Lý thuyết - Bài tập Lượng giác(Hot)

Một số
công thức lượng giác
Công thức cơ bản
1)
sin
tan
cos 2
a
a a k
a
π
π
 
= ≠ +
 ÷
 
2)
( )
cos
cot
sin
a
a a k
a
π
= ≠
3)
2 2
sin cos 1a a+ =
4)
tan .cot 1a a =

5)
2
2
1
1 tan
cos
a
a
+ =
6)
2
2
1
1 cot
sin
a
a
+ =
Công thức nhân
1)
sin 2a=2sina.cosa
2)
2 2 2 2
cos 2 2cos 1 1 2sin cos sina a a a a
= − = − = −
3)
2
2 tan
tan 2
1- tan

a
a
a
=
4)
3
sin 3 3sin 4sina a a= −
5)
3
cos3 4cos 3cosa a a= −
Công thức cộng, trừ
1) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
2) cos(a+b)=cosa.cosb−sina.sinb
3) sin(a−b)=sina.cosb−cosa.sinb
4) cos(a−b)=cosa.cosb+sina.sinb
5)
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
Công thức biến đổi tổng thành tích
1)
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b

a b
+ −
+ =
2)
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
3)
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
4)
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
5)
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b

a b
+
+ =
6)
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
7)
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
8)
sin( )
cot cot
sin .sin
b a
a b
a b
−
− =

Công thức biến đổi tích thành tổng
1)
[ ]
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
2)
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −
3)
[ ]
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +
A. Phương trình bậc 1 một
hàm số lượng giác
Kiến thức cần nhớ về phương trình cơ bản:
1)
2
sin sin
2
x u k
x u
x u k
π

π π
= +

= ⇔

= − +

2)
2
cos cos
2
x u k
x u
x u k
π
π
= +

= ⇔

= − +

3)
tan tanx u x u k
π
= ⇔ = +
4)
cot cotx u x u k
π
= ⇔ = +

5) sinx=m và cosx=m vô nghiệm nếu
6) Với giá trị m bất kỳ thỏa
1m ≤
luôn tồn tại
:
 Góc
[ ]
0; : cos m
α π α
∈ =
 Góc
; : sin
2 2
m
π π
α α
−
 
∈ =
 
 
7) Với bất kỳ giá trị m luôn tồn tại góc
; :
2 2
tg m
π π
α α
−
 
∈ =

 ÷
 
1
Một số phương trình cần nhớ nghiệm:
1)
2
sin 0 tan 0
cos 1
x x
x x k
π
= ⇔ =
⇔ = ⇔ =
2)
2
cos 0 cot 0
sin 1
2
x x
x x k
π
π
= ⇔ =
⇔ = ⇔ = +
3)
sin 1 2
2
x x k
π
π

= ⇔ = +
4)
sin 1 2
2
x x k
π
π
=− ⇔ =− +
5)
cos 1 2x x k
π
= ⇔ =
6)
cos 1 2x x k
π π
=− ⇔ = +
Ví dụ
1) Giải
2sin 1 0x + =
Giải:
1
2sin 1 0 sin sin
2 6
2
6
7
2
6
x x
x k

x k
π
π
π
π
π
− −
+ = ⇔ = =
−

= +

⇔


= +


2) Giải
3 tan 3 1 0x − =
Giải:
3 tan 3 1 0 tan3x=tan
6
3
6 18 3
x
x k x k
π
π π π
π

− = ⇔
⇔ = + ⇔ = +
3) Định m để phương trình sau vô nghiệm
cos 4 1 0m x + =
Giải:
 Với m=0 thì
cos 4 1 0m x
+ =
vô
nghiệm
 Với m≠0 thì
1
cos4x
m
−
=
, phương
trình vô nghiệm khi và chỉ khi
0
0
1
1
1
1 1
m
m
m
m
m
≠


≠


> ⇔ ⇔
 
<
− < <



Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm khi
và chỉ khi −1<m<1
Bài tập tương tự:
 Giải các phương trình sau:
1)
3 tan 2x=1
2)
0 2 0
cos( 30 ) 2cos (15 ) 1x + + =
3)
sin 4 cos 6
4 4
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
4)

sin tanx x=
5)
( )
4cos 3 3x
π
− =
6)
cot(2 1) 3x + =
 Định m để các phương trình sau vô
nghiệm:
1)
( )
2 1 cos 2m x m+ =
2)
( 1) tan 1 0m x− + =
B. Phương trình bậc 2 một
hàm số lượng giác
Ví dụ:
1) Giải
2
2sin 5sin 3 0x x+ − =
Giải: sinx=−3 bị loại
ta còn
1
6
sin sin
5
2 6
6
x k

x
x k
π
π
π
π
π

= +

= = ⇔


= +


2) Giải
2
cot 3 cot3 2 0x x− − =
Giải:
* cot3x=−1
12 3
x k
π π
−
⇔ = +
* cot3x=2=cotu
( cot 2)
3 3
u

x k u arc
π
= + =
3) Giải
2
4cos 2(1 2)cos 2 0x x− + + =
Giải:
t=cosx,−1≤t≤1
2
4 2(1 2) 2 0t t− + + =
1 2
2 2
t t= ∨ =
*
1
cos 2
2 3
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
*
2
cos 2
2 4
x x k
π
π
= ⇔ = ± +
Bài tập tương tự:

1)
2cos 2 2cos 2 0x x+ − =
2)
5tan 2cot 3 0x x− − =
2
.
C. Phương trình bậc 1 của
sinx và cosx
Dạng:
sin cos 0a x b x c+ + =
Chú ý:
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x
π π
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 
cos sin 2 cos
4
x x x

π
 
− = +
 ÷
 
Phương pháp giải toán:
sin cos 0a x b x c
+ + =
Chia 2 vế cho
2 2
a b+
Tồn tại góc α sao cho
2 2 2 2
cos ,sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
Ta được phương trình:
2 2
sin .cos cos .sin
c
x x
a b
α α
+ =
+
2 2
sin( )

c
x
a b
α
+ =
+
• Nếu a
2
+b
2
<c
2
thì phương trình vô nghiệm
• Nếu a
2
+b
2
≤c
2
thì tồn tại góc β sao cho
2 2
sin
c
a b
β
=
+
. Ta được phương trình
sin( ) sinx
α β

+ =
. Giải tìm x.
Ví dụ:
1) Giải
sin cos 1x x+ =
Giải:
2 sin 1
4
x
π
 
+ =
 ÷
 
1
sin sin
4 4
2
x
π π
 
⇔ + = =
 ÷
 
2
4 4
3
2
4 4
x k

x k
π π
π
π π
π

+ = +

⇔


+ = +


2
2
2
x k
x k
π
π
π
=


⇔

= +

2) Giải

3 sin cos 1x x− =
Giải:
3 1 1
sin cos
2 2 2
x x− =
sin .cos cos .sin sin
6 6 6
x x
π π π
⇔ − =
sin sin
6 6
x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
2
6 6
5
2
6 6
x k
x k
π π
π
π π
π


− = +

⇔


− = +


2
3
2
x k
x k
π
π
π π

= +

⇔

= +

3) Giải
2sin3x+ 5 cos3 3x = −
Giải:
2 5
sin3x+ cos3 1
3 3

x = −
Tồn tại góc
2 5
: cos ,sin
3 3
α α α
= =
. Phương
trình thành
sin(3 ) 1x
α
+ = −
3 2
2
x k
π
α π
−
⇔ + = +
2
6 3 3
x k
π α π
−
⇔ = − +
4) Định m để phương trình sau có nghiệm
sin cos 10m x x− =
Giải: m
2
+1≥10 ⇔ m≤−3 V m≥3

Bài tập tương tự:
1) Giải
sin 2cos 3x x− =
2) Giải
2sin 3 cos3 1x x
− =
3) Định m để (m−1)sinx−(m+1)cosx=1 có
nghiệm.
D. Phương trình đẳng cấp bậc
2 đối với sinx,cosx
Dạng:
2 2
sin cos sin .cos 0a x b x c x x+ + =
Phương pháp giải toán:
 Xét riêng cosx=0
 Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos
2
x đưa về
phương trình bậc 2 của tanx
Ví dụ:
1) Giải 4sin
2
x−5sinxcosx−6cos
2
x=0
Giải:
 Xét cosx=0, thế vào phương trình ta có
sinx=0. Mâu thuẫn với cosx=0.
3
Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos

2
x ta được
4tan
2
x−5tanx−6=0
3
tan 2 tan
4
x x
−
⇔ = ∨ =
-3
arctan 2+k arctan +k
4
x x
π π
 
⇔ = ∨ =
 ÷
 
2) Giải 2sin
2
x−5cosxcosx−cos
2
x+2=0
Giải:
Do 2=2sin
2
x+2cos
2

x nên ta có:
4sin
2
x−5sinxcosx+cos
2
x=0
Xét cosx=0 không thỏa phương trình.
Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos
2
x ta được
4tan
2
x−5tanx+1=0
1
tan 1 tan
4
x x⇔ = ∨ =
1
arctan
4 4
x k x k
π
π π
⇔ = + ∨ = +
3) Định m để phương trình
msin
2
x−cos
2
x+sinxcosx=0 có nghiệm.

Giải:
Nếu m=0 thì phương trình thành
cosx(sinx−cosx)=0
cos 0 tan 1x x⇔ = ∨ =
2 4
x k x k
π π
π π
⇔ = + ∨ = +
Nếu m≠0 xét cosx=0 không thỏa phương trình.
Xét cosx≠0 , chia 2vế cho cos
2
x ta có
mtan
2
x+tanx−1=0. Phương trình có nghiệm khi
1
1 4 0
4
m m
−
∆ = + ≥ ⇔ ≥
Kết luận:
1
4
m
−
≥
Bài tập tương tự:
1) Giải 2sin

2
x+cos
2
x+3sinxcosx+5=0
2) Giải 3sin
2
x−sinxcosx+cos
2
x=5
3) Giải 3sin
2
x−sinxcosx+cos
2
x=1
4) Định m để 3sin
2
x−sinxcosx+cos
2
x=m có
nghiệm.
E. Phương trình đối xứng đối
với sinx,cosx
Dạng:
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c+ + + =
Phương pháp giải toán:
Đặt
t=sinx+cosx= 2 sin
4
x
π

 
+
 ÷
 
thì
2 t t− ≤ ≤

và
2
1
sinxcosx=
2
t −

Đưa được phương trình về dạng bậc 2 theo t
Ví dụ:
1) Giải
sin cos sin cos 1x x x x+ − =
Giải: Đặt
t=sinx+cosx= 2 sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
,
2 2t− ≤ ≤
ta được:

2
1
1
2
t
t
−
− =
2
2 1 0t t⇔ − + =
1t⇔ =
sin sin
4 4
x
π π
 
⇔ + =
 ÷
 
2 2
2
x k x k
π
π π
⇔ = ∨ = +
2) Giải
sin cos sin cos 1x x x x
− − =
Giải: Đặt
t=sinx-cosx= 2 sin

4
x
π
 
−
 ÷
 
,
2 2t− ≤ ≤
ta được:
2
1
1
2
t
t
−
− =
2
2 1 0t t⇔ − + =
1t
⇔ =
sin sin
4 4
x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 

2 2
2
x k x k
π
π π π
⇔ = + ∨ = +
3) Định m để phương trình
sin cos sin cosx x x x m+ − =
có nghiệm.
Giải: Đặt
t=sinx+cosx= 2 sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
,
2 2t− ≤ ≤
ta được:
2
1
2
t
t m
−
− =
2
2 1 2t t m⇔ − + + =

2
2 ( 1) 2m t⇔ = − − +
Do
2 2t− ≤ ≤
nên
( 2 1) 1 2 1t− + ≤ − ≤ −
( )
2
1 2 2 2 1 2t⇒ − − ≤ − − ≤
1 2 2
1
2
m
− −
⇒ ≤ ≤
Bài tương tự:
1) Giải
sin cos sin cos 2x x x x
+ − =
2) Giải
sin cos sin cos 1x x x x− − =
3) Định m để phương trình
sin cos sin cosx x x x m
− − =
có nghiệm
4
F. Một số phương trình khác
1)
sin2xsin5x=sin3xsin4x
HD: biến đổi tích thành tổng

2) sin
4
x+cos
4
x=1
HD: 1−2sin
2
xcos
2
x=1 ⇔ sinx=0 V cosx=0 ⇔
2
x k
π
=
3) sin
4
x+cos
4
x=2
HD:
sin 1, cos 1x x≤ ≤
. Phương trình vô
nghiệm.
4)
2 2 2
sin sin 3 2sin 2x x x+ =
HD: hạ bậc
1 cos2 1 cos 6
1 cos 4
2 2

x x
x
− −
+ = −
2cos 4 cos6 cos 2x x x
⇔ = +
cos4 cos 4 .cos2x x x⇔ =
cos4 (1 cos 2 ) 0x x⇔ − =
cos4 0 cos 2 1x x
⇔ = ∨ =
4 2 2
2
x k x k
π
π π
⇔ = + ∨ =
8 4
x k x k
π π
π
⇔ = + ∨ =
5) tan3x=tanx
HD:
tan3x=tanx
2
3
x k
x x l
π
π

π

≠ +

⇔


= +

2
2
x k
x l
π
π
π

≠ +


⇔


=


x m
π
⇔ =
6) tan5x=tan3x

HD:
tan5x=tan3x
3
2
5 3
x k
x x l
π
π
π

≠ +

⇔


= +

6 3
2
x k
x l
π π
π

≠ +


⇔



=


2 , 2
6 2
5 7
2 , 2
6 6
3 11
2 , 2
2 6
x m x m
x m x m
x m x m
π π
π π
π π
π π
π π
π π
 
≠ + ≠ +
 ÷
 ÷
 ÷
≠ + ≠ +
 ÷
 ÷
 ÷

≠ + ≠ +
 ÷
 
Vậy ta chỉ nhận
x m
π
=
7)
cot 2 cot
2
x x
π
 
= +
 ÷
 
HD:

2
2
x k
x l
π
π
π
π

≠ − +





= +


Phương trình vô nghiệm
Cách khác:
Với điều kiện sinx≠0 và cosx≠0
cot 2 cot
2
x x
π
 
= +
 ÷
 
cot 2 tanx x
⇔ = −
cos2 sin
in2x cos
x x
s x
−
⇔ =
cos2
sin
2 inx
x
x
s

⇔ = −
2 2
1 2sin 2sinx x⇔ − = −
Vô nghiệm
8)* sin3x+cos3x+2cosx=0
HD:
sin3x+cos3x+2cosx=0
3 3
3sinx-4sin x+4cos x-3cosx+2cosx=0⇔
3 3
3
3sinx-4sin x+4cos x-cosx
=0
cos x
⇔
2
(3 )( 1) 0t t⇔ − + =
(t=tanx)
1 3t t⇔ = ∨ = ±
4 3
x k x k
π π
π π
⇔ = + ∨ = ± +
9)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2x
1 tan 2
x

x x
x
− = + −
+
HD:
ĐK: sinx≠0, cosx≠0, tanx≠−1
2
cos sin cos .cos 2
sin sinx.cosx
sin sin cos
x x x x
x
x x x
−
= + −
+
cos sin
1 2sinx.cosx
sin
x x
x
−
⇔ = −
2
cos 2sin 2sin x.cosxx x
⇔ = −
2
2 2
1 2 tan
2tan

cos cos
x
x
x x
⇔ = −
3 2
2 3t 2 1 0t t
⇔ − + − =
(t=tanx)
2
( 1)(2 1) 0t t t
⇔ − − + =
1
4
t x k
π
π
⇔ = ⇔ = +
10) sin2x+2tanx=3
HD:
ĐK cosx≠0
2sinx.cos
2
x+2sinx=3cosx
2 2
2t+2t(t +1)=3(1+t )⇔
(t=tanx)
3 2
2 3 4 3 0t t t⇔ − + − =
2

( 1)(2 3) 0t t t⇔ − − + =
1
4
t x k
π
π
⇔ = ⇔ = +
5