Sử dụng phương pháp chặn trong môn số học thcs

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình phổ thông môn toán là môn học chiếm vị trí quan
trọng. Dạy toán tức là dạy phương pháp suy luận khoa học. Học toán tức là
rèn luyện khả năng tư duy logic. Giải các bài toán là một phương tiện rât tốt
giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành các kĩ năng, kĩ
xảo.
Trong quá trình giảng dạy môn toán ỏ THCS nói chung, môn số học
nói riêng, việc hình thành tư duy cho các em để đi đến cách giải một bài toán
là một việc tương đối khó khăn đặc biệt lại là các em học sinh ở đầu cấp. Vì
vậy làm thế nào, để khai thác triệt để các dữ kiện của bài toán, loại trừ các
khả năng có thể xảy ra, từ đó đi đến vấn đề trọng tâm rồi chủ động đưa ra
cách giải một cách đơn và đi đến kết quả.
Một trong những phương pháp đó là “ Sử dụng phương pháp chặn”- là
những công cụ hữu hiệu, góp phần tháo gỡ khó khăn trong việc giải toán.
Phương pháp này tuy đã được nhiều người sử dụng, song không chủ động, áp
dụng chưa rộng, chưa hình thành tư duy phương pháp và kĩ năng cho học sinh
dẫn đến học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc giải bài tập, nhất là các
bài tập về số học.
Từ thực tế giảng dạy bồi tôi đã mạnh dạn làm chuyên đề này, góp một
phần nhỏ vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng:
Số học là môn học các em được học ở lớp 6 nhưng trong các đề thi học
sinh giỏi cấp cụm, cấp huyện, cấp tỉnh luôn có mặt. Khi giải toán số học, một
khâu quan trọng thường có trong cách giải là phải tìm cách hạn chế các giá trị
của biến để từ đó tìm ra kết quả. Tuy nhiên với các em đầu cấp nếu không
được sự hướng dẫn thì việc làm này sẽ không trở đường lối.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
2. Kết quả của thực trạng
Để đánh giá được khả năng giải toán và có phương án truyền đạt
phương pháp đến cho học sinh, tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá
giỏi khối lớp 6 trường THCS Lê Đình Kiên, thời gian làm bài là 45 phút
Bài 1 (4 điểm) Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho
9x 45<
Bài 2 (4 điểm) : Tìm số có hai chữ số sao cho tỉ số giữa hai số đó với tổng các
chữ số của nó có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3 (2 điểm) : Tìm các số tự nhiên x, y sao cho
1 1 1
x y 3
+ =
Kết quả cụ thể :
Điểm dưới 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10
SL % SL % SL %
8 40 7 35 5 25
Qua kiểm tra tôi thấy đa số học sinh không làm được bài 3.
Từ thực trạng trên, để quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt hơn tôi
đã nghiên cứu và tìm hiểu một lớp các bài toán, hướng dẫn các em học sinh sử
dụng phương pháp “chặn” để giải sẽ có hiệu quả hơn.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Sử dụng phương pháp này giải quyết được phần lớn các bài tập số học
cơ bản và nâng cao. Bản chất của vấn đề là: “Muốn tìm được số nào đó hay
mệnh đề nào đó thỏa mãn tính chất hoặc điều kiện cho trước” thì ta phải giới
hạn tính chất đã cho, phạm vi áp dụng, kết hợp nhiều tính chất khác nhau rồi
loại bỏ các yếu tố phức tạp và có thể góp phần đưa ra kết quả.
Cụ thể là : Tìm số a thỏa mãn tính chất nào đó, ta giả sử
≥a m
Kết hợp với điều kiện bài toán ta tìm được

a n
≤
. Từ đó ta tìm được a trong
khoảng từ m đến n
( )
m a n≤ ≤
. Sau đó kết hợp các dữ kiện hoặc thử các
trường hợp trong khoảng đó suy ra a chỉ nhận một số giá trị nào đó.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Các bài toán ở chuyên đề này thường được phân ở hai dạng chính:
- Dạng thứ nhất: Dựa vào đề bài ra ta có thể giới hạn ngay các khả năng xảy
ra, kết hợp nhiều yếu tố khác rồi cho kết quả.
- Dạng thứ hai: Sử dụng các tính chất đã có của các số, nhưng có thể không
nói đến ở đề bài toán. Kết hợp nhận xét, đánh giá các khả năng xảy ra rồi
“ chặn”, từ đó đi đến lời giải và cho kết quả. Trong trường hợp này nhiều khi
chúng ta phải linh động, bởi vì xuất phát điểm của lời giải không cố định bắt
đầu từ đâu, không theo một công thức hay quy luật nào đó.
Sau đây là một số bài tập áp dụng được phân thành các thể loại, trong
đó đã phân thành hai dạng đã nói ở trên.
I. THỂ LOẠI TOÁN VỀ TÌM SỐ
(Ở thÓ lo¹i n y chñ yÕu lµ c¸c bµi to¸n ë dà ạng 1)
Bài 1: Tìm a, b biết
{ }
a,b 23;35;138;17;41∈
và 90<a-b<100.
Lời giải:
Vì 90 < a-b <100 , cộng mỗi vế với b ta có 90+b <a < 100+b
Đặt

{ }
A 23;35;138;17;41=
. Do
b A
∈
nên
b 17
≥

a 90 17 107⇒ > + =

Mà
a A
∈

a 138⇒ =
Ta có
90 b a 90 b 138 b 48+ < ⇒ + < ⇒ <

và
100 b a 100 b 138 b 38+ > ⇒ + > ⇒ >
Suy ra 38 < b < 48
b 41⇒ =
Vậy
a 138, b 41= =
Bài 2: Cho biết
{ }
a,b B 17;18;35;43;96∈ =
và
50 a b 60

< − <
.Hãy tìm a, b.
Lời giải:
Tương tự bài trên ta có:
50 b a 60 b+ < < +
. Do b > 0
a 50
a 96
a B
≥

⇒ ⇒ =

∈

GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
50 b 96 b 46
36 b 46
60 b 96 b 36
+ < ⇒ <

⇒ ⇒ < <

+ > ⇒ >

Mà
b B b 43∈ ⇒ =
Lời bình: Ở các bài toán trên, các em học sinh có thể tính nhẩm rồi cũng có

thể đi đến kết quả, hoặc thử các trường hợp trong A, B cũng cho kết quả. Cơ
sở ở đây là hình thành kỹ năng trong giải toán ở chuyên đề này.
Bài 3: a) Tìm số tự nhiên lớn nhất x sao cho
6x 37
<
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất y sao cho
37 6y>
Lời giải:
a/ Nếu x>6 thì 6.x >37 không thỏa mãn đề bài.
Suy ra
{ }
x 0;1;2;3;4;5;6∈
Mà x là số tự nhiên lớn nhất cần tìm. Vây x=6.
b) Ta có : 6.6=36<37 nên y = 6 không thõa mãn đề bài. Suy ra y= 7 ; 8; 9;
Nhưng y là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm. Vậy y = 7.
Bài 4: Tìm a, b, c sao cho
=a6.4bc 17064
(1)
Lời giải:
Ta có :
400 4bc 499≤ ≤
.
Nếu
a 2 26.499 12974 17064≤ ⇒ = <
Nếu
a 4 46.499 1840 17064≥ ⇒ = >
Từ trên suy ra 2< a < 4
a 3⇒ =
Khi đó, từ (1)
4bc 17064 : 36 474⇒ = =

b 7,c 4⇒ = =

Vậy a = 3, b = 7, c = 4
Bài 5: Tìm
a N∈
biết rằng
( ) ( )
a 2
aa a 1 a 1
−
− = −
Lời giải:
Ta có: Vế trái là một số có 4 chữ số nên vế phải cũng là một số có 4 chữ số.
Nếu
( )
a 2
4
a 6 a 1 5 625
−
≤ ⇒ − ≥ =
( Không thỏa mãn đề bài )
Nếu
( )
a 2
6
a 8 a 1 7 117649
−
≥ ⇒ − ≥ =
( Không thỏa mãn đề bài )

GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Vì vậy ta có
6 a 8 a 7< < ⇒ =
. Khi đó ta có
5
7776 6=
Lời bình: Từ các bài toán 1,2,3,4, các em học sinh khá có khi không gặp
vướng mắc gì. Còn ở bài này rõ ràng phải giới hạn ngay ( nhiều khi giáo viên
cần gợi ý ) a có thể nhận giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ được không? Khi đó điều
gì sẽ xảy ra. Vì vậy chúng ta có ngay giới hạn của a không quá lớn hoặc quá
nhỏ. Bởi vì vế trái là số có 4 chữ số, vế phải là một lũy thừa. Lũy thừa có thể
vượt quá 4 chữ số cho nên ta cần giới hạn điều kiện của a. Có thể coi đây là
một “ kinh nghiệm ” trong việc giải toán này.
Bài 6: Người ta viết thêm số 0 vào giữa hai chữ số của một số có hai chữ số,
sau đó lập tỉ số giữa số mới này và số đã cho. Hỏi giá trị là số nguyên nhỏ
nhất của tỉ số này là bao nhiêu?
Lời giải:
Gọi số có hai chữ số đã cho là
ab
. Trong đó
a,b N,1 a 9;0 b 9∈ ≤ ≤ ≤ ≤
Khi viết thêm số 0 vào giữa ta được số
a0b
.
Đặt
a0b
k
ab

=
ta phải tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của k.
Ta có:
a0b 100a b 90a 90
k 1 1
b
10a b 10a b
ab
10
a
+
= = = + = +
+ +
+
Giá trị nhỏ nhất của k đạt được khi
90
b
10
a
+
đạt giá trị nhỏ nhất
Tức là
b
a
có giá trị lớn nhất.
Phân số
b
a
đạt giá trị lớn nhất khi giá trị của a nhỏ nhất và giá trị của b lớn
nhất

b 9;a 1⇒ = =
Khi đó
14
k 5
19
⇒ =
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của tỉ số là 5.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
5
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Dạng 2: Khi các em đọc đề bài thì khó định hướng để đưa được ra lời giải
theo phương pháp này (tất nhiên có bài dùng phương pháp giải khác). Vì vậy
nhiệm vụ quan trọng của chúng ta là làm thế nào để đưa các em đi đúng quỹ
đạo của lời giải. Ở đây chúng ta phải dùng đến các tính chất về số mà các em
phải hoàn toàn nắm vững. Sau đó nhận xét, đánh giá những khía cạnh trong
bài toán phải thật sự sát với ý tưởng của lời giải, khi đó các em dễ nhập cuộc
với bài giải. Phương pháp chặn lúc này sẽ phát huy tác dụng một cách tích
cực hơn. Sau đây là một số bài toán.
Bài 1: Tìm số a thỏa mãn : a chia 4 dư 3, a chia 9 dư 5. Hỏi a chia cho 36 có
số dư là bao nhiêu?
Lời giải
Ta viết a dưới dạng
( )
a 36q r 0 r 35= + ≤ <
Theo tính chất chia hết của một tổng ta có :
36q 4; 36q 9M M

Suy ra r chia 4 dư 3, r chia 9 dư 5 hay
( )
r 9k 5 k N= + ∈

Mà
0 9k 5 36≤ + <

9k 31 k 0;1;2;3⇒ < ⇒ =
Thử các giá trị của k ta được k=2 thì
r 23=
thỏa mãn đề bài.
Vậy a chia 36 dư 23.
Lưu ý: bài này các em học sinh có thể làm theo cách khác.
Bài 2: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 6 lần tổng các chữ số của nó,
tích các chữ số của nó ít hơn số đó viết theo thứ tự ngược lại là 25 đơn vị.
Lời giải
Gọi số đó là
ab
với
a,b N,1 a 9;0 b 9∈ ≤ ≤ ≤ ≤
.
Theo bài ra ta có

( ) ( )
( )
6 a b ab 1
ab 25 ba 2
+ =
+ =
Từ (1)
( )
( ) ( )
a b 3
ab 3

ab 6 6 a b 9 ab 9 a b 9
b 2
ab 2

 +

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ + ⇒ ⇒ +
 



M
M
M M M M
M
M
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
6
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Suy ra
0 a b 17
10 ab 98 a b 9
ab 25 ba
< + ≤

≤ ≤ ⇒ ⇒ + =

+ =


ab 6.9 54⇒ = =
Thử lại ta được số cần tìm là 54.
Bài 3: Tìm số tự nhiên khác 0 nhỏ hơn 60 có nhiều ước số nhất.
Lời giải
Gọi số tự nhiên đó là n với
n 0≠
.Khi phân tích số n ra các thừa số nguyên tô,
ta xét 4 trường hợp sau:
TH1: n chứa một thừa số nguyên tố:
x 5 6 5
n 2 . Tacó :2 60 2 n 2= < < ⇒ =
có 6
ước số.
TH2: n chứa 2 thừa số nguyên tố :
x y 4 4 2
n 2 .3 . Ta có:2 .3 60 2 .3= < <

4
n 2 .3⇒ =
có 10 ước.
TH3: n chứa 3 thừa số nguyên tố:
x y z 2
n 2 .3 .5 .Ta có:2.3.5 60 2 .3.5= < <
n 2.3.5⇒ =
có 8 ước số.
TH4: n có 4 thừa số nguyên tố trở lên. Trường hợp này không xảy ra vì khi đó
tích của chúng lớn hơn 60.
Vậy n = 48 là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết rằng:
( )

2 2
a b 1530;BCNN a;b 297 và a b+ = = >
Lời giải
Cách 1:
Ta có :
( )
3
BCNN a;b 927 3 .11= =
và
2 2
a b a b> ⇒ >
.
Vì
2 2
a b 10530+ =

2
5215 a 10530 73 a 103⇒ < < ⇒ < <
Suy ra dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số a chứa
2
3 .11
Lại có 10530 không chia hết cho 11 nên b không chia hết cho 11
{ }
2 3
b 3;3 ;3
⇒ ∈
Lần lượt thử với các giá trị trên ta được
3
b 3 27= =
thỏa mãn đề bài.

GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
7
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Khi đó
a 99=
.
Vậy a=99, b=27.
Cách 2:
Lập luận như trên ta suy ra được
( )
a 9; b 9 a 9k,b 9h k;h N,k h⇒ = = ∈ >M M
( )
2 2 2 2
a b 81 k h 10530
⇒ + = + =
{ }
2 2
2
2 2
k h 130
65 k 130 8 k 12 k 9;10;11
k h

+ =

⇒ ⇒ < < ⇒ < < ⇒ ∈

>



Với
2
k 9 h 49 h 7= ⇒ = ⇒ =
. Thay vào ta thấy không thỏa mãn đề bài.
Với
2
k 10 h 30= ⇒ =
vô lí.
Với
2
k 11 h 9 h 3= ⇒ = ⇒ =
Thỏa mãn đề bài ra.
Vậy a=99, b=27.
Lời bình:
Cách 1: tuy ngắn gọn nhưng ít được sử dụng rộng rãi, bởi vì có khi phải
thử nhiều trường hợp thì rất mất thời gian cho việc tính toán mà hiệu quả lại
không cao, không mang tính khoa học bộ môn rõ rệt.
Cách 2: Nếu các em không nghĩ ngay đến việc sử dụng kết quả trong
việc tìm BCNN của hai số thì rất khó có thể tìm ra cách giải, rất mất thời gian
hoặc dài dòng mới cho kết quả.
Bài 5: Tìm số tự nhiên n biết tổng các chữ số của nó là
2
n 2011n 4− +
Lời giải:
Gọi
( )
S n
là tổng các chữ số của n. Ta có :
( ) ( )
0 S n n *≤ ≤

+ Nếu
( )
n 0 S n 5 0= ⇒ = ≠
loại.
+ Nếu
1 n 2011≤ ≤
( ) ( ) ( )
2 2
S n n 2011n 4 n n 2010n 2010 2006 n 1 n 2010 2006= − + = − − + − = − − −
Suy ra
( )
S n 0<
loại.
+ Nếu
( ) ( )
n 2011 S n n n 2011 4 n> ⇒ = − + >
Mâu thuẫn với (*).
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
8
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
+ Nếu
( )
2
n 2011 S n 2011 2011.2011 4 5 2 0 1 1= ⇒ = − + = = + + +
thỏa mãn.
Vậy số đó là 2011
II. THỂ LOẠI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1 (D1) Tìm tất cả các số tự nhiên k sao cho dãy số
k 1,k 2,k 3, ,k 10+ + + +
chứa nhiều số nguyên tố nhất

Lời giải
+ Với k = 1 thì dãy trên có 5 số nguyên tố là 2,3,5,7,11.
+ Với k = 0 thì dãy trên có 4 số nguyên tố là 2,3,5,7.
+ Với
k 2
≥
thì các số của dãy trên đều không nhỏ hơn 3 và trong 10 số đó có
5 số chẵn là hợp số và 5 số lẻ liên tiếp. trong các số lẻ này có ít nhất một số
khác 3 mà chia hết cho 3. Do đó số các số nguyên tố không vượt quá 4.
Vậy k = 1 thì dãy chứa nhiều số nguyên tố nhất.
Bài 2 (D1): Tìm tất cả bộ ba các số nguyên tố liên tiếp sao cho tổng bình
phương của 3 số đó cũng là số nguyên tố.
Lời giải
Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp cần tìm là p, q, r.
Ta có
2 2 2
p q r A+ + =
là số nguyên tố.
Giả sử p < q < r
Do p, q, r là các số nguyên tố nên
2 2 2
A p q r 3= + + >
Nếu p, q, r đều không chia hết cho 3 khi đó
2 2 2
p ;q ;r
khi chia cho 3 dư 1.
A 3⇒ M
mà A > 3 nên A là hợp số trái với giả thiết (Loại)
Vậy
p 3M

vì p nguyên tố nên
p 3 q 5;r 7= ⇒ = =
Khi đó
2 2 2
A 3 5 7 83= + + =
là số nguyên tố.
Bài 3 (D1): Tìm tất cả các số nguyên tố p để
p 2
2 p+
cũng là số nguyên tố.
Lời giải:
Nếu p = 2 thì
p 2 2 2
A 2 p 2 2 8= + = + =
là hợp số.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
9
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Nếu
p 3>
mà p nguyên tố nên p là số lẻ.
Ta có
( ) ( )
p 2 p 2
A 2 p 2 1 p 1= + = + + −
Vì p là số lẻ nên
p 2
2 1 3 và p 3 A 3+ ⇒M M M
. Lại có A > 3 nên A là hợp số
Nếu p = 3 thì

3 2
A 2 3 17= + =
là số nguyên tố.
Vậy chỉ tìm được một số nguyên tố p = 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 4 (D2): Tìm mọi số nguyên tố x, y thỏa mãn
2 2
x 2y 1− =
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2 2 2 2 2
x 2y 1 x 1 2y x 1 x 1 2y− = ⇒ − = ⇒ − + =
(1)
Xét tổng
( ) ( )
x 1 x 1 2x− + + =
là số chẵn
x 1;x 1⇒ − +
cùng tính chẵn, lẻ.
Từ (1)
x 1;x 1⇒ − +
cùng là số chẵn

( ) ( )
2 2
x 1 x 1 4 2y 4 y 2 y 2⇒ − + ⇒ ⇒ ⇒M M M M
Mà y là số nguyên tố
y 2⇒ =
. Khi đó
2 2

x 1 2.2 9 x 3= + = ⇒ =
Vậy
x 3, y 2= =
III.THỂ LOẠI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1 (D1): Hãy tìm số bị chia, số chia và thương trong phép chia sau đây:
abcd :dcba q=
biết rằng cả 3 số đều là số chính phương và các chữ số khác
nhau.
Lời giải
Do
abcd dcba 1 q 10≠ ⇒ < <
mà q là số chính phương nên
{ }
q 4;9∈
Mặt khác
abcd;dcba
đều là các số chính phương nên
{ }
a,d A 1;4;5;6;9∈ =

(vì
a,d 0≠
)
Nếu
d 3 thì dcba.q 3000.4 12000 abcd≥ > = >
(Loại)
Vậy
d 3 mà d A d 1< ∈ ⇒ =
Ta xét
1cba.q abc1=

mà q = 4 hoặc 9
a A q 9∈ ⇒ =
và a = 9.
Nếu
c 2 1cba.9 1200.9 10800 abc1≥ ⇒ > = >
(Loại)
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
10
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Vậy ta có c < 2
c 0⇒ =
vì
c d≠

abcd 9b01 10b9.9 9b01 9 b 9⇒ = = ⇒ ⇒ =M
(Theo dấu hiệu chia hết cho 9)
Vậy các số đó là 9081:1089=9 , mỗi số đều là số chính phương.
Bài 2(D1): Tìm số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng
2n 1 và 3n 1+ +
đều là các
số chính phương.
Lời giải
Vì n là số có 2 chữ số nên
10 n 99 20 2n 198 21 2n 1 199≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤

Vì 2n+1 là số lẻ nên trong khoảng trên có các số lẻ là số chính phương là
25,81,121,169 . Tương ứng với n=12,40,60,84.
Khi đó 3n+1 nhận các giá trị tương ứng là : 37, 121, 181, 253. trong các số
này chỉ có số 121 là số chính phương.
Vậy n=40 là số cần tìm.

Bài 3 (D2): Cho số tự nhiên n và d là ước của
2
2n
. Chứng minh rằng
2
2n d+
không thể là số chính phương.
Lời giải
Theo bài ra ta có d là ước của
2
2n

( )
2
2 *
2n
2n d.k k N d
k
⇒ = ∈ ⇒ =
Giả sử
2
2n d+
là số chính phương, khi đó
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2n
n d a n a n k 2n k a k
k
+ = ⇒ + = ⇒ + =
( )

( )
2
2 2
n k 2k ak⇒ + =
Mặt khác ta có :
( )
( )
2
2 2 2 2 2
n k n k 2k n k 1< + < +
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
nk n k 2k n k 1⇒ < + < +
Ta có
( ) ( )
2
2
nk và n k 1+ 
 
là hai số chính phương liên tiếp
( )
2 2
n k 2k
⇒ +
không thể là số chính phương.
Mà
( )

2
ak
là số chính phương. Suy ra vô lý.
Vậy
2
2n d+
không là số chính phương.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
11
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
IV. MỘT SỐ BÀI TẬP Ở THỂ LOẠI PHÂN SỐ
Bài 1 (D1) Tìm 2 số nguyên dương khác nhau sao cho tổng nghịch đảo của
chúng bằng
1
2
.
Lời giải
Gọi 2 số nguyên dương phân biệt là a và b.
Không làm mất tính tổng quát của bài toán, giả sử a < b
Theo bài ra ta có
1 1 1 1 1 1 1 1 2
a 4
a b 2 a b a a 2 a
+ = ⇒ + < + ⇒ < ⇒ <
(1)
Lại có
1 1 1 1 1
a 2
a b 2 a 2
+ = ⇒ < ⇒ >

(2)
Từ (1),(2) suy ra
2 a 4 a 3< < ⇒ =
1 1 1 1 1 1
b 6
b 2 a 2 3 6
= − = − = ⇒ =
Vậy
( ) ( ) ( )
a;b 3;6 ; 6;3=
Bài 2 (D1) Cho a, b, c là 3 số nguyên dương khác nhau sắp xếp theo thứ tự
tăng dần có tổng nghịch đảo của chúng là một số nguyên. Tìm a, b, c.
Lời giải
Ta phải tìm a, b, c sao cho
( )
1 1 1
a b c và n n N
a b c
< < + + = ∈
1 1
n 1 2 n 1
2 2
⇒ < + + = ⇒ =
Khi đó
1 1 1 1 3
n 1 1 a 3 a 2
a a a a a
< = < + + = ⇒ < < ⇒ =
Như vậy
1 1 1

b c 2
+ =
(1)
Giải (1) tương tự bài 1.
Vậy
a 2,b 3,c 6= = =
Bài 3 (D1) Tìm 3 số nguyên dương biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
12
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
Lời bình: Bài toán này tương tự như bài 2, nhưng bài này các số cần tìm chưa
được được “sắp xếp”. Ta có thể bắt trước bài 2 để giải bài này.
Lời giải
Gọi 3 số nguyên dương đó là a, b, c.
Không mất tính tổng quát của bài toán, giả sử
1 1 1
a b c
a b c
≤ ≤ ⇒ ≥ ≥
Theo bài ra ta có
1 1 1
1 (1)
a b c
+ + =

1 1 1 3
1
a a a a
⇒ ≤ + + =
a 3⇒ ≤

(2)
Từ (1)
a 1⇒ >
(3).
Từ (2),(3)
a 2;3⇒ =
Với a = 2 ta có
1 1 1 1 2
1 b 4
b c 2 2 b
+ = − = ≤ ⇒ ≤
Kết hợp với b > 2 (Vì
1 1 1
b c 2
+ =
)
2 b 4 b 3,4⇒ < ≤ ⇒ =
Với
1 1 1 1
b 3 c 6
c 2 3 6
= ⇒ = − = ⇒ =
Với
1 1 1 1
b 4 c 4
c 2 4 4
= ⇒ = − = ⇒ =
Trường hợp
1 1 1 2 2
a 3 1 b 3

b c 3 3 b
= ⇒ + = − = ≤ ⇒ ≤
Vì
b a b 3≥ ⇒ ≥
Suy ra b = 3
Vậy cặp
( )
x;y;z
nhận là
( ) ( ) ( )
2;4;4 ; 2;3;6 ; 3;3;3
Và các hoán vị x, y, z ta có
các cặp
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4;4;2 ; 4;2;4 ; 2;6;3 ; 3;2;6 ; 3;6;2 ; 6;2;3 ; 6;3;2
Bài 4(D1) Cho biết
x y z t≤ ≤ ≤
. Tìm x, y, z, t biết
1 1 1 1
1
x y z t
+ + + =
Lời bình : Bài toán 4 là trường hợp có chứa 4 biến nên trong cách giải phải
dùng nhiều đến phương pháp chặn, trong đó cách làm tương tự như bài 3. Để
làm bài những bài tập dạng này ta cần phải sử dụng nhiều đến các tính chất
khác ngoài các phép tính toán thông thường, bước đầu làm quen với tính chất
bất đẳng thức số. Thiết nghĩ ở bài 3, bài 4 các em có thể nghĩ ngay đến việc
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
13
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011

chặn của các biến x, y, z, t bởi vì tổng của các phân số chỉ bằng 1. Riêng ở
bài trên nếu không sử dụng phương pháp chặn thì rất khó khăn chứ chưa nói
gì đến là không giải được.
Lời giải Cách giải tương tự như bài toán 3
BÀI TẬP TỰ GIẢI
1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng nhân nó với 135 ta được một số
chính phương.
2. Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho 2 chữ số đầu giống nhau và 2
chữ số cuối giống nhau.
3. Chứng minh rằng a, b, c là số nguyên tố thì
2
b 4ac−
không là số chính
phương.
4. Tìm bộ ba số tự nhiên
a,b,c 0≠
sao cho
1 1 1 4
a b c 5
+ + =
C. KẾT LUẬN
1. Kết quả nghiên cứu
Qua thực tế áp dụng phương pháp này trong quá trình dạy, việc học bồi
dưỡng học sinh giỏi toán 6 đã đạt được kết quả tốt.
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
14
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
- Tạo được hứng thú học tập, tâm lí vững vàng tự tin cho học sinh khi
đứng trước yêu cầu của bài toán không chỉ ở dạng đơn giản.
-Bồi dưỡng khả năng tìm tòi, sáng tạo áp dụng các kiến thức đã học vào

một số bài toán số học và các bài toán khác.
- Học sinh được mở rộng khắc sâu kiến thức tình chất về số học.
Sau khi học chuyên đề này học sinh làm bài kiểm tra (thời gian : 30 phút )
Bài 1 (4 điểm) : Tìm số có hai chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng các
chữ số của nó có giá trị lớn nhất
Bài 2 (6 điểm) : Tìm các số nguyên dương x, y, z sao cho
1 1 1 1
x y z 2
+ + =
Kết quả cụ thể :
Điểm dưới 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10
SL % SL % SL %
1 5 8 40 11 55
2. Kiến nghị, đề xuất
Trên đây là một vài kinh nghiệm của riêng tôi trong việc hướng dẫn các
em học sinh khá giỏi lớp 6 sử dụng tính bị chặn nhằm làm cho học sinh nắm
chắc kiến thức, vận dụng linh hoạt sáng tạo để có thể giải được các bài toán số
học khác.
Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp, các
đồng chí chuyên viên Toán của Phòng Giáo Dục và Sở Giáo Dục để tôi rút ra
được những kinh nghiệm cần thiết để tiếp tục nghiên cứu tốt hơn.
Tôi xin chân trọng cảm ơn !
Yên Định, ngày 10 tháng 4 năm 2011
Nguyễn Đức Hữu
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
15
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa toán 6
2. Sách bài tập toán 6

3. Sách giáo viên toán 6
4. Toán bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
16
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
5. Toán nâng cao và phát triển toán 6
6. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS
Mục lục
Nội dung Trang
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu 1
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 1
1. Thực trạng 1
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
17
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM – Năm học 2010-2011
2. Kết quả của thực trạng 2
B : Giải quyết vấn đề 2-3
I. Thể loại toán về tìm số 3-9
II. Thể loại toán về số nguyên tố 9-10
III. Thể loại toán về số chính phương 10-12
IV. Thể loại toán về phân số 12-14
C : Kết luận 15-16
Tài liệu tham khảo 17
Mục lục 18
GV: Nguyễn Đức Hữu - Trường THCS Lê Đình Kiên – Yên Định
18