Đề+đáp án Toán lớp 8

PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2010-2011
MÔN: TOÁN 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 ( 2 điểm). Chọn một trong hai câu sau:
a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa mãn:
3(m + n + p) = mnp
b/ Tìm số chính phương có dạng:
aabb
.
Câu 2 ( 4 điểm):
a/ Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 3 x 4 x 5 24+ + + + −

b/ Giải phương trình:
3 2
2 2 0x x x
− + − =

Câu 3 ( 3 điểm):
Cho tam giác ABC (góc A nhỏ hơn 90
0
). Trên đường cao BD, CE lần lượt
lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC và ANB vuông.
Chứng minh rằng: AM = AN.
Câu 4 (1 điểm):
Cho tam giác ABC cân tại A. M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM. H

là hình chiếu của M trên CD. AH cắt BC tại N; BH cắt AM tại E.
Chứng minh rằng E là trực tâm của tam giác ABN.

1
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: / 4/ 2011
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(2 đ)
Câu 2
(4 đ)
a/ Tìm các số nguyên tố đôi một khác nhau m, n, p thỏa mãn:
3(m + n + p) = mnp
HD: Không mất tính tổng quát nếu giả sử rằng
m n pp p
; Khi
đó ta có:
9 9mnp p mn
⇒
p p
Do m, n là các số nguyên tố và
m np
, nên chỉ xét các cặp số
sau: (m; n) = (2; 3),
Thay m = 2, n = 3 ta tìm được p = 5 thỏa mãn.
Đáp số: (m, n, p) = ( 2; 3; 5) và các hoán vị của nó.

b/ Tìm số chính phương có dạng:
aabb
?
HD: Đặt
aabb
=
2
k
, trong đó k là số nguyên dương.
Đưa về dạng:
2
k
=
11.aOb
Từ đó, lập luận
aOb
chia hết cho 11, suy ra a + b chia hết cho
11; kết hợp với các chữ số tận cùng của số chính phương suy ra a
= 7, b = 4. Thử lại
aabb
= 7744 = 88
2
.


a/ Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
Ta cã: ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x
2
+ 7x

+ 11 - 1)( x
2
+ 7x + 11 + 1) - 24
= [(x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 1] - 24
= (x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 5
2
= (x
2
+ 7x

+ 6)( x
2
+ 7x

+ 16)
= (x + 1)(x + 6)( x
2

+ 7x

+ 16)
b/ Giải phương trình:

3 2
2 2 0x x x
− + − =

Đưa về dạng:
2
( 1)( 2) 0x x+ − =
Do
2
1 0;x x+ ∀f
2
1 0;x x
+ ∀
f
nên suy ra x = 2.
Cho tam giác ABC ( góc A nhỏ hơn 90
0
). Trên đường
cao BD, CE lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho hai góc AMC
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1,0
1,0
2
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: / 4/ 2011
Câu Đáp án Điểm
Câu 3
(3 đ)
Câu 4
(1đ)
và ANB vuông. Chứng minh rằng: AM = AN.
HD:
Xét ba cặp tam giác vuông đồng dạng theo trường hợp (g,
g):
1/ AMC và ADM (g, g).
2/ ANB và AEN (g, g).
3/ ADB và AEC (g, g).
Rồi rút ra các tỷ số bằng nhau. Suy ra:
2 2

AM AN
=

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

E
D
B
C
A
M
H
N
HD:
Ta thấy hai tam giác vuông MHD và CMD đồng dạng (g,g).
Suy ra:
HD HM
MD CM
=
hay
HD HM
AD BM
=
Mặt khác, ta có:

·
·
·
0
90ADH DMH BMH= + =

Suy ra:
HDA∆
đồng dạng với
HMB∆
(c,g,c).
Do đó:
·
·
AHD BHM=
.
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
0,25
0,25
3
Cho tam giác ABC cân tại A. M, D
tương ứng là trung điểm của BC, AM.
H là hình chiếu của M trên CD. AH cắt
BC tại N; BH cắt AM tại E.
Chứng minh rằng E là trực tâm của
tam giác ABN.
PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: / 4/ 2011

Câu Đáp án Điểm
Từ đó:
·
·
0
90AHB DHM= =
hay BH
⊥
AN.
Kết hợp với AM
⊥
BC ta suy ra E là trực tâm của tam giác ABN
(đpcm).

0,25
0,25
4