skkn Dạy học giải phươngtrình vô tỉ

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
*Khái quát về lí luận:
Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường luôn luôn là nhiệm vụ trọng
tâm của tất cả giáo viên ở các trường phổ thông, đặc biệt với những nội dung quan
trọng mà học sinh lại khó học khó hiểu thì giáo viên càng phải đầu tư thời gian,
công sức giúp học sinh tiếp thu được kiến thức tốt nhất. Trong chương trình toán
phổ thông, từ bậc THCS các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn, bắt đầu sang lớp 10 cấp THPT các em lại được tìm hiểu phương trình
vô tỉ một cách có hệ thống. Tuy nhiên với rất nhiều học sinh thì việc giải phương
trình vô tỉ còn gặp khó khăn: các em lúng túng không biết cách giải, không hiểu rõ
bản chất phương pháp giải các dạng phương trình vô tỉ, mắc các sai lầm trong quá
trình biến đổi, trình bày lời giải còn lủng củng… Tuy nhiên đây lại là dạng toán hết
sức quan trọng vì nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi.
*Khái quát về thực tiễn:
Nội dung phần phương trình vô tỉ nằm trong chương trình SGK Đại số lớp 10
hiện hành được trình bày ở phần đầu chương III. Sách giáo khoa giới thiệu sơ lược
một ví dụ và đưa ra cách giải cơ bản với quan điểm và cách trình bày chi tiết và có
phần rườm rà. Học sinh khó hiểu và dễ mắc sai lầm ở phần này. Nội dung được đề
cập đến ít nên phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế và trong quá trình
giảng dạy giáo viên không thể đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình
thành kỹ năng giải cho học sinh. Nhưng trong thực tế, để giải phương trình chứa ẩn
dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư duy tốt và phải
có kỹ năng biến đổi toán linh hoạt.
Xuất phát từ những lí do trên tôi lựa chọn đề tài: "Dạy học giải phương
trình vô tỉ" với mong muốn qua quá trình áp dụng đề tài vào giảng dạy, các em học
sinh lớp 10 nắm vững phương pháp giải và thực hành giải phương trình vô tỉ ở các
dạng cơ bản.
2. Phạm vi, đối tượng nghiên cứu:
- Phạm vi: Phương pháp dạy học phương trình vô tỉ với học sinh khối 10
trường phổ thông Dân tộc Nội trú huyện Than Uyên - Lai Châu.

- Đối tượng: Dạy học giải phương trình vô tỉ.
3. Mục đích:
Giúp cho giáo viên giảng dạy có hiệu quả phần nội dung phương trình vô tỉ
của lớp 10 từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy chung.
Giúp học sinh học sinh nắm được các dạng toán cơ bản phần phương trình
vô tỉ ở lớp 10 và phân biệt được điều kiện nào là điều kiện cần và đủ của phương
trình, khi nào thì ta có phép biến đổi tương đương, khi nào thì ta có phép biến đổi hệ
quả và lưu ý đến việc loại bỏ nghiệm ngoại lai của phương trình.
Rèn tư duy logic, kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích
hợp khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ cho học sinh (chỉ xét phương trình chứa
ẩn dưới dấu căn bậc hai).
4. Điểm mới của SKKN:
Sáng kiến chỉ rõ được nguyên nhân dẫn đến học sinh khó hiểu và dễ hiểu lầm
theo cách trình bày lời giải của SGK, từ đó đề xuất giải pháp hữu hiệu giúp học sinh
có cách nhìn đúng nhưng đơn giản.
Phân được rõ ràng 03 dạng toán cơ bản hay gặp nhất cùng phương pháp giải
và cách trình bày lời giải chính xác, ngắn gọn. Trong mỗi dạng lại có những nhận
xét, so sánh, lưu ý để học sinh không chỉ nắm được mà còn hiểu bản chất của
phương pháp giải với từng dạng toán.
Chương 1: Cơ sở lí luận về dạy học giải phương trình vô tỉ
1.1. Các định nghĩa, khái niện
* Khái niệm về dạy học:
Dạy học là một quá trình gồm toàn bộ các thao tác có tổ chức và có định
hướng giúp người học từng bước có năng lực tư duy và năng lực hành động với
mục đích chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng trên cơ sở đó có khả năng tự giải
quyết được cá nhiệm vụ đặt ra.
* Định nghĩa phương trình vô tỉ:
Phương trình vô tỉ là phương trình đại số trong đó ít nhất một số hạng là biểu
2
thức vô tỉ đối với ẩn số (tức là ẩn số nằm trong dấu căn).

1.2. Các văn bản chỉ đạo
Sáng kiến thực hiện dựa trên các văn bản chỉ đạo, hướng dẫn:
Nghị quyết hội nghị Trung ương 8 khóa XI ngày 4/11/2013(Nghị quyết số 29
NQ/TW) về đổi mới căn bản và toàn diện Giáo dục và Đào tạo.
Kế hoạch 307/KH-BGDĐT, ngày 22/07/2008 của Bộ Giáo dục và Đào tạo về
việc triển khai phong trào thi đua "Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích
cực" trong các trường phổ thông.
Công văn số 1121/SGD-ĐT ngày 25 tháng 11 năm 2010 về việc dạy học theo
đối tượng vùng miền.
Hướng dẫn số 895/SGD ĐT- GDTrH ngày 13 tháng 9 năm 2013 về việc
hướng dẫn thực hiện sau Bồi dưỡng hè 2013.
Chương 2: Thực trạng về dạy học giải phương trình vô tỉ
2.1. Vài nét về địa bàn thực hiện sáng kiến
Trường PTDT Nội trú huyện Than Uyên là một trường giàu truyền thống về
học tập. Học sinh của nhà trường được tuyển chọn từ thành phần dân tộc khác nhau
trên địa bàn huyện: Thái, HMông, Dao, KMú, Tày, Thổ. Từ năm học 2012 - 2013
nhà trường bắt đầu tuyển sinh đầu vào khối lớp 10 và trở thành trường liên cấp 2,3.
Tổng số học sinh trong trường là 250 em chia thành 08 lớp, mỗi khối 02 lớp. Riêng
với khối lớp 10 của năm học 2013 - 2014 có 70 học sinh trong đó 41 nữ và 29 nam.
Đa số học sinh có ý thức trong việc học tập cũng như rèn luyện đạo đức. Đội ngũ
giáo viên nhiệt, tình trách nhiệm với công việc.
2.2. Thực trạng vấn đề được nghiên cứu trong sáng kiến
a) Thuận lợi:
Nhà trường, tổ chuyên môn luôn tạo điều kiện tốt cho giáo viên trong việc
thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn.
Học sinh được ở tập trung và học tập 2 buổi một ngày thuận lợi để các em
học tập, để giáo viên thực hiện công tác giảng dạy ngoài giờ chính khoá.
Hầu hết các em có ý thức tốt trong việc học tập.
b) Khó khăn:
3

Đa số học sinh không có hứng thú với môn toán, các em ngại học môn toán
đặc biệt với những nội dung khó như phương trình vô tỉ.
Phần lớn học sinh nhận thức còn chậm, chưa hệ thống được kiến thức. Khi
gặp các bài toán về phương trình vô tỉ chưa phân loại và định hình được cách giải,
lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi.
Đây là nội dung quan trọng nhưng khó đối với học sinh mà thực tế giảng dạy
trên lớp giáo viên không đủ thời gian để phân dạng và hướng dẫn học sinh phương
pháp giải.
2.3. Nguyên nhân
Nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là các em hổng kiến thức cũ.
Một nguyên nhân nữa làm các em không có hứng thú với nội dung phần
phương trình vô tỉ là kỹ năng biến đổi toán học yếu, tư duy giải toán phần này
tương đối khó đối với các em.
Phần nội dung phương trình vô tỉ có rất nhiều dạng nhưng với khuôn khổ
chương trình thì sách giáo khoa đại số 10 không thể nêu cách giải tổng quát cho
từng dạng nên cơ bản kỹ năng giải phương trình vô tỉ của các em còn yếu.
Thông qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ tôi nhận thấy học sinh thường bỏ
qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải, đặt điều kiện và lấy nghiệm sai
ở phần này. Khảo sát để đánh giá kỹ năng giải phương trình vô tỉ trên 70 học sinh
khối 10 bằng bài kiểm tra viết tôi nhận được kết quả sau: yếu: 42/70=60%; trung
bình: 20/70=28,6%; khá, giỏi: 8/70=11,4%
Sau đây là một số ví dụ minh chứng rõ những thực trạng nêu trên:
VD1: Giải phương trình
2 3x −
= x - 2 (1)
Tôi xin trích lời giải của sách giáo khoa Đại số 10 (Trang 60) như sau:
điều kiện pt(1) là x
≥

3

2
(*)
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả:
(1)
⇒
2x - 3 = x
2
- 4x + 4
⇒
x
2
- 6x + 7 = 0
Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 +
2
và x = 3 -
2
.
Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các
giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 -
2
bị loại
4
(vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3 +
2
là nghiệm (hai vế cùng bằng
2
+1 ).
Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 +
2
.

Có học sinh có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần
so sánh với điều kiện x
≥

3
2
(*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là
x = 3 +
2
và x = 3 -
2
.
Cách giải vừa nêu trên rất phức tạp với học sinh ở việc thay giá trị của
nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn
đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện
x
≥

3
2
là điều kiện cần và đủ. Để giải quyết vấn đề này tôi xin trình bày ở mục a)
phần biện pháp.
VD2: Giải phương trình:
2
2 3 4x x+ −
=
7 2x +

Nhiều học sinh thường đặt điều kiện
2

2x 3x 4 0
7x 2 0

+ − ≥

+ ≥

sau đó bình phương hai
vế để giải phương trình
Giáo viên cần chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của
phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện 7x + 2
≥
0 là điều kiện cần và
đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện. Để giải quyết vấn đề này tôi xin
trình bày ở mục b) phần biện pháp.
VD3: Giải phương trình 3x
2
+21x +18 +2
2
7 7x x+ +
= 2
Khi gặp bài toán này một số học sinh thường biến đổi về:
2
2
7 7x x+ +
= -3x
2
-21x -16 sau đó đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến
một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương
trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông . Để giải

quyết vấn đề này tôi xin trình bày ở mục c) phần biện pháp.
Chương 3: Biện pháp
3.1 Các biện pháp
Phương trình vô tỉ là nội dung khó và khá nhiều dạng toán, nhưng với mục
5
tiêu của đề tài chỉ là giúp HS lớp 10 giải được phương trình vô tỉ ở dạng cơ bản để
phù hợp với đối tượng học sinh, tôi xin đưa ra nội dung của biện pháp qua các dạng
toán cụ thể như sau:
a) Dạng toán 1: Giải phương trình dạng:
( )x
f
= g
(x)
* Nhiệm vụ: Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( )x
f
= g
(x)
* Phương pháp:
Giáo viên chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi
đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm
Phương trình:
( )x
f
= g
(x)
⇔

( )
2

( ) ( )
0
x
x x
g
f g
≥



=


Điều kiện g
x)
≥
0 là điều kiện cần và đủ vì f
(x)
= g
2
(x)

≥
0. Không cần đặt thêm
điều kiện f
x)
≥
0
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tôi xin lấy lại VD1 đã nêu ở phần thực trạng:

Giải phương trình
2 3x −
= x - 2 (1)
Điều kiện x
≥
2 (*)
(Giáo viên lưu ý cho học sinh không cần đặt thêm điều kiện 2x - 3
≥
0)
Khi đó pt(1)
⇔
2x - 3 = (x - 2)
2

⇔
x
2
- 6x + 7 = 0
x 3 2
x 3 2

= +
⇔

= −



Đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương trình (1) là
x 3 2= +

Nhận xét: Không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban
đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x
≥
2 (*) để lấy nghiệm. Rõ ràng
cách trình bày này đơn giản, dễ hiểu hơn so với cách trình bày trong SGK mà tôi đã
nêu ở VD1 phần thực trạng.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
3 2 1x x− −
= 3x + 1 . (2)
Nhận xét : Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng
phương pháp biến đổi hệ quả như cách trình bày trong SGK ở VD1 phần thực trạng
6
thì sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 3x
2
- 2x -1
≥
0 (Học sinh chưa học
dấu của tam thức bậc hai) và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu
để lấy nghiệm.
Ta có thể giải như sau:
Điều kiện: x
≥
-
1
3
(**)
Khi đó pt(2)
⇔
3x

2
- 2x - 1 = (3x + 1)
2


⇔
3x
2
- 2x - 1 = 9x
2
+ 6x + 1

⇔
3x
2
+ 4x + 1 = 0
⇔
1
1
3
x
x
= −



= −


Đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = -

1
3
Sau hai ví dụ trên, ưu điểm của cách giải này so với cách SGK trình bày xin
dành cho bạn đọc nhận xét!
b) Dạng toán 2: Giải phương trình dạng:
( ) ( )x x
f g=

* Nhiệm vụ: Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng:
( ) ( )x x
f g=
.
* Phương pháp:
Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi
pt
( ) ( )x x
f g=

⇔

( ) ( )
( ) ( )
0( 0)
x x
x x
f g
f g
≥ ≥




=


Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g
(x)
0≥
và f
(x)
0≥
vì f
(x)
= g
(x)
và việc
chọn đặt f
(x)
0
≥
hay g
(x)
0
≥
phụ thuộc vào biểu thức f
(x)
hay g
(x)
đơn giản hơn.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tôi xin lấy lại VD2 đã nêu ở phần thực trạng:

Giải phương trình
2
2 3 4x x+ −
=
7 2x +
(3)
Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt
điều kiện cho vế phải không âm.
ĐK:
2
x
7
−
≥
(*).
pt(3)
⇔
2x
2
+ 3x - 4 = 7x +2
7

⇔
2x
2
- 4x - 6 = 0
⇔

1
3

x
x
= −


=

Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 3.
Lưu ý: Điều kiện
2
x
7
−
≥
(*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (3) nên
ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình.
Ta có thể trình bày vắn tắt lời giải của mục b) ở trên (kể cả mục a) dưới dạng
hệ như sau:
Ví dụ 2: Giải phương trình
2 5 2x x+ = −

Tóm tắt bài giải:

x 2 0
2x 5 x 2
2x 5 x 2
− ≥

+ = − ⇔


+ = −



⇔



−=
≥
7
2
x
x
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
c) Dạng toán 3: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
* Nhiệm vụ: Hướng dẫn học sinh giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
* Phương pháp:
Nhận xét đặc điểm của phương trình cần giải để đưa ra cách đặt ẩn phụ cho
phù hợp. Thường với phương trình một ẩn hay phương trình chỉ có một căn thức thì
ta đặt biểu thức dưới dấu căn làm ẩn mới rồi biểu thị phần còn lại theo ẩn mới này.
* Các ví dụ:
Ví dụ 1: Tôi xin lấy lại VD3 đã nêu ở phần thực trạng:
Giải phương trình: 3x
2
+21x +18 +2
2
7 7x x+ +
= 2 (4)
Nhận xét: Biểu thức ngoài dấu căn là biểu thức bậc hai, nếu ta chuyển hết

phần ngoài căn sang một vế rồi bình phương hai vế thì sẽ đi đến một phương trình
bậc bốn rất khó giải.
Ta có thể giải bài toán như sau:
Giải: Điều kiện x
2
+ 7x +7
≥
0
Đặt
2
7 7x x+ +
= y
≥
0 thì x
2
+ 7x +7 = y
2
Khi đó 3x
2
+21x +18 = 3y
2
– 3
8
(4)
⇔
3y
2
– 3 + 2y = 2
⇔
3y

2
+2y – 5 = 0
⇔
(y - 1)(3y + 5) = 0

⇔
y
1
=
5
3
−
(loại); y
2
= 1
Với y = 1 ta có:
2
7 7x x+ +
= 1
⇔
x
2
+7x + 6 = 0

⇔
(x +1)(x +6) = 0

⇔
x
1

= -1; x
2
= - 6 Thỏa mãn điều kiện đầu bài
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
= -1; x
2
= - 6
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ
2
7 7x x+ +
= y làm cho phương trình được đưa về
dạng hữu tỉ, giải dễ dàng hơn.
Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta cần hướng dẫn
học sinh đặt điều kiện cho ẩn phụ. Số nghiệm của phương trình đầu phụ thuộc vào
số nghiêm phương trình bậc hai trung gian và điều kiện có nghĩa của phương trình
đầu .
+ Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình đầu vô nghiệm.
+ Nếu các nghiệm số tìm được của phương trình bậc hai trung gian làm cho các ẩn
số của phương trình đầu thuộc miền xác định của nó thì phương trình đã cho có
nghiệm.
3.2. Hiệu quả của sáng kiến
Trước khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy học sinh thường lúng túng không
định hướng được cách giải phương trình vô tỉ hoặc biến đổi sai, không phân biệt
được đâu là phép biến đổi tương đương, đâu là biến đổi tạo ra phương trình hệ quả,
trình bày lời giải lủng củng, thiếu chặt chẽ, rất nhiều học sinh thấy ngại khi gặp
phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
Sau khi áp dụng các giải pháp của sáng kiến vào công tác giảng dạy đa số học
sinh đã hiểu và nắm được cách giải các phương trình vô tỉ dạng cơ bản, biết phân
biệt các phép biến đổi, trình bày lời giải rõ ràng, ngắn gọn. Các em có sự tiến bộ rõ

nét về kỹ năng giải phương trình vô tỉ, tâm lí e ngại khi gặp loại phương trình này
đã giảm hẳn.
* Kết quả đạt được:
Trước khi áp dụng Sau khi áp dụng
9
Điểm yếu Điểm TB Điểm khá
giỏi
Điểm yếu Điểm TB Điểm khá
giỏi
42/70=60
%
20/70=28,6
%
8/70=11,4% 19/70=27,1% 26/70=37,2% 25/70=35,7%
3.3. Ứng dụng vào thực tiễn
3.3.1. Bài học kinh nghiệm
Thông qua việc nghiên cứu, ứng dụng đề tài và những kinh nghiệm từ thực
tiễn giảng dạy, tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh từng dạng toán một cách cụ thể, rõ ràng về
nhận dạng dạng toán, phương pháp giải cho từng dạng toán và những lưu ý với mỗi
dạng toán đó.
Giáo viên phải có một cách nhìn tổng quát về vị trí của phương trình vô tỉ
trong chương trình toán, từ đó cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi
tiết, chuẩn mực.
Một điều quan trọng là giáo viên phải kích thích được các em say sưa học tập,
tự giác học tập, phát huy được những tố chất tốt nhất của các em để công việc học
tập của các em đạt được hiệu quả cao.
3.3.2. Ý nghĩa
Qua quá trình áp dụng sáng kiến vào giảng dạy tôi thấy:
Học sinh hứng thú học toán hơn, đặc biệt với nội dung phương trình có ẩn

dưới dấu căn.
Kỹ năng giải phương trình vô tỉ của học sinh đã tốt hơn, rèn luyện được khả
năng tư duy của học sinh.
Góp phần nâng cao chất lượng đại trà và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu
học bộ môn.
3.3.3. Tính khả thi và khả năng áp dụng triển khai của sáng kiến
Có khả năng triển khai áp dụng mang lại hiệu quả với tất cả học sinh lớp 10.
KẾT LUẬN
10
1. Kết luận
Phương trình vô tỉ là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán
lớp 10 nói riêng và bậc trung học nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một
mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm.
Đề tài của tôi lựa chọn và áp dụng được học sinh đồng tình và đạt được kết
quả, nâng cao khả năng giải phương trình vô tỉ của học sinh. Các em hứng thú học
tập hơn, khi hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình trở lên đã có kỹ
năng giải các bài tương đối tốt. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.
Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy
phần toán giải phương trình vô tỉ giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải
tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn.
2. Kiến nghị
Trong phân phối chương trình môn Toán lớp 10 nên tăng cường thêm số tiết
cho nội dung này.
Đối với giáo viên phải thực sự yêu nghề, đầu tư nhiều thời gian để tự học tự
bồi dưỡng để không ngừng nâng cao kiến thức, phương pháp.
Tổ chuyên môn, nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng
dạy. Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng
năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề.
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn đề tài còn có nhiều thiếu
sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung

và góp ý cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Than Uyên, ngày 05 tháng 4 năm 2014
Xác nhận của lãnh đạo đơn vị Tác giả SKKN
Kiều Việt Tuấn
11