho tam giác ABC có tr
ọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có:
2 2 2 2 2 2
. . .MA MB MC MAGA MBGB MC GC GA GB GC       
(HD: S
ử dụng
. . . . . .MAGA MB GB MC GC MAGA MB GB MC GC    
     
)

Lưu
ý:
b
ất đẳng thức
.a b ab
   
đư
ợc sử dụng
nhi
ều và đẳng thức xảy ra khi hai vectơ
a

và
b

cùng
chi
ều)
Bài 32. Cho tam giác ABC. Ch
ứng minh rằng với điểm M bất kỳ, ta có:
2 2 2
. . .a MA b MB c MC abc  
(HD: Xét
. . .v a MA b MB c MC  
   
và s
ử dụng
2
0v 


)
Bài 33. Cho tam giác ABC. Ch
ứng minh rằng: cosA+cosB+cosC
3
2

.
(HD: Lấy các vectơ đơn vị
1 2 3
, ,e e e
  
lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho chúng cùng hướng với
, ,BC CA AB
  
. S
ử dụng
 
2
1 2 3
0e e e  
  
)
B
ổ xung một số kiến thức về tọa độ vect
ơ trên trục
(Các em xem thêm ki
ến thức SGK, thầy chỉ đưa một số kiến thức và bài tập cơ bản để có thể áp
d
ụng trong các bài toán khác)
- M

ột đ
ường thẳng được gọi là trục (tọa độ) nếu trên
đó đ
ã ch
ọ một điểm O làm gốc và một vec tơ
i

có đ
ộ dài bằng 1 là vec tơ đơn vị của trục
, hư
ớng của
i

đư
ợc gọi là hướng của trục.
- Cho hai đi
ểm A, B tr
ên trục, tọa độ vec tơ
AB

trên tr
ục đ
ược gọi là độ dài đại số của vec tơ
AB

,
kí hi
ệu
AB
. Như v

ậy,
.AB AB i
 
- M
ột số hệ thức cơ bản:
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 5 Nguyễn Xuân Quân
+)
AB BA 
+)
AB OB OA 
+)
AB BC AC 
(h
ệ thức Sa
-lơ)
- Cho đi
ểm M trên trục
'Ox x
. T
ọa độ vec tơ
OM

đư
ợc gọi là tọa độ của điểm M. Kí hiệu
M(x)
ho
ặc

M=(
x
) đ
ể chỉ
t
ọa độ điểm M là
x
. Đôi khi đ
ể thuận tiện, ta còn dùng kí hiệu
M=(
M
x
) đ
ể chỉ tọa độ
đi
ểm M
. Ta có: M=(
M
x
)
M
x OM 
.
- Độ dài đại số của một vec tơ trên trục bằng tọa độ điểm ngọn trừ tọa độ điểm gốc:
B A
AB x x 
Bài 1. Trên tr
ục
'Ox x
cho ba đi

ểm A, B, M
(A

B) và s
ố k
1
.
a) Ch
ứng minh rằng:
MA kMB MA kMB  
 
b) Trong đi
ều kiện câu a) chứng minh rằng :
1
A B
M
x kx
x
k



(HD: a) G
ọi
i

là vec tơ đơn v
ị của trục
'Ox x
. Ta có:

 
 
. . .MA kMB MAi kMB i MAi k MBi MA kMB      
     
b) S
ử dụng
 
A M B M
MA kMB x x k x x    
Bài 2. Trên tr
ục
'Ox x
cho b
ốn điểm M, A, B, C. Chứng minh rằng:
a)
. . . 0MA BC MB CA MC AB  
( H
ệ thức
Ơ
-le)
b)
2 2 2
. . . . . 0MA BC MB CA MC AB BC CA AB   
(H
ệ thức Sti
-oa)
Bài 3. Trên đư
ờng thẳng

cho hai đi

ểm phân biệt
A, B. V
ới mỗi số k cho tr
ước
, ch
ứng minh rằng tồn
t
ại duy nhất điểm H

sao cho
2 2
HA HB k 
.
(HD: Cách 1: Ch
ọn trên

đi
ểm O và vec tơ đơn vị. Như vậy,

tr
ở thành một trục. Gọi I là trung điểm
c
ủa AB, ta có:
     
2 2
.2HA HB k HA HB HA HB k BA HI IA HI IB k BA HI k            
2
k
IH
AB

 
. Đ
ẳng thức này khẳng định tồn tại duy nhất điểm H.
Cách 2: Ch
ọn trên

đi
ểm O và vec tơ đơn vị. Như vậy,

tr
ở thành một trục. Giả sử
     
, ,A a B b H x  
. Ta có:
     
 
2 2
2 2 2 2
2HA HB k a x b x k b a x k b a           
Vì A

B nên
a b
, do đó phương tr
ình có nghiệm duy nhất
 
 
2 2
2
k b a

x
b a
 


.
Đi
ều này chứng tỏ tồn tại duy nhất điểm H.
)
Bài 4. Trên tr
ục số cho bốn điểm A, B, C, D; I là trung điểm của AB, K là trung điể
m c
ủa CD. Chứng
minh các đi
ều kiện sau tương đương:
a)
CA DA
CB DB
 
b)
2 1 1
AD
AB AC
 
(H
ệ thức Đề
- các)
c)
2
.IA IC ID

(H
ệ thức Niu
-tơn) d)
. .AC AD AB AK
(H
ệ thức Mác
-lô-ranh)
( Chú ý: B
ốn điể
m A, B, C, D trên tr
ục v
à thỏa mãn một trong các điều kiện trên được gọi là
hàng đi
ểm
đi
ều hòa
. Kí hi
ệu (ABCD)=
-1 )
Bài 5. Cho các đi
ểm A(
-1; 1), B(1; 3), C(-2; 0).
a) Ch
ứng minh rằng A, B, C thẳng h
àng.
b) Tìm t
ọa độ điểm D sao cho (ABCD)=
-1 ( hay A, B, C, D l
ập t
hành 1 hàng đi

ểm điều hòa).
(HD: S
ử dụng kết quả câu a) b
ài tập 4)
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 6 Nguyễn Xuân Quân
Chuyên đ
ề 2
: H
ệ thức lượng trong tam giác
Bài 1. Cho tam giác ABC. Ch
ứng minh rằng:
a)
2 2 2
cot cot cot
4
a b c
A B C
S
 
  
(Đ
ịnh lí côtang).
b)
1
2
r
R


.
c)
2 2 2
4 3.a b c S  
. d)
 
2 2 2 2 2 2
3
4
a b c
m m m a b c    
(HD: b,c) áp d
ụng
bđt cô-si)
Bài 2. Ch
ứng minh tam giác ABC vuông tại A khi v
à chỉ khi:
2 2 2
sin sin sinA B C 
Bài 3. Chứng minh tam giác ABC thỏa mãn điều kiện
3 3 3
2
sin 2sin .sin
b c a
a
b c a
B A C

 



 




thì ABC là tgiác đều.
Bài 4. Trong t
ất cả các tam giác ngoại tiếp cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có diện tích
nh
ỏ nhất.
Bài 5. Ch
ứng minh rằng nếu tam giác ABC có
sin cos cos
sin cos cos
B C A
C A B



thì tam giác ABC là tam giác
vuông ho
ặc cân.
Bài 6. Cho tam giác ABC, BM, CN là các trung tuy
ến.
Ch
ứng minh rằng:
2 2 2
5BM CN b c a   

Bài 7. Cho tam giác ABC. Ch
ứng minh rằng góc B
60
o

khi và ch
ỉ khi:
1 1 3
a b b c a b c
 
   
Bài 8. Ch
ứng minh rằng tam giác ABC cân tại A khi và chỉ khi
sin
2
sin cos
A
B C

.
Chuyên đ
ề 3
: Phương pháp t
ọa độ trong mặt phẳng
Bài 1. Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(10;5), B(3;2), C(6;
-5).
a/ Tìm t
ọa độ điểm D xác định bởi hệ thức :
ACABAD 23 

.
b/ Tam giác ABC là tam giác gì? Vi
ết phương trình đường tròn ngoại ti
ếp tam giác ABC v
à tìm giao điểm
c
ủa đường tròn này với đường thẳng y = 5.
(ĐS: D(-3;16), phương tr
ình ( C) là :
29)8(
22
 yx
, giao đi
ểm l
à
)5;10(
1
M
và
)5;6(
2
M
)
Bài 2. Cho hai đi
ểm A(1;6), B(
-3; -4). Hãy tìm
điểm M trên đ
ư
ờng thẳng d: 2x
–y–1= 0 sao cho : MA +

MB bé nh
ất.
Bài 3. Trong m
ặt phẳng với hệ tọa độ Oxy. Cho hình thoi ABCD có tọa độ các đỉnh A(0;3), B(5;3) . Tâm
I c
ủa hình thoi nằm trên đường thẳng (d):
02  yx
.Xác đ
ịnh tọa độ của các đỉnh C và D ?
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 7 Nguyễn Xuân Quân
(ĐS:
)1;2( C
)1;3( D
)
Bài 4. Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy lập phương trình các cạnh của tam giác ABC . Biết
A( 1; 3 ) và hai đư
ờng trung tuyến phát xuất từ B và C lần lượt có phương trình là :
x – 2 y + 1 = 0
và y – 1 = 0 .
(ĐS: AB : x – y + 2 = 0, AC : x + 2y – 7 = 0, BC : x – 4y – 1 = 0 )
Bài 5. Trong m
ặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S =
3
2
, A(2; - 3), B(3; -2).
Tr

ọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng 3x
– y – 8 = 0 . Xác đ
ịnh toạ độ điểm C.
(ĐS: C(-2; -10) ho
ặc C(1;
-1))
Bài 6. Vi
ết phương trình đường thẳng d đi qua M(4;
-3) sao cho tam giác t
ạo bởi đường thẳng đó và hai
tr
ục tọa độ có diện tích bằng 3.
Bài 7. Trong m
ặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC với A(2,
1) và phương tr
ình
đường phân giác trong
c
ủa B v
à C l
ần l
ư
ợt là: d
1
: x2y+1=0 và d
2
: x+y+3=0. Vi
ết ph
ương trình cạnh BC.
(Lưu

ý:
Phân giác nh
ớ đến tính chất đối xứng
, đư
ờng cao nhớ đến tính chất vuông góc, trung tuyến nhớ
đ
ến tính chất trung điểm
)
Bài 8. Cho tam giác ABC có đ
ỉnh B(
-4;1), tr
ọng tâm G(1;1) và đường t
h
ẳng chứa phân giác trong của
góc A có phương tr
ình
  1 0x y
> Tìm t
ọa độ đỉnh A và C.
(ĐS: A(4; 3) và C(3; -1))
Bài 9. Cho đư
ờng thẳng
d
m
:
m x m y m( 2) ( 1) 2 1 0     
.
a) Ch
ứng minh rằng
d

m
luôn đi qua m
ột điểm cố định A.
b) Tìm m đ
ể
d
m
c
ắt
đo
ạn BC với B(2; 3), C(4; 0).
c) Tìm ph
ương trình đường thẳng đi qua A và tạo với BC một góc
0
45
.
d) Tìm m đ
ể đ
ường thẳng
d
m
ti
ếp xúc với đ
ường tròn tâm O bán kính R =
5
.
(ĐS: a) A(1; –3) b)
m
8 3
7 2

 
c)
x y x y5 14 0, 5 8 0     
d)
m m
4
3,
3
 
)
Bài 10. Cho ba đi
ểm A(0;
–1), B(4; 1), C(4; 2). Vi
ết phương trình đường thẳng
d khi bi
ết:
a) d đi qua A và kho
ảng cách từ B đến
d b
ằng hai lần khoảng cách từ C đến
d.
b) d đi qua C và c
ắt các trục O
x, Oy l
ần l
ượt tại E và F sao cho:
OE OF 3  
.
c) d đi qua B, cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N với
M N

x y0, 0 
và sao cho:
i) OM + ON nh
ỏ nhất
ii)
OM ON
2 2
1 1

nh
ỏ nhất.
(ĐS: a)
x y x y1 0, 2 3 3 0     
b)
x y x y2 6 0, 4 4 0     
c) i)
x y2 6 0  
ii)
x y4 17 0  
)
Bài 11. Cho đư
ờng cong (C
m
):
x y mx y m
2 2
4 2 0     
.
a) Ch
ứng minh rằng với mọi

m, (C
m
) luôn là đư
ờng tr
òn và (C
m
) luôn đi qua 2 đi
ểm
c
ố định A, B.
b) Tìm m để (C
m
) đi qua gốc toạ độ O. Gọi (C) là đường tròn ứng với giá trị m vừa tìm được. Viết phương
trình đường thẳng  song song với đường thẳng
d x y: 4 3 5 0  
và chắn trên (C) một dây cung có
đ
ộ dài bằng 4.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có vectơ chỉ phương là
a ( 2;1) 

.
d) Tìm m đ
ể (C
m
) ti
ếp xúc với trục tung. Viết phương trình đường tròn ứng với
m đó.
(ĐS: a) A(1; 1), B(1; 3)
b) m = 2, (C):

x y x y
2 2
2 4 0   
,
      
1 2
: 4 3 8 0, : 4 3 7 0x y x y
c)
x y x y2 8 0, 2 2 0     
d) m = –2,
x y x y
2 2
2 4 4 0    
)
Bài 12. Cho đư
ờng cong (C
t
):
x y x t y t t
2 2
2 cos 2 sin cos2 0    
(0 < t < ).
a) Ch
ứng tỏ (C
t
) là đư
ờng tròn với mọi
t.
b) Tìm t
ập hợp tâm I của (C

t
) khi t thay đ
ổi.
c) G
ọi (C) là đường tròn tro
ng h
ọ (C
t
) có bán kính l
ớn nhất. Viết phương trình của (C).
d) Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến của (C) tạo với trục O
x m
ột góc
0
45
.
Tài Li
ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 8 Nguyễn Xuân Quân
(ĐS: b)
x y
2 2
1 
c)
t C x y y
2 2
, ( ) : 2 1 0

2

    
d)
x y x y x y x y1 0, 1 0, 3 0, 3 0           
)
Bài 13. Cho các đi
ểm
       
1;1 , 4;0 , 2;0 , 0; 4A B C D 
. Tìm t
ập hợp các điểm M sao cho diện tích các
tam giác MAB và MCD b
ằng nhau.
(ĐS: qu
ỹ tích M l
à đường thẳng 3x
-y+12=0 và 5x+5y+4=0)
Bài 14. Cho đư
ờng thẳng
: 4 0x y   
và d:
2 2 0x y  
. Tìm t
ọa độ điểm N thuộc đường thẳng d
sao cho đư
ờng thẳng ON cắt đ
ường thẳng

t

ại điểm M thỏa m
ãn OM.ON=8.
(ĐS:
   
0; 4 , 0; 2M N 
ho
ặc
 
6 2
6;2 , ;
5 5
M N
 
 
 
)
Bài 15. Trong m
ặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A c
ó đ
ỉnh A(6; 6), đ
ường thẳng đi qua
trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x+y-4=0. Tìm tọa độ đỉnh B và C, biết điểm E(1;-3)
n
ằm tr
ên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
(ĐS:
   
0; 4 , 4;0B C 
ho
ặc

   
6;2 , 2; 6B C 
)
Bài 16. Cho đi
ểm
 
1;2
o
M 
và hai đư
ờng thẳng:
1 2
: 2 1 0 ; : 2 2 0x y x y       
. G
ọi

là đư
ờng
th
ẳng đi qua
o
M
và c
ắt
1 2
, 
l
ần lượt tại
M
và

'M
. Vi
ết phương trình

bi
ết rằng
2 '
o o
M M M M
.
(ĐS:
 
3; 2 ; : 1 0M x y    
)
Bài 17. Cho 4 s
ố thực
a, b, c, d tho
ả điều kiện:
a b
c d
2 2
1
3

 

 

.
B

ằng phương pháp hình học, chứng minh rằng
:
ac c b
9 6 2
d d
4

  
.
(ĐS: Xét đư
ờng tròn (C):
x y
2 2
1 
và đư
ờng thẳng
d x y: 3 
. G
ọi M(a; b)
 (C), N(c; d)  d.
G
ọi A, B l
à các giao điểm của (C) và d với đường thẳng y = x .

A
2 2
;
2 2
 
 

 
,
B
3 3
;
2 2
 
 
 
. Tính
MN ac cd bd
2
= 10 – 2( ) 
,
 
AB
2
2
3 2
2


.
T
ừ MN
 AB ta suy ra đpcm. )
Bài 18. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi D là trung điểm của cạnh AB, E là trọng tâm
c
ủa tam giác ADC
. Ch

ứng minh rằng nế
u AB = AC thì IE vuông góc v
ới CD .
(ĐS: Ch
ọn hệ tọa độ Oxy cho O trùng với trung điểm của BC, điểm A thuộc trục Oy và ta có:
+ A(0 ; a), B(-c ; 0), C(c ; 0). Suy ra D(
2
c

;
2
a
), E(
6
c
;
2
a
)
Do AB = AC nên tâm I

Oy => I(0 ; y
0
).
IA
(0 ; a - y
0
),
IC
(c ; -y

0
)
IA = IC <=>
22
ICIA 
<=> (a - y
0
)
2
= c
2
+ y
0
2
<=> y
0
=
a
ca
2
22

V
ậy I(0 ;
a
ca
2
22

)

H
ệ số góc của đường thẳng IE là : k
a
c
xx
yy
YE
IE
3




H
ệ số góc của đ
ường thẳng CD là: k’
c
a
xx
yy
CD
CD
3




. Ta có: k . k’ = -1
V
ậy IE


CD. )
Bài 19.Cho đư
ờng tròn (C): x
2
+ y
2
– 8x + 6y + 21 = 0 và đư
ờng
th
ẳng d:
01yx 
. Xác đ
ịnh tọa độ
các đ
ỉnh h
ình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A
 d.
(ĐS: Đư
ờng tròn (C) có tâm I(4,
–3), bán kính R = 2
T
ọa độ của I(4,
–3) th
ỏa ph
ương trình (d): x + y
– 1 = 0. V
ậy I
 d
Tài Li

ệu bồi d
ưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 9 Nguyễn Xuân Quân
V
ậy AI là một đường chéo của hình
vuông ngo
ại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2
ti
ếp tuyến của (C ) n
ên
. Ho
ặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2
 A(2, –1)
. Ho
ặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6
 A(6, –5)
. Khi A(2, –1)  B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
. Khi A(6, –5)  B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) . )
Bài 20.Cho tam giác đ
ều ABC.Gọi D l
à điểm đối xứng của C qua AB.Vẽ đường tròn tâm D qua A, B; M
là đi
ểm bất kì trên đường tròn đó (
), BMAM 
. Ch
ứng minh rằng độ dài MA, MB, MC là độ dài ba
c
ạ
nh c
ủa một tam giác vuông.

(ĐS:
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 10 Nguy
ễn Xuân Quân
O
M(x0;y 0)
B
D
^
>
C
A
Ch
ọn hệ trục Oxy sao cho Ox tr
ùng với AB , chiều dương hướng từ
A đ
ến B,trục Oy là đường trung trực của đoạn AB

A(-1;0); B(1;0) ,C(0;
)3
,D(0;-
)3
Phương trình
đường tròn tâm D qua A, B là :
4)3(
22
 yx
(1)
Gi
ả sử

);( baM
là đi
ểm bất k
ì trên đường tròn (1) .Ta có :
222
)1( baMA 
222
)1( baMB 
222
)3(  baMC
132)3(
222222
 bbabaMBMA
=
4)3(
222
 baMC
M n
ằm trên đường tròn (1) nên :
04)3(
22
 ba
222
MCMBMA 

MA, MB, MC là đ
ộ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
Bài 21.Trong m
ặt phẳng tọa độ
Oxy cho ba đi

ểm A(0;
a),B(b;0) ,C (-b; 0) v
ới
a>0 ,b >0 .
a) Vi
ết ph
ương trình đường tròn (C
) ti
ếp xúc với đ
ường thẳng AB tại B và tiếp xúc với đường thẳng
AC t
ại C.
b) G
ọi M là mộ
t đi
ểm bất kỳ trên đường tròn (C
) và
1 2 3
, ,d d d
là các kho
ả
ng cách t
ừ M đến các
đư
ờng thẳng AB,AC,BC.Chứng minh rằng
2
1 2 3
d d d
(ĐS: a) ABC cân t
ại A;tâm I của (C) thuộc Oy

);0(
0
yI
,
);(),;(
0
abABybIB 
.Do
a
b
yaybABIB
2
00
2
00. 
M
ặc khác
2
4
22
0
222
a
b
bybIBR 
. V
ậy pt của ( C) l
à
2
4

22
2
2
)(
a
b
b
a
b
yx 
b) Đư
ờng thẳng AB có pt:
0 abbyax
; AC có pt:
0 abbyax
; BC có pt: y = 0
Xét đi
ểm
)();(
00
CyxM 
. Ta có :
0 0 0 0
1 2 3 0
2 2 2 2
; ;
ax by ab ax by ab
d d d y
a b a b
   

  
 
Do
2
4
22
2
0
2
000
)()();(
a
b
b
a
b
yxCyxM 
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
2a x a b ab y a y    
2 2 2 2
0 0
2 2
1 2 0 3
2 2
b y a y
d d y d
a b
 
   


.
Bài 22. Trong m
ặt phẳng 0xy cho đ
ường tròn (C): x
2
+y
2
-2x+4y+4 = 0.G
ọi

là
đường thẳng song song đường thẳng d:3x+4y-1 = 0 và chia đường tròn ( C) thành hai
cung mà t
ỉ số độ d
ài
b
ằng 2.T
ìm phương trình đường thẳng

.
(ĐS:
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 9 Nguy
ễn Xuân Quân
B
A
H
I
N

M
Đư
ờng tr
òn (C ) có tâm I(1;
-2); R=1.

// d nên

:3x+4y+C=0

cắt (C) tại A và B ,đường thẳng qua I vuông góc

tại H cắt (C) tại
M và N gi
ả sử độ dài cung AMB bằng 2 lần độ dài cung ANB suy ra
góc AIB=120
0
Tính đư
ợc IH= R.cos60
0
=
2
1
IH=
2
1
2
1
5
83

2
1
);( 


C
Id
Tìm đư
ợc:

















0
2
5
43

0
2
15
43:
2
5
2
15
2
1
2
1
yx
yx
C
C
Bài 23. Trong m
ặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với A(2;0), C(
-2;3) và tr
ọng
tâm G
1
;1
12
 
 
 
. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
(ĐS: Cho tam giác ABC có A(2;0), C(-2;3) G
1

;1
12
 
 
 

B
1
;0
4
 
 
 
Phương tr
ình các c
ạnh AB : 3x + 4y
- 6 = 0; AC : 4x + 3y - 1 = 0; BC : y = 0
Phương tr
ình phân giác trong góc A là : x + y
-1 = 0
Phương tr
ình phân giác trong góc B là : x + 3y
- 2 = 0
G
ọi I(x, y) tâm đ
ường tròn
n
ội tiếp tam giác ABC

t

ọa độ I l
à nghiệm của hệ phương trình
1
1 0
2
3 9 6 0 1
2
x
x y
x y
y



  



 
  





Vậy phương trình đường tròn là :
2 2
1 1 1
( ) ( )
2 2 4

x y   
.)
Bài 24. Cho góc vuông xOy và hai đi
ểm A, B cố định trên Ox, Oy. Các điểm M, N di
chuy
ển lần
lư
ợt tr
ên các cạnh Ox, Oy sao cho
2
OM ON
OA OB
 
. Ch
ứng minh rằng các giao điểm của AN v
à BM
ch
ạy trên một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng đó.
(ĐS: L
ập hệ trục tọa độ Oxy. Giả sử A(a;0), B(0;b), M(m;0), N(0;n).
Phương tr
ình
đường thẳng AN là :
0nx ay na  
. Phương tr
ình
đường thẳng BM là:
0bx my mb  
.
T

ọa độ giao điểm của AN v
à BM là nghiệm của hệ:
0
0
nx ay na
bx my mb
  


  

(1)
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 12 Nguy
ễn Xuân Quân
2 ( )
mna mba
x
x y mn mb na
mn ab
mnb nab
a b mn ab
y
mn ab




 



   








Theo gi
ả thiết, ta có
2 2 .
m n
mb na ab
a b
    
Th
ế vào (1) ta được
2 2
2
x y mn ab
a b mn ab

  

.
V
ậy, giao điểm của An v
à Bm luôn chạy trên đường thẳng có phương trình chính tắc

1.
2 2
x y
a b
 
Đó là đư
ờng thẳng A’B’ với
' , 'A Ox B Oy 
sao cho OA’=2OA, OB’=2OB. )
Bài 25. Trong m
ặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;
-7), tr
ực tâm l
à H(3;
-1), tâm đư
ờng
tròn ngo
ại tiếp là I(
-2; 0). Xác đ
ịnh tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ dương.
(ĐS:
 
65 2;3C 
)
Bài 26. Trong m
ặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;
3
) và elip (E) có phương tr
ình
2 2

1
3 2
x y
 
. M là
giao đi
ểm có tung độ dương của đường thẳng
1
AF
v
ới (E), N là điểm đối xứng của
2
F
qua M. Vi
ết
phương tr
ình đường tròn ngọa tiếp
tam giác
2
ANF .
(ĐS:
1
MA MF MN 
, Đư
ờng tròn cần tìm là:
 
2
2 3 4
1
3 3

x y
 
   
 
 
 
)
**************************
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 13 Nguy
ễn Xuân Quân
M
ột số
b
ộ
đ
ề thi học sinh giỏi toán 10 các em tham khảo
Đ
ề 1:
Câu I: (5 đi
ểm)
1. Gi
ải bất phương trình
:
       
2
1 2 4 8 4x x x x x    
2. Cho các s
ố thực a, b, c (với a ≠ 0) sao cho: phương trình ax
2

+ bx + c = 0 có hai nghi
ệm
thu
ộc đoạn
 
0; 1
. Tìm giá tr
ị lớn nhất của biểu thức:
   
 
2a b a b
P
a a b c
 

 
.
Câu II: (5 đi
ểm)
1. Tìm t
ất cả
các nghi
ệm nguyên của phương trình:
2
)9)(8)(2)(1( yxxxx 
2. Tìm
điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
3 3
3 3
1 1

5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

   




    


Câu III: (3 đi
ểm)
Trong mặt phẳng, cho góc

0
60 .xOy 
M, N là hai điểm lần lượt thay đổi trên
hai tia Ox và Oy sao cho:
2013
201211

ONOM
. Ch
ứng minh đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố

đ
ịnh.
Câu IV: (2 điểm) Cho x, y là hai số dương thay đổi, có tổng bằng
17
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
th
ức:
1
31121
11
2
2




xy
y
y
x
y
xxP
.
Câu V: (5 đi
ểm)
1. Trên m
ặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
0332:
1

 yxd
và
01725:
2
 yxd
. Đư
ờng thẳng
d đi qua giao đi
ểm của
1
d
và
2
d
c
ắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại A
và B. Vi
ết phương trình đường thẳng
d sao cho
2
2
OAB
S
AB

nh
ỏ nhất.
2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi A
1
, B

1
, C
1
lần lượt là hình chiếu vuông góc của G
xu
ống cạnh BC, AC, AB
. Ch
ứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC  
   
. (v
ới a=BC, b=AC, c=AB
).
H
ết

Đáp án
Câu I.
1. Gi
ải bất ph
ương trình:
       
2
1 2 4 8 4x x x x x    
Ti Liu bi dng hc sinh gii Toỏn
Trang 14 Nguy
n Xuõn Quõn

2 2 2
6 8 9 8 4bpt x x x x x
(1)
0x
không phải là nghiệm
0x
, phơng trình (1)
8 8
6 9 4x x
x x




. Đặt
8
x t
x

, điều kiện
4 2t
(*)
Bpt trở thành:
2
15 50 0 5 10t t t
, kết hợp (*) ta đợc:
8
4 2 10 4 2 10 5 17 5 17t x x
x

KL: nghiệm của BPT là:
5 17;5 17x



2. Tỡm giỏ tr
ln nht ca biu thc:


2a b a b
P
a a b c



.
G
i x
1
, x
2
l 2 nghi
m ca PT ó cho. Theo Vi
-et:
1 2
1 2
b
x x
a
c

x x
a









Do a

0 nờn ta cú :

2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
2
1 1
1
b b
x x x x
x x x x
a a
P
b c

x x x x x x x x
a a












Khụng m
t tớnh tng quỏt gi s x
1

x
2
do 2 nghi
m thuc [0; 1] nờn
2 2
1 1 2 2
; 1x x x x
v
1 2 1 2
1 x x x x
> 0 nờn ta cú:
2 2

1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1
1 1
x x x x x x x x
x x x x x x x x



P 3
D
u ng thc xy ra khi:
1 1 2
2
2
1
x x x
x





1
2
1
2
0
x = 1

1
x = 1
x
x















0
0
0
2
c
b a
b
a c

V
y giỏ tr ln nht ca P bng 3
.
Cõu II:
1.Tỡm t
t c cỏc nghim nguy
ờn ca phng trỡnh:
2
)9)(8)(2)(1( yxxxx

t
5 xt
, ta
c:
2
)9)(8)(2)(1( yxxxx
222
)16)(9( ytt
(1)

t

2
25
2
tu
(
Zu 2
)
(1) (2u 2y)(2u 2y) 49
Tr
ng hp 1:

12
252
12
252
4922
122
122
4922
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 15 Nguy
ễn Xuân Quân
05252  xtu
hay
10x
. T
ừ đó
)12;0(),( yx
,
)12;10( 

Trư
ờng hợp 2:























12
252
12
252
4922

122
122
4922
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
50252  xtu
. Từ đó
)12;5(),( yx
Trường hợp 3:
























0
72
0
72
722
722
722
722
y
u
y
u
yu
yu
yu
yu
1472  xtu
hay
9x
2372  xtu
hay
8x

T
ừ đó
)0;1(),( yx
,
)0;2(
,
)0;8(
,
)0;9(
Tóm l
ại phương trình có 10 nghiệm nguyên (x, y) là:
)0;1(
,
)0;2(
,
)0;8(
,
)0;9(
,
)12;0(
,
)12;0( 
,
)12;5(
,
)12;5( 
,
)12;10(
,
)12;10( 

.
2. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm
Đ
ặt u =
1
x
x

và v =
1
y
y

v
ới
2, 2u v 
H
ệ đ
ã cho trở thành:
 
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
 


 



 
 
    



u, v là các nghi
ệm của PT
: t
2
– 5 t + 8 = m (1)
H
ệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi PT (1) có nghiệm t
1,
t
2
tho
ả mãn
1 2
2, 2t t 
(t
1
, t
2
không nh

ất thiết phân biệt)
Xét hàm s
ố y = t
2
– 5 t + 8 v
ới t
 

( ; 2 2;     
t
-

- 2
2
5
2
+

y
+

+

22
2
7
4
Từ bảng biến thi
ên suy ra h
ệ đã cho có nghiệm khi

7
2
4
22
m
m

 




Câu III. Ch
ứng minh đường thẳng M
N luôn đi qua đi
ểm cố định.
Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy. Suy ra Ot cố định. Gọi I là giao điểm MN với tia Ot.
Ta chứng minh I cố định.
*
MONONOMS
OMN
sin
2
1


=
ONOMONOM .
4
3

60sin
2
1
0

(1)
*
NOIOIONMOIOIOMSSS
ONIOMIOMN
sin
2
1
sin
2
1


=
OIONOMOIONOM ).(
4
1
30sin.).(
2
1
0

(2)
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 16 Nguy
ễn Xuân Quân

Từ (1) và (2) suy ra:
ONOM
ONOM
OI
.3
1 

32013
2012
)
11
(
3
1

ONOM
I
cố định.
Câu IV. Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của biểu thức:
1
31121
11
2
2




xy

y
y
x
y
xxP
.
Ta có: P = ( x +
y
1
)
2
+ 11( x +
y
1
) +
y
x
1
3

. Đ
ặt:
t
= x +
y
1
> 0. Ta có:
P =
t
2

+ 11
t
+
t
3
= (
t
–
2
1
)
2
+ (12
t
+
t
3
) –
4
1
t
t
3
.122
–
4
1
=
4
47

. Đ
ẳng thức xảy ra khi t =
2
1
.
Gi
ải hệ:
17
4
1 1
2
x y
x
y

 




 


đư
ợc: x =
4
1
và y = 4. V
ậy:
Min P =

4
47
đ
ạt được khi x =
4
1
và y = 4.
Câu V.
1. Vi
ết phương trình đường thẳng
d sao cho
2
2
OAB
S
AB

nh
ỏ nhất.
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng
1
d
và
2
d
)1;3(I
.
Gi
ả sử
)0;(aA

và
);0( bB
v
ới
0, ba
thì
đường thẳng
d có phương tr
ình
1
b
y
a
x
. Vì
1
13

ba
dI
Ta có


















222222
22
2
2
11
4
11
.4
.
.4
baOBOAOBOA
OBOA
S
AB
OAB
Áp d
ụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có
1
1311
)13(
2
22

22















ba
ba
10
111
22

ba
Min
5
2
2
2

OAB

S
AB
khi















10
3
10
3
1
13
b
a
ba
ba
Khi đó đư
ờng thẳng

d có phương tr
ình
0103  yx
.
2. Ch
ứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
. . . 0a GA b GB c GC  
   
. (V
ới a=BC, b=AC, c=AB
)
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
. . . 0 ( . . . ) 0a GA b GB a GC a GA b GB a GC      
      
4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . . 2 . 2 . 2 . 0a GA b GB c GC a b GA GB a c GA GC b c GB GC      
     
(*)
Ta có:
1 1 1
, , , 2
3 3 3
a b c
a b c
h h h
GA GB GC ah bh ch S     

,
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0
1 1 1 1 1 1
. . . os(180 ) . . os , -2ab.cos
. . . os(180 ) . . osB, -2ac.cos
. . . os(180 ) . . osA, -2cb.cos
GA GB GA GB c C GA GB c C C c a b
GA GC GA GC c B GA GC c B b a c
GC GB GC GB c A GC GB c A
      
      
   
 
 
 
2 2 2
a b c  
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 17 Nguy
ễn Xuân Quân
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(*)
4 . 4 . 4 . 4 .( ) 4 .( ) 4 .( )
0
9 9 9 9 9 9
S a S b S c S c a b S b a c S a c b

VT
     
      
Là đi
ều phải chứng minh.

Đ
ề 2
:
Bài 1. (4 đi
ểm
)
1. Gi
ải phương trình:
112
3
 xx
2. Tìm m
đ
ể phương tr
ình
3m 1
x 6 x- 9 m x 2 x - 9 -8 x
2

    
có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho

1 2
x 10 x 
Bài 2. (2,5 đi
ểm
) Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
6x
2
+ 4x + 5 > |2x
2
+ 4mx + 1| (1)
Bài 3. (3 đi
ểm
) Cho hệ phương trình:
2
2 3 8 0
0
x y
x y m

  


  


1. Giải hệ phương trình với m = 1 .
2. Tìm m
để hệ phươ
ng trình có nghi
ệm duy nhất

.
Bài 4. (3 đi
ểm
). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R, có G là trọng tâm. Chứng
minh rằng:
1.
2 2 2 2 2 2
1
( )
3
GA GB GC a b c    
.
2.
2 2 2
2 2
9
a b c
R OG
 
 
Bài 5. (4,5 đi
ểm
). Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; -5), B(-4; 5) và đường thẳng d: x -
2y + 3 = 0.
1. Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nh
ất.
2. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
Bài 6. (3 đi
ểm)
Cho a, b, c là các s

ố thực dương thỏa mãn:
a + b + c = 2.
Ch
ứng minh rằng:
2 2 2
1
a b c
b c a c a b
  
  
H
ết

Đáp án
Bài 1.
1. Đ
ặt
a =
3
2 x
, b =
1x
. Đi
ều kiện
b
.0
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 18 Nguy
ễn Xuân Quân
PT 















3;2
0;1
1;0
1
1
23
ba
ba
ba
ba
ba
*) a = 0; b = 1 gi
ải ra
x = 2
*) a = 1 ; b = 0 gi
ải ra

x = 1
*) a = -2; b=3 gi
ải ra
x = 10
V
ậy các nghiệm của phương trình là
: x = 1; x = 2, x = 10.
2. PT
 
3m 1
x 9 3 m x 9 1 x
2

       
. Đặt
t x 9,t 0  
PT tr
ở thành :
   
2 2
3m 1
t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0
2

           
(1)
PT ban đ
ầu có nghiệm
1 2
x 10 x 


(1) có nghi
ệm
   
1 2 1 2
1 2
' 0
0 t 1 t t 1 t 1 0
t t 0
 


      


 

   
2
2
m 1 2 m 13 0
m 25 0
m 13
m 1 1 0 13 m 0 m 13
2
m 1
m 1 0

   



 



         
 
 
 

 


Bài 2:
Vì 6x
2
+ 4x + 5 > 0 với mọi x nên (1)  - (6x
2
+ 4x + 5 ) < 2x
2
+ 4mx + 1 < 6x
2
+ 4x + 5

2
2
(1 ) 1 0
4 2(1 ) 3 0
x m x
x m x


   


   


(2)
V
ậy, (1) nghi
ệm đúng với mọi x khi và chỉ khi cả hai bất phương trình trong hệ (2) đồng thời nghiệm
đúng với mọi x. Điều này tương đương với
2 2
1
' 2 2
2
(1 ) 4 2 3 0
(1 ) 12 2 11 0
m m m
m m m

       


       


1 3
1 1 2 3
1 2 3 1 2 3

m
m
m
  


      

     


Bài 3:
2
2
2 3 8 0
0 2 3 3 8 0 (1)
y x m
x y
x y m x x m
 
 
  
 

 
      
 
 
1. Với m = 1: (1) 
2

2 3 5 0x x  
. Đặt t = |x| (t  0) ta được phương trình:
2t
2
+ 3t - 5 = 0 
1
5
(
2
lo¹i)
t
t




 

.
Với t = 1  |x| = 1  x =  1.
Vậy hệ có 2 nghiệm (1; 2) và (-1; 2).
2. Hệ có nghiệm duy nhất  PT (1) có nghiệm duy nhất
 PT: 2t
2
+ 3t + 3m - 8 = 0 (2) có nghiệm thoả mãn:
1
2
0
0
t

t






3 8 0
8
3
3
0
2
m
m
 


 

 


Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 19 Nguy
ễn Xuân Quân
Bài 4 : 1. Có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 4

( )
9 9 2 4 2 4 2 4 3
a b c
b c a c a b a b c a b c
GA GB GC m m m
 
    
           
 
 
2. Có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3 2 ( )
OA OB OC OG GA OG GB OG GC
OG GA GB GC OG GA GB GC
       
      
        
       
Do OA = OB = OC = R và
0GA GB GC  
   
nên:
2 2 2 2 2
3 3R OG GA GB GC   
hay
2 2 2

2 2 2 2 2
3 3
3
a b c
R OG GA GB GC
 
    

2 2 2
2 2
9
a b c
R OG
 
 
.
Bài 5:
1. Gọi H là hình chiếu của B trên , ta có: BH  AB.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H  A. Khi đó  là đường thẳng qua A và vuông góc với AB.
PTTQ: 3x - 5y - 31 = 0.
2. Kiểm tra A và B cùng phía với d.
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua d. Có: MA + MB = MA’ + MB  A’B.
Đẳng thức xảy ra  A’, M, B thẳng hàng. Suy ra M là giao điểm của đường thẳng A’B với d.
Gọi d’ là đường thẳng qua A và vuông góc với d. d’ có PTTQ: 2x + y + 1 = 0.
Gọi H là giao điểm của d’ và d. Tọa độ H = (-1; 1).
H là trung đi
ểm
của AA’ nên A’ có toạ độ A’(-4; 7).
Đường thẳng A’B có VTCP
' (0; 2)A B  


nên có VTPT
'
(1;0)
A B
n 

.
PTTQ đường thẳng A’B: x + 4 = 0.
Toạ độ giao điểm M của A’B và d là nghiệm của hệ phương trình:
4 0 11
2 3 0 4
y x
x y y
   
 

 
    
 
 M(-11; -4)
Bài 6: Có:
2 2
2 .
4 4
a b c a b c
a
b c b c
 
  

 
.
Tương tự:
2 2
2 .
4 4
b a c b a c
b
a c a c
 
  
 
;
2 2
2 .
4 4
c a b c a b
c
a b a b
 
  
 
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
2 2 2 2 2 2
1
4 4 4 2
a b c b a c c a b a b c a b c
a b c
b c a c a b b c a c a b
    

            
     
. (Đpcm)
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 20 Nguy
ễn Xuân Quân

Đ
ề 3
:
Bài 1(8đ).
1) Gi
ải phương trình
:
9
x (x +1)(x +2)(x + 3) =
16
2) Giải hệ phương trình:



2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3
.
Bài 2(3đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
P 
2 2
2 2

x + 3xy - y
x + xy + y
Bài 3(2đ).
Cho tam giác ABC v
ới
A(-1 ; 0) , B(2 ; 3), C(3 ; -6) và đư
ờng thẳng
d : x – 2y – 3 = 0.
Tìm
điểm
M thu
ộc
d sao cho
2 3MA MB MC 
  
đ
ạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4(6đ)
Cho tam giác ABC có 3 góc nh
ọn, c
ó H là tr
ực tâm, gọi R l
à bán kính đường tròn ngoại tiếp.
1) Chứng minh rằng: AH = 2R.cosA.
2) Ch
ứng minh rằng:
cos cos cos sin sin sinA B C A B C    
Bài 5(1đ)
Cho a, b, c là ba s
ố thực d

ương
. Ch
ứng minh rằng
:

a b c
+ + 2
b + c a + c b + a
H
ế
t
Đáp án
Bài 1:
1) Gi
ải phương trình:
9
x(x +1)(x + 2)(x +3) =
16
(1)
* Đ
ặt
t = x(x+3) (1) Tr
ở th
ành
t(t+2) =9/16 
9
4
1
4
t

t


 






* V
ới
t =
9
4
ta có x(x+3) = -
9
4
 x
2
+ 3x +
9
4
= 0 x = -
3
2
* V
ới
t =
1

4
ta có x(x+3) =
1
4
 x
2
+ 3x -
1
4
= 0








-3+ 10
x=
2
-3- 10
x=
2
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 21 Nguy
ễn Xuân Quân
* V
ậy phương trình có nghiệm
:

3 3 10 3 10
; ;
2 2 2
x x x
  
    
2) Gi
ải hệ ph
ương trình
:



2 2
x + y + xy = 4
x y + xy = 3
(2)
(2) 
( x + y) + xy = 4
xy(x+y) = 3







Đ
ặt
S = x+ y; P = xy. Ta đư

ợc hệ pt:
4
3
S P
SP

 







Khi đó S, P là nghi
ệm của ph
ương trình :
t
2
- 4t + 3 = 0
1
3
S
P










ho
ặc
3
1
S
P









*
1
3
S
P










x, y là nghi
ệm của phương trình
u
2
– u + 3 = 0. Phương tr
ình vô nghiệm.
*
3
1
S
P









x, y là nghi
ệm của ph
ương trình
u
2
– 3u + 1 = 0 
3 5
2

3 5
2
x
y

















ho
ặc
3 5
2
3 5
2
x
y


















V
ậy hệ có hai nghiệm l
à
3 5
2
3 5
2
x
y


















và
3 5
2
3 5
2
x
y


















Bài 2: Tìm giá tr
ị lớn nhất, nhỏ nhất của
P =
2 2
2 2
x + 3xy - y
x + xy + y
* y = 0 thì P = 1
* y  0 thì P =
2
2
3 1
1
t t
t t
 
 
v
ới
t = x/y . Gọi P là m
ột giá
tr
ị
b

ất kỳ của nó.
Khi đó phương tr
ình sau
ẩn t phải có nghiệm
P(t
2
+t +1) = t
2
+ 3t - 1(1- P)t
2
+ (3 -P)t – (1+ P ) = 0 có nghi
ệm khi
2 2
1
Δ (3 ) 4(1 ) 0 (*)
P
P P




    

(*)  -3P
2
– 6P +13  0  - (1+
3
)  P 
3
- 1

V
ậy, giá trị lớn nhất của
P = 1
V
ậy, giá trị nhỏ nhất của
P = - (1+
3
)
Bài 3: G
ọi
M(2y+3 ; y)  d . Khi đó
2 3MA MB MC 
  
= (2y – 5 ; y+21)
2 3MA MB MC 
  
=
2 2
(2 5) ( 21)y y  
=
2
5 22 466y y 
Q đ
ạt giá trị nhỏ nhất khi
11
5
y  
. V
ậy
7 11

;
5 5
M
 


 




 
.
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 22 Nguy
ễn Xuân Quân
Bài 4:
O
A
C
B
H
A'
D
1. G
ọi
A’ là đi
ểm sao cho
AA’ là đư
ờng kính.

D
ễ có
BHCA’ là
hình bình hành. Do đó AH = 2OD = 2OCcosA = 2RcosA
2.
1
cos cos cos (cos cos cos cos cos cos )
2
sin cos sin cos sin cos
2 2 2 2 2 2
A B C A B B C C A
C A B A B C B C A
       
  
  
Ta có
cos 1
2
A B

. vì C nh
ọn nên
0 0
0 60 2cos 1 cos 2 cos
2 2 2 2
C C A B C
     
Tương t
ự
ta có

cos 2 cos
2 2
cos 2 cos
2 2
B C A
C A B




V
ậy,
cos cos cos sin sin sinA B C A B C    
Bài 5 :
2
( )
a a a
b c a b c
a b c
 
  

;
2
( )
b b b
a c a b c
b a c
 
  


2
( )
c c c
b a a b c
c b a
 
  

Céng 3 bÊt ®¼ng thøc trªn vÕ theo vÕ ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

Đ
ề 4
:
Bài 1: ( 6 đi
ểm)
a) Gi
ải bất phương trình:
1 5
5 2x 4
2x
2
x
x
   
.
b) Tìm giá tr
ị nhỏ nhất của hàm số
2 2
1 1y x x x x     

.
Bài 2: ( 6 đi
ểm)
Ch
ứng minh rằng với mọi số thực d
ương x, y, z ta có:
 
3 3
3
2010 2010
4
x y x y
x y z
z x y
   

 
 
.
Bài 3: ( 6 đi
ểm)
Cho tam giác ABC có đư
ờng cao CH, H
AB. Các đi
ểm I, K lần lượt là trung điểm của các
đo
ạn AB và CH . Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M và
c
ạnh BC tại N.
V

ẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB. Gọi J là t
âm c
ủa hình chữ nhật MNPQ.
Ch
ứng minh I, J, K thẳng h
àng.
Bài 4:( 2 đi
ểm)
S
ố
3 2009
n

, n là s
ố nguyên dương, có chia hết cho 184 không? hãy chứng minh điều mà
b
ạn khẳng định.
H
ết

Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 23 Nguy
ễn Xuân Quân
Đáp án
Bài 1:
a) Đưa b
ất phương trình về dạng:
1 1
5 2 4
4x

2
x x
x
 
 
   
 
 
 
 
(1)
Đ
ặt
1
, 2
2
t x t
x
  
, x > 0 và tính đư
ợc
2
1
x 1
4x
t  
Bất ph
ương trình
(1) tr
ở thành

: 2t
2
 5t + 2 > 0  t > 2 ho
ặc
t <
1
2
(lo
ại)
V
ới
t > 2 , ta có b
ất phương trình
 
2
3
2
2
2 4 1 0
3
0 2
2
x
x x
x

 

   



  


b) + Nh
ận xét: y là tổng của hai biểu thức nhận giá trị dương nên có thể dùng bất đẳng thức cauchy
bi
ến đổi từ TBC sang TBN.
Vi
ết được:
   
2 2 4 2
4
4
2 1 1 2 1 2y x x x x x x        
Đ
ẳng thức xảy ra khi:
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x

    

 


  


Lu
ận được y
 2, d
ấu " = " xảy ra khi x = 0. Do đó:
min (0) 2y y 

.
Bài 2: Vi
ết được để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh:
 
3 3
3
4 x y x y  
.
 
     
3 2
3 3
4 0 3 0x y x y x y x y        
(đúng v
ì x,y dương)
.
Suy ra được:
 
3 3
3
4z x y z x y    

. K
ết luận đ
ược
 
3 3
3
2010 2010
4
x y x y
x y z
z x y
   

 
 
.
Bài 3:
Ch
ọn hệ trục tọa độ nh
ư hình bên và viết được tọa độ của H(0;0),
A(a;0), B(b;0), C(0;c). Suy đư
ợc tọa độ các điểm
;0 , 0;
2 2
a b c
I K

   
   
   

Vi
ết được phương trình của
(d):y = m, 0< m <c;
phương trình đường thẳng AC: cx + ay –ac = 0,
phương tr
ình đường thẳng BC: cx + by
– bc = 0.
L
ập luận v
à tìm được tọa độ của các điểm M
 
;
a c m
m
c

 
 
 
,
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
Trang 24 Nguy
ễn Xuân Quân
N
 
,
b c m
m
c


 
 
 
, P
 
;0
b c m
c

 
 
 
, J
   
;
2 2
a b c m
m
c
 
 
 
 
.
+ Tính được tọa độ các vectơ:
 
; , IJ ;
2 2 2 2
m a b
a b c m

IK
c

 

 
   
 
 
 
 
 
Ta có:
IK .IJ
c
m

 
nên ba đi
ểm I, J, K thẳng h
àng .
Bài 4: + Ta có: 184 = 8.23 và
2
3 1
m

chia h
ết cho 3
2
– 1 = 8.

+ Nếu n = 2m (chẵn), th
ì
2 2
3 2009 3 1 251.8 2
m m
    
không chia h
ết cho 8
+ N
ếu n = 2m + 1 (lẻ), thì
 
2 1 2
3 2009 3 3 1 251.8 4
m m
    
c
ũng không chia hết 8.
K
ết luận
n

 
, 3
n
+ 2009 không chia h
ết cho 184.

Đ
ề 5
:

Bài 1: (4 đi
ểm )
Cho h
ọ đ
ường thẳng
 
m
d
:
2
2 2
1
1 1
m m
y x
m m m m

 
   
Tìm các
điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có bất kỳ đường thẳng nào thuộc họ
 
m
d
đi qua.
Bài 2: (4 đi
ểm )
Cho 4 s
ố không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện:
1

1 1 1 1
a b c d
a b c d
   
   
Ch
ứng minh rằng:
1
81
abcd 
.
Bài 3: (4 đi
ểm )
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
1 1 18
1 1 2
x x y x y x y y
x x y x y x y y

         


         


Bài 4: (4 đi
ểm )
Cho b

ất phương trình:
2
4 4 3x x x x m     
Xác đ
ịnh m để bất ph
ương trình nghiệm đúng với mọi
 
0;4x
.
Bài 5 :(4 đi
ểm )
Cho

ABC vuông t
ại A có hai đường trung tuyến BM, CN. Gọi

là góc gi
ữa hai đường thẳng BM
và CN, ch
ứng minh rằng khi đó
4
cos
5
 
.
H
ết

Đáp án
Bài 1 G

ọi (x
o
;y
o
) là đi
ểm cần t
ìm, khi đó phương trình sau
2
0 0
2 2
1
1 1
m m
y x
m m m m

 
   

m
2
(y
0
-1)+m(y
0
-x
0
)+y
0
-x

0
=0 (1) vô nghi
ệm
TH1: y
0
=1 (1)

m(1-x
0
)+1-x
0
=0 luôn có nghi
ệm m.
TH2: y
0

1, khi đó (1) vô nghi
ệm


= (y
0
-x
0
)(-x
0
-3y
0
+4)<0
Tài Liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

Trang 25 Nguy
ễn Xuân Quân

(I)
0 0
0 0
0
3 4 0
y x
x y
 


   

ho
ặc (II)
0 0
0 0
0
3 4 0
y x
x y
 


   

T
ừ đó suy ra các điểm thỏa mãn là phần không bị gạch trong hình nhưng không bao gồm cạnh và

không bao g
ồm đỉnh A(1;1).
A
1
1
0
4
x
4
3
Bài 2
T
ừ giả thiết suy ra
1
1 1 1 1
b c d
a b c d
  
   
Áp d
ụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm
1
b
b
;
1
c
c
;
1

d
d
ta có
3
1
3
1 1 1 1 (1 )(1 )(1 )
b c d bcd
a b c d b c d
   
      
Tương tự có
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
acd
b a c d

   
;
3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
abd
c a b d

   
;

3
1
3
1 (1 )(1 )(1 )
abc
d a b c

   
Nhân v
ế với vế có
1
81
(1 )(1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 )(1 )
abcd
a b c d a b c d

       

1
81
abcd 
D
ấu bằng xẩy
ra khi và ch
ỉ khi a = b = c = d
Bài 3
Đi
ều kiện
2
2

1 0
1 0
x x y
y x y

   


   


C
ộng và trừ từng vế tương ứng của hệ phương trình trên ta được
2 2
1 1 10
8
x x y y x y
x y

       


 


Th
ế y=8
-x vào phương tr
ình trên ta được
2 2

9 16 73 10x x x    

2 2 2
( 9)( 16 73) 8 9x x x x x      

2 2 2 2
( 3 ) ( 8) 3 ) 9 (8 )x x x x
 
     
 
(1)
Trong h
ệ trục tọa độ xét
( ;3)a x


;
(8 ;3)b x

 
Khi đó |
a

|.|
b

|=
2 2 2 2
( 3 ) ( 8) 3 )x x
 

  
 
và
a

.
b

=
9 (8 )x x 
Pt (1) tương đương v
ới |
a

|.|
b

|=
a

.
b

(2)
Ta có |
a

|.|
b


|

a

.
b
