BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục tiêu bị tiêu
diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng. Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bị diệt. Tìm
a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6
b) Tìm E(x)
Giải
a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận các giá trị x
= 3, 4, 5, 6.
Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là 0,6.
Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử là 0,6
X có phân phối nhị thức X
~
B (6 ; 0,6)

3 3 3
6
( 3) .(0,6) .(0,4) 0,27648P X C= = =
4 4 2
6
( 4) .(0,6) .(0,4) 0,31104P X C
= = =
5 5 1
6
( 5) .(0,6) .(0,4) 0,1866P X C= = =
6 6 0
6
( 6) .(0,6) .(0,4) 0,0467P X C= = =
b ) E(X) = 3.0,27648 + 4. 0,31104 + 5. 0,1866 + 6. 0,0467 = 3,2868
Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kì
vọng 42tạ/ha và
3
δ

=
tạ/ha . Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì có 2
thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha
Giải
Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X
~
N (
2
,
µ δ
)
Với kì vọng (năng suất trung bình)
( ) 42E X
µ
= =
tạ/ha và
3
δ
=
tạ/ha
Hay X
~
N (42 , )
Ta có:
(41 43)P X
≤ ≤
là năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 1 tạ/ha
(41 43)P X
≤ ≤
=

43 42 41 42
3 3
ϕ ϕ
− −
   
−
 ÷  ÷
   
1 1 1
2 2.0,1293 0,2586
3 3 3
ϕ ϕ ϕ
     
= − − = = =
 ÷  ÷  ÷
     
Vậy
(41 43)P X
≤ ≤
= 0,2586
Câu 3: Cho hàm mật độ của BNN (X) như sau

a) Kiểm chứng là hàm mật độ
b) Tìm kì vọng của BNN X
Giải
a) f(X) là hàm mật độ nếu
thật vậy :
100
3
100

2000
( ) 0.f X dx dx dx
x
+∞ +∞
−∞ −∞
= +
∫ ∫ ∫
=
3 2
100
2000 1
2000
2
dx
x x
+∞
 
= −
 ÷
 
∫

100
+∞
= 1
Nên f(x) là hàm mật độ
b) E(X) =
100
3
100

2000
. ( ). .0. . .x f x dx x dx x dx
x
+∞ +∞
−∞ −∞
= +
∫ ∫ ∫
2
100
20000 1
. 20000.dx
x x
+∞
= = −
∫

100
+∞
= 200
Vậy E(X) = 200
Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8 . Của
sinh viên B là 0,7 . Của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của biến cố sau:
a) Có 2 sinh viên làm được bài
b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm được
bài
Giải:
a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E =
C ABC AB ABC
∪ ∪
mà

A,B,C độc lập và xung khắc từng đôi 1
P(E)=P( ) + P( C) + P( )ABC AB ABC⇒


= P(A).P(B).() + P(A).P().P(C) + P(). P(B).P(C)
= 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452
b) Gọi P(
A
/E) =
( . )
( )
P A E
P E
=
0,2.0,7.0,6
0,18584
0,452
=
Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng mục
tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Mốt Mod [X] ?
Giải:
Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì ( p)
Gọi X là số viên đạn đã bắn. Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4
P(X=1) = p
P(X=2) = qp ( q = 1- p)
P(X=3) = qqp = p
P(X=4) = qqqp= p
P(X=1) = p có xác suất là lớn nhất.
Nên
( ) 1Mod X

=
Câu 6: Cho
2
Y X=
, Biết luật phân phối

X -1 0 1 2
X
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Giải:
Xét
2
Y X=
X 1 0 1 4
X
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Hay
Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết
(X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1)
ij
P
0,1 0,15 0,05 0,3 0,2 0,2
Xét : Z = 2X – Y + 5
Z 8 7 6 10 9 8
Z
P
0,1 0,15 0,05 0,3 0,2 0,2
Hay bảng phân phối của Z là:

Z 6 7 8 9 10
Z
P
0,05 0,15 0,3 0,2 0,3
Câu 8: X có luật phân phối
Y 0 1 4
Y
P
0,3 0,5 0,2
X 1 2 3 4
X
P
0,1 0,1 0,2 0,3
Phương sai Var(2X + 1) ?
Giải:
Ta có: Var(2X + 1) = D(2X + 1) = D(2X) = 4D(X)
Với
( )
( )
[ ]
2
2
( )D X M X M X= −
M(X) = 1.0,1 + 2.0,4 + 3.0,2 + 4.0,3 = 2,7
M() = .0,1 + .0,4 + .0,2 + .0,3 = 8,3
⇒
D(X) = 8,3 -
( )
2
2,7

= 1,01
Nên D(2X + 1) = 4. 1,01 = 4,04
Câu 9 :Hai biến cố A, B có
?
Giải
Câu 10/ Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu , mỗi câu có 4 lựa chọn và chỉ có 1 lựa chọn
đúng . Mỗi câu sinh viên làm đúng được 1 điểm . Tính sác xuất để sinh viên làm được
đúng 5 điểm .
Giải
Đề thi có 10 câu mỗi câu có 4 lựa chọn trong đó chỉ có 1 lựa chọn đúng . Vậy trong 10
câu thì tỉ lệ đúng mỗi câu là = 0,25 .
Gọi X là sỗ câu đúng đánh được ( cũng chính là số điểm đạt được)
Thì X có phân phối nhị thức X B ( 10 ; 0,25)
Vậy xác suất để sinh viên được 5 điểm là P( X =5) = . . = 0,058 = 5,8%
II
Gọi B là biến cố chọn được sinh viên nam
Đây là một hệ đầy đủ





a)



a)

)
Câu 14: Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ chính phẩm 0,95. Tìm xác suất để
số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong khoảng từ 900 đến 980.
Giải:
Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn . X có phân phối nhị thức
X
~ B(1000 ; 0,95)
nhưng vì n = 1000 ( sản phẩm ) là lớn và p = 0,95 không quá gần 0 và 1 nên :
X
~ B(1000 ; 0,95)
→

X
~ H(,
2
δ
)
Với : = np = 1000.0,95 = 950
2
δ
= npq = 1000.0,95.0,05 = 47,5 =
Vậy : P(900
≤≤ X
980) = (
47,5
950980 −
) – (
5,47
950900 −

) = (4,35) - (-7,25)
= 0,49999 + 0,5 = 0,99999
Câu 15: Có 2 lô hàng, mỗi lô gồm 10000 sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm loại I của lô thứ
nhất, thứ hai tương ứng là 70% , 80%. Người ta lần lượt lấy từ mỗi lô ra 10 sản phẩm để
kiểm tra (lấy không hoàn lại). Nếu trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra có từ 8 sản phẩm
loại I trở lên thì mua lô hàng đó.
a) Tìm xác suất để lô hàng thứ nhất được mua
b) Tìm xác suất để ít nhất một lô hàng được mua
Giải:
A
1
là biến cố lô hàng thứ nhất được mua
A
2
là biến cố lô hàng thứ hai được mua
X
i
là số sản phẩm lấy ra để kiểm tra
Theo đề bài thì lô hàng thứ nhất và thứ hai có quy luật phân bố siêu bội
.(lấy không hoàn lại)
X
I
~ H(10000;7000;10)
X
II
~ H(1000;8000;10)
Nhưng vì số tổng sản phẩm là N = 10000 rất lớn trong khi đó số sản phẩm lấy ra n = 10
rất nhỏ nên có thể coi 2 lô hàn có quy luật phân phối nhị thức.
X
I

~ B(10;0,7) (P =
N
N
A
=0,7)
X
II
~ B(10;0,8) (P =
N
N
A
= 0,8)
a/ Xác suất để lô hàng thứ nhất được mua là:
P(A
1
) = P(8
≤≤ X
10) = P(
X
=8) + P(
X
=9) + P(
X
=10)
= C
8
10
.(0,7)
8
.(0,3)

2
+ C
9
10
.(0,7)
9
. ( 0,3)
1
+ C
10
10
.(0,7)
10
.(0,3)
0
= 0,233 + 0,121 + 0,028 = 0,382.
b/ Xác suất để lô hàng thứ hai được mua là:
P(A
2
) = P(8
≤≤ X
10) = P(
X
=8) + P(
X
=9) + P(
X
=10)
= C
8

10
.(0,8)
8
.(0,2)
2
+ C
9
10
.(0,8)
9
. ( 0,2)
1
+ C
10
10
.(0,8)
10
.(0,2)
0
= 0,302 + 0,268 + 0,107 = 0,677.
Gọi A là biến cố có ít nhất một lô hàng được mua .
⇒
là biến cố không có lô hàng nào được mua .
P(A) = 1 - P(
−
A
) = 1 – P(
−
A
1

−
A
2
) = 1 - P(
−
A
1
).P(
−
A
2
)
= 1- (1-0,382).(1-0,677) 0,8.
Câu 16: Một lô hàng gồm 10000 sản phẩm , trong đó có 40000 sản phẩm loại II. Chọn ngẫu
nhiên 2400 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại để kiểm tra.
a) Tính xác suất để trong số 2400 sản phẩm chọn ra kiểm tra có không quá 960 sản phẩm
loại II
b) Tính số sản phẩm loại II trung bình có trong 2400 sản phẩm được chọn. Nếu chọn theo
phương thức không hoàn lại thì kết quả thay đổi thế nào?
Giải:
Lô hàng gồm 100000 sản phẩm, trong đó 40000 sản phẩm loại II, ta chọn ngẫu nhiên
2400 sản phẩm nhưng theo phương thức có hoàn lại nên:
Gọi X là số sản phẩm được kiểm tra thì X có phân phối nhị thức
X
~ B(2400;
100000
40000
) hay
X
~ B(2400 ; 0,4).

Nhưng vì số sản phẩm được kiểm tra n = 2400 rất lớn trong khi đó p = 0,4 không quá gần
0 và 1.
Nên
X
~ B(2400;0,4)
→
X
~ H(,
2
δ
).
Với



===
===
5766376,0.960
9604,0.2400
2
npq
np
δ
µ



=
=
⇒

24
960
δ
µ
a/ Xác suất để số sản phẩm loại II đã chọn ra để kiểm tra không quá 960 là P(
X
< 906)
hay P(0
≤≤ X
960) = (
24
960960 −
) – (
24
9600 −
) = (0) + (40) = 0,5.
b/ Số sản phẩm trung bình trong số 2400 sản phẩm được chọn kiểm tra là:
E(
X
) =
µ
= np = 960 (Sản phẩm).
Nếu lấy theo phương thức không hoàn lại thì
X
có phân phối siêu bội.
X
~ H(100000;40000;2400)
Vì




=
=
2400
100000
n
µ
(N rất lớn ; n nhỏ)
Nên
X
→

X
~ B(2400;0,4)
⇒
E(
X
) = np = 0,4.2400 = 960 không có gì thay đổi.
Câu 17: Trong ngày lễ quân đội, người ta đưa hai khẩu súng A và B. Xạ thủ M vào chơi
sẽ được rút ngẫu nhiên 4 cây bài trong 52 cây (trong đó có 4 cây
t
A
). Nếu có ít nhất 1 cây
t
A
thì M lấy được súng A, ngược lại sẽ lấy được súng B. Sau đó bắn 100 viên đạn. Người
ta biết rằng với M thì xác suất bắn trúng bia bằng súng A là 0,8 và bằng súng B là 0,7.
Nếu trong 100 viên đạn đó trúng 80 viên thì được thưởng 1 tivi, có 50 viên trúng thì được
thưởng 1 catxet. Nếu có trên 80 viên trúng thì được 1 đồng hồ treo tường. Nếu dưới 40
viên thì phát 50 ngàn đồng. Tính xác suất của các biến cố

a) Được thưởng tivi
b) Được thưởng catxet
c) Được thưởng đồng hồ tường
d) Bị phạt 50 ngàn đồng
Giải:
Gọi X là số lá át mà xạ thủ M rút được:
Gọi A
1
là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng A
Gọi A
2
là biến cố xạ thủ M rút được khẩu súng B
P(A
1
) = 1P(A
2
)
Mà
P(A
1
) = 10.72 = 0.28
Vậy: P(A
1
) =0.28 ;
Gọi X
A
là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng A
vì n=100 khá lớn và p
A
=0.8 không quá gần 0 và 1 nên có thể xem 1 cách gần đúng X

A
có
phân phối chuẩn là : với
Vậy:
Tương tự:Gọi X
B
là số đạn bắt trúng của xạ thủ M khi dùng khẩu súng B

a/ Gọi T
1
là biến cố mà xạ thủ M được thưởng tivi
Vậy: P(T
1
)=0,033 hay
b/ Gọi T
2
là biến cố mà xạ thủ M được thưởng catxet
Vậy: P(T
2
)= hay
c/ Gọi T
3
là biến cố mà xạ thủ M được thưởng đồng hồ tường:
Vậy: P(T
3
) =0.15 hay 15%
d/ Gọi T
4
là biến cố mà xạ thủ M bị phạt 50 ngàn đồng.
Vậy: P(T

4
) 0.
Tìm kỳ vọng , phương sai của BNN X
Giải:
Câu 19: X,Y là hai BNN có hàm mật độ đồng thời là:

2
1 1
, x 1,
2
y x
x y x
≥ ≤ ≤
( )
,f x y
=
0
a) Kiểm chứng f(x,y) là hàm mật độ xác suất
b) Tìm hàm mật độ lề của X, Y
c) Tìm hàm mật độ có điều kiện
( )
( )
, f
X Y
f
y x
Giải:
Xét hàm mật độ đồng thời.
f
(

x
,
y
) =





≤≤≥
0
1
,1
2
1
2
xy
x
x
yx
a/
f
(
x
,
y
) là hàm mật độ. Thật vậy:
vì:
∫ ∫
+∞

∞−
+∞
∞−
dxdyyxf ),(
=
dy
yx
dx
x
x
∫∫
+∞
1
2
1
2
1
=
∫∫
+∞ x
x
y
dy
dx
x
1
1
2
2
1

=
x
x
ydx
x
1
1
2
ln.
2
1
∫
∞+

=
.
ln
1
2
∫
+∞
dx
x
x
=
∫
+∞
−
1
2

.ln dxxx
.
Đặt



=
=
−
dxxdv
xu
2
ln







−=
=
⇒
x
v
x
dx
du
1
Ta có:

⇒
∫
+∞
−
1
2
.ln dxxx
= -
+∞
1
ln
x
x
+
∫
+∞
1
2
x
dx
= 1. (Vì
o
x
x
x
=
∞→
ln
lim
)

Vậy vì :
∫ ∫
+∞
∞−
+∞
∞−
dxdyyxf ),(
= 1
⇒

f
(
x
,
y
) là hàm mật độ đồng thời của x,y
b/
f
X
(
x
) =
∫
+∞
∞−
dyyxf ),(
=
∫
x
x

dy
yx
1
2
2
1
=
x
x
y
x
1
2
ln.
2
1
=
2
ln
x
x
Vậy
f
X
(
x
) =
2
ln
x

x
.(
1
≥∀
x
)
+)
f
Y
(
y
) =
∫
+∞
∞−
dxyxf ),(
=
∫
+∞
1
2
2
1
dx
yx
=
2
2
1
y

Vậy
f
Y
(
y
) =
2
2
1
y
(
+∞≤≤
y1
)
c/
f
(
y
x
) =
)(
),(
yf
yxf
Y
=
2
2
2
1

2
1
y
yx
=
2
x
y
với
xy
x
≤≤
1
.
)(
x
y
f
=
)(
),(
xf
yxf
X
=
2
2
ln
2
1

x
x
yx
=
xy ln2
1
với
1
≥
x
.
Câu 20: Ở một cửa hàng bảng số lít trung bình bán ra trong một ngày :
Số bán ra (l) Số ngày
25 3
35 8
45 30
55 45
65 20
75 25
85 17
95 9
105 3
Từ bảng ta có:








=⇒=
=⇒=
==
∧∧
5225,31165.17
4081,30959,17
.160,3215,62
2
2
ss
ss
nx
n
a/ (*) Độ tin cậy : 1 -
α
= 0,99 và
2
δ
= 132,25
⇒

δ
= 11,5
Ta có :



=
>=
5,11

30160
δ
n
+
=
n
x
62,3125
+ 1 -
α
= 0,99
⇒

)(
α
t
=
2
1
α
−
=0,495
⇒

α
t
= 2,58
n
t
δ

ε
α
.=⇒
= 2,58.
160
5,11
= 2,35
⇒
Khoảng ước lượng là (
εε
+−
nn
xx ;
) hay ( 59,9625 ; 64,6625 ).
Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 59,9625 ; 64,6625 ).
(*) n = 160>30 và
2
δ
chưa biết
+
=
n
x
62,3125 ;
s
= 17,65
+ 1 -
α
= 0,99
⇒

)(
α
t
=
2
1
α
−
=0,495
⇒

α
t
= 2,58.
n
s
t .
α
ε
=⇒
= 2,58.
160
65,17
= 3,6.
⇒
Khoảng ước lượng là (
εε
+−
nn

xx ;
) hay ( 58,7125 ; 65,9125 ).
Vậy ước lượng nước mắm trung bình bán trong một ngày là : ( 58,7125 ; 65,9125 )
b/ Nếu mỗi lít nước mắm có giá là 6 ngàn đồng thì cửa hàng cần phải dự trữ món tiền
trung bình trong một ngày để lấy nước mắm cung cấp cho khách hàng là : ( 58,7125.6 ;
65,9125.6 ) hay ( 352,275 ; 395,475 ) (ngàn)
c/ Với độ tin cậy
α
−
1
ta ước lượng được (
2
2
2
1
;
δδ
) với
p (
2
2
22
1
δδδ
≤≤
) =
α
−
1
. Vì chưa biết

Ta tính.
+ (
1−n
)
2
s
= (160 – 1).311,5225 = 49532
+
α
−
1
=
95,0
⇒

α
=
05,0
2
α
⇒
=
025,0
và
2
1
α
−
=
975,0

.
⇒

)
2
(
2
1
α
−n
X
=
)025,0(
2
159
X

≈

87,126
.

)
2
1(
2
1
α
−
−n

X
=
)975,0(
2
159
X

≈
196,915
)
2
1(
).1(
2
1
2
2
1
α
δ
−
−
=⇒
−n
X
sn
=
.54,251
915,196
49532

=
)
2
(
).1(
2
1
2
2
2
α
δ
−
−
=⇒
n
X
sn
=
.41,390
87,126
49532
=

⇒
Khoảng ước lượng là : ( 251,54 ; 390,41 ).
Câu21 Cân thử trọng lượng 15 con gia súc ở một trại chăn nuôi khi xuất chuồng, ta
được các kết quả sau:
3.25 (kg) 2.5 4 3.75 3.8 3.9 4.02 4
3.8 3.2 3.82 3.4 3.6 3.75 3.5

a) Giả sử trọng lượng các con gia súc tuân theo luật phân phối chuẩn với phương sai
0,01. Hãy ước lượng trọng lượng trung bình các con gia súc với độ tin cậy 99%
b) Giám đốc trại tuyên bố trọng lượng trung bình của các con gia súc khi xuất
chuồng là 3,5 Kg thì có thể tin lời tuyên bố đó không? (với
α
= 1%)
c) Giả sử người ta dùng một loại thức ăn mới và trọng lượng trung bình của giống
gia súc này khi xuất chuồng là 3,9 kg. Cho kết luận về loại thức ăn này. (với
α
=
1%)
Giải:
Xét trọng lượng 15 con gia súc :
3.259(kg
)
2.5 4 3.75 3.8 3.9 4.02 4
3.8 3.2 3.82 3.4 3.6 3.75 3.5
Từ đó ta tính được :
a/ Trọng lượng con gia súc có phân phối chuẩn :
và
khoảng ước lượng: hay kg
b/ xét giả thiết H
o
: =
o
=3.5 kg
với
=3.62, s = 0.405
với ta chấp nhận H

o
Vậy ta chấp nhận trọng lượng trung bình của gia súc là 3,5 kg
c/ Xét giả thiết H
o
: =
o
=3.9 kg
, s = 0.405
với ta chấp nhận H
o
Vậy ta chấp nhận trọng lượng trung bình của gia súc là 3.9 kg.
Câu 22. Tại một nông trường, để điều tra trọng lượng một loại trái cây, người ta cân thử
một số trái cây được kết quả cho trong bảng sau
Trọng lượng 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5
Số trái cây 2 11 25 74 187 43 16 2 1
a) Ước lượng trọng lượng trung bình của loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy
99%
b) Để ước lượng trung bình của một loại trái cây ở nông trường với độ tin cậy 99%
và độ chính xác 0,22g thì cần cân them bao nhiêu trái cây nữa?
c) Người ta quy ước những trái cây có trọng lượng nhỏ hơn 60g là thuộc loại II. Hãy
ước lượng tỉ lệ trái cây loái II với độ tin cậy 95%.
d) Sau đợt kiểm tra, người ta bón them một loại phân hóa học mới làm cho trọng
lượng trung bình một trái cây là 70g. Hãy cho kết luận về tác dụng của loại phân
này với mức ý nghĩa 1%.
Giải:
Trọng lượng trung bình của trái cây ta có bảng sau
Trọng lượng 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5
Số trái cây 2 11 25 74 187 43 16 2 1
a.Ước lượng trung bình đám động
Hay

b/ độ tin cậy
độ chính sác là
tổng số trái cậy phải điều tra là
số trái cây cần phải điều tra thêm là
c. những trái cây có trộng lượng <60(g)
Trọng lượng(<60g) 42.5 52.5 57.5
Số trái cây 2 11 25
tổng số trái cây loại II là
Trong tổng số trái cây là
Từ
khoảng ước lượng
Hay Hay
d/ kiểm định trung bình đám động
Giả thiết

Vì bác bỏ
Tức trọng lượng trung bình của trái cây là < 70(g)
Câu 23: Người ta dùng phương sai hay độ lệch tiêu chuẩn làm độ đo đánh giá sự rủi ro
của cổ phiếu. Điều tra NN giá cổ phiếu công ty A trong 25 ngày tính được
2
1
6,52s =
, của