Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2013 và 2014

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: Toán – Lớp 12 – THPT chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 28 tháng 3 năm 2014
Câu 1 (4,0 điểm)
Giải phương trình:


2
2014 1 1 ( ).
x
x x x    
Câu 2 (4,0 điểm)
Cho dãy số
 
n
x
xác định bởi:
4
*
1 1
3
9
4; ,
6
n
n
n n

x
x x n
x x


   
 

.
1. Chứng minh rằng
3 1
n
x n  
và dãy số
 
n
x
không có giới hạn hữu hạn;
2. Với mỗi số nguyên dương
n
, đặt
3
1
1
3
n
n
k
k
y

x




. Tính
lim
n
y
.
Câu 3 (4,0 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh BD và AC. Trên các đường thẳng AB, DN lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho PQ
song song với CM. Tính độ dài đoạn thẳng PQ và thể tích khối tứ diện AMNP.
Câu 4 (4,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;3), B(7;0), C(2;5). Lập phương trình
đường tròn (T) có bán kính nhỏ nhất sao cho A, B, C nằm trên hoặc nằm trong (T).
Câu 5 (4,0 điểm)
Cho các số thực
, , ,a b c d
thỏa mãn
,a d b c 
và
2012 2012 2012 2012
2014 2014 2014 2014
a b c d
a b c d
  



  

Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 3 4 2 2 3 4 4 4 6.a b c d c d a b a d c             
HẾT
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC