SKKN rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ logarit có chứa tham số

I. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong chơng trình Toán lớp 11 có rất nhiều bài toán phơng trình, bất phơng trình chứa tham
số. Không những bài toán đợc đặt ra dới dạng giải và biện luận, mà còn rất nhiều dạng khác nữa,
chẳng hạn nh: tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm thỏa mãn điều
kiện cho trớc; tìm điều kiện để hai phơng trình tơng đơng với nhau; v.v
Thực tiễn s phạm cho thấy, khi đứng trớc những phơng trình và bất phơng trình chứa tham
số, học sinh thờng gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng, đồng thời cũng nhiều khi mắc phải
những sai lầm. Rất nhiều giáo viên có kinh nghiệm đã đúc kết rằng: Những bài toán có tham số
luôn không dễ đối với học sinh và bản thân học sinh sau nhiều lần mắc phải sai lầm thì thờng có
tâm lý e ngại, thậm chí sợ sệt dạng Toán này. Giáo viên nhiều ngời có tâm lý lảng tránh phơng
trình và bất phơng trình chứa tham số trong quá trình dạy, bởi vì nó đòi hỏi những lập luận tơng
đối phức tạp đối với học sinh.
Dạy Toán là dạy kiến thức, kỹ năng, t duy và tính cách (Nguyễn Cảnh Toàn); trong đó dạy
kỹ năng có một vị trí đặc biệt quan trọng, bởi vì nếu không có kỹ năng thì sẽ không phát triển đ-
ợc t duy và cũng không đáp ứng đợc nhu cầu giải quyết vấn đề.
Kỹ năng giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa
tham số là cực kì thiết thực đối với học sinh THPT. Nếu có kỹ năng này thì hiệu quả học tập môn
Toán sẽ đợc nâng cao; ngợc lại, nếu kỹ năng này bị hạn chế thì học sinh sẽ gặp phải rất nhiều khó
khăn trong việc chiếm lĩnh và kiến tạo tri thức Toán học.
Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số
chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển các loại hình t duy toán học. Thông qua những bài toán đó,
học sinh có dịp rèn luyện nhiều hoạt động trí tuệ, ngợc lại bằng hoạt động trí tuệ, học sinh có khả
năng giải quyết những vấn đề này (Đó là hoạt động t duy hàm nhằm phát hiện và nghiên cứu
những sự tơng ứng; hoạt động ngôn ngữ - lôgic; hoạt động phân chia trờng hợp; hoạt động nhận
dạng và thể hiện; v.v ).
Một trong những đặc điểm của chơng trình toán THPT là: Đi sâu nghiên cứu những phơng
trình và bất phơng trình chứa tham số (Còn phơng trình và bất phơng trình không chứa tham số
thì đã bắt đầu đợc học từ bậc THCS). Phần phơng trình và bất phơng trình đợc lặp lại theo chiều
hớng nâng cao và đi sâu vào những vấn đề có chứa tham số. Đối với học sinh khá, giỏi thì các

bài toán chứa tham số lại càng có vai trò quan trọng hơn nữa.
Thực tiễn dạy học Toán ở trờng phổ thông đòi hỏi phải có những công trình nghiên cứu
nhằm đa ra những thủ pháp dạy học, những hớng dẫn s phạm để giúp ngời giáo viên giảng dạy tốt
những kiến thức trong chơng trình, nhất là những kiến thức tơng đối phức tạp nhng giàu tính ứng
dụng và khá điển hình.
Mặc dù có nhiều công trình liên quan đến rèn luyện kỹ năng, nhng cho đến nay vẫn cha có
công trình nào nghiên cứu việc rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan tới phơng trình,
bất phơng trình chứa tham số.
Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm là:
rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình , bất phơng trình
mũ logaritcó chứa tham số .
2. Mục đích nghiên cứu
- 1

Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng
giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số trong dạy học
Đại số và Giải tích ở lớp 11 bậc THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
3.1. Kỹ năng là gì? Cơ chế hình thành kỹ năng là nh thế nào?
3.2. Những tình huống điển hình nào thờng gặp trong quá trình giải quyết những vấn đề liên
quan đến phơng trình và bất phơng trình chứa tham số?
3.3. Trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình
chứa tham số, học sinh thờng gặp những khó khăn và sai lầm nào?
3.4. Những biện pháp s phạm nào đợc sử dụng để rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải quyết
các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số?
3.5. Kết quả của thực nghiệm s phạm là nh thế nào?
4. Phơng pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phơng pháp sau:
Nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm s phạm.

5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất và thực hiện những biện pháp, những hớng dẫn s phạm thích hợp thì sẽ rèn
luyện đợc cho học sinh THPT kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phơng trình và bất ph-
ơng trình chứa tham số, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở lớp 11 trờng phổ thông.
II. Nội dung
- 2

rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến
phơng trình , bất phơng trình
mũ logarit có chứa tham số
1 Biện pháp 1: Giúp học sinh hiểu đúng bản chất, vai trò của tham số trong bài toán
Con ngời không thể suy nghĩ khi cha hiểu đầy đủ, chính xác vấn đề đặt ra. Do vậy, khi
gặp bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số, học sinh không thể tiến hành hoạt
động tìm tòi lời giải một khi họ cha hiểu đúng về tham số. Rất nhiều học sinh e ngại khi tiếp
xúc với bài toán có chứa tham số, trong số đó không ít học sinh không hiểu đợc bản chất, vai trò
của tham số trong bài toán.
Để giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về tham số, trong quá trình giảng dạy
thông qua hoạt động giáo viên cần làm sáng tỏ các vấn đề sau:
1.1. Tham số là gì?
a) Học sinh đã đợc làm quen với thuật ngữ ẩn số ở bậc THCS, còn thuật ngữ tham số ở
đầu cấp THPT mới giới thiệu sẽ không tránh khỏi việc học sinh thấy bỡ ngỡ, khó hiểu khi tiếp
xúc với thuật ngữ này. SGK Đại số 10, Nâng cao, đa ra lời giới thiệu về tham số: Những phơng
trình, trong đó ngoài các ẩn còn có những chữ khác. Các chữ này đợc xem là những số đã biết
gọi là tham số. Với tầm nhận thức của học sinh không tránh khỏi việc họ cảm thấy băn khoăn
khi thấy tham số là một chữ mà chữ lại đợc xem nh số đã biết. Tại sao chữ mà lại xem nh số đã
biết? Số đã biết là những số nào?
Để học sinh hiểu đúng đắn, chính xác thuật ngữ tham số giáo viên cần đa ra hoạt động cụ
thể, nhằm hình thành khái niệm. Chẳng hạn, có thể đa ra một trong những hoạt động sau:
Hoạt động 1a: Một ngời đi xe đạp với vận tốc 10km/h, tính quãng đờng đi đợc trong khoảng
thời gian 30 phút, 60 phút, 90 phút?

Học sinh dễ dàng tính đợc khi dựa vào công thức:
s = v.t = 15.t
t = 30 (p) = 1/2 (h) thì S = 10.1/2 = 5 km
t = 60 (p) = 1 (h) thì S = 10.1 = 10 km
t = 90 (p) = 3/2 (h) thì S = 1.3/2 = 15 km
Nh vậy, khi t thay đổi kéo theo sự thay đổi của S. Ta có thể xem biểu thức: S = 10.t là một
phơng trình ẩn S, khi đó với mỗi giá trị t sẽ cho một nghiệm S của phơng trình. Để đặc trng cho
chuyển động trên trong Toán học ta xét phơng trình:
x = 10.a
Với x là ẩn và a là một số đã biết, tuy nhiên giá trị cụ thể của a là không xác định, bởi a = 1,
a =
2
, , a có thể là một số cụ thể nào đó. Số a trong ph ơng trình trên đợc gọi là tham số.
Hoạt động 1b: Giáo viên đa ra cho học sinh các phơng trình:
log
2
( x
2
x) + 1 = 0
log
2
(x
2
2x) + 1 = 0
log
2
(x
2
4x )+ 1 = 0
Yêu cầu học sinh khái quát hóa dạng phơng trình trên bằng câu hỏi:

H: Các phơng trình trên có điểm nào chung? (đều là phơng trình logarit cùng cơ số 2)
H: Hệ số nào của các phơng trình trên là giống nhau?
H: Đa ra phơng trình tổng quát của phơng trình trên?
Học sinh đa ra phơng trình: log
a
(f(x)) + 1 = 0, ở các phơng trình trên a nhận giá trị: 2, 1.2,
4,
H: Cho vài ví dụ về phơng trình dạng trên? khi đó a nhận giá trị nào?
Vậy a có thể nhận vô số giá trị thuộc tập hợp số thực và khi nghiên cứu phơng trình:
log
a
(f(x)) + 1 = 0.
Ta nói đây là phơng trình ẩn x với tham số a
- 3

H: Nêu kết luận về tham số?
b) Cần nói rõ cho học sinh thấy tham số thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái: k, a, m, , nh -
ng tuyệt đối không đợc giống với ký hiệu ẩn của phơng trình, bất phơng trình. Khi học sinh mới
tiếp xúc với bài toán có chứa tham số, giáo viên cần có câu hỏi nhằm giúp học sinh ghi nhớ và
phân biệt ba thuật ngữ: ẩn số, tham số và nghiệm của phơng trình.
Ví dụ 1: Tìm tất cả giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình:
2
2(x x)
m
log (x m 1) 1
+
+ <
với mọi giá trị của m: 0 < m

4.

Đây là bài toán khá rắc rối và nó phần nào đi ngợc với t duy giải toán thông thờng. Bởi bài
toán yêu cầu tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn với mọi giá trị tham số: 0 < m

4, thông th-
ờng bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi giá trị x. Khi
tiếp xúc bài toán này, sẽ rất nhiều học sinh cảm thấy khó xác định bài toán và thấy lúng túng.
Nh vậy, trớc hết giáo viên cần phải giúp học sinh vợt qua rào cản này.
H: Đâu là ẩn số?
ẩn số là x bởi ta cần tìm giá trị x, thỏa mãn x > 1, nghiệm đúng bất phơng trình.
H: Nghiệm của bất phơng trình cần thỏa mãn điều kiện gì?
Lớn hơn 1 và bất phơng trình khi đó đúng với mọi giá trị m: 0 < m

4.
H: Đâu là tham số trong bài toán? Chỉ ra miền xác định của tham số trong bài toán?
H: Bài toán yêu cầu xác định điều gì?
Tìm nghiệm bất phơng trình thỏa mãn điều kiện nghiệm lớn hơn 1 và đúng với mọi giá trị
m: 0 < m

4.
H: Nêu miền xác định của ẩn số và tham số?
Miền xác định ẩn số là (1; +), miền xác định tham số là nửa đoạn (0;4].
Chính nhờ vào đặc điểm miền xác định tham số và ẩn số ta dễ dàng:
x + m - 1 > 0 và
2
2(x 1)
1
m
+
>
Nên ta thực hiện phép biến đổi:

(1) x + m - 1 <
2
2(x 1)
m
+
mx + m
2
m <
2
2(x x)+
(2)
Bài toán yêu cầu tìm x để bất phơng trình thỏa mãn với mọi m thỏa mãn: 0 < m

4.
Nên ta xem xét bất phơng trình (2) là bất phơng trình bậc 2 ẩn số m và khi đó x thành tham số.
Nh vậy, tùy vào yêu cầu bài toán mà vai trò của ẩn số và tham số có thể đánh tráo, tuy nhiên về
cơ bản thì ta vẫn phải hiểu x là ẩn số, m là tham số.
(2) m
2
+ (x 1)m 2(x
2
+ x) < 0
(m + 2x)(m x 1) < 0
Do xét x > 1 nên ta có nghiệm bất phơng trình trên là:
-2x < m < x + 1
Để bất phơng trình luôn thỏa mãn khi: 0 < m

4 thì:
- 2x 0 < m 4 < x +1
x > 3.

Thông qua ví dụ này ta thấy việc xác định đâu là ẩn số, đâu là tham số, cùng miền xác định
của chúng là điều kiện rất quan trọng. Tuy nhiên vai trò của ẩn số, tham số là không cố định,
cứng nhắc, mà trong hoàn cảnh cụ thể ta có thể đánh tráo nhằm làm cho việc giải quyết bài toán
nên nhẹ nhàng hơn. Trong nhiều bài toán nó còn có ý nghĩa quyết định. Chẳng hạn, bài toán:
Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: - 2x
3
+ (m + 1)x
2
+ 2(1 m)x + m
2
1 = 0 (m là tham
số).
- 4

Nếu giải quyết Bài toán này theo ẩn x là điều rất khó khăn bởi phơng trình trên là phơng
trình bậc 3 mà việc nhẩm nghiệm là khó có thể thực hiện đợc (nếu không muốn nói là không thể).
Nhng nếu biết thay đổi vai trò giữa ẩn và tham số thì bài toán sẽ đơn giản hơn, nếu xét phơng
trình với ẩn m thì nó sẽ là phơng trình bậc hai:
m
2
+ (x
2
2x).m + (-2x
3
+ x
2
+ 2x - 1) = 0 (3)
với = x
4
+ 4x

3
- 8x + 4 = (x
2
+ 2x - 2)
2
Nên bằng phơng pháp tính nghiệm ta phân tích đợc:
(3) (m + x
2
- 1)(m - 2x + 1) = 0
Đến đây bài toán không còn khó khăn phức tạp nữa, bởi điều kiện để phơng trình có
nghiệm trở thành (m + x
2
- 1) = 0 có nghiệm hoặc (m - 2x + 1) = 0 có nghiệm.
Giáo viên cần tận dụng tốt cơ hội trong dạy học Toán để giúp học sinh bản chất, hiểu đúng
và đầy đủ về tham số. Thứ nhất, khi dạy bài toán về phơng trình có chứa tham số có thể yêu cầu
học sinh giải bài toán với những giá trị cụ thể hoặc yêu cầu học sinh cho một ví dụ cụ thể của
tham số và với giá trị đó phơng trình sẽ trở thành thế nào? Khi học sinh thực hiện đợc điều này
giáo viên cần chỉ rõ đây là những trờng hợp cụ thể của tham số, ngoài ra tham số còn có thể có
rất nhiều giá trị thuộc miền xác định của nó.
Hoạt động 2: Cho bất phơng trình:
log
3
x.log
2
x + 2m > log
2
x
m
+ log
3

x
2
Tìm m để tập nghiệm của bất phơng trình chứa khoảng (1, +).
Giáo viên yêu cầu học sinh cho một vài giá trị cụ thể của tham số, khi đó phơng trình sẽ nh
thế nào?
Yêu cầu học sinh giải với một trong những giá trị cụ thể của tham số, chẳng hạn: Hãy giải
với bất phơng trình với m = 1!
Để tránh việc học sinh nhận thức sai khi họ thờng lấy ví dụ giá trị tham số trong tập hợp số
tự nhiên thì giáo viên nên chỉ ra các ví dụ cụ thể: m =
2
; m = -
2
; ; nhắc nhở học sinh tham
số m lấy giá trị trong tập hợp số thực
Ă
nên nó có vô số giá trị.
Để học sinh hiểu hơn về tham số khi tiến hành giải các bài tập giải và biện luận sau khi đa
ra kết luận bài toán, giáo viên nêu ra những giá trị cụ thể của tham số và yêu cầu học sinh nêu kết
luận về phơng trình ngay lập tức (dựa vào kết quả biện luận).
1.2. Giúp học sinh ý thức đợc tác động của tham số đến bài toán
Có thể với giá trị này của tham số phơng trình, bất phơng trình vô nghiệm, với giá trị
kia có vô số nghiệm và cũng có những giá trị cho1 nghiệm, 2 nghiệm, , n nghiệm. Nh vậy tham
số thay đổi có thể kéo theo rất nhiều khả năng về nghiệm của phơng trình, bên cạnh đó cũng cần
cho học sinh thấy rằng có những bài toán dù tham số có thay đổi thì vẫn cho một kết quả về
nghiệm của phơng trình, bất phơng trình.
Giáo viên chỉ ra cho học sinh thấy khi tham số thay đổi thì phơng trình, bất phơng trình luôn có
nghiệm (vô nghiệm) cũng là bình thờng, tuy nhiên cần lu ý học sinh phơng trình luôn có nghiệm
không có nghĩa là nghiệm nh nhau với mọi giá trị tham số. Bên cạnh đó thì có nhiều bài toán, khi
tham số thay đổi thì nó có có thể vô nghiệm, có nghiệm và có vô số nghiệm. Chẳng hạn, nh Ví dụ
sau:

Ví dụ 2: Giải và biện luận phơng trình:

2
x
1
( ) m 1
2
= +
Tiến hành giải bài toán ta thu đợc kết luận:
+) Với m = 0 thì phơng trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn: x = 0.
+) Với m < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
+) Với m > 0 phơng trình có 2 nghiệm x =
2
log (m 1) +
.
- 5

Để giúp học sinh hiểu hơn về sự tác động của tham số đối với bài toán, thì thông qua Ví dụ
2, giáo viên có thể đa ra câu hỏi:
H: Tìm m để phơng trình có nghiệm?
H: Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm
H: Chỉ ra giá trị tham số để phơng trình vô nghiệm?
Sau đó, giáo viên cần phân tích để học sinh thấy rõ đợc sự tác động của tham số đối với ph-
ơng trình. Rõ ràng với m = 0 thì phơng trình có 1 nghiệm x = 0, nhng với m < 0 thì phơng trình
lại vô nghiệm và với m >0 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x =
2
log (m 1) +
.
Khi học sinh ý thức đợc sự tác động của tham số thì họ mới khỏi bỡ ngỡ khi tiếp xúc với

các đề toán chứa tham số. Cùng là một phơng trình có thể đặt ra các yêu cầu nh: tìm điều kiện để
nó có vô số nghiệm, tìm điều kiện để nó vô nghiệm cũng là chuyện hợp lý. Học sinh nắm đợc vai
trò của tham số thì họ sẽ biết cách biện luận phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số và
tránh đợc sai lầm không đáng có. Thông qua bài toán cụ thể, giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy
tham số là số đã biết, nên nghiệm của phơng trình có thể biểu diễn qua tham số. Chẳng hạn, trong
Ví dụ 2, nghiệm của phơng trình khi m > 0 là: x =
2
log (m 1) +
.
2. Biện pháp 2: Hình thành khả năng phát hiện sự tơng ứng để từ đó rèn luyện kĩ
năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
Một phơng pháp rất hay đợc sử dụng nhằm giải các bài toán về phơng trình, bất phơng
trình có chứa tham số, đó là: phơng pháp đặt ẩn phụ. Việc đặt ẩn phụ (khác với ẩn đã cho) nhằm
chuyển bài toán về dạng khác với mong muốn bài toán với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài
toán đã cho. Phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đòi hỏi ngời làm toán phải
quan sát kĩ bài ra, vận dụng các mối liên hệ trong bài toán, huy động kiến thức, kinh nghiệm đã
có. Tuy nhiên, sau khi phát hiện ra cách thức đặt ẩn phụ thì cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phát
hiện ra mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đó chuyển đổi yêu cầu bài toán đối với ẩn
ban đầu sang ẩn phụ. Tìm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cách phát biểu bài toán là khâu quan
trọng trong trong quá trình giải bài toán có tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ, nó quyết
định rất lớn đến sự đúng hay sai của lời giải. Đây cũng là kỹ năng mà học sinh còn yếu và th ờng
hay gặp phải những sai lầm. ở biện pháp này chúng tôi xin đa ra một số cách thức nhằm giúp học
sinh rèn luyện kĩ năng phát hiện các sự tơng ứng và khả năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán.
2.1. Chỉ rõ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
a) Tìm điều kiện cho ẩn phụ là gì?
Với những học sinh hơi yếu thì ngay cả việc trả lời câu hỏi: Tìm điều kiện cho ẩn số phụ là
làm gì? Cũng đã là khó khăn, nên nếu khi họ đã không hiểu hoạt động này thì mọi thứ rao giảng
của giáo viên đều trở nên vô ích. Nh vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần chỉ rõ cho học
sinh thấy: Tìm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tìm miền giá trị của hàm t = (x) (biểu thức đặt
ẩn phụ), với x thuộc miền xác định mà bài toán đã cho. Hay nói nôm na tìm điều kiện ẩn phụ tức

là với giá trị của x, xác định miền giá trị của t. Để giúp học sinh hiểu việc tìm điều kiện ẩn số
phụ, giáo viên có thể đa ra ví dụ đơn giản, chẳng hạn: Tìm miền giá trị của ẩn phụ: t = x
2
; t =
x
; .
b) Giúp học sinh ý thức đợc việc tìm điều kiện cho ẩn phụ
Khi giải phơng trình, bất phơng trình không chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt
điều kiện cho ẩn phụ thật không cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tìm ẩn ban
đầu do đó điều kiện chỉ là bớc đệm giúp loại ẩn phụ không thỏa mãn mà thôi. Học sinh thấy việc
đặt điều kiện có thể bỏ qua, hoặc có thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn:
Ví dụ 10: Giải và biện luận phơng trình:
2 2 2
x x x 3
(3 5) m(3 5) 2
+
+ + =
- 6


2 2
x x
3 5 3 5
( ) m( ) 8
2 2
+
+ =
Đặt ẩn phụ: u =
2
x

(3 5)+
Tới đây học sinh có thể đặt điều kiện cho ẩn phụ và cũng có thể không. Nếu đặt điều kiện
có thể học sinh đặt là:
1. Điều kiện: u > 0 (Tìm thừa điều kiện cho ẩn phụ)
hoặc 2. Điều kiện: u 1 (Tìm đúng điều kiện cho ẩn phụ)
Tiếp tục tiến hành giải, với cách đặt ẩn phụ nh vậy ta thu đợc phơng trình:
u
2
8u + m = 0
(u 4) = 16 m (*)
Nếu m >16 , phơng trình vô nghiệm
Nếu m = 16 , phơng trình có nghiệm u = 4
Từ đây do phải trở về tìm ẩn đã cho là x nên buộc phải giải phơng trình:

2
x
3 5
( ) 4
2
+
=
x=
3 5
( )
2
log 4
+

Nếu m < 16 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt
1

2
u 4 16 m
u 4 16 m
= +
=
Nếu 7 < m < 16 thì cả hai nghiệm đều thoả mãn nên nghiệm của phơng trình là

1;2
3 5
2
3;4
3 5
2
x log (4 16 m)
x log (4 16 m)
+
+
= +
=
Nếu m < 7 thì chỉ có nghiệm là
1
u 4 16 m= +

Vậy phơng trình có 2 nghiệm là
1;2
3 5
2
x log (4 16 m)
+
= +

Nh vậy, nếu không đặt điều kiện cho ẩn phụ u thì bài toán giải không đúng, còn nếu đặt
điều kiện cho ẩn phụ là u 0 thì vẫn dẫn tới loại đợc trờng hợp nghiệm của u không thoả mãn.
Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chính xác thì cũng chỉ giúp phơng trình cố đầy đủ nghiệm. Chính
những bài toán không chứa tham số này làm cho học sinh thờ ơ với bớc đặt điều kiện của ẩn
phụ, họ có thể đặt có thể không, có thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn không ảnh hởng đến
lời giải bài toán và lối suy nghĩ nh vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toán về phơng trình,
bất phơng trình có chứa tham số. Bởi đối với dạng toán là phơng trình, bất phơng trình có chứa
tham số thì điều kiện kiên quyết ảnh hởng đến lời giải chính là điều kiện của ẩn phụ, điều kiện
của ẩn phụ chính là cơ sở cho những lập luận, trong bài toán mới bài toán đối với ẩn phụ. Khi
đặt ẩn phụ đối với bài toán không chứa tham số thì sau khi tìm ra ẩn phụ phải quay lại tìm ẩn ban
đầu nên việc đặt điều kiện cho ẩn phụ không thật quan trọng, còn với bài toán chứa tham số thì
sau khi đặt ẩn phụ yêu cầu bài toán sẽ đợc chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận
trên phơng trình mới (phơng trình đối với ẩn phụ). Do vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận ra
việc đặt điều kiện của ẩn phụ có ảnh hởng rất lớn đến lời giải bài toán. Để góp phần giúp học sinh
ý thức đợc tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thì thông qua Ví dụ 10, giáo viên có
thể đa ra hoạt động sau:
Hoạt động 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm:
- 7


2 2 2
x x x 3
(3 5) m(3 5) 2
+
+ + =
(1)
Bằng phơng pháp đặt ẩn phụ nh trên Ví dụ 10, là: u =
2
x
(3 5)+

. Đợc:
u
2
8u + m = 0 (2)
Đến đây giáo viên đa ra các lời giải tơng ứng với các cách đặt điều kiện, yêu cầu học sinh
tìm ra lời giải đúng.
Lời giải 1: (Không đặt điều kiện tham số)
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm:

' 16 m 0 m 16 =
.
Lời giải 2: u =
2
x
(3 5)+
, điều kiện: u 1.
Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm thỏa mãn u 1.
Để tìm tham số m sao cho phơng trình (2) có
nghiệm thỏa mãn u 1, ta dùng phơng pháp đồ thị:
Đồ thị (C
1
): y = u
2
8u
Đồ thị (C
2
): y = - m
Khi đó nghiệm của phơng trình (2) chính là
giao điểm của 2 đồ thị (C
1

) và (C
2
).
Phơng trình (2) sẽ có nghiệm thỏa mãn
u 1 khi và chỉ khi đồ thị (C
2
) cắt đồ thị (C
1
) ở điểm
nằm về phía phải của đờng thẳng x = 1. Dựa vào đồ
thị ta nhận thấy với m - 16 thì (2) luôn có nghiệm
thoả mãn u 1.
Vậy để phơng trình đã cho có nghiệm thì: m -
16.
Sau khi đa ra 3 lời giải giáo viên có thể đặt câu hỏi nhằm giúp học sinh hoạt động, chẳng
hạn:
H: Nhận xét về kết quả của 3 lời giải?
H: Lời giải nào là đúng đắn và lập luận chính xác?
H: Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toán có chứa tham số?
2.2. Khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
Để giải phơng trình, bất phơng trình nhiều khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t = (x), mối
quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ đợc thể hiện thông qua hàm số . Giáo viên cần giúp học sinh
nhận ra mối tơng quan của t và x, tức là trả lời câu hỏi: với giá trị t bất kỳ thì sẽ có bao nhiêu giá
trị x tơng ứng? Với giá trị x bất kỳ thuộc miền xác định của bài toán, thì tồn tại một giá trị t, tuy
nhiên vấn đề mà ta cần quan tâm lại là vấn đề ngợc lại.
Trớc hết, giáo viên cần hớng dẫn học sinh nhận ra với giá trị nào của ẩn phụ t thì tồn tại giá
trị x tơng ứng, điều này giống nh bài toán tìm điều kiện tham số t để phơng trình t = (x) có
nghiệm. Học sinh cần trả lời đợc câu hỏi: Với những giá trị nào của t để phơng trình t = (x) tồn
tại x? Với những cả giá trị nào của t thì t = (x) sẽ không tồn x? Thực chất chỉ cần tìm câu trả lời
đợc một trong hai câu hỏi và phủ định lại đáp án đó thì đợc đáp án cho câu hỏi còn lại. Khi đặt ẩn

phụ thì có thể với mọi giá trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn nh phép đặt ẩn phụ:
+) t = 2
1/x
; t = (1/2)
1/x
;
+) t = log
a
x;
Tuy nhiên, cần lu ý học sinh bởi điều này không phải bao giờ cũng đúng, chẳng hạn phép
đặt ẩn phụ: t =
+
2
x
2 1
. Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t > 1, do đó với
- 8
x
y
8
-16
0
2
4

những giá trị 1<t <
2
thì sẽ không tồn tại giá trị x tơng ứng. Tuy nhiên, kết luận trên vẫn cha
đầy đủ, bởi nó cha xác định hết những giá trị của t để không tồn tại x tơng ứng. Cần nhắc nhở học
sinh biết xem xét biểu thức trong dấu căn, chứ không nên suy luận đơn giản là: t =

+
2
x
2 1

2
, nên với giá trị t
2
thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. ở đây học sinh có thể đánh giá:

+
2
x
2 1
2
+
2
x
2 1

2
.
Nên t
2
, vậy với giá trị t
2
thì sẽ tồn tại giá trị x tơng ứng. Do vậy, ngoài việc xem
xét phép toán, cần xem xét biểu thức trong phép toán:

=

f (x)
2 t
;
=
a
log f(x) t
;
Với những phép đặt ẩn phụ trên ta cha đợc khẳng định với t 0 thì sẽ tồn tại x, điều này rất
có thể dẫn đến sai lầm. Để tìm miền xác định của t cần phải xem xét đến miền xác định của f(x).
Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong các giá trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t =
(x), thì ứng với một giá trị t cụ thể bất kỳ nào đó có bao nhiêu giá trị x. Sự t ơng ứng giữa t và x
là rất quan trọng trong những bài toán yêu cầu tìm giá trị tham số để phơng trình có số nghiệm
xác định. Với phép đặt ẩn phụ t = (x), nếu là hàm đơn điệu thì trong miền giá trị của t sự tơng
ứng sẽ là 1 1.
Chẳng hạn, phép đặt ẩn phụ:
t =
+
2
x 1
2
x
2
+ 1 = log
2
t
0
x
2
= log
2

t
0
1
+) Với t
0
= 2 thì sẽ tồn tại 1 giá trị x tơng ứng là x = 0
+) Với t
0
> 2 thì sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng là:

=
2 0
x log t - 1
Vậy với mỗi t
0
> 2 sẽ tồn tại 2 giá trị x tơng ứng.
Giáo viên cần nhắc nhở học sinh suy xét kĩ càng mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu.
Bởi mối quan hệ này khá phức tạp và phong phú, nếu xem xét không kỹ càng có thể dẫn đến sai
lầm không đáng có. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ
giúp học sinh lập luận chính xác và có thể ứng phó linh hoạt khi yêu cầu của bài toán thay đổi.
Để xác định sâu mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thì trong giảng dạy giáo viên
không chỉ nên dừng lại ở yêu cầu của bài toán mà còn có thể đặt ra các yêu cầu khác nhau, nhằm
giúp học sinh phản ứng tốt trớc các kiểu bài toán và giúp họ hiểu chắc chắn về mối tơng quan
giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ.
Trong ví dụ này ta phân tích, diễn giải cách thức nhằm giúp học sinh phát hiện ra điều kiện
ẩn phụ, cũng nh mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. ở đây ta thấy, không phải mọi giá trị
của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giá trị ẩn phụ thoã mãn t
2

thì mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tơng ứng. Tuy nhiên, nếu bài toán chỉ dừng lại ở đây thì

giáo viên cha hoàn thành đợc nhiệm vụ khắc sâu mối tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để
giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn sự tơng quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giáo viên có thể thay đổi
yêu cầu bài toán, rồi yêu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giáo viên có thể đa ra
hoạt động sau:
Với sự suy xét và lập luận trên nếu giáo viên có sự hỗ trợ đúng mực làm sao cho học sinh là
chủ thể hoạt động thì chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rõ hơn mối tơng quan giữa ẩn phụ và
ẩn ban đầu. Từ đó hình thành kĩ năng giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa
tham số bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ.
2.3. Rèn luyện cho học sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán
- 9

Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học đòi hỏi sự ngắn gọn, chính xác và dễ hiểu.
Học sinh vẫn thờng yếu kém trong việc diễn đạt ngôn ngữ toán học, nên việc rèn luyện cho học
sinh khả năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán là hết sức quan trọng.
Khi tiến hành chuyển đổi ngôn ngữ bài toán thì yêu cầu lập luận phải có căn cứ đồng
thời đảm bảo tính chặt chẽ, chính xác. Giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số bằng
phơng pháp đặt ẩn số phụ thì việc chuyển đổi yêu cầu bài toán sang yêu cầu đối với ẩn phụ là
không thể tránh khỏi. Để rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh, giáo viên cần tiến
hành phân tích, mổ xẻ vấn đề trớc khi đa ra lập luận chuyển đổi.
Ví dụ 12: Cho phơng trình:

+ + =
tgx tgx
(3 2 2) (3 2 2) m
Tìm m để phơng trình có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2)
Để giải phơng trình ta dùng phơng pháp đặt ẩn số phụ:
t =
+
tgx
(3 2 2)

, thì: t > 0
Do :
+ =
tgx tgx
(3 2 2) .(3 2 2) 1
. Nên:
=
tgx
1
(3 2 2)
t
Phơng trình trở thành :
t +
1
t
= m t
2
mt + 1 = 0 (2)
Yêu cầu bài toán đối với phơng trình (1) là có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2;
/2). Giáo viên cần có câu hỏi dẫn dắt nhằm để học sinh tự phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài
toán.
H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2) thì điều kiện cần trớc hết là
gì?
Phơng trình (2) chắc chắn phải có nghiệm
H: Phơng trình (2) có nghiệm t
0
thì kết luận đợc gì về nghiệm của phơng trình (1)?
Nếu phơng trình (2) có nghiệm t
0
thì t

0
=
+
tgx
(3 2 2)
+) Sẽ vô nghiệm x nếu t
0
0.
+) Sẽ có đúng 1 nghiệm x nếu t
0
> 0.
H: Với mỗi nghiệm t
0
> 0 của phơng trình (2) thì sẽ có bao nhiêu nghiệm x tơng ứng?
t
0
=
+
tgx
(3 2 2)

+
= =
0
3 2 2
tgx log t tg
x = + k (k
Â
)
Vậy sẽ có vô số nghiệm x.

H: Bài toán yêu cầu tìm nghiệm x xác định ở đâu?
Nghiệm x thuộc khoảng (- /2; /2)
H: Với khoảng xác định (- /2; /2), thì ứng với một nghiệm t
0
> 0 của phơng trình (2) sẽ có bao
nhiêu nghiệm x tơng ứng?
Với khoảng xác định (- /2; /2) thì với mỗi giá trị tgx sẽ cho 1 nghiệm x nên: t
0
=
+
tgx
(3 2 2)

+
=
0
3 2 2
tgx log t
sẽ có sự tơng ứng 1-1 giữa t
0
và x. Vậy với mỗi giá trị t
0
>
0 sẽ có 1 giá trị x tơng ứng thuộc khoảng (- /2; /2)
H: Để phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc (- /2; /2) thì phơng trình (2) phải nh thế nào?
Phơng trình (2) phải có đúng 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn t > 0.
H: Phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán?
Phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng (- /2; /2) khi và chỉ khi phơng trình (2)
có 2 nghiệm phân t
1

, t
2
thỏa mãn: 0 < t
1
< t
2
.
- 10

Nh vậy để phát biểu đợc yêu cầu chuyển đổi bài toán thì một yêu cầu hết sức quan trọng là:
học sinh phải ý thức đầy đủ đợc mối tơng quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ. ở Ví dụ 12, ta thấy sự
tơng tơng ứng là 1- 1 nên sự chuyển đổi bài toán là khá dễ dàng, tất nhiên có nhiều bài toán có sự
tơng ứng phức tạp thì đòi hỏi khả năng lập luận, suy luận lôgic nhiều hơn. Cũng là Ví dụ 12 nếu
thay yêu cầu bài toán thành: tìm m để phơng trình vô nghiệm, thì phơng pháp lập luận của học
sinh cần có sự thay đổi. Phơng trình (1) vô nghiệm trớc hết là khi (2) không tồn tại t và nếu có
tồn tại t thì các nghiệm t đó đều phải âm. Lập luận chuyển đổi yêu cầu bài toán là rất quan trọng
nó quyết định đến sự đúng sai của lời giải và nói chung nhiều khi việc chuyển đổi yêu cầu là khá
phức tạp bởi nó có nhiều khả năng. Giáo viên cần giáo dục cho học sinh thói quen xem xét kĩ l-
ỡng, cẩn thận trớc khi đa ra phát biểu chuyển đổi yêu cầu bài toán.
3. Biện pháp 3: Trang bị kiến thức về các phép biến đổi tơng đơng cho học
sinh, giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập nghiệm trong quá trình biến đổi
3.1. Giúp học sinh hiểu và sử dụng đúng các phép biến đổi cơ bản thờng dùng trong dạy
học phơng trình, bất phơng trình
Hai phơng trình (cùng ẩn) đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm. Trong thực
tế khi giải phơng trình, bất phơng trình ta gặp khái niệm hai phơng trình tơng đơng trên D, điều
này đồng nghĩa với việc nghiệm của phơng trình chỉ xét trên D mà thôi. Chẳng hạn, hai phơng
trình: x
2
= 4 và x = 2 là tơng đơng với nhau trên miền D = [0; +).
Để xác định xem 2 phơng trình có tơng đơng với nhau hay không ta cần dựa vào định nghĩa

để xem xét tập hợp nghiệm của chúng. Cần lu ý học sinh rằng định lý 1 về phép biến đổi tơng đ-
ơng trong SGK Đại số 10, Nâng cao: Cho phơng trình f(x) = g(x) có tập xác định là D; y = h(x)
là một hàm số xác định trên D( h(x) có thể là một hằng số). Khi đó trên D, phơng trình đã cho t-
ơng đơng với mỗi phơng trình sau:
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
2) f(x).h(x) = g(x).h(x) nếu h(x)

0 với mọi x

D.
Chỉ là điều kiện đủ để 2 phơng trình tơng đơng mà không phải là điều kiện cần. Giáo viên
cần chỉ rõ cho học sinh thấy, có thể h(x) có tập xác định khác D, nhng 2 phơng trình vẫn tơng đ-
ơng, chẳng hạn: Hai phơng trình x = 1 và
+ = +

1 1
x 1
x 2 x 2
là tơng đơng với nhau trên
Ă
, mặc dầu h(x) =
2
1
x
không xác định trên tại x = 2
Ă
. Tuy nhiên, hai phơng trình: x
= 1 và
1 1
x 1

x 1 x 1
+ = +

là không tơng đơng với nhau. Có thể nói rằng, nếu ta thay thế
điều kiện h(x) xác định trên D bởi h(x) xác định tại mọi nghiệm của phơng trình f(x) = g(x) thì
khi đó Định lý 1 trong SGK Đại số 10, Nâng cao, sẽ biến thành mệnh đề tơng đơng. Tuy nhiên,
mệnh đề này không có ứng dụng trong thực tế, bởi chúng ta cha thể xác định đợc các giá trị
nghiệm của phơng trình f(x) = g(x), để có thể kiểm tra h(x) có xác định với các giá trị nghiệm đó
hay không.
Ngoài phép biến đổi tơng đơng SGK Đại số 10, Nâng cao, còn đa ra khái niệm phơng trình
hệ quả và đa ra định lý về phép biến đổi bình phơng hai vế của phơng trình nh sau:f
1
(x) = g
1
(x)
gọi là phơng trình hệ quả của phơng trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của
phơng trình f(x) = g(x) v Khi bình phơng hai vế của một phơng trình, ta đợc phơng trình hệ
quả của phơng trình đã cho: f(x) = g(x)

[f(x)]
2
= [g(x)]
2
.
Đối với bài toán về phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép
biến đổi phơng trình hệ quả. Nên cần lu ý học sinh điều kiện có thể thực hiện phép bình phơng
hai vế, để thu đợc phơng trình tơng đơng.
- 11

Trong phép biến đổi nhằm giải phơng trình, có những phép biến đổi dẫn tới phơng trình hệ

quả, tuy nhiên đây là điều không dễ nhận ra đối với học sinh. Giáo viên cần đa ra ví dụ cụ thể về
phép biến đổi thu đợc phơng trình hệ quả, để rồi khắc sâu cho học sinh nhằm tránh sai lầm tơng
tự trong khi thực hiện phép biến đổi đa đến phơng trình hệ quả mà học sinh không nhận ra và gặp
phải sai lầm khi nghĩ đó là phép biến đổi tơng đơng.
Khi giảng dạy về bất phơng trình giáo viên cần lu ý học sinh không có thuật ngữ bất phơng
trình này là hệ quả của bất phơng trình kia, bởi SGK Đại số 10, Nâng cao, không đa ra khái niệm
bất phơng trình hệ quả. Để tránh nhầm lẫn với kiến thức về phơng trình giáo viên cần lu ý học
sinh:
Nếu không có điều kiện gì đối với f(x) và g(x) thì không thể nói rằng f(x) < g(x) tơng đơng
trên D (D là tập xác định của bất phơng trình f(x) < g(x)) với [f(x)]
2
< [g(x)]
2
, thậm chí trong
các tập nghiệm của bất phơng trình không chắc chắn tập nghiệm nào là con của tập nào.
- 12

3.2. H×nh thµnh kÜ n¨ng biÕn ®æi ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh
- 13 –

Học sinh nhiều khi biến đổi phơng trình cũng chỉ dựa trên cơ sở cảm tính mà không ý thức
đầy đủ về phép biến đổi đó. Do vậy, để hạn chế sai lầm của học sinh giáo viên có thể đa ra những
phép biến đổi cơ bản, với điều kiện thực hiện nhằm hạn chế sai lầm của học sinh:
Giáo viên không thể lấy ví dụ để minh họa cho việc sử dụng tất cả các đồng nhất thức
trên nhng có thể chỉ ra một vài ví dụ về việc biến đổi phơng trình, bất phơng trình sử dụng các
đồng nhất thức này. Để từ đó giúp học sinh ý thức đợc việc biến đổi, nhằm tránh đợc sai lầm
trong quá trình giải toán sau này.
Trong quá trình giải toán có lúc chúng ta cần tách
A.B
thành

A. B
, tuy nhiên nếu
thay nh vậy thì tập xác định của bài toán sẽ bị thu hẹp và có thể sẽ làm mất nghiệm.
A.B
xác
định khi A.B > 0 tức là A > 0; B > 0 hoặc A < 0; B < 0 còn nếu thay thế
A.B
bởi
A. B
thì
khi đó tập xác định sẽ là A > 0; B > 0, vô tình làm mất đi trờng hợp A < 0; B < 0.
- 14
Đồng nhất thức
2
( A) A=
A. B A.B=
A A
B
B
=
2
A. B A B=
2
A. B A B=
A
B. AB
B
=
A
B. AB

B
=
log
a
f(x).g(x) = log
a
f(x) + log
a
g(x)
=
a a a
f(x)
log log f(x) log g(x)
g(x)
log
a
f
2k
(x) = 2k log
a
f(x)
log
a
f(x).g(x) = log
a
[-f(x)] + log
a
[-g(x)]
=
a a a

f(x)
log log [-f(x)] log [-g(x)]
g(x)
log
a
f
2k
(x) = 2k log
a
[-f(x)]
Điều kiện
A 0
A 0 và B 0
A 0 và B > 0

A 0 và B 0

A 0 và B 0
A 0 và B > 0
A 0 và B > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0

Ví dụ 16: Giải và biện luận phơng trình:

+ =

2 2
x 5
log log (3 x) m
x 3
(1)
H ớng dẫn lời giải:
H: Tìm điều kiện xác định của phơng trình?


>




>

x 5
0
x 3
3 x 0
x < 3
H: Hãy quan sát phơng trình và thực hiện phép biến đổi?
(1) log
2
(x 5) log
2
(x 3) + log
2

(3 - x) = m.
H: Có thể biến đổi để làm phơng trình đơn giản hơn đợc không?
Có sự giống nhau log
2
(x 3) và log
2
(3 - x) thử biến đổi xem chúng có triệt tiêu không:
- log
2
(x - 3) = - [log
2
(-1).(3 - x)]
Mâu thuẫn
H: Đúng rồi! Hãy xem xét lại sự tồn tại log
2
(x 3) và log
2
(3 - x)?
Để xác định thì:
>


<

x 3 0
3 x 0
Không tồn tại giá trị x.
H: Nh vậy phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện xác định phơng trình thay đổi! Hãy xem xét
lại phép biến đổi?

=

2 2 2
x 5
log log (x 5) log (x 3)
x 3
Điều này đúng theo nội dung định lí!
H: Nó chỉ đúng khi nào theo định lý?
Khi x - 5 > 0 và x 3 > 0
H: ở đây đã đảm bảo điều đó cha? Hãy xem xét!
Với x < 3 thì x - 5 < 0 và x - 3 < 0
H: Hãy thực hiện phép biến đổi?

=

2 2 2
x 5
log log (5 x) log (3 x)
x 3
H: Tiếp tục giải phơng trình!
(1) log
2
(5 x) log
2
(3 x) + log
2
(3 - x) = m.
log
2

(5 x) = m
5 x = 2
m
x = 5 2
m
H: Đây có phải là nghiện của phơng trình hay không?
Cha, bởi nghiệm của phơng trình còn phải thỏa mãn điều kiện: x < 3.
H: Hãy biện luận theo m nghiệm của phơng trình?
x = 5 2
m
< 3 2
m
> 2 m > 1 .
Kết luận:
+) Với m > 1 thì phơng trình có nghiệm là: x = 5 2
m
.
+) Với m 1 thì phơng trình đã cho vô nghiệm.
Thông qua Ví dụ 16, giáo viên cần giáo dục cho học sinh ý thức thận trọng, cẩn thận trong
phép biến đổi. Những sai lầm nh trên cũng là dễ hiểu bởi học sinh thờng vận dụng định lý, phép
biến đổi một cách máy móc mà không chú ý đến điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi ấy.
- 15

Ngoài các phép biến đổi đồng nhất thức nh trên, giáo viên cần hình thành kĩ năng giải ph-
ơng trình, bất phơng trình vô tỷ bằng biến đổi tơng đơng. Đối với các phép biến đổi tơng đơng để
giải các phơng trình, bất phơng trình vô tỷ cơ bản nh:
=f(x) g(x)
;
=f(x) g(x)
;

>f(x) g(x)
;
>f(x) g(x)
;
<f(x) g(x)
;
(trong đó f(x), g(x) là các hàm số)
Thì cần truyền thụ sao cho học sinh hiểu đợc bản chất của các phép biến đổi đó. Cần tránh
lối truyền thụ áp đặt, máy móc rồi yêu cầu học sinh vận dụng vào thực hành giải toán, làm nh vậy
học sinh sẽ nhớ không chính xác phép biến đổi, thậm chí không nhớ chỉ sau một thời gian ngắn.
Cơ sở của các phép biến đổi này chính là các bất đẳng thức số, để học sinh xâu chuỗi kiến thức,
nắm chắc bản chất vấn đề giáo viên có thể đa ra hoạt động sau:
3.3. Giúp học sinh ý thức đợc diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phơng
trình
Thực tiễn s phạm chỉ ra, không ít học sinh khi giải phơng trình thờng dùng phơng pháp biến
đổi dẫn phơng trình ban đầu tới phơng trình đơn giản hơn, mà quên mất rằng mọi sự giản lợc đó
đều có thể có vấn đề. Trong thực tế, không phải mọi phép biến đổi đều bảo toàn, tức là không
làm thay đổi tập hợp nghiệm của phơng trình ban đầu. Nó có thể thu hẹp tập hợp nghiệm (tức là
làm mất nghiệm), hoặc mở rộng tập hợp nghiệm (tức là làm xuất hiện hiện nghiệm ngoại lai).
Giáo viên cần có sự hớng dẫn, rèn luyện nhằm giúp học sinh có ý thức trong việc biến đổi, để từ
đó nhận biết đợc diễn biến của tập nghiệm. Khi học sinh hiểu đợc diễn biến của tập nghiệm, thì
cần đề ra cho họ phơng pháp tìm đúng và đầy đủ tất cả các nghiệm của phơng trình đã cho. Sự
thay đổi của tập nghiệm là hoàn toàn phụ thuộc vào phép biến đổi, do vậy giáo viên cần giáo dục
học sinh khả năng ý thức diễn biến tập nghiệm thông qua việc dạy các phép biến đổi.
Với phép biến đổi tơng đơng thì tập nghiệm của phơng trình là không thay đổi. Do đó,
nghiệm của phơng trình cuối cùng là nghiệm của phơng trình ban đầu. Nh vậy học sinh cần phải
ý thức đợc rằng 2 phơng trình tơng đơng có cùng tập nghiệm, kể cả trờng hợp đó là tập rỗng.
Nh vậy, nếu trong quá trình biến đổi học sinh sử dụng phép biến đổi phơng trình hệ quả, thì
có thể sẽ làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. Do vậy, trong quá trình giải phơng trình việc ý thức đợc
phép biến đổi và diễn biến tập nghiệm là điều quan trọng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh nếu

biến đổi mà thu đợc phơng trình hệ quả thì sau khi tìm ra nghiệm phơng trình cuối cùng thì cần
phải thử lại để loại các nghiệm ngoại lai.
4. Biện pháp 4: Hình thành khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải phơng
trình và bất phơng trình có chứa tham số
Trong quá trình giải toán thì khả năng nhận dạng, định hớng phơng pháp giải là điều hết sức
quan trọng. Đây chính là khâu đầu tiên của quá trình t duy tìm lời giải bài toán, nếu bế tắc ở giai
đoạn này thì chắc chắn sẽ không có lời giải đa ra (kể cả là lời giải sai lầm), hay có thể nói học
sinh đã đầu hàng. Tất nhiên, không thể đa ra sự định hớng cho lời giải của mọi bài toán nhng
có thể rèn luyện khả năng này thông qua quá trình tìm tòi, phát hiện lời giải bài toán. Bài tập toán
vô cùng đa dang, phong phú, mỗi bài đều có bản sắc riêng, nhng đối với một dạng toán nào đó thì
phơng pháp giải là không nhiều và có thể kể tên các phơng pháp đó. Đối với dạng toán phơng
trình và bất phơng trình có chứa tham số ở trờng THPT, có thể kể tên một số phơng pháp thờng
dùng để giải nh sau:
+) Phơng pháp biến đổi tơng đơng.
+) Phơng pháp đặt ẩn số phụ.
+) Phơng pháp hàm số.
+) Phơng pháp lợng giác hóa.
+) Phơng pháp đồ thị.
+) Phơng pháp sử dụng điều kiện cần và đủ.
- 16

Phơng pháp giải tuy không nhiều, nhng khi đứng trớc một bài toán để định hớng đợc phơng
pháp giải là điều không đơn giản, bởi phơng pháp giải luôn đợc che giấu bởi những con số, công
thức và những mối liên hệ đợc giấu đi. Trong khi tìm lời giải thì việc định hớng phơng pháp giải
cần phải tự nhiên, hợp lôgic, tránh việc truyền thụ áp đặt, nhồi nhét.
5.1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phơng pháp
Khi tiếp xúc với một chủ đề toán học, thì việc hình thành cái nhìn tổng quan về nội dung
đó là hết sức quan trọng. Chỉ khi có tổng quan về các phơng pháp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và có
khả năng ứng phó khi đứng trớc những bài toán khác nhau. Trong t duy con ngời, thì khả năng
bắt chớc cũng là quan trọng, tất nhiên không phải là bắt chớc theo dạng photocopy, mà chỉ bắt

chớc về mặt đờng lối và phơng pháp làm việc mà thôi. Đối với học sinh trình độ đại trà thì việc
phát hiện ra một phơng pháp giải mới (chỉ mới đối với học sinh) cũng là điều rất khó. Vì những
lý do trên khi bắt đầu tiếp xúc với dạng toán mới, giáo viên cần cung cấp đầy đủ cho học sinh
những phơng pháp giải cơ bản, đồng thời nêu lên những dạng toán điển hình.
Các phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số đợc đa ra ở trên thì hầu
hết học sinh đã đợc làm quen khi học về nội dung phơng trình, bất phơng trình không chứa tham
số. Nh vậy, học sinh hầu nh đã định hình đợc về các phơng pháp đó, duy chỉ có phơng pháp sử
dụng điều kiện cần và đủ là học sinh cha đợc làm quen. ở đây, xin đa ra cách giới thiệu phơng
pháp giải sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phơng trình, bất phơng trình có chứa tham số. Giáo
viên có thể đa ra một ví dụ về bài toán giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ, chẳng hạn:
Ví dụ 18: Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

+ + =
3 2
log ( 4 x x 5) a
(1)
H ớng dẫn học sinh tìm lời giải:
H: Hãy vận dụng các phơng pháp đã biết để giải bài toán?
Biến đổi tơng đơng (1)
+ + =
a
4 x x 5 (3 2)
, đây là phơng trình vừa chứa hàm
mũ vừa chứa căn thức,
Giáo viên: Sử dụng các phơng pháp khác vào việc giải bài toán này là tơng đối khó khăn,
nếu không muốn nói là bế tắc. ở đây, ta sử dụng phơng pháp giải mới là phơng pháp điều kiện
cần và đủ. Trớc hết ta sẽ đi tìm điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất và sau đó là
kiểm tra xem điều kiện cần đó có đủ để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm duy nhất hay
không, nh vậy:
Điều kiện cần: Dựa vào tính duy nhất nghiệm suy ra nghiệm của phơng trình, bất phơng

trình thỏa mãn tính chất nào đó, dựa vào tính chất này suy ra các giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Kiểm tra các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cần có thỏa mãn yêu
cầu phơng trình có nghiệm duy nhất hay không.
Cơ sở suy luận lôgic của phơng pháp này là: A B và kiểm tra xem B A có đúng
hay không?
H: Giả sử phơng trình (1) có nghiệm là x
0
, từ nghiệm x
0
này liệu có thể suy ra một nghiệm khác
nữa hay không?
.
H: Hãy suy nghĩ bài toán đơn giản hơn: Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình: x
2
m = 0, hãy
chỉ ra một nghiệm khác x
0
của phơng trình ?!
- x
0
cũng là một nghiệm của phơng trình trên bởi (- x
0
)
2
m = x
0
2
m = 0

H: Đúng rồi! Nh vậy nếu phơng trình (1) có nghiệm thứ 2 là x thì nó phải thỏa mãn điều gì?

+ + = + +
0 0
4 x x 5 4 x' x' 5
H: Hãy chỉ ra các trờng hợp cụ thể để đẳng thức trên đúng?

=
0
4 x 4 x'
và
+ = +
0
x 5 x' 5
(2)
- 17

hoặc
= +
0
4 x x' 5
và
+ =
0
x 5 4 x'
(3)
H: Hãy tìm tơng quan giữa x
0
và x trong các khả năng (2), (3)?
+) Từ đẳng thức (2) suy ra: x

0
= x, nên nghiệm x vẫn trùng x
0
+) Từ (3) suy ra:
= +


+ =

0
0
4 x x' 5
x 5 4 x'

=


=

0
0
x' 1 x
x' 1 x

( với x
0
là nghiệm nên: - 5 x
0
4)
x = - 1 x

0
H: Chỉ ra nghiệm thứ 2 của phơng trình khác với x
0
(không đồng nhất bằng x
0
)?
Đó là: x = - 1 x
o
.
H: Để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là gì?
Điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất là : x = x
0
x
0
= - 1 x
0
x
0
= - 1/2
H: Điều này có nghĩa là gì?
Nếu phơng trình (1) có một nghiệm là x
0
, khi đó để phơng trình (1) có nghiệm duy nhất thì
x
0
= - 1/2.
H: Khi nào phơng trình (1) có nghiệm x
0
= - 1/2?
(1) có nghiệm x

0
= - 1/2 nên ta có :
+ + + =
3 2
1 1
log ( 4 5) a
2 2
a = 1
H: Nêu kết luận về điều kiện cần của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất?
a = 1 là điều kiện cần để phơng trình có nghiệm duy nhất.
H: Bớc tiếp theo ta cần làm gì?
Sang điều kiện đủ: Tức là đi kiểm tra xem với a = 1 thì phơng trình có đúng là có nghiệm
duy nhất hay không! (tới đây học sinh dễ dàng giải phơng trình:
+ + =
3 2
log ( 4 x x 5) 1
,
tìm ra nghiệm duy nhất là: x = - 1/2)
H: Nêu kết luận bài toán?
Vậy với a = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất.
Sau khi hoàn thành Ví dụ này, giáo viên cần khẳng định hiệu quả của phơng pháp khi giải
bài toán tìm điều kiện để phơng trình, bất phơng trình có nghiệm duy nhất. Cụ thể với bài toán
trong Ví dụ 18, nếu giải bằng phơng pháp khác là rất khó khăn trong khi nếu giải bằng phơng
pháp sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ sẽ rất thuận lợi, dễ dàng.
5.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán để từ đó định hình phơng
pháp giải
Bài giảng của giáo viên nếu chỉ dừng lại ở việc đa ra lời giải, thì giáo viên ấy chỉ làm đợc
việc là tái hiện những gì viết trong sách vở. Nhiệm vụ của ngời giáo viên cần làm là thông qua
hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả năng t duy cho học sinh, để từ đó giúp học sinh có khả
năng thích ứng khi đứng trớc một vấn đề cần giải quyết. Giáo viên cần làm sao cho lời giải bài

toán đến với học sinh nh là một quá trình suy luận, t duy của học sinh, bởi dạy học có nghĩa là
dạy cho học sinh cách suy nghĩ.
Đứng trớc một bài toán các phơng pháp giải thì đã biết, tuy nhiên lựa chọn phơng pháp gì
thì phụ thuộc hoàn toàn vào đặc điểm của bài toán. Mà mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có
thể đợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, suy luận và thử sai (lựa chọn phơng pháp phù
hợp thông qua quá trình thử các phơng pháp). Nh vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi
trong vai trò của việc phân tích đặc điểm bài toán, để minh họa việc phân tích đặc điểm bài toán
ta xem xét Ví dụ sau:
- 18

6. Kết luận
Để xây dựng các Biện pháp s phạm nhằm khắc phục những trở ngại, khó khăn, sai lầm mà
học sinh thờng gặp phải trong quá trình học nội dung phơng trình, bất phơng trình. Biện pháp s
phạm phù hợp với học sinh ở nhiều trình độ khác nhau, nó có thể giúp học sinh hiểu hơn các vấn
đề về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. Đồng thời, vạch ra phơng hớng nhằm tìm
ra lời giải một số dạng toán về phơng trình và bất phơng trình có chứa tham số. Các Biện pháp s
phạm xây dựng dựa trên quan điểm phơng pháp dạy học mới, đó là: lấy học sinh làm trung tâm,
giáo viên chỉ là ngời tổ chức, điều khiển học sinh chiếm lĩnh tri thức. Các Biện pháp này có thể
vận dụng linh hoạt trong từng nội dung dạy học và nếu vận dụng tốt chắc chắn sẽ phát huy tác
dụng. Các ví dụ, hoạt động tuy không nhiều nhng nó phần nào minh họa đợc cách thức để hình
thành kĩ năng cho học sinh, đồng thời thể hiện đợc phơng pháp dạy học tích cực.
III . Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi
và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề
liên quan đến phơng trình, bất phơng trình chứa tham số; kiểm nghiệm tính đúng
đắn của Giả thuyết khoa học.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
- 19

3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm s phạm đợc tiến hành tại trờng THPT bán công số I Hà trung
Thanh hoá
+) Lớp thực nghiệm : 11B1
+) Lớp đối chứng : 11B10
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
Thực nghiệm đợc tiến hành trong bài Phơng trình và bất phơng trình bậc hai (từ
tiết 86 và tiết 87). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm
tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 90 phút)
Câu I: Giải và biện luận theo tham số bất phơng trình
log
3
x + log
x
3 +2cos 0
( Đề 109 câu I
2
- Đề thi tuyển sinh )
Câu II: Với giá trị nào của m thì phơng trình
1
1
3 2
2
x
m

=
có nghiệm duy nhất ?
( Đề 49 Câu III

1
- Đề thi tuyển sinh )
Câu III: Giải và biện luận theo tham số m bất phơng trình
1
log 100 log 100 0
2
x m
>
(Đề 80 Câu II
1
- Đề thi tuyển sinh)
Việc ra đề nh trên hàm chứa những dụng ý s phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành
cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin đợc phân
tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lợng làm bài của học sinh.
Đề kiểm tra nh trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học
sinh. Có thể nói với mức độ đề nh trên thì sẽ phân hóa đợc trình độ của học sinh,
- 20

đồng thời cũng đa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức
của học sinh. Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu
là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã đợc học về phơng trình và bất
phơng trình bậc hai.
Kết quả :
TT Lớp Số bài
Điểm dới TB
Điểm TB Điểm khá Điểm giỏi
SL % SL % SL % SL %
1 11B1 58 12 20.6 25 43.1 15 25.9 6 10.4
2 11B10 54 17 31.4 28 51.9 7 12.9 2 3.8
Nhận xét :

-) ở lớp thực nghiệm : tỉ lệ học sinh có điểm TB và dới TB thấp hơn ở lớp đối chứng
,tỉ lệ khá và giỏi cao hơn .
-) ở lớp đối chứng : Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dới TB cao hơn ở lớp thực
nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội , tiếp thu và vận dụng kiến
thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán chứa tham số tốt hơn so
với đối chứng
- 21

IV.Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu đợc một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải đợc khái niệm kĩ năng và sự hình
thành kĩ năng.
2. Thống kê đợc một số dạng toán điển hình liên quan đến phơng trình và bất
phơng trình mũ logarit có chứa tham số.
3. Chỉ ra một số sai lầm thờng gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các
vấn đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham
số.
4. Xây dựng một số biện pháp s phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn
đề liên quan đến phơng trình và bất phơng trình mũ logarit có chứa tham số.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hớng dạy học tích
cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm s phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của
những biện pháp s phạm đợc đề xuất.
Nh vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã đợc thực hiện, nhiệm
vụ nghiên cứu đã đợc hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận đợc.
H trung 20/04/ 2007
ngi thc hin
nguyn vn trung
- 22

Tài liệu tham khảo
1. Phan Đức Chính, Vũ Dơng Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2003), Các bài giảng
luyện thi môn Toán ( Tập 1), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2. Phan Đức Chính, Vũ Dơng Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2003), Các bài giảng
luyện thi môn Toán (Tập 2), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
3. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2004), Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và đủ để giải
Toán, Nhà xuất bản Hà Nội, Hà Nội.
4. Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải (2004), Sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để giải
Toán, Nhà xuất bản Hà Nội, Hà Nội.
5. Nguyễn Thái Hòe (2002), Dùng ẩn phụ để giải Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà
Nội.
6. Nguyễn Bá Kim (2004), Phơng pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học S
phạm, Hà Nội.
7. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chơng, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dơng Thụy, Nguyễn
Văn Thờng (1994), Phơng pháp dạy học môn Toán (Phần hai), Nhà xuất bản Giáo
dục, Hà Nội.
8. Nguyễn Văn Mậu (2005), Phơng pháp giải phơng trình và bất phơng trình, Nhà
xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
9. Đặng Hùng Thắng (2005), Phơng trình bất phơng trình và hệ phơng trình, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
- 23