BAI TAP LUONG GIAC 11

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUN . TEL : 0914455164
1

Vấn đề 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC :
Bài 1 : Tìm miền xác đònh của các hàm số:
/ tan 2
4
a y x
π
 
= −
 
 

/ cot
3
b y x
π
 
= −
 
 

1
/
sin 1/ 2
c y
x
=
−

1
/
1 tan 2
d y
x
=
+

1
/ cote y x
x
= +

1 2
/
sin 2
tan 3
f y
x
x
= +
−

Bài 2 : Xét tính chẵn lẻ của các hàm số:
a/
cos 2
y x
=
b/

cot
y x x
= +

c/
3
sin
y x
=
d/
2
tanx.sin
y x
=
e/
(
)
(
)
cos 3 cos 3
y x x
= − + +

Bài 4 : Tìm max , min của các hàm số :
a. y = 4sinx – 3 b. y = 3 – 5cosx
c. y = 5 – 8sinx. cosx d. y = 3cos
2
x – 1/2cos2x
e. y = |cosx| + 2 f. y = sin x +
3

cosx – 3
g. y = sin
6
x + cos
6
x h. y = sin2x + sin (
π
/3 – 2x)

Vấn đề 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A - Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1 : Giải các PT sau :
a/ sin(3x+1) = sin(x-2) b/
3
cos 2
2
x =

c/
cos 2 0
3
x
π
 
+ =
 
 
d/
sin 4 1
4

x
π
 
+ =
 
 

e/
cos 2 1
6
x
π
 
− = −
 
 

f/
sin( 2 ) 1 0
6
x
π
+ + =

g)sin (3x + 60
0
) =0 h)
cos(4 ) 1
3
x

π
− =

k)
( )
0
2
cos 2 25
2
x + = −
l/
(
)
cot 4 2 3
x + = −

m/
( )
0
3
tan 15
3
x + =
n/
(
)
cot / 4 1
x
π
+ =

o/
3 tan 2 1 0
x
− =
p/ tan(5x + 45
0
) = 0
r)
(
)
2sin 4 /3 1 0
x
π
− − =
s/
0
3 2cos(3 30 ) 0
x
− − =

Bài 2 : Giải các PT sau :
a/
sin 3 sin 7 0
x x
+ =
b/
sin 3 cos 2
x x
=

c/
(
)
(
)
0 0
sin 2 50 cos 120
x x+ = + d/
tan(3 ) tan( )
4 6
x x
π π
− = +

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUN . TEL : 0914455164
2

e/
cot(2 ) cot( )
4 3
x x
π π
− = +
f/
(
)
tan 3 2 cot 2 0
x x

+ + =

g/
sin 4 cos5 0
x x
+ =
h/
(
)
tan / 5 cot 0
x x
π
− + =

k)
2
1
cos (2x 1)
2
− =
l) sin
2
x = ½
m/ |cos x| = ½ n/ cot
2
x = 1
Bài 3 : Tìm các nghiệm của phương trình thõa điều kiện cho trước :
a/
( )
2sin 3; 0 2

3 4
x
x
π
π
 
+ = ≤ <
 
 
b/
(
)
3tan 3 0;x x
π π
− = − < <

c/
2 2
sin ( ) cos
4
x x
π
− = ,
0;
2
x
π
 
∈
 

 

B - Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác :
Bài 1 : Giải các PT sau :
a/
2
2cos 3cos 1 0
x x
− + =
b/
2
4sin 2 4sin 2 3 0
x x
− − =

c/
2
cos 3 sin 3 1 0
x x
+ + =
d/ 2sin
2
x+ 5cosx + 1 = 0
e/
cos 2 3sin 2 0
x x
− − =
f/
cos 2 9cos 5 0
x x

+ + =

g/
3 2sin .sin 3 3cos 2
x x x
+ =
h/
2
cot 2 4cot 2 3 0
x x
− + =

k/
2
tan (1 3) tan 3 0
x x
+ − − =
l/
2
1
cot 3
sin
x
x
= +

m/
2
4
9 13cos 0

1 tan
x
x
− + =
+
n/
( )
2
1
3 3 tan 1 3 0
cos
x
x
− + + + =

o/
2
3
tan 9
cos
x
x
+ =
p/
2
2
1
3cot 5
cos
x

x
+ =

r/
2
cos 2 3cos 4cos
2
x
x x
− =
s/
4
2cos2 tan
5
x x
+ =

t/
1
cos 2 2sin 2 tan 0
2
x x x
+ − + =

Bài 2 : Giải các PT sau :
a/
(
)
2
4sin 3 2 3 1 cos3 3 4

x x
+ + − =
b/
(
)
(
)
2 2
4cos 2 6 16cos 1 3 13
x x
− + − =

Bài 3 : Tìm các nghiệm của phương trình thõa điều kiện cho trước :
a/ cos2x+9cosx+5=0, x
[0;2 ]
π
∈
b/ sin
3
x+3sin
2
x+2sinx=0,
[0; ]
x
π
∈

c/cos2(x+
π
/3) + 4cos(

π
/6-x)=5/2,
[0;2 ]
x
π
∈

d/ cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1,
( ; )
x
π π
∈ −

e/ cos4x – 3(
2
2
1 tan
1 tan
x
x
−
+
)+2=0,
[ ; ]
x
π π
∈ −
f/
sin 3 cos3 3 cos2
sin

1 2sin 2 5
x x x
x
x
+ +
+ =
+
,
(
)
0;2
x
π
∈

Bài 4 : Giải PT sau :
4 4 4
5
sin sin ( ) sin ( )
4 4 4
x x x
π π
+ + + − =


ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
3

C – PT bậc 1 đối với sinx, cosx :

Bài 1 : Giải các PT sau :
a/
sin 3cos 2
x x+ =
b/
3 sin cos 2
x x− =

c/
sin cos 6 / 2
x x
+ =
d/
3 cos3 sin 3 2
x x
+ =

e/
sin cos 2 sin5
x x x
− =
f/
(
)
3sin 2 sin 2 / 2 1
x x
π
+ + =

g/

2
2sin 3sin 2 3
x x
+ =
h/
(
)
cos 3sin 2cos / 3
x x x
π
+ = −

k/
sin 5 cos5 2 cos13
x x x
+ =
l/
(
)
(
)
1 3 sin 1 3 cos 1 3 0
x x
− + + + − =

m/
sin8 cos6 3(sin 6 cos8 )
x x x x
− = +

Bài 2 : Giải các PT sau :
a/ 3sin 2x – 4cos 2x = 5 b/
2
8sin / 2 3sin 4 0
x x
− − =

c/
2(1 sin ) 1 cos
x x
+ = +
d/
3sin 2cos 2
x x
− =

e/
cos 4sin 1
x x
+ = −
f/
2sin 5cos 5
x x
− =

g/
2sin cos 2
x x
− = −
h/

( ) ( )
2
3cos 4sin 6 2 3 3cos 4sin 6
x x x x
− − + = − − −

Bài 3 : Giải các PT sau : a/
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +

b/
3 2
2sin sin
4 4 2
x x
π π
   
+ + − =
   
   
c/
3 cos 2 sin 2 2sin 2 2 2
6
x x x
π
 

+ + − =
 
 

Bài 4 : Tìm m ñeå PT : (m+2) sinx + m cosx = 2 coù nghieäm
Bài 5 : Tìm m ñeå PT : (2m-1) sinx +(m-1) cosx = m – 3 voâ nghieäm
D – Phương trình đẳng cấp THEO sinx, cosx :
Bài 1 : Giải các PT sau :
a/
2 2
2cos 3sin .cos sin 0
x x x x
− + =
b/
2 2
cos 3sin 2 3 sin .cos 1 0
x x x x
+ + − =

c/
2 2
3 cos 2sin .cos 3sin 1 0
x x x x
+ − − =
d/
2 2
3 sin (1 3)sin .cos cos 1 3 0
x x x x
+ − − + − =

e/
2 2
4cos sin cos 3sin 3 0
x x x x
+ + − =
f/
2 2
sin 3sin .cos 2cos (3 2) / 2
x x x x− + = +

g/
2 2
( 3 1)sin 3 sin 2 ( 3 1)cos 0
x x x
+ − + − =
h/
2 2
4sin 3 3 sin 2 2cos 4
x x x
+ − =

k/
3 2 3
sin 2sin .cos 3cos 0
x x x x
+ − =
l/
2
2 1
3 sin .cos sin

2
x x x
−
− =

E – PT đối xứng, gần đối xứng :
Bài 1 : Giải các PT sau :
a/
(
)
2 sin cos 6sin .cos 2 0
x x x x
+ + − =
b/
(
)
2sin 2 3 3 sin cos 8 0
x x x
− + + =

c/
sin cos 4sin .cos 1 0
x x x x
+ − − =
d/
(
)
5sin 2 12 sin cos 12 0
x x x
− − + =

e/
(
)
( )
1 2 1 sin cos sin 2
x x x
− + − =
f/
cos sin 3sin 2 1 0
x x x
− + − =

g/
sin 2 2 sin 1
4
x x
π
 
+ − =
 
 
h/
( )
(
)
( )
2
sin cos 2 1 sin cos 2 0
x x x x

− − + − + =

k/
(
)
3 3
sin cos 1 2 2 sin .cos
x x x x
+ = + −
l/
2sin 2 3 6 sin cos 8 0
x x x
− + + =

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
4

F – PT chứa :
( )
( )
a
f x
f x
±
và
( )
( )
2
2

2
a
f x
f x
+

a/
2
2
1 1
cos 2 cos 2
coscos
x x
xx
 
+ − + = −
 
 
b/
2
2
4 2
2 sin 9 sin 1 0
sinsin
x x
xx
   
+ − − − =
   
   

c/
2
2
1 1
cos 2 cos 1
coscos
x x
xx
 
+ = − +
 
 
d/
2
2
4 2
sin 1 sin 2
sinsin
x x
xx
 
+ = − + −
 
 

e/
2
2
4 4

9cos 6cos 15
cos
cos
x x
x
x
+ = − + +
f/
2
2
1
tan cot cot 5 0
cos
x x x
x
+ + + − =

G – ĐƯA VỀ PT TÍCH :
Bài 1 : Giải các PT :
a/
1 2sin .cos sin 2cos
x x x x
+ = +
b/
(
)
sin sin cos 1 0
x x x
− − =

c/
3 3
sin cos cos2
x x x
+ =

d/
sin 2 1 2 cos cos 2
x x x
= + +

e/
(
)
(
)
2
2sin 1 2cos 2 2sin 1 3 4cos
x x x x
− + + = −
f/
(
)
2
sin 1 cos 1 cos cos
x x x x
+ = + +

l/
2sin .cos2 1 2cos2 sin 0

x x x x
+ + + =

Bài 3 : Giải các PT :
a/
3 3
1
sin cos sin 2 .sin cos sin3
4
2
x x x x x x
π
 
+ + + = +
 
 

b/
(
)
1 sin 2 2cos3 sin cos 2sin 2cos3 cos 2
x x x x x x x
+ + + = + +

H - Dùng công thức BIẾN ĐỔI lượng giác
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) sinx + sin2x + sin3x = cosx + cos 2x + cos3x Đs:
2
2 ; ( )
3 8 2

x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈
»

b) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x + sin
2
4x Đs:
; ; ( )
2 2 5
k
x k x k x k
π π π
π
= = + = ∈
»

c) sin
2
x + sin
2
2x + sin
2

3x + sin
2
4x = 2 Đs:
; ;
2 10 5 4 2
k k
x k x x
π π π π π
π
= + = + = +

d)
2 2 2
3
cos cos 2 cos 3
2
x x x
+ + =
Đs:
; ( )
3 8 4
x k x k k
π π π
π
= ± + = + ∈
»

e) sin5x.cos6x+ sinx = sin7x.cos4x Đs:
; ( )
4 2

x k x k k
π π
π
= = + ∈
»

f)
1
sin sin
3 3 2
x x
π π
   
− + =
   
   
Đs:
;( )
6
x k k
π
π
= ± + ∈
»

g)
1
sin cos
4 12 2
x x

π π
   
+ + =
   
   
Đs:
; ( )
12 4
x k x k k
π π
π π
= − + = + ∈
»

h) cosx. cos4x - cos5x=0 Đs:
( )
4
x k k
π
= ∈
»

i) sin6x.sin2x = sin5x.sin3x Đs:
; ( )
3
x k x k k
π
π
= = ∈
»

j) 2 + sinx.sin3x = 2 cox 2x Đs:
;( )
x k k
π
= ∈
»

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
5

Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) sin3x.sin5x = sin11x.sin13x Đs:
; ( )
8 16
k
x x k k
π π
= = ∈
»

b) cosx.cos2x = cos3x.cos4x Đs:
; ( )
2 5
k
x x k k
π π
= = ∈
»

c) sin4x.cos3x = sinx
Đs:
; ( )
3 8 4
k k
x x k
π π π
= = + ∈
»

d) cosx – cos2x + cos3x = 0 Đs:
; 2 ( )
4 2 3
k
x x k k
π π π
π
= + = ± + ∈
»

e) 4 sinx.sin2x.sin3x = sin4x ( Đs:
; ( )
2 8 4
k k
x x k
π π π
= = + ∈
»

Bài 3: Giải các phương trình sau:
a) sin
2
x + sin2x.sin4x + sin3x.sin9x = 1 Đs:
;
6
k
x k
π
= ∈
»

b) cos2x + 2sinx.sin2x = 2 cosx Đs:
2
; 2 ( )
4 2 3
k
x x k k
π π π
π
= + = ± + ∈
»

c) cos 5x . cosx = cos 4x.cos2x + 3 cos
2
x + 1 Đs:
( )
2
x k k
π

π
= + ∈
»

d) cos4x + sin3x.cosx = sinx.cos3x Đs:
; ( )
4 12 3
k
x k x k
π π π
π
= + = − + ∈
»

Bài 4: Giải các phương trình:
a) sin
2
x – cos
2
x = cos 4x Đs:
; ( )
2 6 3
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈
»

b) cos 3x – cos 5x = sinx Đs:
5

; ( )
24 2 24 2
k k
x x k
π π π π
= + = + ∈
»

c) 3sin
2
x + 4 cosx - 4 = 0 Đs:
1
2 ; arccos 2
3
x k x k
π π
= = ± +

d) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x Đs:
; ( )
2 6
k
x x k k
π π

π
= = ± + ∈
»

e) 2tanx + 3cotx = 5 Đs:
3
; arctan
4 2
x k x k
π
π π
= + = +
f) 2cos
2
x – 3 sin2x + sin
2
x = 1 Đs:
1
; arctan ( )
2 6
x k x k k
π
π π
= + = + ∈
»

g) 4sin3x + sịn5x – 2sinx.cos2x = 0 Đs:
( )
3
x k k

π
= ∈
»

h) 2tan
2
x – 3tanx + 2cot
2
x + 3cotx – 3 = 0
Đs:
1 17 1 5
arctan ; arctan
2 2
x k x k
π π
± ±
= + = +
ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
6

Bài 5: Giải phương trình:
a) 8cos
4
x – 4cos2x + sin4x – 4 = 0 Đs:
; ( )
2 8 2
k k
x x k
π π π

= = + ∈
»

b) 2sin
6
x + 2cos
6
x +sin4x = 0 Đs:
3
( )
8 4 2
k
x k
π α π
= − + ∈
»
với
3
sin
5
α
=

c) -1 + 4 sin
2
x = 4 cos
4
x Đs:
3
2 ; 2 ( )

4 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = ± + ∈
»

Bài 6: Giải các phương trình:
1) sin
2
3x

– cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x (B- 02) đs:
; ; ( )
2 9 2
k
x k x x k k
π π π
π
= = = + ∈
»

2) cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 ( D – 02) đs:
( )

2
x k k
π
π
= + ∈
»

3) (2cosx – 1)(2sinx +cosx)= sin2x – sinx (D-04) Đs:
2 ;
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = − +

4) cos
2
3x cos2x – cos
2
x = 0 (A- 05) Đs:
;( )
2
k
x k
π
= ∈
»

5) 1 + sinx+ cosx + sin2x +cos2x = 0 (B- 05) Đs:
2

2 ;
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = − +

6)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(D- 05) Đs:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈
»

7)
2
sin cos 3cos 2

2 2
x x
x
 
+ + =
 
 
( D- 07) Đs:
2 ; 2
6 2
x k x k
π π
π π
= − + = +

8) 2sin
2
2x + sin 7x – 1 = sinx (B- 07) Đs:
2 7 2
; ;
8 4 18 3 18 3
k k k
x x x
π π π π π π
= + = − + = +

9) ( 1 + sin
2
x)cosx + ( 1 + cos
2

x) sinx = 1 + sin2x ( A- 07)
Đs:
; 2 ; 2 ( )
4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈
»

10)
sin 3 3cos3 2sin 2
x x x
− =
( Cao đẳng 08) Đs:
4 2
2 ; ( )
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈
»

11)
3 3 2 2
sin 3 cos sin .cos 3 sin .cos
x x x x x x
− = − ( B- 08) Đs:
;

3 4 2
x k x k
π π π
π
= − + = +

12) 2sinx (1+ cos2x) + sin2x = 1 + 2 cosx ( D- 08) Đs:
2
; 2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +

13)
2
(1 2sin ) cos 1 sin cos
x x x x
+ = + + ( CD 09) Đs:
5
; 2 ; 2
12 12 2
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = − +
14)
3 os5x 2sin 3x os2x sin 0
c c x

− − =
( D – 09) Đs:
; ( )
18 3 6 2
k k
x x k
π π π π
= + = + ∈
»

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
7

15)
(
)
3
sin cos .sin2x+ 3 cos3 2 cos 4 sin
x x x x x
+ = +
( B- 09)Đs:
2
2 ;
6 42 7
k
x k x
π π π
π
= − − = +

16)
(
)
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(A- 09) Đs:
2
( )
18 3
k
x k
π π
= − + ∈
»

17)
2
cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
x
x x x

x
− = + −
+
( A – 03) Đs:
; ( )
4
x k k
π
π
= + ∈
»

18)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 
 
(D-03) Đs:
; 2 ( )
4
x k x k k
π
π π π
= − + = + ∈

»

19)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(B- 03) Đs:
( )
3
x k k
π
π
= ± + ∈
»

20)
(
)
6 6
2 cos sin sin .cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−

( A- 06) Đs:
5
2 ( )
4
x k k
π
π
= + ∈
»

21) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan
2
x (B-04) Đs:
5
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
»

22)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x

x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 
( A- 08) Đs:
5
; ;
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
= − + = − + = +

23)
cot sin (1 tan .tan ) 4
2
x
x x x
+ + =
(B-06) Đs:
5
; ( )

12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
»

24) 3 – tanx ( tanx + 2 sinx) + 6cosx = 0 Đs:
2
2 ; 2
3 3
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +

25) cos2x + cosx ( 2tan
2
x – 1) = 2 Đs:
2 ; 2 ( )
3
x k x k k
π
π π π
= + = ± + ∈
»

26) sinx. cos2x + cos
2
x( tan

2
x – 1) + 2sin
3
x = 0 Đs:
5
2 ; 2 ( )
6 6
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
»

27) cos
3
x + sin
3
x + 2sin
2
x = 1 Đs:
; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= − + = − + =

28) 4sin
3
x + 4sin

2
x + 3sin2x + 6cosx = 0 Đs:
2
2 ; 2
3 2
x k x k
π π
π π
= ± + = − +

29) (2sin
2
x – 1) .tan
2
2x + 3(2cos
2
x – 1) = 0 Đs:
( )
6 2
k
x k
π π
= ± + ∈
»

30) cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0 Đs:
; 2 ;( )
4 2
x k x k k
π π

π π
= − + = + ∈
»

31)
2 2
3
4sin 3cos 2 1 2cos
2 4
x
x x
π
 
− = + −
 
 
Đs:
2
2 ; ;( )
6 18 3
k
x k x k
π π π
π
= − + = − + ∈
»

32)
2
2

cos 2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x
π
−
 
+ − =
 
 
Đs:
;( )
4
x k k
π
π
= − + ∈
»

33)
2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 
 

Đs:
7
; 2 ;( )
6
x k x k k
π
π π
= = + ∈
»

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
8

34)
2
tan cos cos sin 1 tan .tan
2
x
x x x x x
 
+ − = +
 
 
Đs:
2 ;( )
x k k
π
= ∈
»

35) cos7x + sin8x = cos3x – sin2x Đs:
2
; 2 ;
5 2 10 5
k k
x x k x
π π π π
π
= = − − = +

36) sin
3
x + cos
3
x = 2(sinx + cosx) – 1 Đs:
2 ; 2 ( )
2
x k x k k
π
π π
= + = ∈
»

37)
2
cos sin 2
3
2cos sin 1
x x

x x
−
=
− −
Đs:
2
2 ; ;( )
6 6 3
k
x k x k
π π π
π
= − + = + ∈
»

38) cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x – sin
2
x Đs:
2 ; 2 ;
2 4
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +

39)
sin .sin 2 3 sin 2 .cos
x x x x
=
Đs:
; ( )
3 2
k
x k x k
π π
π
= + = ∈
»

40) sin2x + 2tanx = 3 Đs:
;( )
4
x k k
π
π
= + ∈
»

41)
2
1 cos
tan
cos
x

x
x
+
=
Đs:
2 ; 2 ( )
3
x k x k k
π
π π π
= + = ± + ∈
»

42)
( )
cos 2 cos 2 4sin 2 2 1 sin
4 4
x x x x
π π
   
+ + − + = + −
   
   
Đs:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π

= + = +

VẦN ĐỀ 3 : CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÓ LỜI GIẢI :
1. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải : (1) ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0.
Đặt t=cosx, ĐK
1
t
≤

, ta được: 2t
2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.
∆=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.⇒
( )
1/ 2
cos 1/ 2
sin - 2
t

x
t x
=

⇒ =

=

loaïi
…(biết giải)
2. 2sinx+cotx=2sin2x+1.
HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin
2
x–sinx+cosx=0.
Đặt t=sinx, ĐK
1
t
≤

. Pt  2(1–2cosx)t
2
–t+cosx=0 … ∆=(4cosx–1)
2
.
3. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(cos
2

x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
4. Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

Giải : Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 + ≠


≠



Từ (1) ta có:
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
9

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =
( )
2
cos 2 ; 2

2 4 4
x x k x k k
π π
π π
⇔ = ⇔ = + = − + ∈
»

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈
»

5. Gi
ải phương trình:
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(1)

Giải : Điều kiện:
sin 2 0
x
≠

2
1
1 sin 2
1 sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x
x x
x x x
−
 
⇔ = +
 
 
2
2
1
1 sin 2
1 1
2
1 sin 2 1 sin 2 0
sin 2 sin 2 2
x
x x

x x
−
⇔ = ⇔ − = ⇔ =

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
6. Giải phương trình:
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 
.
Giải : Điều kiện cosx
0
≠

Pt⇔
2 2
2sin 2sin tan
4
x x x
π
 
− = −
 
 

2
1 cos 2 cos 2sin .cos sin
2
x x x x x
π
 
 
⇔ − − = −
 
 
 
 

⇔
(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0
⇔
sin2x = 1 hoặc tanx = 1.
7. Giải PT :
( )
(
)
3
sin 2 cos 3 2 3 os 3 3 os2 8 3 cos sinx 3 3 0
x x c x c x x
+ − − + − − =
.
Giải :
3
2 3 2

sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin )
3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
+ − − + − − =
⇔ + − − + + − − =
2
2cos ( 3 cos sin ) 6.cos ( 3 cos sin ) 8( 3 cos sin ) 0
x x x x x x x x
⇔ − − − − + − =

2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0
cos 4 ( ai)
x x x x
x
x x
x
x x
x
⇔ − − − + =

=



− =
⇔ ⇔ =


+ − =



=

lo
,
3
2
x k
k
x k
π
π
π

= +

⇔ ∈

=


Z

8. Giải phương trình: cosx=8sin
3
(
)
/ 6
x + Π

Giải : cosx=8sin
3
6
x
π
 
+
 
 
⇔
cosx =
(
)
3
3sin cos
x x
+

⇔
3 2 2 3
3 3sin 9sin cos 3 3sin cos cos cos 0
x x x x x x x

+ + + − =
(3)
Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm
(3) ⇔
3 2
3 3 tan 8 tan 3 3 tan 0
x x x
+ + =
tan 0
x x k
π
⇔ = ⇔ =

9. Giải PT :
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −

Giải : Điều kiện:
(
)
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x

x

+ ≠


≠



ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
10

Từ (1) ta có:
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =

+ −

2sin .cos 2 sin
x x x
⇔ =
( )
2
cos 2
2 4
x x k k
π
π
⇔ = ⇔ = ± + ∈
»

So v
ới điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈
»
Z

10. Giải phương trình:
cos2 5 2(2 cos )(sin cos )
x x x x

+ = − −

Giải : PT ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 (vn cos sin 2)
x x
x x vi x x
− = −

⇔

− = − ≤


2
2 sin 1 sin sin ( )
2
4 4 4
2
x k
x x k Z
x k
π
π
π π π
π π

= +

   

⇔ − = ⇔ − = ⇔ ∈
   

   
= +


11. Giải phương trình: 2cos3x +
3
sinx + cosx = 0
Giải :
3 sin cos 2cos3 0
x x x
+ + =
⇔ sin
3
π
sinx + cos
3
π
cosx = – cos3x.
⇔ cos
cos3
3
x x
π
 
− = −

 
 
⇔ cos
cos( 3 )
3
x x
π
π
 
− = −
 
 
⇔x =
3 2
k
π π
+
(k∈Z)
12. Giải phương trình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+
(1)
Giải : (1) ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
8

+

⇔
( )
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − =

⇔
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈
.
13. Định m để phương trình sau có nghiệm
2
4sin3 sin 4cos 3 cos cos 2 0
4 4 4
x x x x x m
π π π
     
+ − + − + + =
     
     

Giải : Ta có: *
(
)
4sin3 sin 2 cos2 cos 4
x x x x
= − ;
*
( )
4cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos4
4 4 2
x x x x x x
π π π
 
     
− + = − + = +
     
 
     
 

*
( )
2
1 1
cos 2 1 cos 4 1 sin 4
4 2 2 2
x x x
π π
 

   
+ = + + = −
 
   
   
 

Do đó phương trình đã cho 
( )
1 1
2 cos2 sin 2 sin 4 0 (1)
2 2
x x x m+ + + − =

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
11

Đặt
cos2 sin 2 2 cos 2
4
t x x x
π
 
= + = −
 
 
(điều kiện:
2 2
t− ≤ ≤

).
Khi đó
2
sin 4 2sin 2 cos 2 1
x x x t
= = −
.
Phương trình (1) trở thành:
2
4 2 2 0
t t m
+ + − =
(2) với
2 2
t− ≤ ≤
2
(2) 4 2 2
t t m
⇔ + = −

Đây là PT hoành độ giao điểm của 2 đường
( ): 2 2
D y m
= −
(là đường // với Ox và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P):
2
4
y t t
= +

với
2 2
t− ≤ ≤
.
x
2
−

2

y’ +
y
2 4 2
+

2 4 2
−

Trong đoạn
2; 2
 
−
 
, hàm số
2
4
y t t
= +
đạt giá trị nhỏ nhất là
2 4 2

− tại
2
t = − và
đạt giá trị lớn nhất là
2 4 2
+
tại
2
t =
.
PT có nghiệm 
2 4 2 2 2 2 4 2
m− ≤ − ≤ +
2 2 2 2
m⇔ − ≤ ≤ .
VẦN ĐỀ 4 : CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÓ ĐÁP SỐ :
Giải các phương trình sau:
14. cos
3
x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +

15. tanx.sin

2
x−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin
2
x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +

16. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
17. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:
2
x k
π
= .
18. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1)ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2

x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − + với
1
sin
4
α
= −
.
19. sinx−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= +
.
20.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
   
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2

x k
π π
= +

21. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=
.
22.
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2

x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 
ĐS:
5
; ;
4 8 8
x k x k x k
π π π
π π π
− −
= + = + = +

23.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
− = −

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
12

HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3
k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +

24. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈
»

PH

ƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009
1. (Khối A_2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của phương trình:
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 
+
 
. ĐS:
5
;
3 3
x x
π π
= =
.
2. (Khối A_2003) Giải pt :
2
cos2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2

x
x x x
x
− = + −
+
ĐS:
( )
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

3. (Khối A_2005) Giải phương trình:
2 2
cos 3 cos2 cos 0
x x x
− =
ĐS:
( )
2
k
x k
π
= ∈
Z

4. (Khối A_2006) Giải pt :
(

)
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
ĐS:
( )
5
2
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

5. (Khối A_2007) Giải PT :
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2
x x x x x
+ + + = +

ĐS:
( )
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k
π π
π π π
= − + = + = ∈
Z

6. (Khối A_2008) Giaỉ PT :
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 
 
 
−
 
 

ĐS:
( )
5
, , ,
4 8 8
x k x k x k k
π π π
π π π
− −
= + = + = + ∈
Z

7. (Khối A_2009) Giải pt :
(
)
( )( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
. ĐS:
( )
2
,
18 3

x k k
π π
= − + ∈
Z

KHỐI B
8. (Khối B_02) Giải pt :
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
x x x x
− = − ĐS:
( )
; ,
9 2
x k x k k
π π
= = ∈
Z

9. (Khối B_2003) Giải PT :
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
ĐS:
( )
,
3

x k k
π
π
= ± + ∈
Z

10. (Khối B_2004) Giải PT :
(
)
2
5sin 2 3 1 sin tan
x x x
− = −
ĐS:
5
2 ; 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +

11. (Khối B_2005)
1 sin cos sin 2 cos 2 0
x x x x
+ + + + =
ĐS:
( )
2
2

3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

12. (Khối B_2006) Giải PT :
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 
 
ĐS:
5
;
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
13

13. (Khối B_2007) Giải PT :

2
2sin 2 sin 7 1 sin
x x x
+ − =
ĐS:
2 5 2
;
18 3 18 3
x k x k
π π π π
= + = +

14. (Khối B_2008) Giải PT :
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cos
x x x x x x
− = −
ĐS:
( )
; ,
4 2 3
x k x k k
π π π
π
= + = − + ∈
Z

15. (Khối B_2009) Giải PT :
(
)

3
sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin
x x x x x x
+ + = +
.
ĐS:
( )
2
, 2 ,
42 7 6
k
x x k k
π π π
π
= + = − − ∈
Z

KHỐI D
16. (Khối D_2002) Tìm x∈[0;14] : cos3x−4cos2x+3cosx−4=0
ĐS:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x x x x
π π π π
= = = =

17. (Khối D_2003)
2 2 2
sin tan cos 0

2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 
 
ĐS:
( )
2 , ,
4
x k x k k
π
π π π
= + = − + ∈
Z

18. (Khối D_2004) Giải phương trình
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin 2 sin
x x x x x
− + = −
ĐS:
( )
2 , ,
3 4

x k x k k
π π
π π
= ± + = − + ∈
Z

19. (Khối D_2005) Giải phương trình:
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =
   
   

ĐS:
( )
,
4
x k k
π
π
= + ∈
Z

20. (Khối D_2006) Giải PT : cos3x+cos2x−cosx−1=0 ĐS:
( )

2
2 ,
3
x k k
π
π
= ± + ∈
Z

21. (Khối D_2007) Giải PT :
2
sin cos 3cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 
 

ĐS:
( )
2 , 2 ,
2 6
x k x k k
π π
π π
= + = − + ∈
Z

22. (CĐ_A_B_D_2008) Giải PT :
sin 3 3 cos3 2sin 2
x x x
− =
ĐS:
( )
4 2
2 , ,
3 15 5
x k x k k
π π π
π
= + = + ∈
Z

23. (Khối D_2008) Giải PT : 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
ĐS:
( )
2
2 , ,
3 4
x k x k k
π π
π π
= ± + = + ∈
Z

24. (CĐ_A_B_D_2009) Giải PT : (1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx

ĐS:
( )
5
, ,
12 12
x k x k k
π π
π π
= + = + ∈
Z

25. (Khối D_2009) Giải PT :
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0
x x x x
− − =

ĐS:
( )
, ,
18 3 6 2
x k x k k
π π π π
= + = − + ∈
Z

ĐẠI SỐ 11 – PHẦN 1 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
GV : KHÁNH NGUYÊN . TEL : 0914455164
14

Bài 1 : Giải các PT :

a/
2 2
sin 2 sin 3
x x
=
b/
2 2 2
sin sin 2 sin 3 3 / 2
x x x+ + =

c/
2 2 2
cos cos 2 cos 3 1
x x x
+ + =
d/
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 3 / 2
x x x x+ + + =

e/
6 6
sin cos 1/ 4
x x+ = f/
4 4 2 2
1
sin cos cos sin 2 1 0
4
x x x x
+ − + − =

g/
4 6
cos 2sin cos2
x x x
+ =
h/
(
)
sin sin 2 sin3 2 cos cos2 cos3
x x x x x x
+ + = + +
k/
2cos .cos2 1 cos2 cos3
x x x x
= + +
l/
(
)
(
)
2
sin sin 2 sin sin 2 sin 3
x x x x x
− + =
m/
3cos cos 2 cos3 1 2sin .sin 2
x x x x x
+ − + =
n/

2
cos5 .cos cos 4 .cos 2 3cos 1
x x x x x
= + +

Bài 2 : Giải các PT :
a/
sin sin 3 sin5 =0
x x x
+ +
b/
cos7 sin8 cos3 sin 2
x x x x
+ = −

c/
cos 2 cos8 cos6 1
x x x
− + =
d/
2 2
sin 7 cos 2 sin 2 sin
x x x x
+ = +