Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 và 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VĨNH PHÚC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Ngày thi 25/10/2013

Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình
2
3sin 2 3 1 2cosx x
  
.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2 4
3
y x mx m  
(1), m là tham số thực.
a) Tìm m để đường thẳng
4
y x m  
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác ABC có
diện tích bằng 2, trong đó
(0; 1)C 
.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình sau với m là tham số thực
3 2 2

2
3 3 2
( , )
2 6
x x y x xy m
x y
x x y m

   



   




a) Giải hệ khi
2m 
.
b) Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.
Câu 4 (2,0 điểm). Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi
M
là trung điểm của
BC
và

H
là trung điểm của
.AM
Biết
HB HC a 
,

0
30HBC

; góc giữa mặt phẳng
 
SHC
và mặt phẳng
 
HBC
bằng
0
60
. Tính theo
a
thể tích khối chóp
.S HBC
và tính cosin của góc giữa đường thẳng
BC
và mặt
phẳng
 
SHC
.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình thang ABCD vuông
tại A và D;
2 , 3AB AD CD AD 
. Đường thẳng BD có phương trình
2 1 0x y  
,
đường thẳng AC đi qua điểm
 
4;2
M
. Tìm tọa độ đỉnh A biết rằng diện tích ABCD
bằng 10 và điểm A có hoành độ nhỏ hơn 2.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
, ,a b c
thỏa mãn
0 a b c  
và
2 2 2
3a b c  
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
3 2014P abc a b c   
.
………. Hết……….
- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh …………………………………Số báo danh………………………….