TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ, Các khái niệm cơ bản của xát suất, ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

Đại Học Công Nghiệp TPHCM
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ
TIỂU LUẬN:
Nhóm thực hiện: nhóm 9
Lớp: B211301106
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 1
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN SÁC XUẤT THỐNG KÊ
TIỂU LUẬN:
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 2
STT Họ và tên MSSV
1 Lê Duy 0770247
2 Đoàn Thế Anh 0771380
3 Võ Anh Khoa 0770216
4 Lưu Ngọc Quang 0770596
5 Nguyễn Ngọc Hiếu 0770605
6 Phạm Đức Huân 0771719
7 Chu Thành Khải 0772540
8 Thạch Nhật Quang 0772245
9 Vũ Đình Hiến 0771031
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Nhóm thực hiện: nhóm 9
Lớp: B211301106
Khóa: 2007-2011
Giáo viên hướng dẫn: GV PHAN MINH CHÍNH
TPHCM, Ngày 07 tháng 06 năm 2009

PHẦN 1 : LÝ THUYẾT
A .Các khái niệm cơ bản của xát suất
1. Biến cố ngẩu nhiên
Phép thử và biến cố
- phép thử là việc thực hiện 1 thí nghiệm nào đó hay quan sát một hiện tượng
nào đó để xem có xảy ra hay không. Hiện tượng có xảy ra hay không
trong phép thử được gọi là biến cố ngẩu nhiên . Biến cố ngẩu nhiên được
ký hiệu A,B,C…
Các loại biến cố.
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 3
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
- Trong một phép thử, tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là
không gian mẩu ký hiệu là Ω
- Mỗi phân tử ω ∈ Ω không thể phân nhỏ thành hai biến cố được gọi là biến
cố sơ cấp
a) Biến cố chắc chắn . trong một phép thử , biến cố nhất định xảy ra là chắc
chắn , ký hiệu là Ω
b) Biến cố không thể . Biến cố không thể xảy ra khi thực hiện phép thử , ký
hiệu là ∅
c) Số trường hợp đồng khả năng
- Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau được
gọi là đồng khả năng.
- Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồng khả năng thì số phân tử
của
không gian mẫu được gọi là số trường hợp đồng khả năng của phép thử.
d) Các phép toán
Cho A,B ⊂ Ω
- Tổng của A và B là C = A ∪ B hay C=A+B . C xảy ra khi ít nhất 1 trong hai
biến cố A,B xảy ra.
Quan hệ giửa các biến cố

a) Biến cố xung khắc
- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra
trong một phép thử
- Họ các biến cố A
1
, A
2 ,
A
3
, …, A
n
được gọi là xung khắc ( hay đôi một
xung khắc ) khi một biến cố bất kỳ trong họ xảy ra thì các biến cố còn lại
không xảy ra . Nghỉa là A
i
∩ A
j
= ∅ , ∀ i ≠ j .
b) Biến cố đối lập
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 4
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
- Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu chúng thỏa mãn 2 điều kiện
sau :
1) A và B xung khắc với nhau
2) Phải có ít nhất một trong hai biến cố xảy ra nghĩa là A∪ B = Ω
II XÁT SUẤT CỦA BIẾN CỐ
2.1.Định nghĩa xát suất dạng cổ điên
Trong một phép thử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng , trong đó có m
khả năng thuận lợi cho biến cố A xuất hiện thì xát suất của A là :
Ưu điểm và hạn chế

- Ưu điểm : Tính được chính xát giá trị của xác suất mà không cần thực hiện
phép thử.
- Hạn chế : Trong thực tế có nhiều phép thử vô hạn các biến cố và các biến cố
không đồng khả năng
2.2 Định nghĩa theo thống kê
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 5
P(A) = =
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
- Quan sát biến cố A trong 1 phép thử nào đó , lặp lại phép thử n lần với điều kiện
như nhau .Gọi m là số lần xuất hiện thì tần suất của A trong n phép thử là f
n
(A)=.
- Xát suất của biến cố A là P(A) = lim f
n
(A) . Trong thực hành , với n đủ lớn thì
P(A)
≈ f
n
(A) .
Ưu điểm và hạn chế
-Ưu điểm : không đòi hỏi phép thử có hữu hạn các biến cố và biến cố đồng
khả năng mà dựa trên quan sát thực tế , vì vậy định nghĩa này được ứng dụng rộng
rãi .
- Hạn chế : Đòi hỏi phải lăp lại phép thử nhiều lần , Trong thực tế có nhiều bài
toán không cho phép do diều kiện và kinh phí làm phép thử.
2.3.Định nghĩa theo hình học
Cho miền Ω . Gọi độ đo của Ω là độ dài , diện tích ,thể tích ( ứng với Ω là đường
cong, miền phẳng khối ) . Gọi A là biến cố điểm M ∈ S ⊂ b Ω . Ta có P(A) = .
2.4 Tính chất của xác suất
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , với mọi biến cố A ; ii) P(∅ ) = 0 iii) P(Ω)=1

2.5 Ý nghĩa của xát suất
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 6
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Xát suất là số đo mức độ tin chắc , thường xuyên xảy ra của 1 biển cố trong phép
thử.
Chú ý : Xát suất phụ thuộc vào điều kiện của phép thử
III. CÔNG THỨC TÍNH XÁT SUẤT
3.1 Công thức cộng xát suất
a) Biến cố xung khắc
-A và B xung khắc thì : P(A∪ B) = P(A) + P(B)
- Họ { A
i
} (i=1,2,…,n) thì : P ( A
1
∪ A
2
∪….∪ A
n
)=P(A
1
) + P(A
2
) + …+ P(A
n
).
b) Biến cố tùy ý
- A và B là hai biến cố tùy ý thì : P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(AB).
- Họ {A
i
} ( i = 1,2,…,n) các biến cố tùy ý thì :

P








=

n
i
Ai
1
=
∑
−
n
i
AiP
1
)(
-
∑
< ji
AiAjP )(
+
∑
<< kji

AiAjAkP )(
+ …+ (-1)
n-1
P(A
1
A
2….
A
n
).
c) Biến cố đối lập :
P (
A
) = 1 - P(A)
1.3 Công thức cộng
i. A, B xung khắc, tức AB=∅.
P(A∩B)=P(A)+P(B)
Mở rộng: A,B,C xung khắc từng đôi: P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)+P(C)
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 7
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
ii. A, B bất kỳ:
P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(AB)
iii. P(Ā)=1-P(A).
1.4 Công thức nhân xác suất
1.4.1 Xác suất có điều kiện:
Định nghĩa:
Cho 2 biến cố A và B. Xác suất có điều kiện của A với điều
kiện B, ký hiệu P(A/B), là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra.
Công thức tính:
P(AB)

P(A / B) , P(B) 0
P(B)
= >

1.4.2 Biến cố độc lập, công thức nhân:
Biến cố độc lập: 2 biến cố A và B gọi là độc lập nếu P(A/B)=P(A) (hoặc
P(B/A)=P(B)), tức là sự xảy ra hay không của biến cố này không ảnh hưởng đến
khả năng xảy ra của biến cố kia.
Chú ý:
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 8
P(BA)
P(B/ A) , P(A) 0
P(A)
= >
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
+ Biến cố A, B độc lập ⇔ Ā, B độc lập.
+ Việc kiểm tra tính độc lập của các biến cố thường dựa vào thực tế và trực
giác.
Công thức nhân:
+ A, B độc lập: P(AB)=P(A)P(B).
Mở rộng:
+ A, B tùy ý:
1 2 n 1 2 1 3 1 2
n 1 2 n 1
P(A A A ) P(A )P(A / A )P(A / A A )
P(A / A A A )
−
=
Mở rộng:
1.5 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

1.5.1 Hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi
1 2 n
i j
A A A
A A , i j
= Ω
= ∅ ≠
U U U
Hệ các biến cố: được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi
nếu trong phép thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra
1.5.2 Công thức xác suất đầy đủ, công thức giả thiết Bayes:
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 9
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Nếu trong một phép thử có biến cố B và một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng
đôi
1 1 2 2
n n
P(B) P(A )P(B/ A ) P(A )P(B/ A )
P(A )P(B/ A ).
= + +
+
-Công thức xác suất đầy đủ:
i i i i
i
n
i i
i 1
P(A )P(B/ A ) P(A )P(B/ A )
P(A / B)
P(B)

P(A )P(B/ A )
=
= =
∑
- Công thức Bayes (giả thiết):
II. Biến ngẩu nhiên và luật phân phối xác suất
1.1 Khái niệm và phân loại biến ngẩu nhiên
a. Khái niệm:
- Một biến số được gọi là ngẩu nhiên nếu trong kêtd quả của phép thử nó nhận một
và chỉ một trong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của các
nhân tố ngẩu nhiên.
- các biến cố ngẩu nhiên được gọi là:X,Y,Z còn các giá trị của chúng là:x,y,x
b. phân loại biến ngẩu nhiên:
- Biên ngẩu nhiên (bnn) được gọi là rời rạc nếu các giá trị có thể lập nên 1 tập hợp
hữu hạn hoặc điếm được.
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 10
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
1.2 Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên
- Luật phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên là một cách biểu diễn quan hệ giữa
các giá trị của biến ngẩu nhiên với các xác suất tương ứng mà nó nhận các giá trị
đó.
1.2.1 Phân phối xác suất của biến ngẩu nhiên
a. trường hợp rời rạc
Cho biến ngẩu nhiên rời rạc X có X = { x
1
,x
2,
x
n
} với

xác suất tương ứng là p
i
=P { X= x
i
}
Ta có phân phối xác suất (dạng bảng )
Trong đó : p
i
. 0 ;
i
= 1
i
= 1( vô hạn) P{ a < X < b } =
i
b.Trường hợp liên tục
Trường hợp biến ngẩu nhiên liên tục thi phân phối xác suất được gọi là hàm độ
xác suất cho biến ngẩu nhiên liên tục X.Hàm f(x), x R được gọi là hàm mật độ
xác suất của X nếu thỏa:
i) F(x) 0, x R ; ii) ; iii) P{ a < X < b } = )
Chú ý
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 11
X x
1
x
2
x
n
P P
1
p

2
p
n
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
- Nhiều khi người ta dùng kí hiệu f
x
(x) để chỉ hàm độ xác suất để nhận giá trị
cụ thể .
- Do P{ a= P{ a= P{ a=
- Về măt hình học ,xác suất biến ngẩu nhiên (bnn) X nhận giá trị (a;b) bằng
diện tích hình thang cong giới hạn x=a ,x=b ,y = f(x) và trục Ox .
- Nếu f(x) thỏa f(x) 0, x R và thì f(x) là hàm xác suất của bnn nào đó .
1.2.2 Hàm phân phối xác suất
- Hàm phân phôi xác suất của biến ngẩu nhiên X ,kí hiệu F(x) hoặc F
x
(x), là xác
suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x (với x là số thực bất kì . F(x) =P{ X<x} x R.
+hàm phân phối xác suất cho biết tỉ lệ phần trăm giá trị của X nằm bên trái của số
x.
j
X j
x x
F (x) p
<
=
∑
+Với biên ngẩu nhiên rời rạc X = { x
1
, x
2

,…x
n
} :
- giả sử x
1
<x
2
<…<x
n
, ta có hàm phân phối xác suất của X :
0 nếu x
≤
=)(xF
x
1
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 12
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
{
p
1
nếu x
1
< x
≤
x
2
p
1
+ p
2

nếu x
2
< x
≤
x
3
……………………………
p
1
+p
2
+ …+p
n-1
nếu x
n-1
< x
≤
x
n
1 nếu x > x
n
2.2 ĐLNN liên tục
2.2.1 Định nghĩa
Giá trị của X lấp đầy khoảng (a;b) nào đó
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
Hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất
f(x) được định nghĩa
2.2.3 Một số tính chất cơ bản
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 13
Đại Học Công Nghiệp TPHCM

X
f (x) F (x), x
′
= ∀ ∈¡
b
a
iii. P[a X b] P[a X b]
P[a X b] P[a X b] f (x)dx
≤ ≤ = < ≤
= ≤ < = < < =
∫
ii. f (x)dx 1
+∞
−∞
=
∫
i. liên tục và
2.3 Một số luật phân phối
2.3.1 Loại rời rạc
2.3.1.1 Phân phối siêu bội
Định nghĩa: Ta nói X có phân phối siêu bội với xs tương ứng
A A
k n k
N N N
n
N
C C
P[X k] , k 0,1, ,n
C
−

−
= = =
2.3.1.2 Phân phối nhị thức:
* Dãy phép thử Bernoulli
Là dãy n phép thử thỏa 3 điều kiện
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 14
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
+ các phép thử độc lập với nhau.
+ trong mỗi phép thử, ta chỉ quan tâm đến bc A nào đó. Nếu A xảy ra thì
phép thử gọi là thắng lợi, ngược lại phép thử gọi là thất bại.
P(A) p
=
P(A) 1 p= −
+ xs xuất hiện A trong mỗi phép thử là như nhau
và
Mô hình phân phối nhị thức: Giả sử X là số lần xuất hiện bc thắng lợi A trong
dãy n phép thử Bernoulli, với P(A)=p. Hãy tìm luật phân phối của X
Định nghĩa: Ta nói X có phân phối nhị thức với xs tương ứng
k k n k
n
P[X k] C p q , k 0,1, ,n
−
= = =
2.3.1.3 Phân phối Poisson:
Cho ĐLNN rời rạc X. Ta nói X có phân phối Poisson với tham số , nếu X nhận
các giá trị 0, 1, 2,… với xs tương ứng
k
e
P[X k] , k 0,1,2,
k!

−λ
λ
= = =
2.3.2 Loại liên tục
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 15
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
2.3.2.1 Phân phối chuẩn:
2
2
(x )
2
1
f (x) e
2
−µ
−
σ
=
σ π
ĐLNN X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ ppxs
có dạng
0σ >
2
,µ σ
trong đó là các tham số, .
2
X N( , )∈ µ σ
Ký hiệu
2.3.2.2 Xs của ĐLNN X có phân phối chuẩn
i .

2
t
2
1
f (t) e
2
−
=
π
Phân phối chuẩn đơn giản:
+ Hàm mật độ ppxs của T:
T N(0,1)
∈
P[ T ] f (t)dt ( ) ( )
β
α
α ≤ ≤ β = = ϕ β −ϕ α
∫
+ Với
thì
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 16
2
X
X N( , ) T N(0,1)
−µ
∈ µ σ ⇒ = ∈
σ
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
ở đây ta sử dụng ham Laplace (bảng B ở phụ lục).
Chú ý: Khi sử dụng bảng B, ta chú ý

( x) (x)ϕ − = −ϕ
a.
(x) 0,5ϕ ≈
b. với x>5 Từ đây, ta có
( ) 0,5, ( ) 0,5ϕ −∞ = − ϕ +∞ =
ii. Phân phối chuẩn tổng quát
* Định lý:
2 1
1 2
x x
P[x X x ]
−µ −µ
   
≤ ≤ = ϕ −ϕ
 ÷  ÷
σ σ
   
2
X N( , )∈ µ σ
* Với thì
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 17
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
2.4 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (vectơ ngẫu nhiên)
2.4.1 Định nghĩa
Một cặp ĐLNN được xét đồng thời (X,Y) gọi là vectơ ngẫu nhiên. VTNN chia làm
hai loại:
+ rời rạc nếu X và Y rời rạc
+ liên tục nếu X và Y liên tục
2.4.2 Luật pp của vectơ ngẫu nhiên
2.4.2.1 Loại rời rạc

* Bảng ppxs đồng thời của X và Y
1
2
m
x
x
x
M
1 2 n
y y y
X
Y
11 12 1n
p p p
21 22 2n
p p p
m1 m2 mn
p p p
X
P
1
2
m
p
p
p
M
1
1 2 n
q q q

Y
P
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 18
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
ij i j
p P[X x ,Y y ], 1 i m, 1 j n= = = ≤ ≤ ≤ ≤
m n
ij
i 1 j 1
p 1
= =
=
∑∑
n
i i ij
j 1
p P[X x ] p , 1 i m
=
= = = ≤ ≤
∑
Phân phối lề
+ của X :
(cộng theo dòng i)

X
1 2 m
x x x
1 2 m
p p p
X

P
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 19
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
m
j j ij
i 1
q P[Y y ] p , 1 j n
=
= = = ≤ ≤
∑
+ của Y :

Y
Y
P
1 2 n
y y y
1 2 n
q q q
(cộng theo cột j )
Phần hai : BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 20
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Câu 1: Xác suất bắn trúng mục tiêu của một khẩu pháo là 0,6 biết rằng mục tiêu bị
tiêu diệt khi bị 3 quả đạn pháo bắn trúng. Gọi X là số đạn bắn đến khi mục tiêu bị
diệt. Tìm
a) P( K = x) với x = 3; 4; 5;6
b) Tìm E(x)
Giải
a) Gọi X là số đạn bắn trúng khi mục tiêu bị tiêu diệt theo đề bài X nhận các

giá trị x = 3, 4, 5, 6.
Vậy số viên đạn mà khẩu pháo bắn ra là 6 viên trong đó xác suất trúng mỗi viên là
0,6. Nên có thể xem đây là 1 dãy có 6 phép thử độc lập với xác suất mỗi phép thử
là 0,6
X có phân phối nhị thức X
~
B (6 ; 0,6)

3 3 3
6
( 3) .(0,6) .(0,4) 0, 27648P X C
= = =
4 4 2
6
( 4) .(0,6) .(0,4) 0,31104P X C
= = =
5 5 1
6
( 5) .(0,6) .(0,4) 0,1866P X C
= = =
6 6 0
6
( 6) .(0,6) .(0,4) 0,0467P X C
= = =
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 21
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
b ) E(X) = 3.0,27648 + 4. 0,31104 + 5. 0,1866 + 6. 0,0467 = 3,2868
Câu 2: Năng suất lúa ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
kì vọng 42tạ/ha và
3

δ
=
tạ/ha . Tìm xác suất để khi gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng thì
có 2 thửa có năng suất sai lệch so với trung bình không quá 1 tạ/ha
Giải
Gọi X là năng suất của lúa ở một địa phương có phân phối chuẩn X
~
N (
2
,
µ δ
)
Với kì vọng (năng suất trung bình)
( ) 42E X
µ
= =
tạ/ha và
3
δ
=
tạ/ha
Hay X
~
N (42 , )
Ta có:
(41 43)P X≤ ≤
là năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 1
tạ/ha
(41 43)P X≤ ≤
=

43 42 41 42
3 3
ϕ ϕ
− −
   
−
 ÷  ÷
   
1 1 1
2 2.0,1293 0,2586
3 3 3
ϕ ϕ ϕ
     
= − − = = =
 ÷  ÷  ÷
     
Vậy
(41 43)P X≤ ≤
= 0,2586
Câu 3: Cho hàm mật độ của BNN (X) như sau

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 22
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
a) Kiểm chứng là hàm mật độ
b) Tìm kì vọng của BNN X
Giải
a) f(X) là hàm mật độ nếu
thật vậy :
100
3

100
2000
( ) 0.f X dx dx dx
x
+∞ +∞
−∞ −∞
= +
∫ ∫ ∫
=
3 2
100
2000 1
2000
2
dx
x x
+∞
 
= −
 ÷
 
∫

100
+∞
= 1
Nên f(x) là hàm mật độ
b) E(X) =
100
3

100
2000
. ( ). .0. . .x f x dx x dx x dx
x
+∞ +∞
−∞ −∞
= +
∫ ∫ ∫
2
100
20000 1
. 20000.dx
x x
+∞
= = −
∫

100
+∞
= 200
Vậy E(X) = 200
Câu 4: Ba học sinh cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là
0,8 . Của sinh viên B là 0,7 . Của sinh viên C là 0,6. Tìm xác suất của biến cố sau:
a) Có 2 sinh viên làm được bài
b) Nếu có 2 sinh viên làm được bài hãy tìm xác suất để sinh viên A không làm
được bài
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 23
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Giải:
a) Gọi E là biến cố của 2 sinh viên làm được bài thì E =

C ABC AB ABC∪ ∪
mà
A,B,C độc lập và xung khắc từng đôi 1
P(E)=P( ) + P( C) + P( )ABC AB ABC
⇒


= P(A).P(B).() + P(A).P().P(C) + P(). P(B).P(C)
= 0,8.0,7.0,4 + 0,8.0,3.0,6 + 0,2.0,7.0,6 = 0,452
b) Gọi P(
A
/E) =
( . )
( )
P A E
P E
=
0,2.0,7.0,6
0,18584
0,452
=
Câu 5: Một xạ thủ có 4 viên đạn. Anh ta bắn lần lượt từng viên cho đến khi trúng
mục tiêu hoặc hết cả 4 viên thì thôi. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Mốt Mod [X] ?
Giải:
Gọi xác suất bắn trúng của xạ thủ đó là p thì ( p)
Gọi X là số viên đạn đã bắn. Thì X nhận các giá trị x = 1, 2, 3, 4
P(X=1) = p
P(X=2) = qp ( q = 1- p)
P(X=3) = qqp = p
P(X=4) = qqqp= p

P(X=1) = p có xác suất là lớn nhất.
Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 24
Đại Học Công Nghiệp TPHCM
Nên
( ) 1Mod X =
Câu 6: Cho
2
Y X
=
, Biết luật phân phối

X -1 0 1 2
X
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Giải:
Xét
2
Y X
=
X 1 0 1 4
X
P
0,1 0,3 0,4 0,2
Hay
Câu 7: Cho Z = 2X – Y + 5 biết
(X,Y) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1)
ij
P
0,1 0,15 0,05 0,3 0,2 0,2

Tiểu Luận Sác Xuất Thống Kê Page 25
Y 0 1 4
Y
P
0,3 0,5 0,2