Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân

Mục lục
Mỏ đầu
1 Kiến thức chuẳn bị
1.1

Toán tử

Hilbert

-

Schmidt

trong khống

g'ian

Hilbcrt
1.2

c*

- đại số các toán

tử

tuyến tính

bị

chặn

1.3

Một số khống gian hàm
1.3.1 Không gian hàm cơ bản
1.3.2 Không gian hàm suy rộng D'(Q)
1.3.3 Không gian các hàm giảm nhanh <S(M
n
)
1.3.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S'

(R
n
)
1.3.5

Một số khống gian hàm khác
1.4

Biến đổi

Fourier
1.4.1

Biến đối

Fourier

và biến đối

Fourier

ngược
1.4.2 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L

p



(

R
n
), 1 <
p

< 2
1.4.3

Biến đối

Fourier

của hàm suy rộng
1.5

Toán tử giả vi phân
1.5.1

Toán tử giả vi phân
1.5.2

Toán tử Weỵl
1.5.3

Một số khống gian các biểu trưng
2 Biến đối Rihaczek và toán tử giả vỉ phân
6
6
9
1
0
1
0
1
0
1
2
1
3
1
4
13


1
5
1
7
1
7

17


1
8

2
0

2
2
2
4
1
2.2.1

Biển
trưng thuộc
L

p



(

R

2n

), 1 <

p < 2\

27
Biểu trưng thuộc LĨ(R
2n
), 1 < p <

oo 29
Kết luận
Tài liệu tham khảo
2
6
2.1

Một số phốp biến đối thời gian - tần sỗ
2.2

Liẽn hệ với toán tử giả vi phân
2
4
2
32
33
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới
sự giúp đỡ nhiệt tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người thầy đã hướng dẫn và

truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tôi vượt qua những khó khăn trong'
chuyên môn cũng như trong cuộc sống.
Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối
với thầy.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa
toán, Phòng sau đại học và các thầy cô trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi kết thúc tốt đẹp quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi trân trọng cảm ơn sỏ GD và ĐT Hà Nội, Trường THPT Minh Phú đã tạo
mọi điều kiện giúp đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Mạch
Văn Cường
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng
dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Đề tài và luận văn không trừng lặp với những
đồ tài khác.
Trong quá. trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013 Mạch
Văn Cường
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết toán tử giả vi phân hay còn gọi là lý thuyết toán tử tích phân kì dị,
hay là tích phân dao động, được tách ra từ lý thuyết phương trình vi phân, là
một chuyên ngành hẹp tương đối độc lập, được nghiên cứu đầu tiên bởi Koln và
Nirenberg năm 1943, sau đó, lý thuyết này được rất nhiều nhà toán học nổi tiếng
the giới quan tâm nghiên cứu, chăng hạn L. Hömander, A.N Kolmogorov,
Khoảng những năm đầu của thập kỉ 90 trong thế kỉ 20, lý thuyết giả vi phân đã
có một hướng phát triển thú vị khi nghiên cứu cùng với lý thuyết giải tích thời
gian - tần số. Nhiều lớp toán tử giả vi phân: toán tử Koln-Nirenberg, toán tử

Weyl, Toán tử định vị, được gắn liền với những lớp biểu diễn thời gian
- tần số: Rihaczek, Wigner, và những tính chất của các lớp toán tử đó như
tính bị chặn, tính compact, trong một số lớp không gian hàm được thiết
lập nhờ mối liên hệ kiểu như vậy. Trong bài báo p], nhóm tác giả Alip
Mohammed, M.w. Wong đã thu được một số tính chất về tính bị chặn và
tính compact trong L

p



(

R
n
), 1 < p <

00 của toán tử giả vi phân Koln-
Nirenberg với lớp biểu trưng LỈ(IR
2n
) nhờ mối liên hệ với lớp toán tử
Weyl và các biểu diễn thời gian tần số Wigner và Rihaczek.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về toán tử giả vi phân và biến đổi
Rihaczek, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi chọn lựa
đề tài nghiên cứu
“Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân”
đổ thực hiộn luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về biến đổi Rihaczek
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày về khái niệm biến đổi Rihaczek
- Trình bày về khái niệm toán tử giả vi phân
- Trình bày về mối liên hệ giữa biến đổi Rihaczek và
toán tử giả vi
phân
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Dối tượng nghiên cứu: Biến đổi Rihaczek và các khái niệm về toán tử giả vi
phân
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các tài liệu trong và ngoài nước liên quan
đến biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.
- Thu thập và nghiên cứu các loại tài liệu có liẽn quan, đặc biệt là các bài báo
rriới trong và ngoài nước về vấn đề luận văn đề cập tới.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Luận văn là một nghiên cứu tổng quan của tác giả về mối liền hệ giíĩa toán tử
giả vi phân lớp Koln-Nircnbcrg với biổu dien thời gian - tần số Rihaczek. Một
số tính chất nhỏ trong bài báo Щ

được tác giả chứng minh chi tiết.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử Hilbert — Schmidt trong không gian Hilbert
Chúng ta xây dựng toán tử Hilbert - Schmidt, trong không gian Hilbcrt
L
2
(R
n
)
Định nghĩa 1.1.1. Cho h € L

2



(R

n



).

Toán tử Hilbert - Schmidt với nhân /z, kí
hiệu Sh ' L

2



(R

n



)

—>• L
2

(lR
n
) được định nghĩa bỏi:
{Shf) (x) = J h
( x,
y) f(ĩj)dy
,
X e
R "
1B«
Với mọi

/ G L
2
(M
W
), ta chứng minh được s
h
f G L
2
(R”). Thật vậy: Từ (1.1)
ta có :
ỉ h (x, y) f(y)dy
ỉ”
= [ \f (y)\ị ị \h{ x,y)\
2
dxỴ dy
JR

n

1./M” J
< {Jj m fd y f {j
=
I/Il
2
(M") I^Il
2
(R
2
»)
dx
(1.2)
Cho g

, h

G L
2
(R
2n
). Ta kí hiệu g о h £

L
2

(M
2n
) là hàm được xác định bởi
(1.1)

{
[ \(Sh f )
( x) i
2
ds V
= ị I
) J M"

Đ ị n h l í 1 . 1 . 1 .
C h o S h
,
S g l à toán tử Hilbert - Schmidt tương ứng với hạt nhân g và h. Khi
đó
(i) Sg Sh = Sgoh
(ii) S'
h
= s
h
*.
ơ đố Sh* là liên hợp của Sh và h* là hàm, trong
R
2 n

và được định
h* ( x , y ) = h { x , y ) , x , y e R
n
. (1.5)
Chứng minh.
T ừ ( 1 . 3 )
{{SgS

h
) /) (ж) = (Sg (s
h
f )) (ж) = / g

(X
,
z)

(s
h
f ) (z) dz
i"
= J 9 (x, z)
{ /
h {z, y) f ( y ) d y } d z
M" i"
= / { /
9 ( x ,
z )
h ( z , y ) d z } f ( y ) d y
R
7(
M
7i
= _ / ( . 9
0

h
)

( ж ,
у ) Ỉ ( y ) d y =
(
S
g o h
f
)
(x)
rc> n
với mọi X E M.
n
, / 6 L

2



(R

n



).

Để chứng minh được ta cần hoán đổi thứ tự lấy
tích phân. Ta có
=
II#IIl
2

(M")\\S\h\

l/l||^2(
R
n) <
00
.
□
Bổ đề 1.1.2. Nếu Sh là toán tử Hilbert-Schmidt trên L
2
(R
n
) tuơnq ứng
vớ i hạt nhân h £ L
2
(R
2n
) thì Sh là toán tử compact .
1.2 С* - đại số các toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa i.2.1 (Đại số phức). Một đại số phức là một không gian vcctơ A

trcn
trường số phức с cùng với một phép toán nhân X,

y

£ A

I-» xy

£ A

thỏa mãn các
điều kiện sau
1. Tính phân phối: Với mọi a, ß E с và ж, 2/, z G л,
(a .x + ß.y)z = a.xz + ß.yz
x( a .y + ß.z) = a.xy + ß .xz.
2. Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z.
Một đại số mà có phần tử e thỏa mãn ex = xe = xVx

G Ả

thì được gọi là đại số
có đơn vị và e là đơn vị của đại số đó. Nếu thêm tính chất xy = yx,

Vx, y

G A
thì ta nói đại số A

là giao hoán.
Định nghĩa 1.2.2 (Đại số chuẩn). Một đại số chuẩn là cặp (A, 11*1 I) bao gồm
đại số phức A

và chuấn ||-| I : A

—>• [0, 00) thỏa mãn tính chất
lkỉ/| I < IN I llỉ/l I, Ух,y e A.
Khi A

trở thành không gian Banach đối với chuẩn trên thì nó được gọi là đại số
Banach.
Ví dụ 1.2.1. Cho E

là không gian Banach và B(E)

là khônggian các
toán tử tuyến tính liên tục trên E.

Khi đó B(E)

là một đại sốBanach
có đơn vị đối với phcp toán nhân là hợp thành các toán tử.
Định nghĩa 1.2.3 (C

*—đại số). Một c

*—đại số là một đại số Banach A

được
trang bị một phép toán đối hợp X

I-» X*

thỏa mãn
1.

X**

= X, Vx G A;

2.

(a.x

+ ß.y)*

= ãx*

+ ßy*

,

với mọi a, ß

6 с và với mọi X

, y

G A;
3. (xy)* = y*x*
1
với mọi x,y G A;
4.

\\x*x\

I = \\x\

|
2

với mọi X

G A.
Ví dụ 1.2.2. Cho H

là không gian Hilbert và C(H)

là đại số Banach các toán tử
compact. Khi đó, C(H)

là một c*—đại số .
1.3 Một số không gian hàm
1.3.1 Không gian hàm cơ bản v(ũ)
Định nghĩa 1.3.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là V(Q)

là không gian
gồm các hàm khả vi vô hạn trên íì

và có giá compact trong Q

với topo xác định
bởi sự hội tụ như sau:
Dãy ! các hàm trong V(ỹt)

được gọi là hội tụ đến hàm (p

£ V(íì)
nếu thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) :
i, Có một tập compact к с Г2 mà Slippy? j с K,j =
1, 2,

ii, lim sup I D

a



ipj(x) — D

a



if{x)

I = 0, với a

=

((Х

1,а

2, , ûf
n
) G N
n
.
00
Khi đó ta viết là (f =

D_ lim (p

:

j.
j->00
ở đây với mọi đa chỉ số ữ = a

n

)

G N
n
ỡ“
1
d
a
‘
2
d
ữ n
D
n
(f = D
c
:
i
DĨ
2

D“”ự> = . -Цг-р.
*
12 n
^ дх
а
^ д х«
2
dxï " *
Định lí 1.3.1. Không gian các hàm cơ bản V(ũ) là đầy đủ.
1.3.2 Không gian hàm suy rộng Z>'(Q)
Định nghĩa 1.3.2. Ta nói rằng / là một hàm suy rộng trên tì

nếu f

là một phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên T>(Q).
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trcn fỉ, kí hiệu là V'(ũ).
Hàm suy rộng / G V

f



(Q)

tác động lên mỗi (p

e V(íì)

được viết là (/, if).

Ví dụ 1.3.2. Cho / G Lị

C

(Q),

khi đó phiếm hàm liên tục trên V(ũ)

được xác
định bởi:
/ : 4> {/, v) = I f (z) 4> ( x)dx, tp € V{í ì) (1.7)
П
là một hàm suy rộng.
Hàm suy rộng biểu dien như (1.7) được gọi là hàm suy rộng' chính quy. Hàm
suy rộng không chính quy được gọi là hàm suy rộng kỳ dị.
Ví dụ 1.3.3 (Hàm suy rộng Delta Dirac). Ký hiệu ỗ

là phiếm hàm xác định bởi:
ố :

if

I-» (ố, 99) = <p(0),<£ £ V(Q).
Nhận xét 1.3.4. Hàm suy rộng ỏ

còn được gọi là hàm suy rộng Delta Dirac và
hàm suy rộng Delta Dirac là hàm suy rộng kỳ dị.
Thật vậy: Với mọi £ T>(íĩ)

thì

(ố, if-[

+ if

2) =

+<^2)(0) =<Pl

(0)+<£2(0) = (ố,Lfi)

+ (ố, (f

2) .
(Ố, À if ) = (A^)(0) = A <p(0) = A (Ổ, if).
Giả sử tồn tại một hàm khả tích địa phương u

sao cho:
<p(0) = (ổ, ự?) = Ị u(x)ự?(x)dx

ì

(p

£ V(íì).
ủ
n
Lấy dãy ifk

E V(ỌÌ)

được xác định bởi <Pk(%)

=



(p{kx)

thì y?(0) = c Ỷ

0-
Khi k —>

00 theo Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì:
Điều này là mâu thuẫn với <p(0) = c ^ 0.

Nên không tồn tại hàm khả tích địa
phương u

để
(ố, ip) = 99(0) = / u(x)(p(x)dx.
Vậy ố là hàm suy rộng ki dị.
Định nghĩa 1.3.3. Cho / £ V' (fì), a = (cvi,a
2
,. , a:
n
) € N
n
.
Đạo hàm cấp o.

của hàm suy rộng f

trong íì, kí hiệu là D

a



f

là. hàm suy
rộng trên Í2 được xác định bởi:
(D

a



f

, if)

=

(—l)'
a
' (/, D

a

<p)

, if

£ 'ĐịỌÌ),

I Of I = Oil + ữ-2

+ • • ■ + ot

n

.
Định nghĩa 1.3.4. Cho /fc, / E V

(Q), k =

1,2,
Ta nói rằng, dãy {fk}kLi

hội tụ đến / trong V' (íì)

khi k

—>•00 nếu
lim (/fc,^> = (/,¥>) ,y<peT>(íì).
k- t 00

ỉ được xác định bởi

<Pk ( %)
=
(p { k x ịnh lí hội tụ bị chặn Lebesgue
thì
<p ( 0 ) = lim / u(x ) ifk( x )dx 0. Ả:—
>00 J R "
k 11 ^ n T r/~ĩì / r\ Ị n I /ì —J— íì 1\T r\T~\ lr n Ar
Kí hiệu lim f

k

= f.
k—>
o c
Với khái niệm hội tụ đó chúng ta có Định lí 1.3.5. Không gian hàm,
CÁC hàm, suy rộng D'(fỉ) ì,à đầy đủ.
1.3.3 Không gian các hàm giảm nhanh <S(K
n
)
Định nghĩa 1.3.5. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là s (M
n
) là tập hợp
được xác định bởi: S ( K ‘ ) = u > e C
ot:
(R’‘)lsup|x“DV(®)| < e R’\Va,/? e N"1
cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau:
Dãy trong s

(R
n
) được gọi là hội tụ đến (f

G <S(R
n
) nếu:
lim sup \x

a



D

ß



(p

k

(X

) — x

a

D

ß



(p

(ж) I = 0, với mọi a,ß

G N
n
.
к—ï ОС
Kí hiệu S

_

lim ifk =

(f.
к—

ì

оо
Chú ý 1.3.6.
1. Hàm ip

£ c°° (M
7Ỉ
) là giảm nhanh khi và chì khi một trong hai điền kiện
sau thỏa mãn:
a) Với mỗi m

G N, ß

£ N
n
có
^1 + |ж|
2
^ \D^ip (X) I < C
m
ß , với mọi X 6 R
7i
.
b) Với mỗi m

G N* có
^1 + |x|
2
^ ID

í3



(f

(æ)| < C

m ì

với mọi X

6 M
n
.
|jö|<m
2. Với mỗi A, ỊJL G С, (fk, фк 1 £ S (R
n
), к = 1,2,
Nếu ố’_ lim <fk = <p và lim ĩpk = ĩp thì
к—Kxi к —> OG
s_ lim (Л(f
k
+ ụék) = A(p + Ịiĩp.
к

—^ 00
3. Với mỗi a

£ N
n
, phép toán đạo hàm D

a

là ánh xạ tuyến tính liên tục từ

s
(R

n



) vào

s (Ш
п
) .
4. Không gian các hàm cơ bản V(ũ)

trù mật trong không gian các hàm giảm
nhanh <S(R
n
).
Bổ đề 1.3.1. Nếu ựĩỊg —> 0 trong *S(R
n
) thì (Pk —> 0 trong L
p
(R
n
) khi к
—» ос, 1 < p < 00.
Hệ quả 1.3.1. Nếu / G <S(R
7Ỉ

) và mộ t dãy {gk}^] gồ m những hàm, trong
<S(R
n
) sa o cho gỵ 0 tro ng <S(R
n
) kh i k —> oo thì
I \ x\
H
\p \
m
(ỡ
7
/)(x + |) (d
ỗ
g
k
)(x- |) dp, vớỉmọia,p, 7, ỏ'<E N
n
h ộ i t ụ đều về 0 theo X trên R
n
k h i k o o .
Định lí 1.3.7. Kh ông gian C Á C hàm, giâm nhan h <S(M
n
) ỉà đầy đủ. Nhận
xét 1.3.8. Chúng ta có
V(R
n
) c <S(R
n
) c C°°(R

n
).
1.3.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm s' (M
n
)
Định nghĩa 1.3.6. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm <S'(]R
n
) là không
gian topo đối ngẫu của s

(M
rỉ
)> nói cách khác S'

(M
n
) là không gian các phiếm
hàm tuyến tính licn tục trôn s

(M
n
).
Mệnh đề 1.3.9. Cho hà m suy rộng / E D'(R
n
), / là hàm, suy rộng tăng chậm,
khi và chỉ khi f là một phiếm, hàm, tuyến tính trên s (R
n
) và tồn tại mộ t
số dương c và với mọi đa chỉ số Oí, p £ N
n

sao cho
I(/><£)! < c sup \x
n
d'
t í
ip (x)\ 5 với mọi íp E (S(M
n
)
s
í í G K
n
Định nghĩa 1.3.7. Dãy trong S'(

M
7Ỉ
) được gọi là hội tụ về 0
trong S'(

M
n
) nếu
U k ( i p ) —>• 0 khi k — Ỷ oo, với mọi i p E <S(]R
n
).
Khi đó kí hiệu Uk —> 0.
Định nghĩa 1.3.8. Cho u

là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi đa chỉ số a
đạo hàm của u

ký hiệu d

a



u

được xác định bởi:
(ô"«)(p) = (-lN^),^5(P).
Nhận xét 1.3.10. Đạo hàm d

a



u

cũng là một hàm suy rộng tăng chậm. Nếu c
S(M.

n



)

sao cho (Pk —>

0 trong <S(M

n
) thì ỡ

a



(pk

0 trong tS(R
n
) khi k

—>• 00.
Do đó (d

a



u)(<pk)

—>• 0 khi k —)■

00. Vậy d

n

u

: S(R

n



)

—>• <S(M
n
) là ánh xạ
tuyến tính liên tục.
Định lí 1.3.11. Khôn g gian các hàm, suy r ộng tăng chậm, <S'(M
n
) là
đầ y đủ.
Nhận xét 1.3.12. Chúng ta có
S(W
l
) c ư(W
n
) c với 1 < p <00.
1.3.5 Một số không gian hàm khác
Định nghĩa 1.3.9 (Không gian L

p

(ũ)).

Giả sử Q

là một miền trong R

n





và p
là một số thực thỏa mãn 1 < p <

00. Không gian L

p

(ũ)

là véctơ tất cả các
hàm / xác định và đo được theo độ đo Lcbcsguc trcn íì

với |/|
p
khả tích
trên íì, có nghĩa là
ỉ \ fi
x
)\

p
dx < oo.
Í2
Chuẩn của hàm / thuộc Lp(íí), 1 < p <

oo , được xác định bởi
\\f\\„ =
(^/1
f{x)\
p
dxỴ.
Định nghĩa 1.3.10. Một hàm / đo được trên íì

được gọi là chủ yếu bị chặn
trên £1

nếu tồn tại một hằng số k

sao cho |/(a;)| < k

hầu khắp nơi trên ữ.
Cận dưới lớn nhất của các hằng số k

được gọi là cận trên chủ yếu của hàm
/ trên Q và được kí hiệu là esssup \f(x)\.
X E Í Ì
Kí hiộu L
00
(Í7) là không gian véctơ các hàm / chủ yếu bị chặn trên Q
với chuẩn được xác định bởi:

WfWoc
= esssu
P I f{
x
)\ — inf {k : \f(x)\ < k hầu khắp X G íỉ}.
xen
Định lí 1.3.13 (Định lý Fischer - Riesz). Với mỗip

€ [1, +00], L

p

(n), ũ

c R
n

là một không gian Banach.
Định lí 1.3.14. í/
2
(M
n
) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
(u,v) = Ị u(x)v(x)dx,
Ế"
và chuẩ n tương ứng
ll
M
ll = ( / MaOpdxV.
\R" /

1.4 Biến đổi Fourier
1.4.1Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược
77.
Ta kí hiệu XUJ

= ^2 XịUị

, Vx, UJ

£ R
n
và gọi xu

là tích vô hướng trên
i=i
R
n
và viết X

2



= XX, \fx

£ M
n
, chuẩn Euclidc là |x| = ựxx.
Định nghĩa 1.4.1. Biến đổi Fourier của hàm / e L

1

(R
n
), kí hiệu là / hoặc J
7
/, là
một hàm được xác định bỏi
/ M (í) = ( 2 v )~ * Ị f ( x ) e ~
i x u
d x . (1.8)
M"
Chú ý 1.4.1. Ta dùng kí hiệu T f

để nhấn mạnh rằng phép biến đổi
Fourier là một toán tử tuyến tính tác động trên một không gianhàm
/ £ L
l
(R
n
).
Định nghĩa 1.4.2. Clio / E L

1



(R

n

).

Biến đổi Fourier ngược của hàm /, kí hiệu f
được định nghĩa bỏi
r -
l
f ( x) = ( 2 n) - ’ i l f (u } ) e
i x u
d u , 1 6 1". (1.9)
R"
Từ định nghĩa trên ta có J
7-1
/ = /, với g( x) — g(-x) .
Định lí 1.4.2. Nếu f G L
l
(W
l
) và f E L
[
(R
n
) th ì
/ (X) = (27r)
_
2
Ị
f e

i x u J
duj , X E M
n
R"
ng hĩa là T~
x
và T là các toán tử n g ược của nhau.
Bổ đề 1.4.1 (Bổ đồ Ricmann-Lcbesgue). Biến đổi Fourier T là ánh xạ
tuyến tính liên tục từ ^(W
1
) vào L°°(R
M
) sao cho khi f E L
l
(R
n
) thì
II/IIl^r») ^ II/IImr") ’ /(0 -»•
0 kl n

líl ->■ °
0
-
Nhận xét 1.4.3. Với C{) (R
n
) là không gian Banach của các hàm liên
tục triệt tiêu tại vô cực, khi đó từ Bổ đề 1.4.1

chúng ta có phép biến đổi Fourier
là một ánh xạ liên tục

T : L
l
(R") Co (R
n
).
Định nghĩa 1.4.3. Với (f

£ <S(R") chúng ta. định nghĩa biến đổi Fourier của ip
bởi Ф

hoặc Tip

là
ф( £) = (27t)
_
2
J
e~
i x
^ip(x)dx.
К"
Biến đổi Fourier liên hợp của (f

kí hiện Tip

là hàm xác định bởi:
TV(£) = ip(-Ç) = (2 T T )-Ỉ Ị e
i x ỉ
-ip(x)dx, với Ff = Tj.
i

n
Định lí 1.4.4.
1. Biến đổi Fourier là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(R
n
) —»
íS(R
n
) và vớ i mỗi f G <S(M
n
)
Tịx** f (x)](£) = (—D ç )
a
J
7
f (Ç)), với mọi đa chỉ số a,ß £ N
n
.
2. Biến đ ổi Fourier liên hợp T củng l à ánh xọ, tuyến tính liên
tụ c từ tS(R
n
) —)• <S(R"), với mọi f G <S(K
n
) và / = Tf thỏ a mẫn
f(x) = (2n)-ĩ ị e**f(t)dÇ = [Tf]
nên Biến đổi Fourier T là đẳng COM đẳng cự từ <S(R
n
) lên (S(M
n
) và JT-1
=

(2 n)-
n
T.
Bổ đề 1.4.2. Với X,UJ £ R
n
và f £ s (R
n
) ta có cá c tính ch ất sau:
1)

( T j y = M (1.10)
2)

( M JỴ = T j . (1.11)
3)

( T
x
M
u
f Ỵ =

Jr



'

" (1.12)

4) ll/*sllf < ll/lli-

M\l‘ Ảf * 9Ĩ=
(1.13)
5)

/*

=

/, /

=

/.
6)

и *g)(
x
) =

(/,

T
x
g * ).
Định lí 1.4.5 (Đẳng thức Parseval - Plancherel).
ỉ. Biến đ ổi Fourier T : 5(M
n
) —> S(R

n
) mở rộng một cách duy nhấ t tới
m,ột toán tử đẳng cấu đẳng cự J~2 : Z/
2
(M
n
) —> ь
2
(ш
п
). Với mọi f,9 € Ь
2
(Ш
п
),
I f{x)g{x)dx = J f(Ç)g(OdÇ.
2. Trên Z/
2
(M
n
) П Li(R
n
) xảy ra h ệ thức T-2Ỉ = ĩf ■
Toán tử T

2 được gọi là biến đổi Fourier trên Z/
2
(M
n
) và ta cũng kí hiệu là

T.
Định lí 1.4.6 (Biến đổi Fourier của tích chập). Nếu

/,0 £ Li(R

n



) thì
^ / • í K M r t á K ) , ì e R " . (1-14)

1.4.2 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L
p
(R
77
), 1 < p < 2 Định lí 1.4.7.
(Hausdorff - Young) Giả s ử 1 < p < 2 và p'
là số thỏa
1 1 1
= 1 Ш1
T

: ư

(M
n
) ^ ư

(M
n
)
vá
< c
p
\\ f ị
ơ đó Cp là hằng số Babenko - Be ckner cho bởi
С
- ~ Ш '
(U5)
1.4.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng
Định nghĩa 1.4.4. Cho / G S'

(M
n
), biến đổi Fourier của /, kí hiệu là
J
7
/ hoặc / là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
ựf,<p) = (f,r<p), <peS( R“)
và biến đổi Fourier ngược của hàm /, kí hiệu là J
7-1
/ là hàm suy rộng tăng chậm
xác định bởi
(7-7, V?) = , ( f e s (M
n
).
Bằng cách tương tự, ta cũng xác định
Ợf,<p) = {f,y<p) - <peS(R

B
).
mẫ n - +

Л

= 1

thì
p p
Định lí 1.4.8. Biến đểi Fourier T là một đẳng cấu trên s' với toán tử
ng ược xác định bở i J
7-1
= T.
Định lí 1.4.9. Với mọi u G <S'(R
n
),a £ N
n
và ip G <S(R
n
) chúng ta có: (%)
J
r
(D
a
u) =
(i i) J
r
(x
n

u) = ( — DịỴPu .
(Ỉ U) T{ip * u) = (Tu).(Tip).
(i v) J°((p.ii) = {Tu) * [Tip) .
Việc chứng minh Định lý 1.4.9

được suy ra trực tiếp từ định nghĩa và các
tính chất của phốp biến đổi Fourier.
1.5 Toán tử giả vi phân
1.5.1Toán tử giả vi phân
Định nghĩa 1.5.1 (Biểu trưng). Với m

£ M, a, /3

là các đa chỉ số và với mọi
G R
n
. Ký hiộu:
5” = {*(*,£) 6 C
x
(R
n
,R
n
)\\D:.D^(x,0\ < C
a
A 1 + m
n
~
m
} .

Mỗi ơ £

U
m€
Ri9
m
được gọi là một biổu trững.
Định nghĩa 1.5.2 (Toán tử giả vi phân Koln-Nirenberg). Cho ơ

G s

m



,

thì toán
tử giả vi phân T

ơ

tương ứng với ơ

được xác định bởi
(T

a

<p)(x) =

(27r)-”
/2
/ V e<S(R").
M”
Ví dụ 1.5.1. Cho toán tử đạo hàm riêng tuyến tính trôn R
n
P(x,D)=
E

a
a
(x)D
a
với các hệ số

a
a
(x) 6

c°° thì đa thức
|o: I < m
P(x,0= E a« (x)ị
a
là ruột biểu trưng thuộc lớp s
m
.
I a

I < m

Do đó P(x,D)

là một toán tử giả vi phân .
Chứng minh.

Chúng ta có
(P{x,D)<fi){x) = a
a
{x){D
n
<? ) {x)
\ a \ < m
= Ỵ2 a
a
(x)J
r
"
1
(D
a
íp)(x)
(1.16)
= Y, a
a
(x)W
n/ 2
/
I •'K"
|a|<m
= (2ir)~

n / ĩ
Ị é^P(x,ị)ĩ{Odí
JR
H
Do đó ta chỉ cần chứng minh P(x,£) là biểu trưng lớp s
m
.
Thật vậy, với 7, ố là các đa chỉ số ta có
\(DlDịP)(x,0\ = I E Dla
a
(x)DịC\ <
C
« > l
ỡ
í^1 (
L17
)
|«|<'m |«'|<?ri
với mọi x,ịer và C

nj

=

sup \(DỊa

n

)(x) \ .

Mà chúng ta có
reM"
(a)
Ố! Ị Ị ị

n

với ỗ < a
w
0, với các trường hợp còn lại
với mọi £ E K”. Từ (1.17) và (1.18) và áp dụng bất đẳng thức
< \ị\'

chúng ta có
ở đây c
7tS
= E c
a
j\ |a |< m V
s
Chứng tỏ P(x,£)

là một biểu trưng thuộc lớp s
m
.

Do đó P(x

, D)

là.
một toán tử giả vi phân . □
dịc = <;
(1.18)
líi
1
a| -|ố|
(1.19)
m —|
<5|
ố
m —
151
\(D l DịP) ( x,0 \ < E
c
^
!
( “ )
a< m \ V /
< E
c
^
5
-
C
7
s( 1 +

Iỉ|)
m

, với mọi Gl’
(1 + l í l )
|a|<?n
Mệnh đề 1.5.2. Với ơ 6 s
m
thì T
ơ
ánh xạ, không gian <S(R
n
) vào
ch í nh nó. Hơn nữa T
ơ
là tuyến tính liên tục, tức là nếu -ỳ- 0 trong
<S(R") thì T
ơ
(i p
k
) —> 0 tro ng <S(M
n
) kh i k —>• 00.
Mệnh đề 1.5.3. Ánh xọ, T
ơ
: tS'(R
n
) —y S'(R
n
) l à tuyến tính li ên tục.
1.5.2 Toán tử Weyl
Định nghĩa 1.5.3 (Biến đổi Wcyl). Cho ơ

là một biểu trung thuộc lớp S
m
.
Với mỗi

tp 6 <S(M

n



),

ơ E

s
m
chúng ta có thể xác định một hàm

W
ơ
(p
trên M
n
bởi
(w
ơ
<p)(x) = (27T)-" / J e^-^ơ(^-,0<p{v)dyd^,x e K
n
. (1.20)

M" R
r
'
W

ơ

được gọi là biến đổi Wcyl tương ứng với biểu trưng ơ.
Mệnh đề 1.5.4. Cho ơ G s
m
,m G R. Khỉ đố toán t ử Weyl W
ơ
: <S(M
n
) —
> <S(M
n
) li ên tục.
Định nghĩa 1.5.4. [Biến đổi Wigner] Biến đổi Wigncr của hai hàm /, g

G
<S(R
n
) là W ( f , g ) G M
2n
được xác định bởi
W ( f, g ) ( x , £ ) = { 2w ) ~
n / 2
Ị e”‘
í

'
ỉ
7 [ x + ĩ ỷ g { x - ĩ ỷ d p , x , ị £ R
n
. (1.21)
R"
Từ định nghĩa của biến đổi Wigner, chúng ta nhận thấy W ( f , g ) E
<S(R
n
) nếu f , g E <S(R
n
).
Định lí 1.5.5. Với ơ

6 S

n



\m,

G R thì
(W„f,g) = (2ir)~
n / 2
j j ơ {x,ị) W{Ị,g){x,£)dxd ị\f,g e 5(R
n
).
á” R»
Dấw {W

ơ
f\g} là tích vô hướng của L
2
(R
n
).
Chứng minh. Lấy 0 E T>(R
n
) sao cho <9(0) = 1, thì ta có 1 Ị
ơ(x,£)w(f,g)(x,t)dxd£
'ỈR
n
'JR
n
= lim I I 6(eỆ)ơ(x, Ệ)W{f,g){x ,t)dxdỆ
£->0
+
R” JR

n
= lim I I 0(eỆ) ơ(x,ỉ)
£
'
_>0+
JR
n
JR
n
X I Ị e~
i í p

f ( x + I)g(x - |dp| dxdị liin(27r)-"
/2
1
0{eị)
£•->0 + Jỵ_n

2
[ [ <r{x, 0
w
( f , 9)(x,£ )dxd£
•JR

rl

./ M"
= lim (27r)-’*
/2
/ (9(eO
£-K)
+
J dti
■n
/ 2
= lim (27r)'
£^0 +
X
= (2tt) ”
/2
I g(v){W
ơ

f) (v)dv = {2n)
u / 2
(W
a
f,g)
J

M"
Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 1.5.5 cho chúng ta nhận xét rằng, nếu ơ

e <S(M
2n
) thì với mỗi
/ G *S(R
n
) cố định, W

ơ

f

là một hàm thuộc S'(]

R
n
). Hơn nữa, chúng ta có
thể Ĩ11Ở rộng biểu trưng ơ

của toán tử Weyl thuộc lớp không gian các

hàm suy rộng tăng chậm <S'(R
2n
):
(1.22
)
{L . L
a {
WR

n



•/E"
X
(1.23)
.^-“'■'/(uMrOdudvK
□
{ w , f ) (g ) = (2r ) -"
/ 2
< T (W Ự ,g ) ) ,g e S(R»)với W(f,~g)

là biến
đổi Wigner của / và Tị.
Dây cũng chính là cách để mở rộng miền xác định của toán tử Weyl
lên những không gian hàm khác (xem [6]).
Cho G И
77
' và / là hàm đo được trên M
n

. Xét hàm p(q,p)f

trên R
n
xác
định bởi
( p ( q , p ) f ) { x ) = e
i9
-
x+
ï
i9
-
p
/(z + p),z G ir. (1.25)
Mệnh đề 1.5.6. p(q,p) : L
2
(R
n
) —> L
2
(R
n
) là một t oán tử u nita với
mọi q,p 6 M
n
.
Mệnh đề 1.5.7. Cho ơ £ <S(M)
2n
. Khi đó với mọ i f G <S(R

n
)
?
chúng ta
có
W
ơ
f ( x ) = (2T Ĩ ) ~
U
/ / ở(w
ỉ
v) (p(w
ì
v) f)(x)dwdv
ĩ
ĩ G К". (1.26)
J R
n
1.5.3 Một số không gian các biểu trưng
Ký hiệu Z/J(R
2n
), 1 < p <

oo là không gian các hàm trên R
2n
xác định
bởi
Ц(Ш
2 п
) = {a e ư{R

2 n
) : ở e ư\R
2n
)}. (1.27)
Định lí
1.5.8
(Bất đẳng thức Haiisdorff-Yoimg). Biến

đổi

Fourier

là
một toán tửtuyến tính bi chặn từ L
p
(R
n
) vào L
p
'(M
n
), 1 < p < 2. Hớn
nữa
II/IUr») < f € ư(R
n
). (1.28)
Từ Định lý trên, chúng ta suy ra ngay kết quả sau:
Hệ quả 1.5.1. Với 1 < p < 2, Z/*(R
2n
) = L

p
(R
2n
).
Với 1 < p <

00, chúng ta ký hiệu I/^(R
2n
) là không gian con của không
gian L

p



(

R
2n
) xác định bởi
ư

n

(R

2n

) = {ơ

G L
p
(R
2n
) : T-

l



m,7ũ

6 LĨ(R
2
")} (1.29)
trong đó, J
7-1
, J
7
, rn

tương ứng là biến đổi Fourier ngược, biến đổi Fourier
và toán tử nhân với hàm
(1.24)
m(w,v) = e~
i w v
/
2

, w , v £ R
n
. (1.30)
Định lí 1.5.9 (Xem [7]). Với ơ

6 LỈ(R
2n
),2 < p <

oo thì Wơ

: L
2
(R") —>
L
2
(]R
n
) /ầ một toán tử tuyến tính bị chặn. Và
\\w
a
\\, < ịịâịị,,,,^,* e u;(R
2
").
Hơn nữa , Wơ : L
2
(R
n
) —> L
2

(R
n
) ỉà toán tử compact.
Chương 2
Biến đổi Rihaczek và toán tử giả vi phân
2.1 Một số phép biến đổi thời gian — tần số
Trong mục này, chúng ta trình bày một số phép biến đổi thời gian tần
số quan trọng, liên hệ tới các toán tử giả vi phân.

Biến đổi Wigner đã
được định nghĩa trong Chương 1 (định nghĩa 1.5.4).
Định nghĩa 2.1.1. Cho / 6 L
2
(R
n
). Khi đó biểu diễn Rihaczek RỊ

của tín
hiệu / được định nghĩa bởi
( R f ) (x,S) = e^f(OW), Vs, í e R". (2.1)
Cho hàm /, g

e L

2



(

R
n
). Khi đó biểu diễn Rihaczek chéo R ( f , g ) của /,<7
được định nghĩa bởi
R ( ỉ, g )( x , Z ) = e
i x i
ĩ (ỉ) g ( x ) , Vz, ỉ e R". (2 .2 )
Định lí 2.1.1 (Đẳng thức Moyal). Cho /1,/2, <?1,02 £ L
2
(R
n
). Khi đó
1- {R{íiĩ/2),R( g i,02))l2(
R
27i) = (./1,h)L
2
{R
n
)( gu92)L*(R” )
2- ( W ( f
l ì 9 l
) , W ( f
2 ì
g
2
) ) = (/1,/2) (01,02)
2
4
Chứng minh. 1. Từ định

nghĩa của biến đổi

Rihaczek, công thức
Planchcrclcho biến đổi Fourier và định lỷ Fubini, ta có:
( R ư u ỉ ĩ ) ,R(gu92))
L
H*’‘) = / í e
i n
f
1
(ị )gi(x)e~
i x í
f
2
(ị)92(x)dxdỉ,
J

R
n
'ì

M
n
= / ĩ\{ị)h{£)d£ I 9i(x)gì(x)dx
J

K" J

R
ri

=
( /^15 ./2 ) (oii 92)L
2
(R
n
)
— (/1? f'2) L'ỉ(R") ( 9li 9 ‘2)L
2
(R
n
).
2
5