Bài tập Hình học 12 - Khối đa diện (bổ sung) hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (279.09 KB, 27 trang )
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 1
1. Hai đường thẳng song song
a) Định nghĩa:
abP
ab
ab
,()
⊂
⇔
∩=∅
P
b) Tính chất
•
()()()
()(),,
()()
()()
PQR
PQaabcñoàngqui
PRbabc
QRc
≠≠
∩=
⇒
∩=
∩=
PP
•
()()
(),()
()
PQd
dab
PaQb
dadb
ab
∩=
⊃⊃⇒
≡≡
PP
P
•
,
ab
ab
acbc
≠
⇒
P
PP
2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Định nghĩa: d // (P) ⇔ d ∩ (P) = ∅
b) Tính chất
•
(),'()
()
'
dPdP
dP
dd
⊄⊂
⇒
P
P
•
()
(),()()
dP
da
QdQPa
⇒
⊃∩=
P
P
•
()()
(),()
PQd
da
PaQa
∩=
⇒
P
PP
3. Hai mặt phẳng song song
a) Định nghĩa: (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅
b) Tính chất
•
(),
()()
(),()
Pab
abMPQ
aQbQ
⊃
∩=⇒
P
PP
•
()()
()()()()
()()
PQ
PRPQ
QR
≠
⇒
PP
P
•
()()
()()
()()
QR
PQaab
PRb
∩=⇒
∩=
P
P
4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
• Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
• Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
• Áp dụng các định lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh
()
dP
P
, ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một
đường thẳng d′ nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng trong mặt phẳng kia.
CHƯƠNG 0
ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
I. QUAN HỆ SONG SONG
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 2
1. Hai đường thẳng vuông góc
a) Định nghĩa:
¶
abab
0
(,)90
⊥⇔=
b) Tính chất
• Giả sử
u
r
là VTCP của a,
v
r
là VTCP của b. Khi đó
.0
abuv
⊥⇔=
rr
.
•
bc
ab
ac
⁄⁄
⇒⊥
⊥
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P)
b) Tính chất
• Điều kiện để đường thẳng ⊥ mặt phẳng:
abPabO
dP
dadb
,(),
()
,
⊂∩=
⇒⊥
⊥⊥
•
ab
Pb
Pa
()
()
⇒⊥
⊥
P
•
ab
ab
aPbP(),()
≠
⇒
⊥⊥
P
•
PQ
aQ
aP
()()
()
()
⇒⊥
⊥
P
•
PQ
PQ
PaQa
()()
())
(),()
≠
⇒(
⊥⊥
P
•
aP
ba
bP
()
()
⇒⊥
⊥
P
•
aP
aP
abPb
()
)
,()
⊄
⇒(
⊥⊥
P
• Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng
tại trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của
đoạn thẳng đó.
• Định lí ba đường vuông góc
Cho
(),()
aPbP
⊥⊂, a′ là hình chiếu của a trên (P). Khi đó
baba
′
⊥⇔⊥
.
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghĩa: (P) ⊥ (Q) ⇔
·
0
90
PQ((),()) =
b) Tính chất
• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:
()
()()
()
Pa
PQ
aQ
⊃
⇒⊥
⊥
•
()(),()()
()
(),
PQPQc
aQ
aPac
⊥∩=
⇒⊥
⊂⊥
•
()()
()()
,()
PQ
APaP
aAaQ
⊥
∈⇒⊂
∋⊥
•
()()
()()()
()()
PQa
PRaR
QR
∩=
⊥⇒⊥
⊥
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh
da
⊥
, ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
• Chứng minh góc giữa a và d bằng 90
0
.
• Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
• Chứng minh
db
⊥
mà
ba
P
.
• Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
• Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
II. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 3
• Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ⊥ (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
• Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
• Chứng minh d // a và a ⊥ (P).
• Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
• Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) và (R) ⊥ (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
• Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a ⊥ (Q).
• Chứng minh
·
(
)
0
(),()90
PQ=
1. Góc
a) Góc giữa hai đường thẳng:
¶
·
aabbabab
,(,)(',')
′′
⇒=
PP
Chú ý: 0
0
≤
¶
ab
(,)
≤ 90
0
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:
• Nếu d ⊥ (P) thì
·
(
)
,()
dP
= 90
0
.
• Nếu
()
dP
⊥ thì
·
(
)
,()
dP
=
·
(
)
,'
dd
với d′ là hình chiếu của d trên (P).
Chú ý: 0
0
≤
·
(
)
,()
dP
≤ 90
0
c) Góc giữa hai mặt phẳng
·
(
)
¶
(
)
()
(),(),
()
aP
PQab
bQ
⊥
⇒=
⊥
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c. Từ I ∈ c, dựng
(),
(),
aPac
bQbc
⊂⊥
⊂⊥
⇒
·
(
)
¶
(
)
(),(),
PQab
=
Chú ý:
·
(
)
00
0(),()90
PQ≤≤
d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S′ là diện tích của hình chiếu (H′) của (H)
trên (Q), ϕ =
·
(
)
(),()
PQ
. Khi đó: S′ = S.cosϕ
2. Khoảng cách
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
• Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
III. GÓC – KHOẢNG CÁCH
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 4
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH.
•
222
ABACBC
+=
•
22
ABBCBHACBCCH
.,.
== •
222
111
AHABAC
=+
•
ABBCCBCBACCACB
.sin.cos.tan.cot
====
b) Cho ∆ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m
a
, m
b
, m
c
; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
• Định lí hàm số cosin:
222222
22
222
a=bc2bccosA;bcacaBcababC
– cos;.cos
+=+−=+−
• Định lí hàm số sin: R
C
c
B
b
A
a
2
sin
sin
sin
===
• Công thức độ dài trung tuyến:
222222222
222
242424
abc
bcacababc
mmm;;
+++
=−=−=−
2. Các công thức tính diện tích
a) Tam giác:
•
cba
hchbhaS .
2
1
.
2
1
.
2
1
=== • CabBcaAbcS sin
2
1
sin.
2
1
sin
2
1
===
•
R
abc
S
4
= • prS
=
•
(
)
(
)
(
)
Sppapbpc
=−−−
• ∆ABC vuông tại A:
2
SABACBCAH
==
• ∆ABC đều, cạnh a:
2
3
4
a
S =
b) Hình vuông: S = a
2
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy × cao =
·
ABADsinBAD
e) Hình thoi:
·
1
2
SABADsinBADACBD
==
f) Hình thang:
( )
hbaS .
2
1
+= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
2
SACBD
.
=
IV. Nhắc lại một số công thức
trong Hình học phẳng
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 5
1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
Vabc
=
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
2. Thể tích của khối chóp:
1
3
ñaùy
VSh
.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp
3. Thể tích của khối lăng trụ:
ñaùy
VSh
.
=
với S
đáy
là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ
* Bổ sung
• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
• Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.
VẤN ĐỀ 1: Tính thể tích bằng cách sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích
• Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
• Sử dụng công thức thể tích tương ứng để tính thể tích.
Khi tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ bằng công thức cần chú ý đến việc xác định
đường cao của khối chóp, khối lăng trụ.
1.1. KHỐI CHÓP
Baøi 1. Cho khối chóp S.ABC có hai mặt ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a và SA =
3
2
a
. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
HD:
3
3
16
a
V = .
Baøi 2. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SB =
3
a
và SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
HD:
3
2
3
a
V = .
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và SA = 3a, tam giác ABC có AB = BC = 2a,
góc
·
0
120
ABC =
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:
3
3
Va= .
Baøi 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, BC = 2a và
·
0
60
ABC =
; SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc α. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a và α.
HD:
3
Va
tan
α
=
.
Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B,
3
ABa
= , AC = 2a, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy (ABC) bằng
0
60
. Gọi M là trung
điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM.
CHƯƠNG I
KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 6
HD:
3
3
4
a
V = .
Baøi 6. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông cân tại B nội tiếp trong một đường
tròn (C) tâm I bán kính
2
a
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại I, lấy
một điểm S và trên đường tròn (C) lấy một điểm M sao cho diện tích của hai tam giác
SAC và SBM đều bằng
2
2
a
. Tính thể tích của khối tứ diện SABM theo a.
HD:
3
2
3
Va
= .
Baøi 7. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh AB = a, BC = 2a,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2
a
. Gọi A′ và B′ lần lượt là trung điểm
của SA và SB. Mặt phẳng (CA′B′) chia khối chóp S.ABC thành hai khối đa diện. Tính
thể tích của hai khối đa diện đó.
HD:
33
22
124
SABCABCAB
aa
VV
.
;
′′′′
==.
Baøi 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA
vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc
0
60
.
1) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:
3
6
24
a
V = .
Baøi 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với
đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:
3
3
8
a
V = .
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy
ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc
0
60
.
1) Tính thể tích khối chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
HD: 1)
3
3
3
a
V = 2)
3
2
a
d =
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a,
biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với mặt bên SAB một góc
0
30
. Tính thể tích
khối chóp S.ABC.
HD:
3
2
6
a
V = .
Baøi 12. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy ABC và SA = h, biết rằng tam giác
ABC đều và mặt bên SBC hợp với đáy ABC một góc
0
30
. Tính thể tích khối chóp SABC
HD:
3
3
3
h
V = .
Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC biết
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 7
SB = a, SC hợp với mặt bên SAB một góc
0
30
và mặt bên SAC hợp với đáy ABC một
góc
0
60
. Chứng minh rằng
2222
SCSBABAC
=++
. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
HD:
3
3
27
a
V = .
Baøi 14. Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a, góc
·
0
120
BAC =
, biết
SAABC
()
⊥
và mặt bên SBC hợp với đáy một góc
0
45
. Tính thể tích
khối chóp SABC.
HD:
3
9
a
V = .
Baøi 15. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, biết SA
⊥
(ABCD), SC = a và
SC hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD:
3
3
48
a
V = .
Baøi 16. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết rằng SA
⊥
(ABCD), SC
hợp với đáy một góc
0
45
và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp.
HD:
3
20
Va
=
.
Baøi 17. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng
0
60
và SA
⊥
(ABCD), biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC = a. Tính thể tích khối chóp
SABCD.
HD:
3
2
4
a
V = .
Baøi 18. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết AB = BC
= a, AD = 2a, SA
⊥
(ABCD) và mặt bên SCD hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thể tích
khối chóp SABCD.
HD:
3
6
2
a
V = .
Baøi 19. Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong nửa đường
tròn đường kính AB = 2R, biết mặt bên SBC hợp với đáy ABCD một góc
0
45
. Tính thể
tích khối chóp SABCD.
HD:
3
3
4
R
V = .
Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
HD: 2)
3
3
6
a
V = .
Baøi 21. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, mặt
phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AD hợp với mặt (BCD) một góc
0
60
.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 8
HD:
3
3
9
a
V = .
Baøi 22. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên
SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc
0
45
.
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
HD: 2)
3
12
a
V = .
Baøi 23. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SBC cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC.
2) Tính thể tích khối chóp SABC.
HD: 2)
3
3
24
a
V = .
Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a, biết tam giác
SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng (SAC) hợp với
mặt phẳng (ABC) một góc
0
45
. Tính thể tích của khối chóp SABC.
HD:
3
12
a
V = .
Baøi 25. Cho hình chóp SABC có
·
·
BACABC
00
90;30
==; SBC là tam giác đều cạnh a và
(SAB)
⊥
(ABC). Tính thể tích khối chóp SABC.
HD:
3
2
24
a
V = .
Baøi 26. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều; tam giác SBC có đường cao SH
= h và (SBC)
⊥
(ABC). Cho biết SB hợp với mặt đáy ABC một góc
0
30
. Tính thể tích
khối chóp SABC.
HD:
3
43
9
h
V = .
Baøi 27. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt
phẳng vuông góc với nhau, biết AD = a. Tính thể tích tứ diện ABCD.
HD:
3
6
36
a
V = .
Baøi 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều
có đường cao SH = h, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.
1) Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
HD: 2)
3
4
9
a
V = .
Baøi 29. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD, mặt bên SAC hợp với đáy ABCD một góc
0
30
. Tính thể tích khối chóp SABCD.
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 9
HD:
3
3
4
a
V = .
Baøi 30. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB = 2a, BC = 4a, mặt bên
SAB vuông góc với đáy ABCD, hai mặt bên (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD
một góc
0
30
. Tính thể tích khối chóp SABCD.
HD:
3
83
9
a
V = .
Baøi 31. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2a và tam giác
SAD vuông cân tại S, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối
chóp SABCD.
HD:
3
5
12
a
V = .
Baøi 32. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD =
a; AB = 2a; tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể
tích khối chóp SABCD.
HD:
3
3
2
a
V = .
Baøi 33. Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
HD:
3
6
6
a
V = .
Baøi 34. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Góc giữa
mặt bên và mặt đáy bằng α (45
0
< α < 90
0
). Tính thể tích hình chóp.
HD: Tính h =
1
2
a
tan
α
⇒ Va
3
1
tan
6
=α
Baøi 35. Cho khối chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
HD:
3
3
6
a
V = .
Baøi 36. Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng
minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể
tích khối chóp đều SABC.
HD:
3
11
12
a
V = .
Baøi 37. Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc
0
60
. Tính
thể tích khối chóp.
HD:
3
3
16
a
V = .
Baøi 38. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là
0
45
.
1) Tính chiều cao SH của chóp SABC. 2) Tính thể tích khối chóp SABC.
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 10
HD: 1)
3
a
SH =
2)
3
6
a
V = .
Baøi 39. Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một
góc
0
60
. Tính thể tích khối chóp SABC.
HD:
3
3
24
a
V = .
Baøi 40. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h hợp với một mặt bên một góc
0
30
.
Tính thể tích khối chóp.
HD:
3
3
3
h
V = .
Baøi 41. Cho hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp.
HD:
3
3
8
h
V = .
Baøi 42. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy a và
·
ASB
0
60
=
.
1) Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều SABCD.
2) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
HD: 1)
2
3
3
a
S = 2)
3
2
6
a
V = .
Baøi 43. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp.
HD:
3
2
3
h
V = .
Baøi 44. Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc
0
45
và khoảng cách từ
chân đường cao của hình chóp đến mặt bên bằng a. Tính thể tích khối chóp.
HD:
3
83
3
a
V = .
Baøi 45. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a hợp với đáy một góc
0
60
. Tính thề
tích khối chóp.
HD:
3
3
12
a
V = .
Baøi 46. Cho hình chóp SABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng SABCD là
hình chóp tứ giác đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi thể tích của nó bằng
3
92
2
a
.
HD: AB = 3a.
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 11
1.2. KHỐI LĂNG TRỤ
Baøi 1. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Hình chiếu
vuông góc của A′ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA′C′C) tạo
với đáy một góc
0
45
. Tính thể tích của khối lăng trụ này.
HD:
3
3
16
a
V = .
Baøi 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có ttất cả các cạnh đáy đều bằng a. Góc tạo bởi
cạnh bên và mặt đáy bằng
0
60
. Hình chiếu của đỉnh A trên mặt đáy (A′B′C′) trùng với
trung điểm H của cạnh B′C′. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a.
HD:
3
33
8
Va
= .
Baøi 3. Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA′ = 2a,
đường thẳng AA′ tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ này.
HD:
3
3
4
Va
= .
Baøi 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, góc
·
0
60
ACB =
, cạnh BC = a, đường chéo A′B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc
0
30
. Tính
thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′.
HD:
3
3
2
a
V = .
Baøi 5. Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60
0
. Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích khối hộp .
HD:
3
6
2
a
V =
Baøi 6. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng
a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD:
3
2
3
3
4
a
VSa
;==.
Baøi 7. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích
của khối lăng trụ.
HD:
3
24
Va
=
.
Baøi 8. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a, biết A'B hợp với đáy ABC một góc
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
HD:
3
3
2
a
.
Baøi 9. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC
= a ,
·
ACB
0
60
=
, biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc
0
30
. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
HD:
3
6
a .
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 12
Baøi 10. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
0
60
=
, biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc
0
30
. Tính thể tích của hình hộp.
HD:
3
3
2
a
V =
Baøi 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B, biết A'C = a và A'C
hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ.
HD:
3
2
16
a
V = .
Baøi 12. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C
hợp với đáy (ABC) một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ.
HD:
3
3
2
a
V = .
Baøi 13. Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết AB' hợp
với mặt bên (BCC'B') một góc
0
30
. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ.
HD:
3
3
3
2
a
ABaV;
′
==.
Baøi 14. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A biết AC = a và
·
0
60
ACB =
và BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ
và diện tích tam giác ABC'.
HD:
2
3
33
6
2
a
VaS;==.
Baøi 15. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC)
bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc
0
30
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
HD:
3
32
9
a
V = .
Baøi 16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp
với (ABCD) một góc
0
30
và hợp với (ABB'A') một góc
0
45
. Tính thể tích của khối hộp
chữ nhật.
HD:
3
2
8
a
V = .
Baøi 17. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Gọi O là tâm của
ABCD và OA' = a. Tính thể tích của khối hộp khi:
1) ABCD.A'B'C'D' là khối lập phương.
2) OA' hợp với đáy ABCD một góc
0
60
.
3) A'B hợp với (AA'CC') một góc
0
30
.
HD: 1)
a
V
3
26
9
=
2)
a
V
3
3
4
=
3)
a
V
3
43
9
=
Baøi 18. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a. Tính thể
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 13
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc
0
60
.
2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc
0
30
.
HD: 1)
3
3
16
a
V = 2)
3
2
8
a
V =
Baøi 19. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a, biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ.
HD:
3
3
2
a
V = .
Baøi 20. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp
với đáy (ABCD) một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'.
HD:
3
6
2
a
V = .
Baøi 21. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc
0
60
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc
0
30
. Tính thể tích khối hộp
chữ nhật ABCD.A'B'C'D' .
HD:
3
162
3
a
V =
Baøi 22. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a; đường chéo A'C hợp với đáy
ABCD một góc
0
30
và mặt bên A'BC hợp với đáy ABCD một góc
0
60
. Tính thể tích
khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.
HD:
3
22
3
a
V =
Baøi 23. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a;
mặt bên ABC'D' hợp với đáy một góc
0
30
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D' .
HD:
3
3
Va
=
.
Baøi 24. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a;
mặt bên A'BC hợp với đáy ABC một góc
0
45
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
HD:
3
2
Va=
.
Baøi 25. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a
và
·
BAC
0
120
=
; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc
0
45
. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A'B'C'.
HD:
3
3
8
a
V = .
Baøi 26. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB =
h; mặt phẳng (B'AC) hợp với đáy ABC một góc
0
60
. Tính thể tích của khối lăng trụ.
HD:
3
2
4
h
V = .
Baøi 27. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều; cạnh bên AA' = a. Tính
thể tích khối lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 14
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc
0
60
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc
0
45
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
HD: 1)
3
3
Va= 2)
3
3
4
a
V = 3)
3
3
Va=
Baøi 28. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .Tính thể tích khối
lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (ACD') hợp với đáy ABCD một góc
0
45
.
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc
0
60
.
3) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') bằng a.
HD: 1)
3
16
Va
=
2)
3
12
Va
=
3)
3
16
3
a
V = .
Baøi 29. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tính thể tích
khối lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc
0
60
.
2) Tam giác BDC' là tam giác đều.
3) AC' hợp với đáy ABCD một góc
0
45
.
HD: 1)
3
6
2
a
V = 2)
3
Va
=
3)
3
2
Va=
.
Baøi 30. Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn
µ
0
60
A =
. Tính thể tích khối lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc
0
60
.
2) Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BDC') bằng
2
a
.
3) AC' hợp với đáy ABCD một góc
0
45
.
HD: 1)
3
33
4
a
V = 2)
3
32
8
a
V = 3)
3
3
2
a
V =
Baøi 31. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5a, BD = 3a. Tính thể tích khối
hộp trong các trường hợp sau đây:
1) AB = a.
2) BD' hợp với mặt AA'D'D một góc
0
30
.
3) Mặt phẳng (ABD') hợp với đáy ABCD một góc
0
30
.
HD: 1)
Va
3
2
8
=
2)
Va
3
11
5
=
3)
3
16
Va
=
.
Baøi 32. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên
là
a
3
và hợp với đáy ABC một góc
0
60
. Tính thể tích khối lăng trụ.
HD:
3
33
8
a
.
Baøi 33. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
của A' trên đáy ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC; AA' hợp với đáy
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 15
ABC một góc
0
60
.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 2) Tính thể tích khối lăng trụ.
HD: 2)
3
3
4
a
V = .
Baøi 34. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm A'
cách đều các điểm A, B, C; AA' =
23
3
a
. Tính thể tích khối lăng trụ.
HD:
3
3
4
a
V = .
Baøi 35. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A' có hình chiếu
trên đáy ABC nằm trên đường cao AH của tam giác ABC; mặt bên BB'C'C hợp với đáy
ABC một góc
0
60
.
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
HD: 2)
3
33
8
a
V = .
Baøi 36. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Cạnh bên CC' = a
hợp với đáy ABC một góc
0
60
và C' có hình chiếu trên đáy ABC trùng với O.
1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật AA'B'B.
2) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
HD: 1)
2
3
2
a
S = 2)
3
33
8
a
V = .
Baøi 37. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; chân đường vuông góc
hạ từ A' trên đáy ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy của lăng trụ.
2) Tính thể tích khối lăng trụ.
HD: 1)
0
30
2)
3
3
8
a
V = .
Baøi 38. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C'
trên đáy ABC trùng với điểm O. Tính thể tích của khối lăng trụ biết rằng khoảng cách từ
O đến CC' bằng a và hai mặt bên AA'C'C, BB'C'C hợp với nhau một góc
0
90
.
HD:
3
42
27a
V =
.
Baøi 39. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc H
của A' trên đáy ABCD nằm trong hình thoi, các cạnh xuất phát từ A của hộp đôi một tạo
với nhau một góc
0
60
.
1) Chứng minh rằng H nằm trên đường chéo AC của đáy ABCD.
2) Tính thể tích của khối hộp.
HD: 2)
3
2
2
a
V = .
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 16
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích bằng cách gián tiếp
Trong nhiều trường hợp việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện gặp khó khăn (do khó
xác định chiều cao hoặc khó tính được diện tích đáy), khi đó ta có thể tính như sau:
a) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể
tích của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
b) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm
vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
c) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B'
trên Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
OABC
OABC
V
OAOBOC
VOAOBOC
'''
'''
=
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, cạnh bên
SA = a
5
. Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với mp(SCD) lần lượt cắt SC và
SD tại C′ và D′. Tính thể tích của khối đa diện ADD′.BCC′.
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' thì được khối SABCD
⇒
a
V
3
53
6
=
Baøi 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính
thể tích hình chóp theo x và y.
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC và AIBC (I là trung điểm SA)
⇒
xy
Vxy
22
4
12
=−−
Baøi 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA ⊥ (ABC).
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích
khối chóp A.BCNM.
HD:
2
2
2
16
25
SAMN
SABC
V
SASMSNSA
VSASBSC
SB
===
⇒
a
V
3
33
50
=
Baøi 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, SA ⊥ (ABC) và SA =
3
a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích các khối chóp S.AMN
và A.BCNM.
HD:
1
4
SAMN
SABC
V
SASMSN
VSASBSC
==
⇒
3
4
SAMN
a
V
.
= ,
3
3
4
ABCNM
a
V
.
=
Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là một điểm thuộc cạnh SA sao cho MS = 2MA. Tính
tỉ số thể tích của hai khối chóp M.SBC và M.ABC.
HD:
2
MSBCSMBC
MABCMABC
VV
VV
==
.
Baøi 6. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,
2
ACa
=
, SA vuông góc
với đáy ABC, SA = a.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 17
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (P) qua AG và song song với BC cắt SC,
SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
HD: 1)
3
6
SABC
a
V
.
= 2)
3
42
927
SAMNSABC
a
VV
==.
Baøi 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
ABaADa
,2,
==
cạnh SA vuông
góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
o
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao
cho
a
AM
3
3
= . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCMN.
HD: Trong mp(SAD) kẻ MN // AD (N thuộc cạnh SD)
SDBCMN
()
⇒∩=
SMBC
SMBCSABCSABCD
SABC
SMNC
SMNCSADCSABCD
SADC
V
SM
VVV
VSA
V
SMSNSM
VVV
VSASDSA
.
2
.
221
333
442
.
999
==⇒==
===⇒==
⇒
SBCMNSMBCSMNCSABCDABCD
VVVVSASa
3
551103
99327
=+===
Baøi 8. Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
ABaACbADc
,,
===
và các góc
·
BAC
,
·
·
CADDAB
, đều bằng
60
o
.
HD: Giả sử
{
}
aabc
min,,
= . Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
=
AD
1
= a, từ giả thiết suy ra ABC
1
D
1
là tứ diện đều cạnh a nên có
ABCD
Va
11
3
2
12
= .
ABCD
ABCD
V
ACAD
a
VACADbc
11
2
11
.==
ABCDABCD
bcabc
VV
a
11
2
2
12
⇒==.
Baøi 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
a
,
·
BAD
60
=
o
,
SAABCD
()
⊥
và
SAa
=
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HD: Gọi
OACBDIACSO
,'
=∩=∩
, suy ra
BDBD
′′
P
và
BD
''
đi qua I
SABC
SABCSABCSABCD
SABC
V
SBSC
VVV
VSBSC
.''
.''
.
''21111
32336
===⇒==
SADC
SADCSADCSABCD
SADC
V
SDSC
VVV
VSDSC
.''
.''
.
''21111
32336
===⇒==
⇒
SABCDSABCSADCSABCD
a
VVVVa
3
3
.''''.'''.'''.
1133
.
33618
=+===
Baøi 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng
5
cm, đường chéo
AC = 4 cm. Đoạn thẳng SO =
22
cm và vuông góc với đáy (O là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt
SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
HD:
SABMNSABNSBMN
VVV
=+;
82
3
SABCD
V
.
= (cm
3
)
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 18
111
224
2
111
448
SABN
SABNSABDSABCD
SABD
SABMN
SBMN
SBMNSBCDSABCD
SBCD
V
VVV
V
V
V
VVV
V
.
.
.
.
.
=⇒==
⇒=
=⇒==
(cm
3
)
Baøi 11. Cho lăng trụ đều ABC.A′B′C′ có cạnh đáy bằng a, góc
·
0
30
BCC
′′
= . Gọi V, V′ lần
lượt là thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B′C′ và khối đa diện ABCA′B′. Tính tỉ số
V
V
′
.
HD:
2
3
V
V
′
=
.
Baøi 12. Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,
cắt BD tại F và cắt AD tại E.
1) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2) Chứng minh
CEABD
()
⊥
.
3) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
HD: 1)
3
6
ABCD
a
V = 2)
1
6
DCEF
DABC
V
V
=
⇒
3
1
636
DCEFABCD
a
VV==.
Baøi 13. Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (P) qua A, B và trung điểm M
của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
HD:
SABCDSADBSANB
SADB
SAND
VVV
SD
SN
V
V
4
1
2
1
2
1
==⇒==
SABCDSBCDSBMN
SBCD
SBMN
VVV
SD
SN
SC
SM
V
V
8
1
4
1
4
1
2
1
.
2
1
. ==⇒===
Mà
3
8
SABMNSANBSBMNSABCD
VVVV
=+= nên
5
8
ABMNABCDSABCD
VV
.
=
⇒
5
3
.
=
ABCDABMN
SABMN
V
V
.
Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
đáy góc
0
60
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt
SB tại E và cắt SD tại F.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
HD: 1)
3
6
6
SABCD
a
V
.
=
2) 2
SAEMFSAMFSAMESAMF
VVVV
=+= ; 22
SABCDSACDSABC
VVV
==
3
116
3636
SAMFSACDSABCD
a
VVV
=== ⇒
33
66
2
3618
SAEMF
aa
V
.
==.
Baøi 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy
ABCD,
2
SAa
=
. Gọi B’, D’ là lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng
(AB’D’) cắt SC tại C’.
1) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2) Chứng minh
SCABD
()
′′
⊥ .
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 19
3) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
HD: 1)
3
2
3
SABCD
a
V
.
=
3)
3
12
39
SABCSABC
a
VV
.''.
==;
3
22
2
9
SABCDSABC
a
VV
'''.''
==
Baøi 16. Cho tứ diện ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể
tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD.
HD:
1
4
k
=
.
Baøi 17. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Lấy các điểm B′, C′ lần lượt trên AB và AC
sao cho
2
23
aa
ABAC;
′′
==. Tính thể tích khối tứ diên AB'C'D .
HD:
3
2
36
a
V = .
Baøi 18. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng
3
a
, đường cao SA =
a. Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp
S.AHK.
HD:
3
3
40
a
V = .
Baøi 19. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là
trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, SD tại M và P.
Tính thể tích khối chóp SAMNP.
HD:
2
9
ah
V = .
Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm của SC.
Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích 2
phần này.
HD:
1
2
k
=
.
Baøi 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
SM
x
SA
=
Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau
HD:
51
2
x
−
= .
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 20
VẤN ĐỀ 3: Tính khoảng cách bằng phương pháp thể tích
Trong nhiều bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách
giữa hai đường thẳng thường được đưa về bài toán tìm chiều cao của khối chóp hoặc
khối lăng trụ. Dĩ nhiên các chiều cao này thường gặp khó khăn khi tính trực tiếp bằng
cách sử dụng các phương pháp thông thường, nhưng các khối đa diện này lại dễ tính
được thể tích và diện tích đáy.
Nhắc lại một số kiến thức về khoảng cách:
a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
• Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia
và song song với đường thẳng thứ nhất.
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
Baøi 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi; SO vuông góc với đáy (O là giao
điểm của AC và BD). Giả sử SO =
22
, AC = 4, AB =
5
. Gọi M là trung điểm của
SC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
HD: Ta có SA // (OMB) ⇒ d(SA, MB) = d(SA, (OMB)) = d(S, (OMB)) = d(C, (OMB))
Kẻ MH ⊥ (ABCD) ⇒ MH =
1
2
2
SO = ⇒
12
33
MOBCOBC
VSMH
.
.== (1)
Gọi h = d(C, (OMB)).
13
36
COMBOMB
h
VSh
.
.== (2)
Từ (1), (2) ⇒
3226
633
h
h=⇒= ⇒ d(SA, MB) =
26
3
.
Baøi 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại B. Giả sử AB
= a, AA′ = 2a, AC = 3a. Gọi M là trung điểm của A′C′ và I là giao điểm của AM và A′C.
Tìm thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
HD: Kẻ IH ⊥ AC, HE ⊥ BC, AK ⊥ (IBC) ⇒ IH ⊥ (ABC).
3
4
9
IABC
a
V = ;
25
3
a
IE = ;
1
3
IABCAIBCIBC
VVSAK
.
== ⇒ d(A, (IBC)) = AK =
25
5
a
Baøi 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, trong đó
·
ABC
=
·
0
90
BAD =
; BA = BC = a; AD = 2a. Giả sử SA vuông góc với đáy ABCD và
2
SAa
=
.
Gọi H là hình chiếu của A trên SB.
1) Chứng minh tam giác SCD vuông.
2) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
HD: Kẻ HK, BF cùng vuông góc với (SCD) ⇒ HK // BF và S, K, F thẳng hàng.
3
12
36
SBCDBCD
a
VSSA
.
.==. Mặt khác
1
3
SBCDBSCDSCD
VVSBF
.
== ⇒
2
a
BF
=
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 21
⇒ d(H, (SCD)) = HK =
2
33
a
BF
=
.
Baøi 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB và CD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN.
HD: Ta có MN // BC ⇒ MN // (A′BC) ⇒ d(MN, A′C) = d(MN, (A′BC)) = d(M, (A′BC))
11
312
MBC
AMBC
VSAA
.
.
′
′
==
. Mặt khác
1
3
AMBCMABCABC
VVSh
.
.
′′′
==
⇒ d(MN, A′C) = h =
2
4
.
Baøi 5. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác
ABC có AB = BC = 2a,
·
0
120
ABC =
. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
HD: d(A, (SBC)) =
313
13
a
.
Baøi 6. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng đường
thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
a
SI
3
.
2
= Tìm
khoảng cách từ C đến mp(SAD).
HD:
SABCDABCD
a
VSIS
3
.
13
36
== ⇒
SACDSABCD
SADSAD
VV
a
dCSAD
SS
33
3
(,())
22
∆∆
===
Baøi 7. Cho hình chóp S.ABC có
SAa
3
=
và
SAmpABC
()
⊥
.
ABC
∆
có
ABBCa
2,
==
·
ABC
0
120
=
. Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HD:
SABCABC
VSASaaa
23
.
11
3.33
33
∆
===,
·
SBC
SSBSCBSCa
2
1
sin23
2
∆
==
⇒
SABC
SBC
V
dASBCa
S
.
3
1
(,())
2
∆
==
Baøi 8. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của DD′.
Tìm khoảng cách giữa CK và AD′.
HD: Kẻ AH // CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó:
AHD
AHCD
V
dCKADdCKAHDdCAHDdCAHD
S
''
3
(,)(,())(,())(,())
∆
′′′′′
====
H là trung điểm của CC’ và tính được
AHCDHCD
a
VADS
3
''''
1
312
∆
==
∆AHD có:
a
DHDCHCADa
22
5
'';2
2
=+==;
a
AHADHD
22
3
2
=+=
⇒
· · ·
2
1313
24
1010
ADH
a
ADHADHSDADHADH
'
cossin sin
′′′′′
=⇒=⇒==
⇒
AHD
AHCD
V
a
dCKADdCKAHD
S
''
3
(,)(,())
3
∆
′′
===
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 22
VẤN ĐỀ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của thể tích khối đa diện
Trong dạng toán này, thể tích khối đa diện phụ thuộc một tham số nào đó mà ta cần xác
định giá trị của tham số để thể tích nhận giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
Có thể thực hiện theo các bước sau:
– Chọn tham số x (chọn ẩn).
– Tính thể tích V của khối đa diện theo ẩn x đã chọn.
– Sử dụng bất đẳng thức hoặc phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất
của V.
Baøi 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
2a. Gọi α là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Với giá trị nào của α, thì thể tích của
khối chóp S.ABCD là nhỏ nhất.
HD: Gọi M, N là trung điểm của AD, BC. Kẻ MH ⊥ SN ⇒ MH ⊥ (SBC).
Ta có:
·
SNM
α
=
. Do DA // BC nên d(A, (SBC)) = d(M, (SBC)) = MH = 2a.
3
2
4
3
SABCD
a
V
.
sin.cos
αα
= .
SABCD
V
.
bé nhất ⇔
23
sin.coscoscos
αααα
=−
lớn nhất.
Xét hàm số
3
01
fxxxx
(),
=−<<
.
Từ BBT của f(x), ta suy ra
323
39
fxfmax()
==
.
Vậy
SABCD
V
.
nhận giá trị nhỏ nhất bằng
3
3
4
23
23
3
9
a
a
.
= ⇔
3
3
cosα = .
Baøi 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc
với đáy. Giả sử SC = a. Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABD) sao cho thể tích
của khối chóp S.ABC là lớn nhất.
HD: Gọi
·
(
)
SBCABD
(),()
α = . Ta có
·
SCASAaACa
,.sin,.cos
ααα
===.
⇒
( )
33
23
66
SABC
aa
V
.
cos.sinsinsin
αααα
==−.
Xét hàm số
3
01
fxxxx
(),
=−<<
.
Từ BBT của f(x) ta suy ra được
323
39
fxfmax()
==
.
Vậy
SABC
V
.
đạt lớn nhất bằng
3
33
273
a
sinα⇔=.
Trn S Tựng Khi a din
Trang 23
Baứi 1. Cho hỡnh chúp t giỏc u SABCD, cú cnh ỏy bng a v
ã
ASB
=
.
a) Tớnh din tớch xung quanh hỡnh chúp.
b) Chng minh chiu cao ca hỡnh chúp bng
2
1
22
a
cot
c) Tớnh th tớch khi chúp.
HD: a) S
xq
=
2
2
a
cot
c) V =
32
1
1
62
acot
Baứi 2. Cho hỡnh chúp SABC cú 2 mt bờn (SAB) v (SAC) vuụng gúc vi ỏy. ỏy ABC l
tam giỏc cõn nh A, trung tuyn AD = a. Cnh bờn SB to vi ỏy gúc a v to vi
mp(SAD) gúc b.
a) Xỏc nh cỏc gúc a, b.
b) Chng minh: SB
2
= SA
2
+ AD
2
+ BD
2
.
c) Tớnh din tớch ton phn v th tớch khi chúp.
HD: a)
ã
ã
SBABSD;
==
c) S
tp
=
22
22
22
1
22
2
aasin
(sinsin)
cossin
cossin
++
V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
Baứi 3. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a. Mt bờn SAB l tam giỏc
u v vuụng gúc vi ỏy. Gi H l trung im ca AB v M l mt im di ng trờn
ng thng BC.
a) Chng minh rng SH ^ (ABCD). Tớnh th tớch khi chúp SABCD.
b) Tỡm tp hp cỏc hỡnh chiu ca S lờn DM.
c) Tỡm khong cỏch t S n DM theo a v x = CM.
HD: b) K thuc ng trũn ng kớnh HD c) SK =
22
22
744
2
aaaxx
ax
+
+
Baứi 4. Trờn ng thng vuụng gúc ti A vi mt phng ca hỡnh vuụng ABCD cnh a ta ly
im S vi SA = 2a. Gi BÂ, DÂ l hỡnh chiu ca A lờn SB v SD. Mt phng (ABÂDÂ) ct
SC ti CÂ. Tớnh th tớch khi chúp SABÂCÂDÂ.
HD:
8
15
SABC
SABC
V
V
=
ị V
SAB
Â
C
Â
D
Â
=
3
16
45
a
Baứi 5. Cho hỡnh chúp SABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh. Mt mt phng (P) ct SA,
SB, SC, SD ln lt ti AÂ, BÂ, CÂ, DÂ. Chng minh:
SASCSBSD
SASCSBSD
+=+
HD: S dng tớnh cht t s th tớch hỡnh chúp
Baứi 6. Cho t din u SABC cú cnh l a. Dng ng cao SH.
a) Chng minh SA ^ BC.
b) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABC.
c) Gi O l trung im ca SH. Chng minh rng OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc vi
nhau.
ễN TP KHI A DIN
Khối đa diện Trần Sĩ Tùng
Trang 24
HD: b) V =
3
2
12
a
; S
tp
=
2
3
a .
Baøi 7. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 60
0
và cạnh đáy
bằng a.
a) Tính thể tích khối chóp.
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và
hình chóp.
HD: a) V =
3
6
6
a
b) S =
2
3
3
a
Baøi 8. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc ở đáy của mặt bên là
a.
a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp theo a và h.
b) Cho điểm M di động trên cạnh SC. Tìm tập hợp hình chiếu của S xuống mp(MAB).
HD: a) S
xq
=
2
2
4
1
h
tan
tan
α
α
−
; V =
3
2
4
31
h
(tan)
α
−
Baøi 9. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x
£ a) và trên nửa đường thẳng Ax vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông, người ta
lấy điểm S với SA = y (y > 0).
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) và (SBC) vuông góc.
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).
c) Tính thể tích khối chóp SABCM.
d) Với giả thiết
222
xya
+=
. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích với SABCM.
e) I là trung điểm của SC. Tìm quĩ tích hình chiếu của I xuống MC khi M di động trên
đoạn AD.
HD: b) d =
2
2
x
c) V =
1
6
ayxa
()
+
d) V
max
=
3
1
3
24
a
Baøi 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA
vuông góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a và hợp với mặt bên SAB một góc b.
a) Chứng minh: SC
2
=
2
22
a
cossin
αβ
−
.
b) Tính thể tích khối chóp.
HD: b) V =
3
22
3
asin.sin
(cossin)
αβ
αβ
−
Baøi 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Cạnh bên SA =2a và
vuông góc với mặt phẳng đáy.
a) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
b) Hạ AE ⊥ SB, AF ⊥ SD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).
Baøi 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và
SA = SB = SC = SD = a. Tính diện tích toàn phần và thể tích khối chóp S.ABCD.
Baøi 13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là ABCD hình thang vuông tại A và D, AB =
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD) và SD = a .
a) Chứng minh ∆SBC vuông. Tính diện tích ∆SBC.
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB =
Trần Sĩ Tùng Khối đa diện
Trang 25
AD = a, CD = 2a. Cạnh bên SD ⊥ (ABCD), SD
3
a
= . Từ trung điểm E của DC dựng
EK ⊥ SC (K ∈ SC). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và chứng minh SC ⊥ (EBK).
Baøi 15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. Biết
rằng AB = 2a, AD = CD = a (a > 0). Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với đáy.
a) Tính diện tích tam giác SBD.
b) Tính thể tích của tứ diện SBCD theo a.
Baøi 16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông
góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD
⊥
SB và AE
⊥
SC. Biết AB = a, BC = b, SA =
c.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ADE.
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB).
Baøi 17. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a, đường chéo của mặt bên
BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ một góc a.
a) Xác định góc a.
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3
3
33
8
a sin
sin
α
α
.
HD: a)
·
CBI
′′
với I¢ là trung điểm của A¢B¢
Baøi 18. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h. Mặt phẳng (A¢BD) hợp với
mặt bên ABB¢A¢ một góc a. Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ.
HD: V =
32
1
h tan α
−
, S
xq
=
22
41
h tan α
−
.
Baøi 19. Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vuông tại A. Khoảng cách từ AA¢ đến mặt
bên BCC¢B¢ bằng a, mp(ABC¢) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy góc a.
a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢. Chứng minh: AH = a,
·
CAC
′
= a, CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Cho a = b không đổi, còn a thay đổi. Định a để thể tích lăng trụ nhỏ nhất.
HD: b) V =
3
222
2
ab
basinsin
αα
−
c) a = arctan
2
2
Baøi 20. Cho lăng trụ đều ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy bằng a. Góc giữa đường chéo AC¢ và
đáy là 60
0
. Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: V = a
3
6
; S
xq
= 4a
2
6
Baøi 21. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên là h. Từ một đỉnh vẽ 2 đường chéo của 2 mặt
bên kề nhau. Góc giữa 2 đường chéo ấy là a. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: S
xq
= 4h
2
1
cos
cos
α
α
−
.
Baøi 22. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC¢) hợp với
mp(BCC¢B¢) một góc a. Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC¢.
a) Chứng minh
·
AJI
= a.
b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình lăng trụ.
HD: b) V =
3
2
3
43
a
tan α
−
; S
xq
= 3a
2
2
3
3
tan α
−
.
Baøi 23. Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy là tam giác đều cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b.
